2023年高考數(shù)學(xué)（新課標(biāo)全國Ⅱ卷）試題試卷【含答案解析】

2023年高考數(shù)學(xué)（新課標(biāo)全國II卷）真題試卷【含答案

解析】

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合4={0,-@,B={l,a-2,2a-2},若則a=（）.

2

A.2B.1C.1D.-1

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)

查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400

名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C：〉C盛種B.C/.CK種

c.c露嚼種D.C%C北種

4.若/(x)=(x+a)ln|^為偶函數(shù),

貝ija=().

A.-1B.0C.：D.1

5.已知橢圓C：￡+V=l的左、右焦點分別為K，F(xiàn)2,直線y=x+m與C交于4,B

3

兩點，若△耳A8面積是面積的2倍，則機=（）.

_2

A.-B.—C.--D.

333~3

6.已知函數(shù)f（x）=4e,-lnx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則。的最小值為().

-2

A.e2B.eC.e-1D.e

7.己知a為銳角，cosa=±^,則sin[=（）.

42

A3—A/5口—1+y[5p3—n-14-75

8844

8.記S〃為等比數(shù)列{叫的前〃項和，若§4=-5,S6=21S2,則S'=（).

A.120B.85C.-85D.-120

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAPS=120°,B4=2,點

C在底面圓周上，且二面角P—AC-0為45。，則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=141D.△PAC的面積為百

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線y=-石(x-l)過拋物線C：V=2px(p>0)的焦點，且與C

交于M,N兩點，/為C的準(zhǔn)線，則().

Q

A.p=2B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.為等腰三角形

11.若函數(shù)〃x)=alnx+§+N"0)既有極大值也有極小值，則().

A.hc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為a(0<a<l),

收到0的概率為1-￡；發(fā)送1時，收到0的概率為萬(0<力<1),收到1的概率為1一夕.

考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳

輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，

收到的信號即為譯碼：三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依

次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-0(1-02

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送I,則依次收到I,0,1的概率為"1-尸尸

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為夕(1-/『+(1-夕曠

D.當(dāng)0<a<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為。的概率大于采用單次傳

輸方案譯碼為0的概率

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a,1滿足卜一5卜卜+a=慳一方卜則卜卜.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高

為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

15.已知直線/：x—而y+l=0與C:(x-lp+y2=4交于A,8兩點，寫出滿足".ABC面

Q

積為的m的一個值____.

16.已知函數(shù)/(x)=sin(?yx+e),如圖A,8是直線y與曲線y=/(x)的兩個交點,

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟。

17.記A8C的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,0,c,已知A8C的面積為。為8c中

點，且AD=1.

7T

⑴若ZADC=—,求tan8；

(2)若6+。2=8,求b,c.

除北靠數(shù)記sJ分別為數(shù)列也｝，聞的前

18.已知｛%｝為等差數(shù)列，b?=

〃項和，§4=32,7^=16.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)證明：當(dāng)〃>5時，Tn>S?.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值。，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性,

小于或等于C,的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記

為P(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，

以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；

⑵設(shè)函數(shù)/(c)="?+q(c),當(dāng)c?95,105］時,求/?的解析式，并求/(c)在區(qū)間

［95,105］的最小值.

20.如圖，三棱錐A-8C3中，DA=DB=DC,BDLCD,ZAPS=ZAOC=60，E

為8c的點.

(1)證明：BCYDA-,

(2)點F滿足EF=D4，求二面角。一>45-尸的正弦值.

21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為(-2右,0),離心率為石.

(1)求C的方程；

(2)記C的左、右頂點分別為A，&,過點(~4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,

M在第二象限，直線"A與N&交于點P.證明:點?在定直線上.

22.(1)證明：當(dāng)0<x<l時，x-x2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)〃x)=cos奴-ln(l-嗎，若》=0是的極大值點，求〃的取值范圍.

1.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

［詳解］因為(l+3i)(3—i)=3+8i—3i2=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分a-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運算求解即可.

【詳解】因為4=8,則有：

若a—2=0,解得a=2,此時4={0,-2},3={1,0,2},不符合題意；

若2a—2=0,解得a=l,此時A={0,—1},B={l,-l,0},符合題意；

綜上所述：a=\.

故選：B.

3.D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60*粵=40人,高中部共抽取60'第=2(),

600600

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C北-c品種.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為f(x)為偶函數(shù)，則/(I)=/(-I),(1+?)In|=(-1+?)In3,解得a=0,

當(dāng)a=0時，y(x)=xln||^,(2x-l)(2x+l)>0,解得x>g或x<-；,

則其定義域為卜|x〉g或關(guān)于原點對稱.

〃T)=(T)In2,x11=(_x)]n2A+1=(_x)In(2A-]]=xln2a1=/(x),

'/、'2(-x)+l、,2x-l、7{2x+\J2x+lJ

故此時/(X)為偶函數(shù).

故選：B.

5.C

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用A>0,求出川范圍，再根據(jù)三角形面積比得

到關(guān)于優(yōu)的方程，解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線丫=》+，〃與橢圓聯(lián)立消去y可得4x2+6mx+3nr-3=(),

-+y2=1

3

因為直線與橢圓相交于A,B點，則A=36M-4x4(3*-3)>0,解得

設(shè)￡到A8的距離46到A8距離&,易知耳(-四,0),^(V2,0),

mi1,I-V24-mI\y/2+m\

則4=-72-，4=

|-\[2+tn|

差=不焉？=需于=2,解得…孝或-3后(舍去)，

F2AB

6.C

【分析】根據(jù)尸(x)=ae,-：*O在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/(同=於'-：20在(1,2)上恒成立，顯然。>0,所以xe-J

設(shè)g(x)=xe，,xe(l,2),所以g'(x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(l)=e,故e2L即aN」=eT,即“的最小值為e，

ae

故選：C.

7.D

【分析】根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因為cosa=l-2sin23=^叵，而a為銳角,

解得:

故選:

8.C

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前"項和公式求出公比，再根據(jù)邑,義的關(guān)系即可解出;

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前"項和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列幾｝的公比為4,首項為％,

若夕=一1,貝|]5=0~5,與題意不符，所以qw-l；

若4=1,則§6=6“=3x2%=352wO,與題意不符，所以夕

由邑=-5,$6=215?可得，弘U)=_5,"'(iLzix"：-")①,

\-q"q1-q

由①可得，1+/+/=21,解得：＜72=4,

所以$8=x(1+q4)=-5x(1+16)=-85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛。,,｝的公比為4，

因為S4=-5,S6=21S2,所以qx—1,否則$=0,

從而，S2,54-S2,S6-S4,S8-S6成等比數(shù)列,

2

所以有，(-5-S2)=5,(215,+5),解得：$2=-1或5=：,

當(dāng)$2=—1時，52,S4—52,56—54,58—56,即為—1,一4,—16,$8+21,

易知，S8+21=-64,即§8=-85；

當(dāng)s?=；時，Sa=q+%+“3+%=(q+2(i+q:!)=(i+4；!)s2>0，

與S*=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前"項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是

把握$4，醺的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算.

9.AC

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D

選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=nO°,PA=2,所以O(shè)P=1,OA=OB=6,

A選項，圓錐的體積為:xl=7t,A選項正確：

B選項，圓錐的側(cè)面積為兀乂有義2=26兀，B選項錯誤；

C選項，設(shè)。是AC的中點，連接8，9，

則ACLORACLPO,所以N/W是二面角P—AC—O的平面角，

則"￡>0=45。，所以QP=OD=1,

故AD=CD=~J^i=6,則AC=2V5,C選項正確；

D選項，PD=Jl2+i2=72>所以S%c=gx2近x&=2,D選項錯誤.

故選：AC.

10.AC

【分析】先求得焦點坐標(biāo)，從而求得?，根據(jù)弦長公式求得|加用，根據(jù)圓與等腰三角形的

知識確定正確答案.

【詳解】A選項：直線y=-G(x-l)過點(1,0),所以拋物線C：V=2px(p>0)的焦點尸(1,0),

所以5=l,p=2,2p=4,則A選項正確，且拋物線C的方程為丁=4x.

B選項：設(shè)加(辦,〉|)1(々,力)，

由卜=-&(x-l)消去)并化簡得3X2_]0X+3=(X_3)(3X-1)=O,

y=4x

解得玉=3,X2=g,所以|四|=%+々+。=3+；+2=與，B選項錯誤.

C選項：設(shè)MN的中點為A,到直線/的距離分別為

因為d=g(4+dJ=g(|MF|+|NF|)=；|MN|,

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線/相切，C選項正確.

D選項：直線y=-V^(x-1),即Vlr+y-G=0,

。至I」直線Gx+y-G=0的距離為4=巫，

2

所以三角形OMN的面積為=迪，

2323

由上述分析可知必=—后(3-1)=-26,、2二?>

所以|。徵=小32+(-2灼'=-/2\,\ON\==半,

所以三角形O仞N不是等腰三角形，D選項錯誤.

故選：AC.

11.BCD

【分析】求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)f(x),由已知可得/(X)在(0,+8)上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為

一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.

【詳解】函數(shù)/(x)="lnx+2+二的定義域為(0,+co),求導(dǎo)得

Xx~

、ab2cax2-bx—2c

/W=----r--r=------3-----，

xx~xx

因為函數(shù)/(X)既有極大值也有極小值，則函數(shù)f(x)在(0,+?))上有兩個變號零點，而〃

因此方程or?-bx-2c=0有兩個不等的正根占，三，

△=/+Sac>0

于是，*1+々=°>。，即有匕2+8℃>0,ab>0,ac<0,顯然a%c<0,即加?<(),A錯

a

2c.

xx=--->0

.l2a

誤，BCD正確.

故選：BCD

12.ABD

【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率

計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0

接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1-0(1-。)(1-口)=(1-。)(1-7?)2,人正確；

對于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為(1-0?/<1-0=尸(I-6):,B正確；

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和

1,I,1的事件和，

它們互斥，由選項B知,所以所求的概率為C；/(1一夕)2+(1-/)3=(1-夕)2(1+2/)，C錯誤;

對于D,由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率尸=(l-a)2(l+2a),

單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率2=1-&,而0<a<0.5,

因止匕P-P'=(l-c)2(l+2?)-(l-a)=a(l-a)(l-2a)>0,即尸>P,D正確.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互

斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關(guān)鍵.

13.6

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令-力，結(jié)合

數(shù)量積的運算律運算求解.

【詳解】法一：因為,+司=忸一方|,即(a+0=(2a-b)2,

rrrrrrrr卡,5卬/口2

則。2+2ab+b2=4a2-4a-b+h29整理得。-2tz-Z?=0?

又因為卜―M=即

則￡5+抹J、3,所以W=K.

iLITIrrrrrrrr

法二：設(shè)。=「_/7，則網(wǎng)=，3,(7+匕=<?+2匕,24-匕=2°+匕，

由題意可得：/+叫=(2c+A),貝匕2+4J+￡2=42+4；.-2,

整理得：妹』2,即川=。=石.

故答案為：6

14.28

【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案：方法

二：根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.

21

【詳解】方法一：由于二=彳，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為gx(4x4)x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x(2x2)x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+VIM）=28.

故答案為：28.

15.2（2,-2二,-《中任意一個皆可以）

22

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長|A8|,以及點C到直線A3的距離，結(jié)合面積

公式即可解出.

【詳解】設(shè)點C到直線的距離為d,由弦長公式得|4?|=2"-],

所以SA.pc=2xd>2,4一“2=!’解得：d=也或d=還,

2555

由d="1=-rJ,所以下￡^=羋或-？=三=羋，解得-：m=±2或，〃=士1.

+"，1+〃7,1+加5,1+452

故答案為：2中任意一個皆可以）.

22

【分析】設(shè)卜2，1兀]

,依題可得，%-玉=?,結(jié)合sinx=:的解可得,

62

0（X2-X）=g，從而得到。的值，再根據(jù)/（|兀）=°以及/（0）<0,即可得

/（x）=sin（4x-,n）,進(jìn)而求得/（兀）.

【詳解】設(shè)由網(wǎng)=看可得々-%=弓，

ITT5元

由sinx=7可知，%=一+2也或%=一+2E,kwZ,由圖可知,

266

34+9—（叫+夕）=竟兀一弓=,，即磯'2一'J=g

co=4.

|兀sin(F+e)=O,所以,871+e=fat,即夕:一^8兀+反，keZ.

因為了

33

所以/(x)=sinf4x-^7r+^7rj=sin(4x--2|7t+farj,

3

所以/(x)=sin(4x-g;ij或f(x)=-sin(4x-g27r],

3

又因為f（0）＜0,所以/。）=$抽卜-,兀），.?./（JI）=sin（4兀-|兀

故答案為：-日

【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出。以及函數(shù)/（X）的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角

函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

17.⑴*

(2)h=c=2.

【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答：方法2,利

用三角形面積公式求出。，作出BC邊上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出。，再利用三角形面積公式求出-4X7即可求解作答；方

法2,利用向量運算律建立關(guān)系求出“，再利用三角形面積公式求出N4X;即可求解作答.

【詳解】（1）方法1：在中，因為。為BC中點，ZADC=^,AD=i,

亭邛”小“=冬解得I，

在AABD中，ZADB=y,由余弦定理得『=BD2+AD2-2BD-ADcosNADB,

即c，2=4+l-2x2xlx=7,解得,=近，則cosB=7拶二]=偵,

2V7x214

sinB=>/l-cos2B=J-

由sin30

明以tan8D=----=——.

cosB5

TT

方法2：在ABC中，因為。為BC中點，ZADC--,AD=1,

則S=lAO,OCsinNA￡)C=1xlx1ax@=@a='s,解得“=4,

ADC2222822

在，ACD中，由余弦定理得h2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADB,

即〃=4+l-2x2xlx；=3,解得b=6,AC2+AD2^4=CD2,則"AD苦,

C=3，過A作A￡_L8C于E,于是CE=ACcosC=3,AE=ACsinC=也，BE=",

6222

所以tan8=M=立.

BE5

.11

c~=—a~9+l-2x—axlxcos(7r-/.ADC)

42

（2）方法1：在△ABD與48中，由余弦定理得＜

h2=—a2+l-2x—?xlxcosZADC

42

整理得3a2+2=〃+/,而〃+C、2=8,則4=26，

又Smrn'xGxIxsinNAQCu^，解得sinZADC=l,而°<ZA￡>C<7t，于是ZAQC='，

A〃(,2▼22

所以6=c=+=2.

方法2：在ABC中，因為。為8c中點，則2AZ)=AB+AC，又CB=AB—AC，

4AD+CB2=(AB+AC)2+{AB-AC)2=2(b2+c2)=16，即4+/=I6，解得a=2后，

又SAr>c=—x^xlxsinZ.ADC=—,解得sinZADC=1,而0<ZADC<n,于是ZADC--,

A0C222

所以匕=c=j4C)2+C￡>2=2.

18.⑴a“=2〃+3；

（2）證明見解析.

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛a,｝的公差為d,用4，”表示5,及T,,即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出5,,b?,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出7；,并與5,作

差比較作答；方法2,利用（1）的結(jié)論求出S“，b?,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項和公式

求出T“，并與S”作差比較作答.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,而2=

則b、=%—6,Z?2=2a2—2q+2d,4=%—6=q+2d—6,

Sd=4a,4-6d=32

于是7>44+4d-12=16'解得q=5,d=2,〃，,—+3,

所以數(shù)列｛%｝的通項公式是a“=2〃+3.

(2)方法1：由(1)知，s“=〃(5+j+3)=”2+4〃,b“=2〃一3,〃=21,i*,

4/7+6,〃=2%

當(dāng)〃為偶數(shù)時，包」+"=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

丁13+(6〃+1)n37

T?=--------------------=—fi~2+—n,

“2222

37i

22

當(dāng)"〉5時，Tn-S?=(-n+-n)-(n+4n)=-n(n-l)>0,因此7；>S“，

3735

22

當(dāng)〃為奇數(shù)時.，7；,=7；+1-^1=-(n+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-n-5,

351

當(dāng)”〉5時，=(-rt2+-n-5)-(n2+4?)=-(n+2)(n-5)>0,因此方>S“,

所以當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

2〃一3，〃=21入N.,

方法2：由(1)知，S“=〃(5+；〃+3)=〃2+4〃b“=

4〃+6,〃=2攵

當(dāng)”為偶數(shù)時,

—1+2(〃-1)—3n14+4/7+6n3)7

T=(bb++)“_|)+(a+d++>)=-----------------------+------------------=-n~+-n,

nl+3222222

371

當(dāng)〃〉5時，7；,-5?=(^n2+-/?)-(?2+4n)=-M(/7-l)>0,因此<>S“,

當(dāng)〃為奇數(shù)時，若〃23,則

-1+2〃-3〃+l14+4(〃-1)+6n-\

T?=(b+b++b)+(b+b++"T)=

}3n24~2-22~

42532S

=|n+|M-5,顯然Z=4=-1滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時，7；=jW+|n-5,

351

當(dāng)"〉5時，?；,-S?=(-n2+-n-5)-(n2+4?)=-(n+2)(?-5)>0,因此方>S“,

所以當(dāng)〃>5時，T?>Sn.

19.(l)c=97.5,?(<?)=3.5%；

〃「-0.008c+0.82,95do0=一,

⑵/(c)=?/小，最小值為0.02.

［0.01c-n0.o98,i1n0n0<cW105

【分析】(l)根據(jù)題意由第一個圖可先求出c，再根據(jù)第二個圖求出C297.5的矩形面積即

可解出；

(2)根據(jù)題意確定分段點100,即可得出/(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可

解出.

【詳解】(1)依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)ce［95,100］時，

f(c)=p(c)+以c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0,82>0.02；

當(dāng)ce(100,105］時，

/(c)=p(c)+z7(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

f-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=4,

［0.01c-0.98,100<c<105

所以〃C)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

20.(1)證明見解析；

⑵名.

3

【分析】(1)根據(jù)題意易證3C1平面磔，從而證得BCJ_44；

(2)由題可證平面88,所以以點E為原點，所在直線分別為x,y,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面A8DA8F的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同

角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.

【詳解】(1)連接因為E為BC中點，DB=DC,所以DEL3c①，

因為ZM=￡>8=DC,ZA￡>B=NA￡>C=60，所以ACD與△ABD均為等邊三角形，

AC=AB,從而AE_LBC②，由①②，AEDE^E,AE,Ofu平面ADE,

所以，BC1平面A￡)E,而A￡>u平面A￡)E,所以8c_LD4.

(2)不妨設(shè)￡>A=03=OC=2,BDLCD,:.BC=2?,DE=AE=4i.

:.AE2+DE2=4=AD2>AEA.DE,又AELBCQE'BC=E,￡>E,8Cu平面BC。

.?.AE_L平面BCD.

以點E為原點，EZ),EB,E4所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

y

設(shè)0(血,0,0),A(0,0,72),2(0,應(yīng),0),E(0,0,0),

設(shè)平面D4B與平面AB尸的一個法向量分別為仆=（歷,加4）,〃2=（孫必*2），

二面角O-AB-尸平面角為。，而A8=（0,&,-四），

因為EE=D4=(-0,O,a),所以網(wǎng)-0,0,a),即有4/=(-夜,0,0),

「+V2z.=0

也，?。?1，所以勺=（1』』）;

-A/2Z0=0

,取必=1，所以丐=(0,1,1),

所以，際6|=稿=耳為邛，從而sin”「f邛.

所以二面角D—A8—尸的正弦值為更.

3

（2）證明見解析.

【分析】（1）由題意求得4,b的值即可確定雙曲線方程;

（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標(biāo)分別寫出直線MA與N4的方程，

聯(lián)立直線方程，消去結(jié)合韋達(dá)定理計算可得”x+2=-：1,即交點的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此

可證得點P在定直線k-1上.

【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為J—￥=l（a>0,〃>0）,由焦點坐標(biāo)可知c=2后，

則由6=￡=石可得。=2,b7c2-a1=4，

a

雙曲線方程為

416

（2）由（1）可得4（-2,0）出（2,0）,設(shè)“（冷刈川（電,必），

顯然直線的斜率不為0,所以設(shè)直線MN的方程為x=my-4,且-：<〃?<:，

22

聯(lián)立可得（4m2-1）y?-32my+48=0,且△=64（4"，+3）>0

則小通=431'

直線”4的方程為）'=弓°（x+2）,直線“的方程為丫=%（7,

人?[1乙人，一乙

聯(lián)立直線與直線NA2的方程可得：

x+2=%（玉+2）=-2）=陽|%-2（%+%）+2,

x-2*（±-2）y,（/n>2-6）my.y2-6yl

48△32m--16/n.

m-----z------2-----；-----F2y.—；-----Fzy..

=4m2-14雨2-1:=4>_]"=_1

48.—48/?2,一3'

mx6y.6y

W7-1''49m-'

由x士+2=-■1!?可得m-l,即與=-I,

x-23

據(jù)此可得點P在定直線x=-1上運動.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和

綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運算,

是解題的關(guān)鍵.

22.(1)證明見詳解(2)(-oo,-V2)(&,+oo)

【分析】(1)分別構(gòu)建斤(x)=x-