一次方程（組）及其應(yīng)用-2022年中考數(shù)學(xué)課本知識(shí)梳理（全國(guó)通用）(解析版)

專題05一次方程（組）及其應(yīng)用

/一----------√

中考分折一

V.I、'

一次方程（組）及其應(yīng)用是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識(shí)，中考中多以選擇題、填空題和簡(jiǎn)單的解方程及

其應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能以及基本的數(shù)學(xué)思想方法.

1.了解等式的相關(guān)概念及性質(zhì).

2.了解一次方程（組）的相關(guān)概念.

3.了解方程的解，學(xué)會(huì)解一元方程（組）的方法.

4.學(xué)會(huì)列方程解應(yīng)用題

[?要考廠I

一、一元一次方程

1.方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2.方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

3.等式的性質(zhì)

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式.

4.一元一次方程

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程

方+8=O（X為未矢口數(shù)，a。0）叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)X的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng).

5.一元一次方程解法的一般步驟

整理方程——去分母——去括號(hào)——移項(xiàng)——合并同類項(xiàng)——系數(shù)化為1―（檢驗(yàn)方程的解）.

一、單選題

1.（2021.湖南株洲.中考真題）方程]-l=2的解是（）

A.X=2B.x=3C.x=5D.x=6

【答案】D

【分析】

通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1三個(gè)步驟即可完成求解.

【解析】

解：∣T=2,

x=6；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元一次方程，解決本題的關(guān)鍵是牢記解一元一次方程的基本步驟，即“去分母、去括號(hào)、

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1”，并能靈活運(yùn)用；本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生的基本功.

2.（2021?浙江溫州?中考真題）解方程-2（2x+l）=x,以下去括號(hào)正確的是（）

A.—4x+1=-XB.-4x+2=—xC.-4x—I=XD.-4x—2=x

【答案】D

【分析】

去括號(hào)得法則：括號(hào)前面是正因數(shù)，去掉括號(hào)和正號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都不變號(hào)；括號(hào)前面是負(fù)因數(shù),

去掉括號(hào)和負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都變號(hào).

【解析】

解：-2（2x+l）=x

-4x-2=xf

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1,求出

解.去括號(hào)注意幾點(diǎn)：①不要漏乘括號(hào)里的每一項(xiàng)；②括號(hào)前面是負(fù)因數(shù)，去掉括號(hào)和負(fù)號(hào)，括號(hào)里

的每一項(xiàng)一定都變號(hào).

3.（2019?四川南充?中考真題）關(guān)于X的一元一次方程2√τ+%=4的解為x=l,則的值為（）

A.9B.8C.5D.4

【答案】C

【分析】

根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答即可.

【解析】

解：因?yàn)殛P(guān)于X的一元一次方程2x"2+m=4的解為x=l,

可得:a-2=1,2+m=4,

解得:a=3,m=2,

所以a+m=3+2=5,

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題考查一元一次方程的定義，關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答.

4.（2017?湖南永州?中考真題）x=l是關(guān)于X的方程2x-a=0的解，則a的值是（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】B

【解析】

試題解析：把x=l代入方程2x-a=0得2-a=0,解得a=2.

故選B

考點(diǎn)：一元一次方程的解.

5.（2017?浙江麗水?中考真題）若關(guān)于X的一元一次方程k,"+2=0的解是負(fù)數(shù)，則加的取值范圍是

A.ιn>2B.m>2C.m<2D.m<2

【答案】C

【解析】

試題分析：*?,程X-m+2=0的解是負(fù)數(shù)，.?.x=m-2<0,解得：m<2,故選C.

考點(diǎn)：解一元一次不等式；一元一次方程的解.

二、填空題

6.（2017?浙江金華?中考真題）若I=],則孚=_________.

b3b

【答案】

【分析】

根據(jù)等式性質(zhì)，在兩邊都加上1,則問題可解.

【解析】

解：根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊都加上1,即可得f+l=]+l,通分得字=：.

b3b3

故答案為：I

【點(diǎn)睛】

本題考查了等式的性質(zhì)和分式的加減法，解答關(guān)鍵是根據(jù)相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算.

7.(2021?湖南張家界?中考真題)已知方程2x-4=0,貝IJX=.

【答案】2

【分析】

直接移項(xiàng)求解?元?次方程的解.

【解析】

解：2x-4=0,

.?.2x=4,

解得：x=2,

故答案是：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是：掌握解一元一次方程的一般步驟.

Δ.一Y

8.(2021?重慶?中考真題)若關(guān)于X的方程三+。=4的解是χ=2,則α的值為

【答案】3

【分析】

將x=2代入已知方程列出關(guān)于”的方程，通過解該方程來求?的值即可.

【解析】

解：根據(jù)題意，知

解得α=3.

故答案是：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了?元?次方程的解的定義：使一元?次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程

的解.

9.(2020?湖北?中考真題)對(duì)于實(shí)數(shù)，4〃，定義運(yùn)算〃?*〃=(〃?+2)2-2〃.若2*o=4*(-3),則α=.

【答案】-13

【分析】

根據(jù)給出的新定義分別求出2*α與4*(-3)的值，根據(jù)2*"=4*(-3)得出關(guān)于。的一元一次方程，求解

即可.

【解析】

解：Vm*n=(m+2)2-2n,

：.2*α=(2+2)2-2a=16-2α,4*(-3)=(4+2)2-2x(-3)=42,

".?2*α=4*(-3),

Λ16-2?=42,解得α=T3,

故答案為：-13.

【點(diǎn)睛】

本題考查解一元一次方程、新定義下實(shí)數(shù)的運(yùn)算等內(nèi)容，理解題干中給出的新定義是解題的關(guān)鍵.

10.(2019?山東濟(jì)南?中考真題)代數(shù)式t?與代數(shù)式3-2x的和為4,則X=.

【答案】-1.

【分析】

根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到X的值.

【解析】

根據(jù)題意得：孝+3-2%=4,

去分母得：2x-l+9-6x=12,

移項(xiàng)合并得：-4x=4,

解得:X=-I>

故答案為-1.

【點(diǎn)睛】

此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

??.(2016?江蘇常州?中考真題)若代數(shù)式x-5的值與2x-l的值相等，貝IJX的值為.

【答案】-4.

【解析】

根據(jù)題意得：x-5=2x-1,

解得：X=-4,

故答案為：-4.

考點(diǎn)：解一元一次方程.

12.(2015?安徽?中考真題)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b=ab=c,有下列結(jié)論：

①若cRO,則一+丁=1；

ab

②若a=3,則b+c=9;

③若a=b=c,則abc=O;

④若a,b,c中只有兩個(gè)數(shù)相等，則a+b+c=8.

其中正確的是.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）

【答案】①③④

【解析】

試題分析:在a+b=ab的兩邊同時(shí)除以ab（ab=c≠O）即可得L+：=1,所以①正確;把a(bǔ)=3代入得3+b=3b=c,

ab

4Q

可得b=∣?,C=],所以b+c=6,故②錯(cuò)誤；把a(bǔ)=b=c代入得2C=C2=C,所以可得C=0,故③正確；當(dāng)

a=b時(shí)，由a+b=ab可得a=b=2,再代入可得c=4,所以a+b+c=8;當(dāng)a=c時(shí)，由c=a+b可得b=0,再代

入可得a=b=c=O,這與a、b、C中只有兩個(gè)數(shù)相等相矛盾，故a=c這種情況不存在；當(dāng)b=c時(shí)，情況同

a=c,故b=c這種情況也不存在，所以④正確.所以本題正確的是①③④.

考點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)；分類討論.

二、二元一次方程（組）

1.二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c（a≠0,

b≠0）.

2.二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解.

3.二元一次方程組

兩個(gè)（或兩個(gè)以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.

4.二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.

5.二元一次方程組的解法

①代入消元法；②加減消元法.

6.三元一次方程（組）

（1）三元一次方程

把含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫三元一次方程.

（2）三元一次方程組

由三個(gè)（或三個(gè)以上）一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.

一、單選題

f2x÷y=10

1.（2021?遼寧錦州?中考真題）二元一次方程組二的解是（）

Ix=2y

[x=2[x=l（x=4[x=2

A.<B.<C.<D.{

[y=l[y=2[y=21y=4

【答案】C

【分析】

方程組利用代入消元法求出解即可.

【解析】

儼∫2χ+y=ι°①

解：Ix=2y?'

把②代入①得：4y+y=10,

解得：y=2,

把y=2代入②得：X=A1

（

則方程組的解集為《X=一4一

[y=2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

3x+2y=k-↑工…tx=a

2.（2021?四川德陽?中考真題）關(guān)于X,y的方程組2x+3)L+l的解為1,若點(diǎn)尸（a,b）總在直線

y=b

y=x上方，那么R的取值范圍是（）

A.?>1B.k>-1C.k<]D.k<-1

【答案】B

【分析】

將/看作常數(shù)，解方程組得到X,y的值，根據(jù)尸在宜線上方可得到〃>〃，列出不等式求解即可.

【解析】

3x+2y=Zr-I,

解：解方程組2x+3y=3A+l得'

Y點(diǎn)P（a,6）總在直線y=x上方,

'.h>a,

解得4>-1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解二元一次方程組，一次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解本題的關(guān)鍵是將《看作常數(shù)，根據(jù)點(diǎn)在一次

函數(shù)上方列出不等式求解.

X+，=：’的解是（

3.（2021?江蘇無錫?中考真題）方程組)

X-y=3

X=2,X=3,X=4,X=L

A.B.C.D.

y=3.y=2.y=i?y=4.

【答案】C

【分析】

根據(jù)加減消元法，即可求解.

【解析】

x+y=5①

解:

X-y=3?，

①+②，得：2r=8,解得：x=4,

①-②，得：2y=2,解得：y=l,

x=4

，方程組的解為:

>,=1

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法，是解題的關(guān)鍵.

2x+"V=?ɑ?

C；一二小時(shí)，若將①-②可得()

{2x-3y=4②

A.-2y=-1B.-2y=lC.4y=1D.4y=-l

【答案】D

【分析】

根據(jù)加減消元法即可得.

【解析】

解：①-②得：2x+y-(2x-3y)=3-4,

BP4y=-l,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了加減消元法，熟練掌握加減消元法是解題關(guān)鍵.

5.(2021?青海?中考真題)已知。，b是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且“，b滿足j2α-31+5+(2a+3b-13)2=0,

則此等腰三角形的周長(zhǎng)為().

A.8B.6或8C.7D.7或8

【答案】D

【分析】

先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出。、b的值，再分α的值是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解.

【解析】

解：?：J24-32+5+(24+32-13)2=0,

∫2α-36+5=0

(20+3?-13=0

Q=2

解得

b=3

①2是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、3,能組成三角形，周長(zhǎng)=2+2+3=7;

②2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、3、3,能組成三角形，周長(zhǎng)=2+3+3=8,

所以該等腰三角形的周長(zhǎng)為7或8.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，絕對(duì)值與算術(shù)平方根的非負(fù)性，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0,則每一個(gè)算式

都等于。求出。、b的值是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷.

fx+y=2

6.（2021?天津?中考真題）方程組，的解是（）

[3x+y=Z4l

[x=0[x=lfx=2[x=3

A.?B.C.D.

[y=2U=I[y=-21y=-3

【答案】B

【分析】

直接利用加減消元法解該二元一次方程組即可.

【解析】

x+y-2-φ

'3x+y=4…②，

②-（D得：3x+y-x-y=2,即2x=2,

.*.%=1.

將χ=l代入①得：l+y=2,

,y=1.

[x=1

故原二元一次方程組的解為.

Iy=I

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查解二元一次方程組.掌握解二元一次方程組的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵.

a+2b=4

7.（2012?山東德州?中考真題）已知Q?,則a+b等于（）

3a+2b=6

Q

A.2B.-C.3D.1

3

【答案】C

【解析】

α+2?=4,①

3α+2?=8,②

由①+②得4a+4b=12,

Λa÷b=3,故選C.

8.（2020.黑龍江穆棱?中考真題）若I=:是二元一次方程組?5""+"v=5的解，則χ+2y的算術(shù)平方根為

也=1[ax-by=2

（）

A.3B.3,—3C.y∣3D.G，—>/3

【答案】C

【分析】

a=2

將，I代入二元?次方程組中解出X和y的值，再計(jì)算x+2y的算術(shù)平方根即可.

h=ι

【解析】

3,U

a=2-ax+by=5

解：將，"弋入二元一次方程,2中,

ax-by=2

得到：解這個(gè)關(guān)于X和y的二元一次方程組，

[2x-y=2

774

兩式相加，解元=M得，將X=《回代方程中，解得>=《，

?r7C415C

??x+2y=—F2×—=—=3,

555

.?.x+2y的算術(shù)平方根為有，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元一次方程組的解法，算術(shù)平方根的概念等，熟練掌握二元一次方程組的解法是解決本題的

關(guān)鍵.

二、填空題

[4χ+3y=-l

9.（2021?山東棗莊?中考真題）已知X,y滿足方程組C-。，則χ+y的值為______.

[2x+y=3

【答案】-2

【分析】

將方程組中的兩個(gè)方程相減即可得?

【解析】

J4x+3y=-l①

解：I?x≈×,

2x+y=α3②

由①一②得：2x+2y=-4,

則x+y=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解二元一次方程，熟練掌握方程組的解法是解題關(guān)鍵.

一—一{χ+2y=-2

10.(2021?廣東.中考真題)二元一次方程組CC的解為—.

?2x+y=2

【答案】F=2

【分析】

由加減消元法或代入消元法都可求解.

【解析】

卜+2y=-2①

幗［2x+y=2②,

由①式得：x=-2-2y,代入②式，

得：2(-2-2y)+y=2,

解得y=-2,

再將V=-2代入①式，

X-2?2-2,

解得X=2,

上2，

x=2

故填:

y=-2

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二元一次方程組的基本解法，本題屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單.

??.(2021?浙江金華?中考真題)已知卜’=2是方程3χ+2y=10的一個(gè)解，則,〃的值是____________.

[y=m

【答案】2

【分析】

把解代入方程,得6+2∕∕z=10,轉(zhuǎn)化為關(guān)于機(jī)的一元一次方程，求解即可.

【解析】

(X=2

V是方程3x+2y=10的一個(gè)解，

[y=m

.,.6+2∕n=10,

解得∕n=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，靈活運(yùn)用方程的解的定義，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求

解是解題的關(guān)鍵.

12.(2021?四川廣安?中考真題)若x、夕滿足尸-M=:，則代數(shù)式f一4/的值為_____.

[x+2y=3

【答案】-6

【分析】

根據(jù)方程組中x+2y和x-2y的值，將代數(shù)式利用平方差公式分解，再代入計(jì)算即可.

【解析】

解：''x-1y=-1,x+2y=3,

.?.f-4y2=(χ+2y)(x-2y)=3x(-2)=-6,

故答案為：-6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查方程組的解及代數(shù)式的求值，觀察待求代數(shù)式的特點(diǎn)與方程組中兩方程的聯(lián)系是解題關(guān)鍵.

χ一]

一。是方程如+y=2的解，則α的值為______________.

{y=3

【答案】-1

【分析】

根據(jù)方程解的定義，將Al,產(chǎn)3代入方程αr+y=2,即可求得。的值.

【解析】

解：根據(jù)題意，將x=l,尸3代入方程Or+y=2,

得：a+3=2,

解得：α=-l,

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并會(huì)把％,y的值代入原方程驗(yàn)證二元

一次方程的解.

fx+y=16,

14.（2020?山東泰安?中考真題）方程組<:力的解是___________.

[5x+3y=72

rΛA?ea?jx=12

【答案】\?

[y=4

【分析】

利用加減法解方程即可.

【解析】

[χ+y=i6①

■：（5x+3y=72②

①x3得3x+3y=48③，

②-③得2x=24,

解得Λ=12,

把X=12代入①得12+y=l6,

y=4,

[x=?2

.?.原方程組的解為《”.

Iy=4

IX=I2

故答案為：,

[y=4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二元一次方程組的解法中的加減消元法，解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目特點(diǎn)合理消元.

15.（2021.浙江嘉興.中考真題）已知二元一次方程x+3y=14,請(qǐng)寫出該方程的一組整數(shù)解

fx=2

【答案】?λ（答案不唯一）

Iy=4

【分析】

根據(jù)題意確定出方程的整數(shù)解即可.

【解析】

x=2

{y=4

（x=2

故答案為：（答案不唯一）

[y=Zl4

【點(diǎn)睛】

此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

fx+2y=k—1

16.（2019,四川眉山?中考真題）知關(guān)于x、y的方程組C-G的解滿足x+γ=5,則%的值為

[2x+y=5Z+4ZI”

【答案】2

【分析】

把兩個(gè)方程相加，得x+尸2A+1,結(jié)合χ+尸5,即可求解.

【解析】

Jχ+2y=^-ι①

解：[2x+y=54+4②，

①+②，得x+y=2k+1,

又?."+y=5,

Λ2?+l=5,

解得:k=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解含參數(shù)的二元一次方程，掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵.

f2x+3y=5。

17.（2021?四川遂寧?中考真題）已知關(guān)于X,y的二元一次方程組《彳C。滿足則4的取值

[x+4y=2α+3

范圍是.

【答案】a>l?

【分析】

根據(jù)題目中方程組的的特點(diǎn)，將兩個(gè)方程作差，即可用含。的代數(shù)式表示出x-y,再根據(jù)χ-y>o,即可

求得“的取值范圍，本題得以解決.

【解析】

J2x+3y=5α①

解：[x+4y=2α+3②

①-②，得X-y=3α-3

x-y>0

?*?3cι—3>0,

解得“>1，

故答案為：?>1.

【點(diǎn)睛】

本題考查解一元一次不等式，二元一次方程組的解，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

f2x+y=2α+l

18.（2020?遼寧朝陽?中考真題）已知關(guān)于x、y的方程√V的解滿足x+y=-3,則”的值為

[x+2y=c5-50

【答案】5

【分析】

①+②可得x+y=2-a,然后列出關(guān)于a的方程求解即可.

【解析】

f2x+y=2a+lφ

肝?[x+2y=5-5”②

①+②，得

3x+3y=6-3a,

Λx+y=2-a,

?.?x+y=-3,

.*.2-a=-3,

?'a=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元一次方程組的特殊解法，在求二元一次方程組中兩個(gè)未知數(shù)的和或差的時(shí)候，有時(shí)可以采

用把兩個(gè)方程直接相加或相減的方法，而不必求出兩個(gè)未知數(shù)的具體值.

三、一次方程(組)的應(yīng)用

要點(diǎn)一、列方程解應(yīng)用題解題思路：

L讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問題”

仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減

少，配套”，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系填

入代數(shù)式，得到方程.

2.畫圖分析法：多用于“行程問題”

利用圖形分析數(shù)學(xué)問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，仔細(xì)讀題，依照題意畫出有關(guān)圖形，使圖形

各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量

與量之間的關(guān)系(可把未知數(shù)看作已知量)，填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ).

要點(diǎn)二、列方程解應(yīng)用題的常用公式：

速度=黑∏L.`-1距離

1.行程問題：距離=速度X時(shí)間時(shí)間=贏；

時(shí)間

工效=等工時(shí)=當(dāng)粵

2.工程問題：工作量=工效X工時(shí)

工時(shí)工效

L?部分4株部分

3.比率問題：部分=全體X比率比k率=而全體二百；

4.順逆流問題：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；

5.商品價(jià)格問題：售價(jià)=定價(jià)?折，利潤(rùn)=售價(jià)-成本，利潤(rùn)率=色空譬XIoO%；

10成本

6.周長(zhǎng)、面積、體積問題：CiM∣=2πR,S冏=πR?,C氏方形=2(a+b),S氏方形=ab,C正方形=4a,

22

S正方形=a2，S環(huán)形=TI(R2-F),V^Λ?=abh,V正方體=a?,Vg3?=πRh,V圓錐二］πRh.

3

一、單選題

I.（2021.黑龍江牡丹江.中考真題）已知某商店有兩件進(jìn)價(jià)不同的運(yùn)動(dòng)衫都賣了160元，其中一件盈利60%,

另一件虧損20%,在這次買賣中這家商店（）

A.不盈不虧B.盈利20元C.盈利10元D.虧損20元

【答案】B

【分析】

設(shè)分別設(shè)兩件運(yùn)動(dòng)衫的進(jìn)價(jià)分別是。元，b元，根據(jù)售價(jià)=成本±利潤(rùn)，列方程求得兩件運(yùn)動(dòng)杉的進(jìn)價(jià)，再計(jì)

算虧盈.

【解析】

解：設(shè)盈利60%的運(yùn)動(dòng)衫的進(jìn)價(jià)是。元，虧本20%的運(yùn)動(dòng)衫的進(jìn)價(jià)是匕元.則有

（1）a（1+60%）=160,

α=100;

（2）b（1-20%）=160,

6=200.

總售價(jià)是160+160=320（元），總進(jìn)價(jià)是100+200=300（元），

320-300=20（元），

所以這次買賣中商家賺了20元.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查一元一次方程的應(yīng)用.培養(yǎng)學(xué)生的理解題意的能力，關(guān)鍵是根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，求出兩個(gè)商品的

進(jìn)價(jià)，從而得解.

2.（2021.四川綿陽.中考真題）近年來，網(wǎng)購(gòu)的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活.某快遞分派站現(xiàn)有包裹若干件

需快遞員派送，若每個(gè)快遞員派送10件，還剩6件；若每個(gè)快遞員派送12件，還差6件，那么該分派站

現(xiàn)有包裹（）

A.60件B.66件C.68件D.72件

【答案】B

【分析】

設(shè)該分派站有X個(gè)快遞員，根據(jù)“若每個(gè)快遞員派送10件，還剩6件；若每個(gè)快遞員派送12件，還差6件”,

即可得出關(guān)于X的一元一次方程，解之即可得出X的值，再將其代入（IOX+6）中即可求出該分派站現(xiàn)有包

裹數(shù).

【解析】

解：設(shè)該分派站有X個(gè)快遞員，

依題意得：10x+6=12χ-6,

解得：x=6,

Λ10x+6=10×6+6=66,

即該分派站現(xiàn)有包裹66件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?吉林?中考真題）古埃及人的“紙草書''中記載了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：一個(gè)數(shù)，它的三分之二，它的一半,

它的七分之一，它的全部，加起來總共是33,若設(shè)這個(gè)數(shù)是X,則所列方程為（）

21?211

Aa.-XH—x+x=33B.-X÷—X÷—X=33

37327

211211

C.-XH—XH—x+X=33D.X÷—X4—X—X=33

327372

【答案】C

【分析】

211

根據(jù)題意列方程針+]x+,x+x=33.

【解析】

211

解：由題意可得；X+?+-x+x=33.

327

故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?湖北武漢?中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人

出七，不足四，問人數(shù)，物價(jià)各幾何？”意思是現(xiàn)有幾個(gè)人共買一件物品，每人出8錢.多出3錢；每人出

7錢，差4錢.向人數(shù)，物價(jià)各是多少？若設(shè)共有X人，物價(jià)是y錢，則下列方程正確的是()

A.8(x-3)=7(x+4)B.8x+3=7x-4

y-3_y+4y+3_y-4

Vr-?一L√.一

8787

【答案】D

【分析】

設(shè)共有X人，根據(jù)物價(jià)不變列方程：設(shè)物價(jià)是y錢，根據(jù)人數(shù)不變即可列出一元一次方程；山此即可確定正

確答案

【解析】

解：設(shè)共有X人，則有8x-3=7x+4

設(shè)物價(jià)是y錢，則根據(jù)可得：

)'+3_>'-4

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了列一元一次方程，正確審題、發(fā)現(xiàn)隱臧的等量關(guān)系成為解答本題的關(guān)鍵.

5.(2020?四川自貢?中考真題)如果一個(gè)角的度數(shù)比它的補(bǔ)角的度數(shù)2倍多30。，那么這個(gè)角的度數(shù)是()

A.50oB.70oC.130oD.160°

【答案】C

【分析】

根據(jù)互為補(bǔ)角的定義結(jié)合已知條件列方程求解即可.

【解析】

解：設(shè)這個(gè)角是x。，則它的補(bǔ)角是：(180。-乂。)，

根據(jù)題意，得：

X=2(180-x)+30,

解得：X=130,

即這個(gè)角的度數(shù)為130。.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了補(bǔ)角的知識(shí)，熟悉相關(guān)性質(zhì)定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?湖北荊門.中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)古典名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度

之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余

4.5尺；將繩子對(duì)折再量，木條還剩余1尺；問長(zhǎng)木多少尺？如果設(shè)木條長(zhǎng)為X尺，繩子長(zhǎng)為y尺，則下面

所列方程組正確的是（）

γ=x+4.5y=x-4.5

A.<1B.〈1

-y=x-l1—V=χ+l1

[2，12〉

γ=x+4.5y=x-4.5

C.D.

2y=x-↑2y=x+l

【答案】?

【分析】

根據(jù)“一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺“可知：繩子=木條+45再根據(jù)“將繩子對(duì)折再量木條，木條

剩余1尺”可知：T繩子=木條T，據(jù)此列出二元一次方程組即可.

【解析】

解：設(shè)木條長(zhǎng)X尺，繩子長(zhǎng)y尺,

那么可列方程組為:

y=x+4.5

1,

-V=X-I

,2

故選：A.

【點(diǎn)

本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程

組.

7.（2021?貴州畢節(jié),中考真題）九章算術(shù)中記載了一個(gè)問題，大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢.若甲得到

2

乙所有錢的一半，則甲共有錢50.若乙得到甲所有錢的：，則乙也共有錢50.甲、乙兩人各帶了多少錢?

設(shè)甲帶了錢X,乙?guī)Я隋Xy,依題意，下面所列方程組正確的是（）

L+y=50

x+-y=50

22

A.B.V

22U

y%+J=50x+-y=j

3

-=50—x+y=50

Λ+J2

x+-y=50-x+y=50

3'3

【答案】A

【分析】

2

根據(jù)題意可得，甲的錢+乙的錢的一半=50,乙的錢+甲所有錢的§=50,據(jù)此列方程組即可.

【解析】

x+1y=50

2

甲需帶錢X,乙?guī)уXy,根據(jù)題意，得2.故選:A?

—x+y=50

【點(diǎn)睛】

本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答此類的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等

量關(guān)系，列出方程組.

8.（2021?黑龍江?中考真題）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，某校開展了以迎冬奧為主題的演講活動(dòng)，計(jì)劃拿

出180元錢全部用于購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品（兩種獎(jiǎng)品都購(gòu)買），獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)突出的學(xué)生，已知甲種獎(jiǎng)品每件

15元，乙種獎(jiǎng)品每件10元，則購(gòu)買方案有（）

A.5種B.6種C.7種D.8種

【答案】A

【分析】

設(shè)購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品為X件，乙種獎(jiǎng)品為y件，由題意可得15x+10y=180,進(jìn)而求解即可.

【解析】

解：設(shè)購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品為X件，乙種獎(jiǎng)品為y件，由題意可得：

15x+10y=180,

y=18—二X,

2

?.?χ>0,y>0,且小y都為正整數(shù)，

當(dāng)x=2時(shí)，則y=15；

當(dāng)x=4時(shí)，則y=12；

當(dāng)x=6時(shí)，則y=9；

當(dāng)x=8時(shí)，則y=6；

當(dāng)X=IO時(shí)，則y=3；

，購(gòu)買方案有5種;

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?江蘇蘇州?中考真題）某公司上半年生產(chǎn)甲，乙兩種型號(hào)的無人機(jī)若干架.已知甲種型號(hào)無人機(jī)架

數(shù)比總架數(shù)的一半多11架，乙種型號(hào)無人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的三分之一少2架.設(shè)甲種型號(hào)無人機(jī)龍架，乙

種型號(hào)無人機(jī)y架.根據(jù)題意可列出的方程組是）

χ=*+y)τι,χ=](χ+y)+”?

A.<B.

1,?c1/、C

y=∕(χ+y)+2y=∕(χ+y)-2

x=；(x+y)_]i，X=T(X+),)+11,

C.〈D.

1,、C

y=3(χ+y)+2y=(α+y)-2

【答案】D

【分析】

分析題意，找到兩個(gè)等量關(guān)系，分別列出方程，聯(lián)立即可.

【解析】

設(shè)甲種型號(hào)無人機(jī)X架，乙種型號(hào)無人機(jī)〉架

甲種型號(hào)無人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的一半多11架,

ΛX=?（?+y）+l1

??,乙種型號(hào)無人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的三分之一少2架

.?.y=g（x+y）-2

χ=*+y)+n

聯(lián)立可得：

1`C

y=1(zχ+y)-2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查實(shí)際問題與二元一次方程組.關(guān)鍵在于找到題中所對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系式.

10.（2021?新疆.中考真題）某校舉行籃球賽，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分.八

年級(jí)一班在16場(chǎng)比賽中得26分.設(shè)該班勝X場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng)，則根據(jù)題意，下列方程組中正確的是（）

x+y=26x+y=26x+y=16x+y=16

x+2y=162x+y=16x+2y=262九+y=26

【答案】D

【分析】

總共有16場(chǎng)比賽,則x+y=16,得分為26分，則2χ+y=26,由此判斷即可.

【解析】

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查列二元一次方程組，理解題意，理清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

二、填空題

11.（2021.遼寧大連.中考真題）我國(guó)古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩(shī)：“林下牧童鬧如簇，

不知人數(shù)不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齊足''其大意是：“牧童們?cè)跇湎履弥窀透吲d地玩耍，不知與

多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若設(shè)有牧童X人，根據(jù)題意，可列方程為.

【答案】6x+14=8x

【分析】

設(shè)有牧童X人，根據(jù)“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完“，竹竿的總數(shù)不變，列出方程，即可.

【解析】

解：設(shè)有牧童無人，

根據(jù)題意得：6x+14=8x,

故答案是：6x+14=8x.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?山東棗莊?中考真題）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國(guó)古代的《洛書》中記教了最早的幻方——九

宮圖.將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎行以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和

都是15,則，"的值為.

【答案】1

【分析】

如圖（見解析），先根據(jù)“每一橫行、兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都是15”求出圖中①和②表示的數(shù)，再根據(jù)

“每一豎行上的數(shù)字之和都是15”建立方程，解方程即可得.

【解析】

解：如圖，由題意，圖中①表示的數(shù)是15-7-2=6,

圖中②表示的數(shù)是15—2-5=8,

則6+m+8=15,

解得m=l,

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確求出圖中①和②所表示的數(shù)是解題關(guān)鍵.

13.（2021.湖北天門.中考真題）我國(guó)明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：一支竿子一條索，

索比竿子長(zhǎng)一托，對(duì)折索子來量竿，卻比竿子短一托.如果1托為5尺，那么索長(zhǎng)為尺.（其大意

為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，如果用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)折后再去量竿，就比竿

短5尺，則繩索長(zhǎng)幾尺.）

【答案】20

【分析】

設(shè)繩索長(zhǎng)X尺，根據(jù)兩種量竿的方法建立方程，解方程即可得.

【解析】

解：設(shè)繩索長(zhǎng)X尺，

Y

由題意得:x-5=→5,

解得X=20,

即繩索長(zhǎng)20尺,

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確建立方程是解題關(guān)鍵.

14.（2021?黑龍江大慶?中考真題）某酒店客房都有三人間普通客房，雙人間普通客房，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：三人

間150元/間，雙人間140元/間.為吸引游客，酒店實(shí)行團(tuán)體入住五折優(yōu)惠措施，一個(gè)46人的旅游團(tuán)，優(yōu)

惠期間到該酒店入住，住了一些三人間普通客房和雙人間普通客房，若每間客房正好住滿，且一天共花去

住宿費(fèi)1310元，則該旅游團(tuán)住了三人間普通客房和雙人間普通客房共間；

【答案】18.

【分析】

根據(jù)客房數(shù)X相應(yīng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)=1310元列出方程并解答.

【解析】

解：設(shè)住了三人間普通客房X間，則住了兩人間普通客房空盧間，由題意，得：

2

46-3r

150×0.5x+l40×0.5X空』=1310,

2

解得：x=10,

所以，這個(gè)旅游團(tuán)住了三人間普通客房10間，住了兩人間普通客房8間，共18間.

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意，找出合適的等量關(guān)系，利用已知得出等式方程是解題關(guān)鍵.

15.（2021?四川綿陽?中考真題）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗.某商場(chǎng)從6