2023-2024學(xué)年天津市河西區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市河西區(qū)高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.觀察數(shù)列ι,",()?,?(),的特點(diǎn)，則括號(hào)中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為()

1111

?-寸存b?二存

CllCll

c?兌Fd?甲存

【正確答案】c

,1I_[1_1

【分析】將數(shù)列中的每個(gè)項(xiàng)進(jìn)行改寫(xiě)為1=(2χiτ∕?=(2x27)2、*=(2χ4-l)2、

I1

9T=(2×5-1)2,由此可得出兩個(gè)括號(hào)內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)?

]1_]1_]1_[

【詳解】因?yàn)?/p>

I=(2×1-1)2'32^(2×2-l)2'72^(2×4-l)2'92^(2×5-l)2,

/、I

所以，該數(shù)列的第〃(“wN?)項(xiàng)為，

因此，第一個(gè)括號(hào)內(nèi)填入的數(shù)為(2X3T)2=9,

11

第二個(gè)括號(hào)內(nèi)填入的數(shù)為(2>6_爐=于，

故選：C.

2.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=*+3,則在時(shí)間(3,3+加)內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的位移增量等于()

79?

A.6Δ∕÷(Δ∕)*^B.6÷Δ/H-----C.3Δ∕÷(?Z)~D.9+Δ/

Z

【正確答案】A

根據(jù)平均變化率的定義計(jì)算.

【詳解】位移增量=s(3+4)-s(3)=(3+Δ∕)2+3-(32+3)=6Δ∕+(At)2.

故選：A.

3.準(zhǔn)線方程為x=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.∕=8χB.y2=-8xC.x2=SyD.x2?-8γ

【正確答案】B

【分析】結(jié)合拋物線的定義求得正確答案.

【詳解】由于拋物線的準(zhǔn)線方程是x=2,

所以拋物線的開(kāi)口向左，設(shè)拋物線的方程為丁=-2px(p>0),

則5=2,2p=8,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=-8x.

故選：B

4.已知數(shù)列｛αzt｝滿足q=0,%=S卡;(“wN*)

則。2022=()

D.@

A.0B.-√3C.√3

3

【正確答案】B

【分析】寫(xiě)出數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)，可得出數(shù)列｛/｝為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可求得陽(yáng)期

的值.

_上+a,

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝滿足("wN*),則生='

0=0,αn+,^T≡√χ

?J3+a12?∣3H?/?+α3

%=----L=—7=-√3，%=----^r~=O，

l-√3t721-3I-島3

-

以此類(lèi)推可知，4+3=""(〃WN*),因此，O2022=Λ3X673+3=?=V5-

故選：B.

5.已知實(shí)數(shù)列-1、X、y、Z、_2成等比數(shù)列，則型=()

A.2近B.±4C.-2√2D.±2血

【正確答案】C

【分析】求出y的值，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列-1、X、八z、—2的公比為q(qwθ),則y=-lxd<0,

由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得V=(-1)x(-2)=2,所以，>=_及

因此，xyz=)；=卜>∕5j=-2?∣2.

故選：C.

6.設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線的焦距為16,且雙曲線上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)

的距離的差的絕對(duì)值等于6,雙曲線的方程為（）

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意列式求解“力,c,即可得結(jié)果.

r22

【詳解】；雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，設(shè)雙曲線的方程為=-當(dāng)v=1,且

ab

222

c=a+h,a>0,h>0,c>0f

c2=a2+b20=3

由題意可得2C=16解得人=后,

?2a=6c=8

.??雙曲線的方程為Y-亡=1.

955

故選：A.

7.如圖，直線/和圓C,當(dāng)/從/o開(kāi)始在平面上繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)到（轉(zhuǎn)到角不

超過(guò)90。）時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間/的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖像大致是

C.D.

【正確答案】D

【分析】由題意可知I：S變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”，據(jù)此確定函

數(shù)的大致圖像即可.

【詳解】觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”,

對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知。符合要求.

故選D.

本題主要考查實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖像，函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能

力和計(jì)算求解能力.

Sin2x

8.函數(shù)y=-^的導(dǎo)數(shù)為()

cos2xsin2x,2cos2xsin2x

A.y=B.y=-7=----------=

?[x2x?∕x1

2cosxsin2x,2cos2xsin2x

c.Z=D.y=-7=---------產(chǎn)

Vx2x?fx

【正確答案】B

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法可求得結(jié)果.

?in9γ

【詳解】因?yàn)椤?二鼠，則

i∏2χ2∕xcos2x-----∕=sin2%C?c

V%(sin2x)SslnZX_λ2√x_4xcos2x-sin2x

y,=-----------------——-

X2x?[x

故選：B.

9.設(shè)雙曲線3-∕=l(α>08>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,離心率為e,過(guò)工的直線與

雙曲線的右支交于A、8兩點(diǎn)，若KAB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則/=()

A.3+2√2B.5-2√2C.l+2√2D.4-2√2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)出焦半徑，利用余弦定理，可得答案.

【詳解】設(shè)IAEI=X,^?AFl?=x+2a,所以忸閭=20,也就是忸用=〃,

由余弦定理，可得忻/?=忸用2+忸用2—.忸用忸用COSNEB尼，

則4C2-y6a2+4a2-2×4a×2a×cos-,

二、填空題

10.設(shè)數(shù)列｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，若4=5,&=17,則"=.

【正確答案】3

【分析】根據(jù)二F即可得解.

0—2

【詳解】因?yàn)閿?shù)列應(yīng)｝是公差為d的等差數(shù)列，且出=5,4=17,則“=與二等=寧=3.

6—24

故答案為.3

雙曲線/V

11.T=1的離心率為.

【正確答案】2

【詳解］a=l,?=√3.?.c=√α2+?2=2,e=-=2

a

12.在等比數(shù)列｛4｝中，%=1,4=血，則4=.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得.%=%/=Ix=4

故4.

13.若函數(shù)"x)=X-B,貝IJr⑴=.

【正確答案】2

【分析】利用常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(χ)=χ-j所以/'(χ)=l+1,

所以/⑴=1+；=2,

故2.

14.若函數(shù)y=H∏x上在點(diǎn)P處的切線平行于雙曲線Ud-E=I的漸近線，則點(diǎn)P的坐標(biāo)

4

是.

【正確答案】(e,e)或(et-3e-)

【分析】先求出雙曲線的漸近線方程為y=±2x,再對(duì)函數(shù)y=Hnx求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾

何意義，建立方程ln?+l=2或ln?+l=-2,從而求出吃,得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)尸(X因?yàn)閥=xhu,所以y'=lnx+l,

又雙曲線=所以雙曲線的漸近線方程為y=±2x,

4

因?yàn)楹瘮?shù)y=TM上在點(diǎn)尸處的切線平行于雙曲線c：f-e=1的漸近線，

4

所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，In?+1=2或?u0+1=-2,得到％=e或XO=e，

當(dāng)Xo=e時(shí)，y=elne=e,

333

當(dāng)a=e-3時(shí),γ=eIne=-3e^,從而得到P(e,e)或「仁?-3e”,

故(e,e)或(eT,-3e-3)

15.已知等比數(shù)列{%},α,>4=1,則使不等式(4-L+a-,--++a”-')*。成

IaJIaz)Ian)

立的最大自然數(shù)量為

【正確答案】5

解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

21

由R>a3=1得ra?q=1f解得αι=f，且夕<?r

q

所以(a?---)÷(。2--^^)÷(^3÷-)+...+(Qn----)

0102。3an

=0占3),

IFq2g”-3

因?yàn)間<l,所以上￡1>0,

1-g

11,

只需/N°=>4-W?1="W5,

故答案為5.

三、解答題

16.數(shù)列｛《,｝滿足4=1,%=g4ι+l("≥2).

⑴若H=4-2,求證:｛%｝為等比數(shù)列;

(2)求｛%｝的通項(xiàng)公式.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵4=2一擊

【分析】(1)由耙=gb“T證得他｝為等比數(shù)列.

(2)先求得口,然后求得凡.

【詳解】(1)由于q=l,α,,=gα,τ+l("≥2),

所以α,,-2=g(α,ι-2)("≥2),

即2=g%("N2),

所以數(shù)列｛〃,｝是首項(xiàng)為4-2=-1,公比為g的等比數(shù)歹!].

(2)由(1)得包=-p^>

所以4-2=-擊，4zr=2一擊?

17.已知拋物線的方程為V=2pχ,它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線/-/=l(α>()力>())的一個(gè)焦點(diǎn)，且

拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為(∣,6),求拋物線與雙曲線的方程.

【正確答案】拋物線方程為V=4x,雙曲線的方程為4/一手=1

【分析】根據(jù)題意代入點(diǎn)(I，指)，即可求得拋物線的方程，進(jìn)而可得雙曲線的左焦點(diǎn)，根

據(jù)題意列式求解，即可得雙曲線方程.

【詳解】???拋物線過(guò)點(diǎn)弓,時(shí)，則2*=(@,解得P=2

故拋物線方程為V=4x,

可得拋物線的準(zhǔn)線為x=-l,則準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-L0)

即雙曲線的左焦點(diǎn)為(-1,0)，且雙曲線過(guò)點(diǎn)

C=Iα2=?

設(shè)雙曲線的半焦距為C>0,則可得3=/+^2,解得；

9?2=-

故雙曲線方程為1一§「即"-竽=L

44

18.已知數(shù)列｛a11｝的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足aι=列nan+ι=Sn+n(n+1).

(I)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an；

(II)設(shè)Tn為數(shù)列｛∣φ的前n項(xiàng)和，求Tn;

11

(III)設(shè)=，證明：h+b+h^++b<——

4%+4+2l2-32

〃+2

【正確答案】(I)an=2n(II)7；=4-帶(III)見(jiàn)試題解析

【詳解】試題分析：(I)由已知陷川=S,,+/5+l)當(dāng)〃22時(shí)(”—l)%=S,ι+"("-l),兩

式項(xiàng)減，得到ɑ一：-&=?.求出4=2,則數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

(∏)由題意可得祟=券，直接利用錯(cuò)位相減法即可求出7；=4-昔

(HI)(I),得，

利用裂項(xiàng)相消法即可得

a-b、+5+???+4」(」-----1_____i_++__1_________]

+j

s?T*161×22x2×3-3×4**∏(n÷l)~(w+iχ∏+2)

I________11

―32-16(n+iχn+2)*32

試題解析：(I)

na,^=S,,+71(H÷1).

由題意，當(dāng)〃22時(shí)，有｛‘π1+'√八

(n-l)all=Sll,l+n(n-l)

兩式相減得nall+,-(n-↑)an