天津市英華實驗學(xué)校2023-2024學(xué)年高三年級上冊第二次月考數(shù)學(xué)試卷

天津英華實驗學(xué)校2024屆高三月考

數(shù)學(xué)

本試卷分為第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第

I卷1至3頁，第n卷4至6頁.

答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘

貼考試用條形碼.答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結(jié)束后，

將本試卷和答題卡一并交回.

祝各位考生考試順利！

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號.

2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

?如果事件A,5互斥，那么尸(A3)=P(A)+P(5).

?如果事件A,B相互獨立，那么尸(A3)=P(A)P(B).

?球的體積公式V=其中k表示球的半徑.

3

一、選擇題：在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z滿足(3—4i)z=l—i,則|z|=()

5A/2

D.------

2

2.已知函數(shù)/(%)的部分圖象如圖所示，則/(%)可能是()

5sinx5cosxx2+1

A.-----------B.-----------C.-----------D.4xe~|x|

ex+e-xex-e-xex-e-x

3.已知出〃是兩條直線，a,是兩個平面，則下列命題成立的是()

A.若a工。,mua,則根J_/B.若all(3，mua,〃u/?,則m//n

C.若〃zua,nu/3,mlIn,則M//7D.若sf3=m,nila,nil[3,貝U”〃nz

4.有兩個隨機(jī)變量X和F,它們的分布列分別如下表：

Y12345

P0.030.30.50.160.01

X12345

P0.10.20.30.20.2

則關(guān)于它們的期望E(X),EQ7)和它們的方差。(X)和。(F),下列關(guān)系正確的是()

A.E(X)>E(Y),且D(X)>D(Y)B.E(X)>E(Y),且D(X)<D(Y)

C.E(X)<E(Y),且D(X)>D(Y)D.E(X)<E(Y),且D(X)<D(Y)

5.已知函數(shù)/(無)=2sin(ox+0乂。＞0,°e[0,2〃))的部分圖象如圖所示，其中/(0)=-J3,

②/(x)在區(qū)間[-上單調(diào)遞增;

①/(幻的最小正周期為萬；

137r

③/(X)的圖象關(guān)于直線％=送軸對稱;④f(x)在區(qū)間(0,萬)內(nèi)恰有3個零點.

A.①③B.②④C.①②D.③④

P€[jJ且sina=g,cos(2a+尸)=；,則cos/?的值為(

6.已知a,

2312519

A.—B.-C.—D.—

2732727

7.已知〃=—b=aa,c=ab,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

y2

8.已知拋物線/=4%的焦點廠是雙曲線和二1的右焦點，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線交于A,B

a下

兩點.若ZWE是等邊三角形，則雙曲線的方程為（）

x2y2.X2上=12=1x2

A.---------=1D.—上

34T33443

7777

9.有人調(diào)查了某高校14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到如下數(shù)據(jù)表:

編號1234567891011121314

父親身

174170173169182172180172168166182173164180

高/cm

兒子身

176176170170185176178174170168178172165182

高/cm

利用最小二乘法計算的兒子身高F關(guān)于父親身高x的回歸直線為y=0.839%+28.957.

根據(jù)以上信息進(jìn)行的如下推斷中，正確的是（）

A.當(dāng)x=172時，￡al73,若一位父親身高為172cm,則他兒子長大成人后的身高一定是173cm

B.父親身高和兒子身高是正相關(guān)，因此身高更高的父親，其兒子的身高也更高

C.從回歸直線中，無法判斷父親身高和兒子身高是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)

D.回歸直線的斜率可以解釋為父親身高每增加1cm,其兒子身高平均增加0.839cm

第n卷

注意事項：

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3

分，全部答對的給5分.

10.已知集合4=卜3=111（%2+1）},B={x\x2-3x+2<0},則AB=.

的展開式中x5的系數(shù)為

12.已知以1為半徑的圓A的圓心A在x軸上，以2為半徑的圓3的圓心8在y軸上，且兩圓公共弦所在直

線為x-2y=0,則這兩個圓的公共弦長為.

13.如圖，已知在邊長為2的正三角形ABC中，點P,Q,R分別在邊A3,BC,C4上，且

AP=BQ=CR,則AQBR+BRCP+CP-AQ的最大值為.

14.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且S“=今+出券,則數(shù)列｛an+x+an｝的通項公式為

5“

15.若函數(shù)/(x)=Y+(a-4)x+1+|x2-ax+1|的最小值為;,則實數(shù)a的值為.

三.解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.在四邊形ABCZ)中，ZB=120°,ZD=60°,AB=2,AD=242,AA5C的面積為JL

(I)求AC的長

(ID求NACO的大小.

17.如圖，在圓錐PO中，底面圓。的半徑為2,線段A5是圓。的直徑，頂點P到底面的距離為26，點

M為。B的中點，點C是底面圓上的一個動點，且不與A,B重合.

(I)證明：直線Q4//平面MOC；

(II)若二面角C—40—5的余弦為JJT,T

7

(i)求線段CM的長；

(ii)求點P到平面CAM的距離.

22

18.已知橢圓C:三+2=1(?！?〉0)的右焦點為尸，點尸為橢圓上一動點，且P到戶的距離與到直線

/:兀=2的距離之比總是"

2

(I)求橢圓。的方程；

(II)過P做橢圓C的切線，交直線/于點T.

(i)求證：以PT為直徑的圓過定點；

(ii)求三角形POT面積的最小值.

19.已知數(shù)列｛(｝是公差不為0的等差數(shù)列，4是%和%的等比中項，生+%=5.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項公式：

fl

（II）求￡akan+i_k,其中“eN*；

k=\

(ni)若機(jī)為正整數(shù)，記集合＜。/￡+2K加，的元素個數(shù)為第，求數(shù)列｛%｝的前〃項和s“.

20.已知函數(shù)/(%)=a(x+I)lnx-x+l,其中〃￡R.

(I)求曲線y=/(%)在(L/⑴)處的切線方程y=g(x)，并證明當(dāng)%＞1時，tz(/(x)-g(x))＞0；

(II)若/(X)有三個零點為，X2,X3,且再＜%2＜犬3.

(i)求實數(shù)Q的取值范圍；

(ii)求證：(3〃-1)(石+2)V2.

參考答案

一、選擇題

題號123456789

答案AADADABCD

、填空題

題號101112131415

92

()述1n—n2

答案L240-n----；---------

"I-2242

三、解答題

16.(I)解：因為△ABC的面積為6,所以!46?3。5也/3=追.

2

又因為4=120°,AB=2,所以BC=2.

由AC?=AB?+BC—2AB?BCcosNB,AC2=12,所以4。=26.

…、_/』巾「’日./“八ADsinZD2后sin60。拒

(II)解：由正弦TE理可得smNACD=---------------=---------==——.

AC2>/32

因為AC〉A(chǔ)T),所以0°<NACD<60。，所以NACD=45°.

17.(I)證明：因為點M是。B的中點，點P是A3的中點，所以M9〃B4.

當(dāng)"不與A,B重合時，PA仁平面M0C,而MOu平面M0C,故K4//平面MOC.

(II)(i)解:如圖，在底面內(nèi)過。作直線垂直于AB交圓。于N.

分別以O(shè)N,OB,OP方向為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

由已知可得A(0,—2,0),5(0,2,0),P(0,0,273),Af(0,l,V3).

由已知,設(shè)。點的坐標(biāo)為(2cos，,2sin，,0).

可得AM=(0,3,6),AC=(2cos0,2sin6?+2,0).

設(shè)平面ACM的法向量為4=(x,y,z),

而后白「AM=0J3y+6z=0,

則有〈_即〈

4-AC=0,[2cosOx+(2sin0+2)y=0.

令z=6cos。，可得々=kine+l,-cose,6cose）.

顯然，為=（1,0,0）是平面41必的一個法向量.由已知有K058，叼）|=當(dāng)一，

\n{-n2\sin。+1sin。+1A/21

所以1------1=——=-二----

同Vsin2^+2sin^+l+cos2^+3sin20Seos26+2sin6+27

整理得，2sin2，+sin，—1=0,解得sin6=—1（舍），或sin6=L,

2

由此可得。的坐標(biāo)為（土百,1,0）,這時CAf=（土省,0,百），可得|CM|=C.

所以，二面角C—40—5的余弦為匚時，線段CM的長為八.

7

（ii）解：由（i）有，々=（6,—1,6）為平面C4”的一個法向量，AP=（0,2,2A/3）.

|AP.nJ_2+64、/7

由此可得點P到平面CAM的距離為d=1,,1==工.

同幣7

18.（I）解：由題意，當(dāng)P點為（0/）時，有￡=孝，故。=也.

當(dāng)。為（—4,0）時，有"￡=變，可得c=l.

2+〃2

由/=〃一°2可得〃=1,故橢圓方程為］+/=1.

（II）證明：設(shè)點尸（看,%）,顯然，x=±a不合題意，

故可設(shè)過點尸的切線為4：y=丘+加.與］■+/=1聯(lián)立，

整理得（2/+1）12+4加x+2加之—2=0（*）.

由已知有A=0,整理得根2=242+1.又（*）的兩個重根即為%,

故毛=二I”,進(jìn)而可得為

由題意，可得點T的坐標(biāo)為（2,2左+根）.

由對稱性，以尸T為直徑的圓若過定點，則定點必然在x軸上.

設(shè)點。3,0）,下面證明存在實數(shù)"，使得TU-PU=0,亦就證明此題,

也就是證明關(guān)于U的方程TU-PU=O有定值解.

(2km2km+m2八

由TU-PU=0,可得(M—2)M+^—+——%-------=0,

I2k+12左2+1

整理可得(w—l)(mw+2k—m)=0.

由此可得〃=1時，對于任意的直線4均滿足要求，故以PT為直徑的圓過定點(1,0).

(III)解：由(II)有「(—竺一］,T(2,2k+m),

［mm)

其中m2=2左2+1.三角形。。7的面積5=3|。7|4(0,/1),

22

竺+2

mm21+m

由此可得Sg左+〃z|.

設(shè)左+根=,，即加二，一左，代入m2=2/+1,整理得左之+2於—/+1=0,

因此A=2『—1之0,解得當(dāng),即T

當(dāng)左=±變，根=.0時，即4為＞=無％—挺或者y=—受X+后時，S取得變

21222

所以，三角形POT面積的最小值為巫

2

19.⑴解：設(shè)｛〃“｝的公差為d,由已知有(q=q(%+3d),整理得q=d.

由。2+。3=5，可得2%+3d=5,進(jìn)而可得％=d=l,故?！?〃.

(II)解：由⑴有=k(n+1—k)=nk—(k-l)k.

nnn

故￡=吃左+Z(化-城?

k=lk=lk=l

1n1

又因為(左-l)k=一［(左-D-k+1)—伏一2)(左-1)可,所以Z(左一1)左=—(九一1)〃(〃+1),

3k=i3

rS,"3+“2n3+3〃2+In

又Qk=---，因此Z%%+i=----------------------------

k=\/k=\0

n2

(III)解：由——I——<m,可得〃2—2根〃+4<0(*).

2n

當(dāng)機(jī)=1時，方程無正整數(shù)解；當(dāng)機(jī)=2時，方程有〃二2的唯一解；

當(dāng)加N3時，可得m—J病—4<n<m+ylrr^—4.

當(dāng)機(jī)23時，(n?一4)一(加一1)2=2加一5>0,因此0<m—J加2一4<1,且

病一4<2加.所以,(*)的正整數(shù)解的個數(shù)為2加一1,即勾=2加一1(根23).

0,n=i,

因此可得么=<1,n=2,

2n—1,n>3.

(1+2n1)Xn2

所以，當(dāng)〃之3時，Sn=--l-3+l=n-3;〃=2時，=S2=1；〃=1時,

H=。，

20.(I)解：f(1)=0,/'(x)=a[lnx+^^]—1,故/'(l)=2a—1.

由止匕可得g(x)=(2a_l)x_(2a—l),進(jìn)而有a(/(x)-g(x))=

令h(x)=Inx—.，則h'(x)=-———=二旦->0,

x+1x(x+1)2(尤+1)2%

所以力(%)在［l,+o。)單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，h(x)>h(I)=0.

又J20,所以當(dāng)X>1時，?(/(%)-1?(%))>0.

x+1

X—1

(ID(i)解：/(l)=0等價于。111X一^一=0.

x+1

X—1

令"(%)=alnx------.注意到，"(1)=0,依題意，沈(九)除了1之外，還有兩個零點.

x+1

▼，/、ax2+(2a-2)x+a人(、2°/八、

又打(1)二------------------,令v(x)=ax+(2a-2)x+a(x>0).

x(x+l)

當(dāng)〃<0時，v(x)<0恒成立，故這時〃(%)在(0,+oo)單調(diào)遞減，不合題意.

當(dāng)。>。時，由題意，首先v(X)在(0,+oo)上有兩個零點，

故A=(2a—2)2-41〉0,解得0<。<；.

2

設(shè)兩個零點為。和或，有——2>0,5&=1〉0,故可知。，心均大于0，

a

由此可得M（X）在（O,jJ單調(diào)遞增，（5,單調(diào)遞減，（&,”）單調(diào)遞增，

而1?嫁芻）,即胞）>0,"⑴=0,M值）<0.