2023-2024學(xué)年河北省承德市雙灤區(qū)高二年級下冊開學(xué)摸底數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年河北省承德市雙灤區(qū)高二下冊開學(xué)摸底數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.已知直線4經(jīng)過A（-3,4）,3（-8,-1）兩點，直線的傾斜角為135,那么4與4

A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直

【正確答案】A

根據(jù)兩點求出直線4的斜率，根據(jù)傾斜角求出直線4的斜率；可知斜率乘積為-I,從而得到

垂直關(guān)系.

【詳解】直線4經(jīng)過A（-3,4）,3（-8,-1）兩點直線4的斜率：Zr,=4j?=1

—3+8

直線4的傾斜角為135直線《的斜率：玲=tan135=7

ICT?k-2=—??,?∕∣JLL

本題正確選項：A

本題考查直線位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是利用兩點連線斜率公式和傾斜角求出兩條直線的斜

率，根據(jù)斜率關(guān)系求得位置關(guān)系.

2.己知直線/經(jīng)過點（1,-2）,（3,0）,則直線/的傾斜角為（）

π0πC2π?3π

A.-B.-C.--D.—

4334

【正確答案】A

【分析】求出直線的斜率，即可求出傾斜角；

【詳解】解：設(shè)直線/的傾斜角為9（6e［。,萬）），貝IJtane=與早=L所以

故選：A.

3.經(jīng)過A（0,0）,3（4,0）,C（T,1）,0（4,2）中三個點的圓的方程不可以是（）

A.(x-2y+(y-3)2=13B.(X-2)2+(J-1)2=13

8丫,八，169

D.

【正確答案】B

【分析】將點代入各方程判斷是否滿足圓的方程，即可得答案.

【詳解】A：4(0,0),8(4,0)4(—1,1)在圓(》-2)2+。-3)2=13上，排除;

B：A(0,0),B(4,0)都不在圓(χ-2)2+(y-l)2=13上，符合要求；

C：4(0,0)。-1,1),0(4,2)在圓［4］+卜_￡］若上，排除;

D：8(4,0),C(TI),0(4,2)在圓(Xqj+⑶一Ip=翳上，排除

故選：B

4.焦點坐標(biāo)為(0,-4),(0,4),且長半軸a=6的橢圓方程為

?X2y2口χ2y2

36202036

C.—+^-=1D.—+^-=1

36161636

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意可知c=4,α=6,即可由^=∕-c2求出/，再根據(jù)焦點位置得出橢圓方

程.

【詳解】因為c=4,α=6,所以從=/—￠2=20,而焦點在＞軸上，所以橢圓方程為

---1-----1.

2036

故選：B.

5.在正方體A8CO-A4GR中，E,F,G,”分別為A8,CC1,ADl,Gq的中點,

下列結(jié)論中，錯誤的是()

A.AβlAClB.8尸〃平面4QRA

C.BFLDGD.AtE∕/CH

【正確答案】A

【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量與線面關(guān)系即可判斷.

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點，DA為X軸，OC為y軸，QG為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體棱長為2,

A(2,0⑵，￡(2,1,0),A(2,0,0),C,(0,2,2)

AE=((M,—2),ΛCl=(-2,2,2),因為AE?AC∣κO,所以AE與AG不垂直，A錯誤；

因為平面8CG4〃平面ADRA，且8尸U平面8CG4,所以BF〃平面AQRA，B正確；

β(2,2,0),F(0,2,1),O(0,0,0),G(l,0,2)

BF=(-2,0,1),OG=(1,0,2),因為BFQG=O,所以C正確；

C(0,2,0),"(0,1,2),C"=(0,-1,2),CH=-AiE,所以A1E∕∕CH,D正確.

故選：A.

6.直線3x+4y=0與圓f+y2-2χ-2y+l=0相切，則人=

A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12

【正確答案】D

E?*∣-?∣

【詳解】?.?直線3x+?b=5與圓心為(1,1),半徑為1的圓相切，.?.J蜉匕Wf=I=>5=2

或12,故選D.

本題主要考查利用圓的一般方程求圓的圓心和半徑，直線與圓的位置關(guān)系，以及點到直線的

距離公式的應(yīng)用.

7.如果雙曲線經(jīng)過點P(6,√J),漸近線方程為y=±4,則此雙曲線方程為

2)

χ2V2

A.B.—-^-=1

91183

/Z-D?2y2-1

C.1

819369

【正確答案】A

【分析】根據(jù)漸近線方程,設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,代入點P坐標(biāo),得到答案.

【詳解】漸近線方程為y=±半設(shè)雙曲線方程為-y2=λ(λ≠0),雙曲線經(jīng)過點P(6,G),代入

雙曲線方程得到:義=1,所以雙曲線方程為<-V=l

答案為A

本題考查了利用漸近線求雙曲線方程的知識，漸近線方程為y=±2χ時,設(shè)雙曲線方程為

a

v-22

?-4v=Λ(λ≠0),代入計算較為簡單.

a^Zr

8.在四棱錐S-ABC”中，底面ABCO是直角梯形，且NA3C=9θo,SA_L平面ABCO,

S4=Aβ=BC=2AD=l,則SC與平面ABCD所成角的余弦值為()

A.1B.IC.昱D.近

3232

【正確答案】A

【分析】根據(jù)四棱錐S-ABCD的線面關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算SC與平

面ABC。所成角的正弦值，再結(jié)合平方公式即可得SC與平面ABC。所成角的余弦值.

【詳解】解：因為SA_L平面ABCO,AO,ABU平面ABCr),所以SAj.AD,弘，A3,

又底面ABa)是直角梯形，且3C=2AT>=1,∠L45C=90o,所以Nfi4D=90。，即AL>1ΛB,

如圖，以A為原點，AaAB,4S分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由S4=AB=3C=2AD=1,可得A(O,(),O),S(O,O,1),C(1』,O),所以SC=(IJT),

因為SA_L平面ABCD,所以AS=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量

AS?SC_T_

所以CoS(AS,SC)=

∣AS∣?∣SC∣-1×√3^3

即直線SC與平面A8C。所成角的正弦值為迫，

3

則SC與平面ABCo所成角的余弦值為??i??=當(dāng)

故選：A.

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.過點P（l,2）且在x、y軸截距相等的直線方程為x+y-3=0

B.直線y=3x-2在），軸上的截距為一2

C.直線氐+y+l=0的傾斜角為60°

D.過點（-1,2）且垂直于直線x-2y+3=0的直線方程為2x+y=0

【正確答案】BD

【分析】A選項忽略了過原點的情況，錯誤，B選項計算截距得到正確，直線斜率為人=-g

時，傾斜角為120。，C錯誤，根據(jù)垂直關(guān)系計算直線方程得到D正確，得到答案.

【詳解】過點尸（1,2）且在x、y軸截距相等的直線方程為x+y-3=0和y=2x,A錯誤；

取X=O,y=-2,則直線y=3x-2在y軸上的截距為—2,B正確；

直線√iv+y+l=O的斜率為Z=-G，傾斜角為120。，C錯誤；

垂直于直線x-2y+3=0的直線方程斜率為女=一2,過點（-1,2）的直線方程為

y--2（x+l）+2--2x,即2x+y=0,D正確.

故選：BD.

10.如圖所示，在平行六面體4B8-AB∣G。中，點M,P,Q分別為棱AB,CD,BC

的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則以下說法正確的是（）

A.A?M3QD?PB.ΛlM?∕∕?Bιe

C.AM?//平面。CC.D.AM?//平面APQ與

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題意可證明AM/"。，由此可判斷A、C、D選項；根據(jù)AM與平AD。A交,

平面8CG8∣//平面BCC再可知AxM與BIQ互不平行，由此可判斷B選項.

【詳解】連接MP,因為Λ1,P別為棱A3,CO中點，所以MP//A。且〃P=AO因為

ABCD-AScQl為平行六面，所以A。//AA且AD=40,所以MP=AR且MP∕∕Λ,2,故

MAAP為平行四邊形，AiM//PD1,故A正確；

因為RPU平面。CGA,AME平面DCCQ,所以AM〃平面QCCa；同理AM〃平面

DiPQBt,故C、D正確

因為A"與平A。。A交，且平面BCC百〃平面8CC內(nèi)，所以AM與平BCCg交，又因為

BaU平BCC再交,所以AM與5Q互不平行.故B錯誤

故選：ACD

11.已知拋物線的方程為V=IOx,下列結(jié)論正確的是()

A.該拋物線的焦點在X軸上

B.該拋物線的準(zhǔn)線方程為X=-5

C.該拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到其焦點的距離等于6

D.由原點向過該拋物線的焦點的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)拋物線定義即可判斷A、B、C選項；利用反證法找出符合D選項的直線，根

據(jù)直線存在與否即可判斷D選項.

【詳解】根據(jù)拋物線定義可知，拋物線丁=IOx的焦點坐標(biāo)為(|.0),在X軸上,準(zhǔn)線方程為

X=-∣,A正確,B錯誤；

根據(jù)拋物線定義可知,在拋物線上的點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，拋物線上橫坐標(biāo)

為1的點到準(zhǔn)線的距離為3.5,故拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到其焦點的距離等于3?5,C錯誤;

假設(shè)存在過該拋物線的焦點的某直線，過原點作垂直于這條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1).

此時垂線斜率為/=i,則過焦點的直線斜率為％'=-2,該直線方程應(yīng)該為y=-2x+5,此

直線存在，假設(shè)成立，D正確.

故選：AD

12.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，圓C的方程為（x-4f+（y-b）2=4,其中/+^=4,點P

為圓C的圓心，則下列說法正確的是（）

A.原點。在圓C上

B.直線χ+y=0與圓C有公共點

C.圓C與圓V+y2=]6相內(nèi)切

D.直線y=x與圓C相交于A,B兩點,若APjL3尸，則a=0,b=±2

【正確答案】ABC

【分析】圓C是動圓，半徑為2,其圓心在以原點為圓心，半徑為2的圓周上，

根據(jù)以上性質(zhì)，再根據(jù)每個選項的幾何意義，不難判斷每個選項的正確性.

【詳解】對于A,由。（0,0）的坐標(biāo)滿足圓C的方程，故A正確；

對于B,由原點O既在圓C上，也在直線χ+y=0上，可得直線χ+y=0與圓C有公共點，

故B正確；

對于C，由J∕+Z>ι=4-2=2,可知圓C與圓V+y2=i6相內(nèi)切，故C正確；

對于D,若則三角形ABP為等腰直角三角形，可得圓P到直線V=X的距離為近，

有簪S

√2

.[a2+h2=4[a=±2[^=0

有l(wèi)Ii=2,聯(lián)立方程IT=2'解得Ib=O或幾±2,故D錯誤;

故選：ABC.

三、填空題

13.已知拋物線C的頂點在原點，焦點在X軸上，且拋物線上有一點P（4,〃?）到焦點的距離

為6.則拋物線C的方程為.

【正確答案】V=8χ

【分析】設(shè)出拋物線方程，根據(jù)定義求出p,即可寫出拋物線的方程.

【詳解】由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px.

其準(zhǔn)線方程為X=-],根據(jù)定義可得4+=6,解得p=4,

所以拋物線C的方程為y2=8x.

故y2=Sx

14.圓/+/一左一4yTl=0關(guān)于點P(-2,l)對稱的圓的方程是.

【正確答案】(x+5y+V=16

先將圓χ2+y2-lr-4y-11=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心，再求圓心關(guān)于點P(-2,l)的對稱

點，即為所求的圓的圓心.

【詳解】圓χ2+y2-2r-4y-Il=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x—iy+(y-2)2=16,

設(shè)關(guān)于點P(-2,1)對稱的圓的圓心為(。力),

絲1=一2

2a=-5

則Jr，解得

。+2.b=0

------=1

2

所以圓χ2+∕-2x-4y-ll=0關(guān)于點尸(-2,1)對稱的圓的方程是:

(X+5)2+∕=16,

?(Λ+5)2+∕=16

本題主要考查圓與圓的對稱問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

15.如圖，在四棱錐P-ABC。中，已知底面ABa)是矩形，AB=2,AD=a,PO_L平面

ABCD,若邊AB上存在點使得PΛ∕LCΛ∕,則實數(shù)。的取值范圍是.

【正確答案】0<a≤l

【分析】利用直線與平面垂直的判定和性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為以。C為直徑的圓與A3有交點可

得答案.

【詳解】連接DM,如圖:

因為PD_L平面ABCD,所以Po_LCM。

又PMLCM,且如CPM=P,

所以CM_L平面PDW,所以CM_LD”，

所以以。C為直徑的圓與AB有交點，

所以0<a≤l.

故O<4≤l

本題考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

f22v2

16.如圖所示，已知雙曲線下-分=l(4>0)和橢圓κ+9=lS,>0)有共同的右焦點F,

4b；9b；

記曲線C為雙曲線的右支和橢圓圍成的曲線，若M,N分別在曲線建中的雙曲線和橢圓上,

【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓定義，表示出一MN尸周長與NK、M耳的關(guān)系，根據(jù)三角形性質(zhì)

?兩邊之差小于第三邊得出當(dāng)M,N,好三點共線時周長最小的結(jié)論，即可求出答案.

【詳解】設(shè)雙曲線和橢圓共同的左焦點為《，根據(jù)雙曲線和橢圓定義可知M耳-MF=4,

得；MN尸周長為：

CMNF=MN+MF+NF

=MN+MFt-4+6-NFl

=2+MN-(NFl-MFt)

根據(jù)三角形性質(zhì)可知，當(dāng)M,N,G三點共線時NK-MK取最大值，此時JWNF周長最小,

當(dāng)M,N,Fl三點共線時N耳-MK=MN,MNF最小周長為

Cmnf=2+MN-(NF1-MFl)=2+MN-MN=2

故2

四、解答題

17.已知點知-2,1),8(2,3),C(-l,-3).

(1)求過點A且與8C平行的直線方程；

(2)求過點A且與8C垂直的直線方程；

(3)若BC中點為￡),求過點A與。的直線方程.

【正確答案】(l)2x-y+5=0

⑵x+2y=0

⑶2x+5y-l=O

【分析】(1)求出BC的斜率，利用點斜式求直線即可；

(2)求出與BC垂直的直線的斜率，利用點斜式求解即可；

(3)利用中點公式求解中點坐標(biāo)，再確定兩點斜率利用點斜式求解即可.

【詳解】⑴W:-：k=--=l,

BC-1—2

???過點A且與BC平行的直線方程為y-l=2(x+2),即2x-y+5=0;

(2)解：過點A且與BC垂直的直線的斜率為-；，

所以所求直線方程為y-l=-g(x+2),即x+2y=O；

(3)解：BC中點Γ^r=一^,

-Z—

2

???過點力與O的直線方程y=-∣(x-g),即2x+5y—1=0.

18.已知圓G：χ2+y2-2χ=0和圓G=χ2+y2-6x-4y+4=0相交于A,8兩點.

(1)求公共弦AB的垂直平分線方程.

(2)求△ABG的面積.

【正確答案】(1)y=x-l;(2)2√2?

【分析】(1)線段AB的垂直平分線恰為直線。。2,利用點斜式即可寫出其方程.

(2)先求公共弦4B所在的直線方程，再求出C?到直線AB的距離，即可求公共弦Ag的長,

結(jié)合三角形的面積公式解答.

【詳解】解：(1)由題可知：公共弦AB的垂直平分線為直線C，2，

C,(1,0),C2(3,2),

???所求直線GG的方程為：y=χ-i;

(2)又兩圓方程相減得4x+4y-4=0,即x+y-l=O,此即為直線A8的方程，

G到直線A8的距離〃=竽U=2√5,即d=2√L

r+1~

又圓c?的半徑r=3,??.∣A8∣=2jT=/=2，

???S.Allq=;ABd=；乂2*2近=26?

即：S曄=2及.

19.已知橢圓C：1+*=l(α>6>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,離心率為正，過點用

a-b-5

的直線4與橢圓C交于A,B兩點，且ABK的周長為4石，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

【正確答案】—+^=1

54

【分析】根據(jù)橢圓的定義及離心率列方程求解即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】解：由題意可得￡=或，AB耳的周長為

a5

∣AB∣+IMl+∣%∣=∣A6∣+忸閭+1前∣+∣MI=4α=4g,

所以Q=逐，則C=1,又〃2=一,2=5一］=4,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為片+戈=1.

54

20.如圖，在正方體ABeo-ABCA中，E為BBl的中點.

（Il）求直線AA與平面APE所成角的正弦值.

【正確答案】（I）證明見解析；（II）I.

【分析】（I）證明出四邊形ABG。為平行四邊形，可得出然后利用線面平行的

判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計算證明；

（II）可以將平面擴展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計算；也可以建立

空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算求解.

【詳解】（I）［方法一］:幾何法

如下圖所示：

在正方體ABS-A4G4中，A8〃A用且4B=A1B∣,AA〃GR且Aq=GA，

，AB〃G。且AB=GR,所以，四邊形43GR為平行四邊形，則BCJ/AR,

BGa平面AAE,ARU平面AAEBG〃平面AAE；

［方法二］：空間向量坐標(biāo)法

以點A為坐標(biāo)原點，AD.AB、AA所在直線分別為X、y、Z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫Z,

設(shè)正方體ABCo-AgGA的棱長為2,則A(0,0,0)?A(0,0,2)、4(2,0,2)、E(0,2,l),

AD1=(2,0,2),AE=(0,2,1),

n?AD.=02x+2Z=O

設(shè)平面4。E的法向量為"=(χ,y,z),由，1,得

n-AE=O2y+z=0

令z=-2,貝!]x=2,y=?,貝∣J〃=(2,1,-2).

又：向量BG=(2,0,2),BC「〃=2x2+0xl+2x(-2)=0,

又.BaN平面AQE,.?.BG〃平面AAE；

(H)［方法一］：幾何法

延長CG到尸，使得GF=BE,連接EF,交片G于G,

又?.?C∣F”8E,.?.四邊形BEFCl為平行四邊形，.?.8CJ/EF,

又,：BC1//ADi,:.Aq//E尸,所以平面ARE即平面AAFE,

連接D1G,作GH1,垂足為H,連接FH,

VFC11平面AlBiCiD,,D1GU平面AIBGDI,：.FCi1D1G,

又,：fC∣C￡H=G,.?.直線RG_L平面GF”，

又,/直線DlGU平面DGF,.?.平面RGF1平面C1FH,

G在平面D1GF中的射影在直線FH上,.I直線FH為直線FG在平面AG尸中的射影,

ZC1FH為直線FC1與平面DGF所成的角，

根據(jù)直線FGM直線AA,可知NGFH為直線AA1與平面AD1G所成的角.

2×12

設(shè)正方體的棱長為2,則CG=CF=I,DQ=布c∣H=/=格,

3

..FH=

?F

CH2

：.SinZCFH=i

lFH~3

即直線AAI與平面A"E所成角的正弦值為右

接續(xù)（I）的向量方法，求得平面平面4。f的法向量〃=（2,1,-2）,

一”?AA,42

XVM=（0,0,2）,Λ∞s<〃，">=啊=一Q=-3，

二直線AA與平面AQE所成角的正弦值為:.

［方法三］：幾何法+體積法

如圖，設(shè)BC的中點為F,延長AE,。尸，易證三線交于一點P.

因為BB444］,E尸〃40,

所以直線AA1與平面4RE所成的角,即直線BIE與平面P所所成的角.

設(shè)正方體的棱長為2,在！P￡F中，易得PE=PF=布,EF=6,

3

可得S際=子

?31?

由V淞徘4-尸杯二丫三麻P鄧尸，得耳'5出"=§、5乂1'1'2,

整理得4"=5.

所以SinNBIEH=*=：.

D1LLJ

?

所以直線AA與平面所成角的正弦值為:.

［方法四］:純體積法

設(shè)正方體的棱長為2,點4到平面AER的距離為力,

在aAER中，AE=√5,AD,=2√2,D1E=3,

*2+A6-g9+5-8_6

cosZAED=

x2D?E?AE^2×3×√5^5

所以sinZAEDl=~~9易得SAEDI=?.

114

由VjAR=匕…⑷，得§SARA?Ag=gS…?〃，解得〃=“

.八〃2

設(shè)直線AAl與平面AER所成的角為火所以而夕二宜=三.

/l/l?J

【整體點評】(I)的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運算

進(jìn)行證明；

(II)第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)

生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計算

論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計算較為簡潔；

方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計算，省卻了輔助線和幾何的論

證，不失為一種優(yōu)美的方法.

21.雙曲線￡-4=1(。＞o,匕＞0)的一條漸近線方程為)，=且X,過焦點且垂直于y軸的

ab~3

弦長為6.

(1)求雙曲線方程；

(2)過雙曲線的下焦點作傾角為45的直線交曲線于M、N,求MN的長.

【正確答案】(I)V-L=I

3

(2)6

【分析】(1)利用雙曲線的一條漸近線方程為y=4x,過焦點且垂直于V軸的弦長為6,建立

方程,即可求雙曲線方程；

(2)設(shè)直線方程y=x-2,聯(lián)立方程,由韋達(dá)定理及弦長公式即可求MN的長.

【詳解】(1)因為雙曲線W?-E=l的一條漸近線方程為y=3X,所以q=立，

ab3b3

雙曲線的上焦點為F(O,C),在4-￡=1中令y=c得x=±Q,所以竺=6,

ab~aa

?*?a=1力=λ∕3,

.?.雙曲線方程為y2-a=i;

(2)過雙曲線的下焦點(0,-2)且傾角為45。的直線斜率為Z=I,直線方程為y=x-2,

代入雙曲線方程V-5=I可得2∕-12X+9=0,?=122-4×2×9>0.

設(shè)Mα,