新教材數(shù)學人教A版學案5-7三角函數(shù)的應用

5．7三角函數(shù)的應用【素養(yǎng)目標】1．會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題．(數(shù)學抽象)2．體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．(邏輯推理)3．通過學習三角函數(shù)模型的實際應用，使學生學會把實際問題抽象為數(shù)學問題，即建立數(shù)學模型的思想方法．(邏輯推理)【學法解讀】在本節(jié)學習中，對生活中周期現(xiàn)象作分析，再把課本中實例與三角函數(shù)結合，構建三角函數(shù)模型，使學生掌握解決此類問題的思路，提升學生的數(shù)學建模能力．必備知識·探新知基礎知識知識點1三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中！?。≈芷诂F(xiàn)象###的一種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預測未來等方面發(fā)揮著重要作用．思考：三角函數(shù)模型的應用主要體現(xiàn)在哪幾個方面？提示：三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩個方面：①已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；②把實際問題轉化成數(shù)學問題，抽象出有關的數(shù)學模型，再利用三角函數(shù)的有關知識解決問題．知識點2利用三角函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟第一步：閱讀理解，審清題意．讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字，理解題目所反映的實際背景，在此基礎上分析出已知什么、求什么，從中提煉出相應的數(shù)學問題．第二步：收集、整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)找出變化規(guī)律，運用已掌握的三角函數(shù)知識、物理知識及相關知識建立關系式，將實際問題轉化為一個與三角函數(shù)有關的數(shù)學問題，即建立三角函數(shù)模型，從而實現(xiàn)實際問題的數(shù)學化．第三步：利用所學的三角函數(shù)知識對得到的三角函數(shù)模型予以解答．第四步：將所得結論轉譯成實際問題的答案.基礎自測1．下列說法正確的個數(shù)是(＋＋＋＋B－－－－)①三角函數(shù)是描述現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．②與周期有關的實際問題都必須用三角函數(shù)模型解決．③若一個簡諧振動的振動量的函數(shù)解析式是y＝3sin(4x＋eq\f(π,6))，則其往復振動一次所需時間為eq\f(1,2)秒．④若電流I(A)隨時間t(s)變化的關系是I＝4sin200πt，t∈[0，＋∞)，則電流的最大值為4A.A．1 B．2C．3 D．4[解析]①④正確，②③錯誤，故選B.2．電流I(A)隨時間t(s)變化的關系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，則電流I變化的周期是(＋＋＋＋A－－－－)A．eq\f(1,50)s B．50sC．eq\f(1,100)s D．100s[解析]T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)s，故選A.3.如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置O的距離scm和時間ts的函數(shù)關系式為s＝6sin(2πt＋eq\f(π,6))，那么單擺來回擺動一次所需的時間為(＋＋＋＋D－－－－)A．2πs B．πsC．0.5s D．1s[解析]本題已給出了單擺離開平衡位置O的距離scm和時間ts的函數(shù)關系式，單擺來回擺一次所需的時間即為此函數(shù)的一個周期．即ω＝2π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝1.4．商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，勞動節(jié)某商場的人流量滿足函數(shù)F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，則在下列哪個時間段內(nèi)人流量是增加的(＋＋＋＋C－－－－)A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20][解析]由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當k＝1時，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．關鍵能力·攻重難題型探究題型一三角函數(shù)模型在物理中的應用例1已知表示電流強度I與時間t的函數(shù)關系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．(1)若電流強度I與時間t的函數(shù)關系圖象如圖所示，試根據(jù)圖象寫出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)為了使I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))中t在任意一段eq\f(1,100)秒的時間內(nèi)電流強度I能同時取得最大值A與最小值－A，那么正整數(shù)ω的最小值是多少？[分析]對于(1)，由于解析式的類型已經(jīng)確定，只需根據(jù)圖象確定參數(shù)A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值與最小值確定，ω可由周期確定，φ可通過特殊點的坐標，解方程求得．對于(2)，可利用正弦型函數(shù)的圖象在一個周期中必有一個最大值點和一個最小值點來解．[解析](1)由題圖知，A＝300.T＝eq\f(1,60)－(－eq\f(1,300))＝eq\f(1,50)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π.∵(－eq\f(1,300)，0)是該函數(shù)圖象的第一個零點，∴－eq\f(φ,ω)＝－eq\f(1,300).∴φ＝eq\f(ω,300)＝eq\f(π,3).符合|φ|<eq\f(π,2)，∴I＝300sin(100πt＋eq\f(π,3))(t≥0)．(2)問題等價于T≤eq\f(1,100)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,100)，∴ω≥200π.∴正整數(shù)ω的最小值為629.[歸納提升]解決函數(shù)圖象與解析式對應問題的策略利用圖象確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，實質就是確定其中的參數(shù)A，ω，φ.其中A由最值確定；ω由周期確定，而周期由特殊點求得；φ由點在圖象上求得，確定φ時，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.【對點練習】?本例(1)中，在其他條件不變的情況下，當t＝10秒時的電流強度I應為多少？[解析]由例1(1)可得I＝300sin(100πt＋eq\f(π,3))(t≥0)，將t＝10秒代入可得，I＝150eq\r(3)安培．題型二建立三角函數(shù)模型解決實際問題例2如圖，一個大風車的半徑為8米，風車按逆時針方向勻速旋轉，并且12分鐘旋轉一周，它的最低點離地面2米，設風車開始旋轉時其翼片的一個端點P在風車的最低點，求：(1)點P離地面距離h(米)與時間t(分鐘)之間的函數(shù)關系式；(2)在第一圈的什么時間段點P離地面的高度超過14米？[解析](1)設h(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b，由題意得A＝8，T＝12，b＝10；則ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)，當t＝0時，h＝2，即sinφ＝－1，因此，φ＝－eq\f(π,2).故h(t)＝8sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,2))＋10，t≥0.(2)由題意h(t)>14，即8sin(eq\f(π,6)t－eq\f(π,2))＋10>14，則coseq\f(π,6)t<－eq\f(1,2).又因為0≤t≤12，所以4<t<8.故在第一圈4<t<8時點P離地面的高度超過14米．[歸納提升]面對實際問題時，能夠迅速地建立數(shù)學模型是一項重要的基本技能，在讀題時把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學語言”，這個過程就是數(shù)學建模的過程．【對點練習】?如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪自點B開始1min旋轉4圈，水輪上的點P到水面距離y(m)與時間x(s)滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋2，A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5[解析]由1min旋轉4圈，則轉1圈的時間為T＝eq\f(1,4)min＝eq\f(1,4)×60＝15(s)，則ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,15).又由圖可知，A＝3.誤區(qū)警示對物理概念理解不清，錯求初相例3如圖，彈簧掛著一個小球作上下運動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h(厘米)由如下關系式確定：h＝2sin(eq\f(π,4)t＋φ)，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π)．已知當t＝3時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在開始振動(即t＝0)時h的值為?。?！eq\r(2)###.[錯解]∵當t＝3時，h＝0，∴2sin(eq\f(3π,4)＋φ)＝0，∴φ＝－eq\f(3π,4).故h＝2sin(eq\f(π,4)t－eq\f(3π,4))，∴當t＝0時，h＝2sin(－eq\f(3π,4))＝－eq\r(2).[錯因分析]沒有認真審題，不懂利用題目中的“并開始向下移動”條件求初相．[正解]∵當t＝3時，h＝0，∴2sin(eq\f(3π,4)＋φ)＝0.又∵當t＝3時，h＝0，并開始向下移動，∴eq\f(3π,4)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.∵φ∈(－π，π)，∴φ＝eq\f(π,4)，故h＝2sin(eq\f(π,4)t＋eq\f(π,4))．∴當t＝0時，h＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2).[方法點撥]在利用零點求初相時，要注意函數(shù)在零點處的單調(diào)性，當函數(shù)在零點處單調(diào)遞增時，ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)；當函數(shù)在零點處單調(diào)遞減時，ωx＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)．學科素養(yǎng)數(shù)據(jù)擬合三角函數(shù)問題處理此類問題時，先要根據(jù)表格或數(shù)據(jù)正確地畫出散點圖，然后運用數(shù)形結合的思想方法求出問題中所需要的相關量，如周期、振幅等，最后根據(jù)三角函數(shù)的相關知識解決問題．例4已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，記作：y＝f(t)．下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t(時)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達式；(2)根據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結論，判斷一天的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？[分析]本題以實際問題引入，注意通過表格提供的數(shù)據(jù)來抓住圖形的特征．[解析](1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T＝12，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅為eq\f(1,2).∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1.(2)由題意知，當y>1時才對沖浪者開放，∴eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1，∴coseq\f(π,6)t>0，∴2kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3<t<12k＋3.∵0≤t≤24，∴令k分別為0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，∴在規(guī)定時間上午8∶00時至晚上20∶00時之間有6個小時可供沖浪者進行活動，即上午9∶00至下午15∶00.[歸納提升]處理此類問題時，先要根據(jù)圖表或數(shù)據(jù)正確地畫出簡圖，然后運用數(shù)形結合思想求出問題中的關鍵量，如周期、振幅等．課堂檢測·固雙基1．已知簡諧運動f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋φ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象經(jīng)過點(0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初相φ分別為(＋＋＋＋A－－－－)A．T＝6，φ＝eq\f(π,6) B．T＝6，φ＝eq\f(π,3)C．T＝6π，φ＝eq\f(π,6) D．T＝6π，φ＝eq\f(π,3)[解析]T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.由圖象過(0,1)點得sinφ＝eq\f(1,2).∵－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).2．某星星的亮度變化周期為10天，此星星的平均亮度為3.8星等，最高亮度距離平均亮度0.2星等，則可近似地描述此星星亮度與時間之間關系的一個三角函數(shù)可以是下列中的(＋＋＋＋C－－－－)A．y＝0.2sin10t＋3.8 B．y＝3.8sineq\f(π,5)t＋0.2C．y＝0.2sin(eq\f(π,5)t＋φ)＋3.8 D．y＝3.8sin10t＋0.2[解析]設所求函數(shù)為y＝Asin(ωt＋φ)＋b，依題意得T＝10，ω＝eq\f(π,5)，A＝0.2，b＝3.8，所以解析式可以為y＝0.2sin(eq\f(π,5)t＋φ)＋3.8，故選C.3．某人的血壓滿足函數(shù)式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)為血壓，t為時間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為(＋＋＋＋C－－－－)A．60 B．70C．80 D．90[解析]由于ω＝160π，故函數(shù)的周期T＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)，所以f＝eq\f(1,T)＝80，即每分鐘心跳的次數(shù)為80.故選C.4.如圖某地夏天從8