廣西桂林市2022-2023學年高一年級上冊期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題

桂林市2022?2023學年度上學期期末質(zhì)量檢測高一年級數(shù)學

第I卷選擇題

一、選擇題：本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，有且只

有一個選項是符合題目要求的.

1.下列各式中關系符號運用正確的是（）

A.0=0B.{0,1,2}C.le{0,l,2}D.{l}e{0,1,2）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合和元素的關系,集合和集合的關系即可選出結(jié)果.

【詳解】解:因為0是集合,0是數(shù)字，所以選項A錯誤；

因為{0,1,2}是集合，所以0=0,1,2}，故選項B錯誤；

因為1是{0,1,2}中的元素，所以選項C正確；

因為{1}口{0,1,2}，所以選項D錯誤.

故選：C

2.命題“3xcR,爐+5%+2<0”的否定為（）

A.VxeR,%2+5x+2<0B.玉eR,%2+5x+2<0

C.VxeR,x2+5x+2>0D.3x6R,%2+5x+2>0

【答案】C

【解析】

【分析】由特稱命題否定的形式可直接得到結(jié)果.

【詳解】由特稱命題的否定知：原命題的否定為VxeR,X2+5X+2>0.

故選：C.

3.一段高速公路有400個太陽能標志燈，其中進口的有40個，聯(lián)合研制的有100個，國產(chǎn)的有260個，

為了掌握每個標志燈的使用情況，要從中抽取一個容量為20的樣本，若采用分層抽樣的方法，則進口的

標志燈抽取的數(shù)量為（）

A.2B.3C.5D.13

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣原則直接計算即可.

【詳解】根據(jù)分層抽樣原則知：進口的標志燈應抽取的數(shù)量為20x——=2.

400

故選：A.

4.不等式2必+5%—12<0的解集為（）

【答案】B

【解析】

【分析】利用二次不等式的解法解原不等式即可.

【詳解】由2%2+5%—12<0可得（2x—3）（x+4）<0,解得一4<X<Q,

因此，原不等式的解集為［-4,

故選：B.

5.設a>0,則下列等式恒成立的是（）

mnm+nmnmn

A.a+a=aB.a-a=a

m+nmnm+n

C.（a"'）"=aD.a-a=a

【答案】D

【解析】

【分析】A可舉出反例，BCD由指數(shù)幕的運算法則判斷即可.

【詳解】由指數(shù)幕運算法則可知：am-an=am+^（am）"=amn,BC錯誤，D正確,

當。=機=〃=1時，am+an=2,am+n=1,故々加+能W〃*",A錯誤.

故選：D

1

基函數(shù)的大致圖象是（）

6.yv-_x/

【解析】

1

【分析】由,=.=?進行分析即可

1

【詳解】由y=x，=?可知尤NO故c,D錯誤

隨著自變量的增大函數(shù)值增大，故B錯誤

故選：A.

7.設羽ywR,且x+y=4,則3]+3、的最小值為（）

A.10B.6A/3C.8A/3D.18

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式求最值即可.

【詳解】3*+3’22，^匚^=26導=18，當且僅當x=y=2時，等號成立.

故選：D.

8.甲、乙、丙三人排隊，甲排在末位的概率為（）

1112

A.-B.-C.-D.一

4323

【答案】B

【解析】

【分析】列舉出所有基本事件，并確定滿足題意基本事件，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】甲、乙、丙三人排隊，有｛（甲，乙，丙）、（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（乙，甲，丙）,

（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）｝,共6個基本事件；

其中甲排在末位的有：｛（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）｝,共2個基本事件;

，甲排在末位的概率2=2=』.

63

故選：B.

9.用二分法研究函數(shù)y（x）=x3+2x—l的零點時，第一次計算，得/（0）<0,/（0.5）>0,第二次應計

算了（%）,則不等于（）

A.1B.-1C.0.25D.0.75

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二分法的定義計算可得；

【詳解】解：因為〃0）<0,/（0.5）>0,所以〃龍）在（0,0.5）內(nèi)存在零點，

根據(jù)二分法第二次應該計算/（%）,其中詈=0.25；

故選：C

3

10.設a=3°2,ZJ=0.2,C=log31,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】由對數(shù)式和指數(shù)式的運算性質(zhì)，判斷三個數(shù)的范圍，即可比較大小.

3

【詳解】a=3°-2>3°=l，0<Z?=0,2<0,2°=1.c=log31<log31=0,

所以。>>>c.

故選：A

11.《數(shù)術記遺》記述了積算（即籌算）、珠算、計數(shù)等共14種算法.某研究學習小組共7人，他們搜集整

理這14種算法的相關資料所花費的時間分別為83,84,80,69,82,81,81（單位:min）.則這組時間數(shù)

據(jù)的（）

A.極差為14B.方差為22C.平均數(shù)為80D.中位數(shù)為80

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)極差，平均數(shù)，方差公式計算即可判斷A、B、C選項，根據(jù)中位數(shù)定義即可判斷D選項.

【詳解】極差為樣本最大值與最小值之差：84-69=15,A錯誤；

83+84+80+69+82+81+81℃一

平均數(shù)為:-------------------------------------------=80,C正確;

12

方差為：s=g[(83-80/+(84-80)2+(80-80『+(69-80)+(82-80)2+(81-80/+(81-80『]=早，B

錯誤；

樣本由大到小排列：69,80,81,81,82,83,84,中位數(shù)81,D錯誤.

故選：C.

12.己知函數(shù)/(Hjy+lK+LxVl在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-1,1]B.(-1,2)C.[1,2)D.(l,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)區(qū)間端點的函數(shù)值大小關系求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)/(尤)在x<l時為單調(diào)遞增，即。+1>0,解得a>—1；

易知，二次函數(shù)丁=必一2x+4是開口向上且關于無=1對稱的拋物線，所以為單調(diào)遞增;

若滿足函數(shù)/(%)R上單調(diào)遞增,

則分段端點處的函數(shù)值需滿足(a+l)xl+l?12—2x1+4,如下圖所示:

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題4分，共12分，在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

13.若a>6>0,則以下結(jié)論正確的是()

A.ac1>bc2B.a2>ab>b1C.1g?>1gZ?D.—>—

ab

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可容易判斷和選擇.

【詳解】對A：因為a〉Z?>0,當°2=。時，ac2=bc2,故A錯誤；

對B：因為故片>應），且次>>/,故B正確；

對C：因為a〉b>0,y=lgx為（0,上冷）上的單調(diào)增函數(shù)，故lga>lgb,故C正確；

對D：因為a〉Z?>0,故一〈:，故D錯誤.

ab

故選：BC.

14.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件A="第一枚正面朝上"，事件3="第二枚正面朝上”，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.P（A）=1B.P（AB）=g

C.事件A與8互斥D.事件A與B相互獨立

【答案】AD

【解析】

【分析】采用列舉法，結(jié)合古典概型概率公式可知AB正確；根據(jù)互斥事件和獨立事件的定義可知CD正誤.

【詳解】對于AB,拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，

所有基本事件有｛正，正｝,｛正，反｝,｛反，正｝,｛反，反｝,

其中滿足事件A的有｛正，正｝,｛正，反｝兩種情況，

事件A和事件8同時發(fā)生的情況有且僅有｛正，正｝一種情況，

211

..,P（A）=-=-,P（AB）=~,A正確，B錯誤；

事件A與事件8可以同時發(fā)生，，事件A與事件B不互斥，C錯誤；

事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生，，事件A與事件8相互獨立，D正確.

故選：AD.

15.己知函數(shù)/（九）是定義在R上的偶函數(shù)，當尤W0時/'（%）=-V—2x,貝（）

A./（%）的最大值為1B.外”在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增

C.對的解集為[-2,2]D.當x>0時，f（x）=x2-2x

【答案】AC

【解析】

—九2—2x%(0

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義以及部分解析式可求得函數(shù)/(%)=,'-，畫出函數(shù)圖象即可求

[-X+2x,x>Q

得其值域及單調(diào)性，結(jié)合圖象進行不等式求解.

【詳解】根據(jù)題意可知當x>。時，—XWO,所以/(一x)=-(-x)2-2(-x)=-/+2x；

又因為/(九)是定義在R上的偶函數(shù)，所以〃x)=/(—x)=—/+2x；

——2xxK0

因此/"(x)=<o,易知選項D錯誤；

-x~+2x,x>0

畫出函數(shù)/(尤)的圖象如下圖所示：

由圖可知，/(尤)的最大值為1,即A正確；

易知/(X)在區(qū)間(L+8)上單調(diào)遞減，即B錯誤；

結(jié)合圖像可知〃力20的解集代表的是函數(shù)圖象在x軸上方部分對應的自變量的取值范圍，即xe[-2,2],

所以/(x)z0的解集為[-2,2],即C正確.

故選：AC

第n卷非選擇題

三、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分.

16「4=2”是“/_4=0”的條件(填“充分不必要”，“必要不充分”或者“充要”).

【答案】充分不必要

【解析】

【分析】解方程，得到爐-4=0的解，從而做出判斷.

【詳解】f-4=0的解為％=-2或2,所以尤=2=>%2=4，但f=4不能推出x=2,

故“x=2”是“X2-4=0”的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要

17.函數(shù)4v尸匹I的定義域為.

x-2

【答案】｛x|x21且XW2｝

【解析】

【分析】

由分母不能為。和根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0聯(lián)立不等式組，解得即可.

【詳解】由題意得：｛尤_2,0,解得％21且計2,所以定義域為｛乂且xw2｝.

故答案為：｛gl且”2｝

【點睛】本題主要考查了函數(shù)定義域的求解，屬于基礎題.

,1,1,1

18.log3-xlog2—xlog5—=-----------

oZJZ/

【答案】-18

【解析】

分析】根據(jù)對數(shù)運算法則和換底公式直接求解即可.

323

【詳解】log3—xlog,—xlog5-=10g32~xlog,5~xlog53~=-18x^-^x^^-x^^=-18.

38225527325In3In2In5

故答案為：-18.

19.下列事件：①物體在重力作用下會自由下落；②方程三一2彳+3=0有兩個不相等的實數(shù)根；③下周一

會下雨；④桂林生活廣播電視臺在某天某一節(jié)目播出時段內(nèi)收到觀眾信息回復次數(shù)大于30次.其中隨機事

件的序號為.

【答案】③④

【解析】

【分析】根據(jù)隨機事件的定義依次判斷各個選項即可.

【詳解】對于①，物理在重力作用下必然會自由下落，為必然事件，不是隨機事件，①錯誤；

對于②，方程爐-2尤+3=0有兩個不相等的實數(shù)根為不可能事件，不是隨機事件，②錯誤；

對于③，下周一可能會下雨，也可能不會下雨，則下周一會下雨可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，為隨機事件，

③正確；

對于④，收到觀眾信息回復次數(shù)大于30次可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，為隨機事件，④正確.

故答案為：③④.

20.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習俗之一，香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲的功效.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)一批

香囊中一種草藥甲的含量x（單位：克）與香囊功效y之間滿足y=15x-必，現(xiàn)從中隨機抽取了6個香

囊，得到香囊中草藥甲的含量的平均數(shù)為6克，香囊功效的平均數(shù)為15,則這6個香囊中草藥甲含量的標

準差為克.

【答案】V39

【解析】

【分析】利用標準差和均值的公式完成計算.

【詳解】設抽取的6個香囊中草藥甲的含量分別為匕克，香囊功效分別為，=1,2,,6.

草藥甲的含量的平均數(shù)為6克，香囊功效的平均數(shù)為15,即西+々+…+4=36,

-

%+y,H----1-y6=15（無]+尤2------1"*6）一（龍；+龍彳---1x；）=90,

則X；+芯+…+其=450,則這6個香囊中草藥甲含量的方差

6）+（9—6）+,—F（4一6）-]=（[（x；+x；+—F#）—12（X]+々+,—F）+6x36J

=（（450-12x36+6x36）=39,

所以這6個香囊中草藥甲含量的標準差為如克.

故答案為：V39.

四、解答題：本題共7小題，共70分，每小題10分，解答應給出文字說明、證明過程及演

算步驟.

21.已知集合4={x13Vx<7},3={x|4<x<10},求：

（DAnB；

（2）^（AuB）.

【答案】（1）AnB={x|4<x<7}；

（2）a（AuB）={x|x<3或10}.

【解析】

【分析】（1）由A與2,求出兩集合的交集即可；

（2）由A與8,求出兩集合的并集，找出并集的補集即可.

【小問1詳解】

解：因為A={尤|34尤<7},5={x|4<x<10},

所以AcB={x[4<x<7}；

【小問2詳解】

解：因為A={x[3<x<7},5={x[4<x<10},

所以={尤|3W尤<10},

所以a（Au3）={x|x<3或x210}.

22.甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目標的概率分別是工、：、現(xiàn)3人各射一次箭，求:

(1)3人都射中目標的概率；

(2)3人中恰有2人射中目標的概率.

3

【答案】(1)—

20

17

(2)——

40

【解析】

【分析】(1)利用獨立事件的概率公式計算即可；

(2)利用獨立事件的概率公式與對立事件的概率公式計算即可.

【小問1詳解】

記“甲、乙、丙射一次箭能射中目標”分別為事件A、為、4，

213

則尸(A)=丁尸(4)=］，尸(4)=“3人都射中目標的事件為A4A，

2133

其概率為P(A&A3)=P(A>P(4)-P(A)=W><5><Z=..

【小問2詳解】

設“3人中恰有2人射中目標”為事件B,

由(1)知_B=+44，

因此P(B)=p(A44)+P(A44)+P(A44)

=P(旬.(4).P(A)+P(“P區(qū)).P(A)+P(A>P(A>P(4)

。2、132。321。3、17

I5124512)45214J40

17

所以3人中恰有2人射中目標的概率為一.

40

23.已知函數(shù)“力=土上（》70）.

X

（1）判斷函數(shù)/（X）奇偶性，并說明理由;

（2）判斷函數(shù)/（%）在［1,+8）上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義說明理由.

【答案】（1）/（%）奇函數(shù)，理由見解析

（2）/（力在［1,+8）上單調(diào)遞增，理由見解析

【解析】

【分析】⑴易知函數(shù)/（司的定義域關于原點對稱，且滿足/（—X）=—/（%）,所以/（可為奇函數(shù)；⑵

根據(jù)單調(diào)性定義按照取值、作差、變形、定號、得結(jié)論等步驟證明即可.

【小問1詳解】

函數(shù)/（%）為奇函數(shù)，證明如下：

函數(shù)的定義域為｛中A。｝,關于原點對稱，

滿足奇函數(shù)定義;

—X—X

所以/（九）為奇函數(shù).

【小問2詳解】

/（九）在［L+8）上單調(diào)遞增，理由如下:

在[1,+8)上任取X]<々，

則a—"'.%—I)

石x2x1x2

因為1?須＜%2，所以再入2〉1，玉一元2＜0

故(百一%)(中2—1)<0,即/&)_/(%)<()

所以/（石）＜/伍），所以/（九）在［L+8）上單調(diào)遞增.

24.某市為了了解中學生課外閱讀情況，隨機抽取了1000名高一學生，并獲得了他們一周課外閱讀時間

（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表：

組號分組頻數(shù)頻率

1[0,5)500.05

2[5,10)a0.35

3[10,15)300b

4[15,20)2000.2

5[20,25]1000.1

合計10001

*

0.08——

0.071

0.061

0.05''1

0.04■

______

0.03

0.02?

0.01

時間.

051015202530

（1）求a,b的值，并作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（用陰影涂黑）;

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；

（3）現(xiàn)從第4,5組中用按比例分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中任意抽取2人進行調(diào)研《紅樓

夢》的閱讀情況，求抽取的2人中至少有一人是5組的概率.

3

【答案】（1）a=350,b=0.30,直方圖見解析；（2）平均數(shù)12.25,中位數(shù)11.67；（3）

【解析】

【分析】（1）由頻數(shù)和為1。00,頻率和為1,列方程組求出a,b的值，從而可補完頻率分布直方圖；

（2）利用加權平均數(shù)的公式求平均數(shù)，先判斷中位數(shù)的位置，再求解；

（3）利用列舉法求概率

"50+a+300+200+100=1000

【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方表，可得

0.05+0.35+b+0.20+0.10=1

解得a=350,Z?=0.30,頻率分布直方圖，如圖所示:

(2)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為：

元=2.5x0.05+7.5x0.35+12.5x0.3+17.5x0.2+22.5x0.1=12.25,由題圖可知，中位數(shù)應在10至

15之間，設中位數(shù)為羽

則0.05+0.35+0-10)x0.06=0.5,解得份11.67,故中位數(shù)的估計值為H.67

(3)從第4,5組抽取的人數(shù)分別為4,2,第4組的4人，設為第5組的2人，設為

BiB，

則從該6人中選出2人的樣本空間

。={外,，，共包含

A4,AA,AA,44,444,,44,,A34,A,A44,\B2,B{B,},

15個樣本點，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，符合古典概型.

記4="至少有一名學生是5組”，貝上都是第4組”=3則可={A4，AA，AA，44,44，A4},共

包含6個樣本點，所以P(A)=1—P(A)=1—]=尚=].

25.某市新建一片園區(qū)種植鮮花供市民游賞，據(jù)調(diào)查，花期為30天，園區(qū)從某月1日至30日開放，每天

Q

的旅游人數(shù)/(%)與第X天近似地滿足/(x)=8+—(千人)，且游客人均消費g(x)近似地滿足

g(x)=143-|%-22|(元)，1<x<30,xeN,.

(1)求該園區(qū)第無天的旅游收入P(x)(單位：千元)的表達式；

(2)求該園區(qū)第幾天的旅游收入最低，并求出最低收入.

8x+—+976,l<x<22

X

【答案】⑴P(x)=<，XGN*

1320

-8x+^^+1312,22<x<30

x

(2)第30天收入最低，為H16千元

【解析】

【分析】⑴p(x)=/(x)-g(x),分類討論去絕對值得分段函數(shù)表達式;

(2)分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、基本不等式求分段函數(shù)最小值；

【小問1詳解】

P(x)=/(x)-g(x)=l8+|j(143-|x-22|)

8x+—+976,l<x<22

X*

1320'xeN;

-8x+-^+1312,22<x<30

x

【小問2詳解】

+976>2j8x--+976=1152,當且僅當8%=緲

當1WXW22時，P(x)=8x+—即％=11時

XXX

取等號，此時P(x)取得最小值為1152(千元);

1320

當22<xW30時，P(x)=-8x+——+1312是減函數(shù)，貝ij

1320

p(x)min=P(30)=-8x30+^^+1312=1116(千元)，

V1116<1152,則該園區(qū)第30天的旅游收入最低，為1116千元.

26.^/(x)=x--+2(aeR).

(1)求不等式/(%)—/(%—1)>1的解集跖

(2)若函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上最小值為-a+口，求實數(shù)。的值；

4

(3)若對任意的正實數(shù)°,存在,使得〃(七)|2根，求實數(shù)根的最大值.

917

【答案】(1)答案見解析；(2)a=----或。=---；(3)一.

426

【解析】

【分析】(1)由條件將不等式/(%)—化簡為一^〉0,轉(zhuǎn)化為依(％-1)>0,再分情況討

論，可得答案.

(2)分情況求出函數(shù)/a)的最小值，由函數(shù)最小值為-"+口可得方程，得出答案.

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⑶由條件可得/(%)加，由函數(shù)的單調(diào)性有⑴卜，然后分情況

11mx2/(X)|/(Xo)L=max<

討論得出其最大值，可得答案..

【詳解】(1)V/(x)=x--+2(aeR),

X

f(%)—f(^x—1)>1,Bpx----1-2—?x—1—-----+2|>1,也即--------〉0

xIx-1)x(x-l)

所以av(x-l)>0

若a=0,該不等式無解；

若a>0,x(x-l)>。，所以x〉l或x<0；

若%(%-1)<0,所以0<x<l

綜上，。=0,該不等式解集為0；

a>Q,該不等式解集為(—8,。)。(1,+g)；

a<0,該不等式解集為(0,1).

(2)若a=0,/(%)=%+2在(0,+8)單調(diào)遞增，故"X)在(0,+8)上無最小值；

若a>0,/(x)=x—0+2在(0,+s)單調(diào)遞增，故/a)在(0,+8)上無最小值；

X

若〃<0,f(x)=x+[—)+2>2^J—a+2,

所以2j—〃+2=—ciH—,解得?！騛——

442

9、1

所以，a=—或〃=—

42

(3)因為對任意的正實數(shù)。，存在不￡pl,使得根，所以|/(Xo)Lx力帆

當a>0時，/(x)=x-@+2在i1上單調(diào)遞增.

%1_2_

所以■1_2a=/^―^<f(x)</(1)=3-0

所以『(Xo)Lax=maxT]￡|,，⑴|

當出S即萬一2"=p—4，由〃>0,解得〃二不

當0<1時，/［Ijpl/wb即/(/)L=7⑴口3一4上機,所以加［

當a〉/時，即［"5)［=/g)=g—2a上加，所以mW：

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所以加<—,所以實數(shù)機的最大值為一.

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【點睛】關鍵點睛：本題考查解不等式，根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)和解決存在問題，解答本題的關鍵是由題意

可得I/(尤。)lmx?機，求出其最大值可得|/(5)L=,I),|/(1)|,然后分情況得出其最大

值，屬于中檔題.

27.已知函數(shù)/(x)=H+log9(9￡+l),化€火)是偶函數(shù).

(1)求左的值;

(2)若/(x)—Qx+“〉0對于任意x恒成立，求6的取值范圍；

⑶若函數(shù)"x)=9”、咤+2加3+1,*40,1唱8］，