新疆澤普縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高一年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高中數(shù)學(xué)期末考試8.（本題5分）如圖在平行六面體力8c。-中，底面/3CZ）是邊長為1的正方形，便J棱44=2且

一、單選題（每小題5分，共40分）（共40分）=則4G=（）

1.（本題5分）6-1與的等差中項和等比中項分別是（）

A.6、士及B.VI,V2C.V3,-V2D.石,±2

2.（本題5分）已知直線4：依+（a+2W+l=04：x+@+2=C，其中awR,則“a=-3”是“1。的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件A.2近B.V10C.2>/3D.V14

3.（本題5分）設(shè)x、JeR,向量a=（x,l,l）,加=c=（3,-,63）且￡_L工，則卜+石卜（）

A.272B.2GC.4D.3二、多選題（每小題5分，共20分）（共20分）

9.（本題5分）已知等差數(shù)列II,8,5,…，則（）

4.（本題5分）等差數(shù)列加”｝的前〃項和S“，&=3&=66,貝iJSg=（）

A.公差"=一3B.該數(shù)列的通項公式為q=-3〃+16

A.9B.12C.30D.45

C.數(shù)列前10項和為-25D.-49是該數(shù)列的第21項

5.（木題5分）0為坐標原點，產(chǎn)為拋物線C:/=8x的焦點，A4為。上?點，若1"臼=8,則產(chǎn)的面積

10.（本題5分）已知雙曲線￡-1?=15>0）的左焦點片與拋物線），J-4"、?的焦點重合，工是雙曲線的右焦

為（）a~->

點，則下列說法正確的有（）

A.45/3B.3&C.8D.3s

A.拋物線的準線方程為x=l

6.（本題5分）已知448c的周長為20,且頂點B（0,-4）,C（0,4），則頂點A的軌跡方程是（）

B.雙曲線的實軸長為4

A.—+^=l(x#0)B.-+^-=1(x^0)C.工+匚心。0)D.

362020366202036C.雙曲線的離心率為2

7.（本題5分）圓C：（x-1>+/=4的點到直線］,=一3的距離的最大值是（）D.P為雙曲線上一點若|戶用=5,則|「用=￡

A.1B.3C.5D.6

11.（本題5分）已知直線/：x+2“沙+1=0,圓后:/+/=3,則下列說法正確的是（

A.直線/必過點。,0）第2行21

B.直線/與圓E必相交第3行1331

C.圓心￡到直線/的距離的最大值為1第4行14641

D.當(dāng)卅=《時，直線/被圓￡截得的弦長為舊第5行15101051

第6行161520156

12.（本題5分）已知正方體48co-4AGA，棱長為］,￡/分別為棱力氏CG的中點，則（）

A.直線力已與直線EE共面B.A.ELAF

四、解答題（共70分）

C.直線4E與直線好的所成角為60。D.三棱錐G-皿7的體積為《

17.（本題10分）求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程.

（1）中心在原點，實軸在“軸上，一個焦點坐標為（-4,0）的等軸雙曲線；

三、填空題（每小題5分，共20分）（共20分）

（2）楠圓C的中心在原點，焦點在上軸上，焦距為4,且它的一個頂點坐標為僅.20）.

13.（本題5分）設(shè)數(shù)列｛?！埃氖醉棥?-7,且滿足%“=a“+2（〃eN）,則q+%+…+a”=.

18.（木題12分汜知拋物線產(chǎn)=2p.r（p>0）的焦點為尸（2,0）.

14.（本題5分）已知圓C的圓心是直線x-y+l=0與y軸的交點，且圓C與直線x+.y+l=o相切，則圓。的方

（1）求心

程為.

（2）斜率為I的直線過點尸，且與拋物線交于48兩點，求線段力8的長.

15.（本題5分）過雙曲線Y-/=l的?個焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于P，。兩點，

則|PQ|=.19.（本題12分）在等比數(shù)列｛6,｝中，

16.（本題5分）楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形.帕

（1）已知夕=3,S3=y,求出;

斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.這是我國數(shù)學(xué)史上的

又一個偉大成就.其實，中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位.中國古代數(shù)學(xué)史曾（2）已知%=6,6q+%=30,求q+%+%+…+.

經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.下圖的表在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年

20.（本題12分）如圖，已知四棱錐尸一月88的底面48C。是正方形，側(cè)棱PQ_L底面"CO,PD=DC,E

所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了.該表中，從上到下，第〃行所有不同數(shù)的個數(shù)記為/，比如q=1、叼=2,

是PC的中點.

則數(shù)列｛鞏｝的前10項和為.

第1行11

p

(1)證明：P4"平面BDE；

(2)求平面8OE與平面。EC所成角的余弦值.

21.體題12分)在①2=/+2?；②/=5,6+處=18：③4=3,=48這三個條件中任選一個，補充在

下面問題中，然后解答補充完整的題目.

問題：已知S“為等差數(shù)列應(yīng)｝的前〃項和，若.

⑴求數(shù)列｛q｝的通項公式；

⑵設(shè)瓦=舟(〃€N*),求數(shù)列也｝的前口項和Ta.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

22.(本題12分)已知雙曲線。的漸近線方程為y=±gx,且過點(4、-AQ).

(1)求雙曲線。的標準方程；

(2)若直線/與雙曲線相交于M,N兩點，若的中點為P(4.3),求直線/的方程.

參考答案:

；.5]=1=66,4=6,d=——―=1,

6-3

1.A

a“=3+(〃-3)x1="，a5=5,

【分析】結(jié)合等差中項與等比中項的定義即可求解.

Sq=9as=9x5=45.

【詳解】與JJ+1的等差中項是=6,

2

故選：D.

6-1與VJ+i的等比中項是土]>5-i)(6+i)=±￡

5.A

故選：A

【分析】先根據(jù)定義求出點M的橫坐標，將其代入拋物線方程，求出點用的縱坐標，進而求出面積.

2.A

【詳解】由/=8x可得拋物線的焦點?⑵0),準線方程為x=-2,

【詳解】直線乙，/2的充要條件是。+(。+2)。=0，。(。+3)=0二。=0或。=-3.故選A.

由拋物線焦半徑公式知八折=均+與=X”+2=8n.5=6,

3.D

將x=6代入/=8x,可得尸±44，

【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標表示求出X、，的值，求出向量￡+坂的坐標，利用空間向量的模長公式

可求得結(jié)果.

所以的面積為:3?a'=；x“Jx2=4VL

【詳解】因為a_Lc，則=3x-6+3=0，解得x=l，則

故選：A.

因為胡人則:=斗，解得產(chǎn)-2,BPft=(l,-2,l),

6.B

3—6

所以，￡+5=(2,-1,2),因此，|叫="+1+4=3.【分析】根據(jù)已知條件及橢圓定義求橢圓的標準方程.

【詳解】錯解：

故選：D.

???△/8C的周長為20,頂點8(0,-4),C(0,4),

4.D

??.|8C|=8,|陽+陷=20—8=12,

【分析】由等差數(shù)列的通項公式與前〃項和公式求得/，然后再由前〃項和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)計算.

V12>8,

【詳解】SJ是等差數(shù)列,

???點/到兩個定點的距離之和等于定值,

??.點.4的軌跡是橢圓,【詳解】解：已知圓C：(x—以+/=4,圓心半徑/-2,

**a=6,c=4,

圓心到直線乎=-3的距離d=0-(-3)=3,

??.〃=20,

所以圓上的點到直線》=-3的距離的最大值是2+3=5,

???橢圓的方程是"=1

2036故選：C.

故選：D.

8.B

錯因：

2

【解析】先求出在2,而2,福,ABAD^布?羽，ADAAyt再計算|而|即可.

忽略了A、B、C三點不共線這一隱含條件.

【詳解】解：因為底面18CZ)是邊長為1的正方形，側(cè)棱44=2且4/0=4/8=60°,

正解：

則而I,而〈I,麗Z，淺.%=0,-44=牌|?網(wǎng)卜cos4/8=1,ADAA[=/卜甌}cosZJ/Q=1,

???△/18C的周長為20,頂點5(0,-4),。(0,4),

???閘=8,"3|+0。|=20-8=12,

V12>8,陛+質(zhì)+祠

???點/到兩個定點的距離之和等于定值，

=.48+AD+

???點力的軌跡是橢圓，

=+.iD+AA'J+2AB-.14+2AB-AD+2/1Z)-AA}

?；a=6,c=4,

.?方=20,=71+1+4+2+0+2

工橢圓的方程是[+[=l(x=0)

故選：B.故選：B.

7.C【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，向量的模的計算公式，是中檔題.

【分析】根據(jù)圓上?點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑即可求出結(jié)果.9.ACD

答案第2頁，共7頁

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，求出公差和通項公式，再利用前〃項和公式即可求解.11.BC

【詳解】由題意可知：q=11,4=8-11=-3：【分析】利用直線和圓的相關(guān)性質(zhì)求解即可.

【詳解】易知直線/必過點(7,0),故A錯誤：

A=11+(n-1)x(-3)=-3//+14；

點(7,0)在圓￡內(nèi)，所以直線/與圓E必相交，故B正確：

.c(II-3w+I4)w25M-3M2

Y==——'

圓心現(xiàn)0,0)到直線/的距離d=~7」匚，當(dāng)川=0時距離取最大值1,故C正確：

.e_250-300供

??幾=-------=-25:

當(dāng)用=；時，直線/：x+j，+l=0,則直線/被圓E截得的弦長為2,3-(彳彳］=加，故D錯誤.

由-3〃+14=-49,得〃=21.

故選：ACD.

故選：BC

10.BD

12.BD

【分析】由拋物線方程得準線方程，得拋物線焦點坐標，從而得雙曲線的焦點坐標，求得參數(shù)得實軸氏和離

【分析】如圖，以。為原點，以。4。0?？谒谥本€分別為乂乂2建立空間直角坐標系，對于A,利用面面平行

心率，由雙曲線定義可求得點到焦點的距離|叫|.

性質(zhì)結(jié)合平行公理分析判斷，對于B,通過計算慈?簫進行判斷，對于C,利用向量的夾角公式求解，對于D,

【詳解】解：對于A,拋物線jJ=-4"x的準線方程是x=",A選項錯誤；

利用%-ADF=喙求解.

對于B,拋物線V=-4j7x的焦點是(_J7,0),所以K(_J7,O),鳥(J7,0),c=幣,

【詳解】如圖，以。為原點，以。□所在直線分別為x，，'，2建立空間直角坐標系，則

在雙曲線中/=/+反，則/+3=7，解得a=2或。=-2(舍去)，

D(0.0,0),/1(1,0,0),^(1,1,0),C(0,1,0),D,(0,0,1),\(1,0,1),5,(1J,1),C1(0,1,1),

所以，雙曲線的實軸長為2a=4,B選項正確；

尸(0,1,；),

對于C,雙曲線的離心率e=￡=立，C選項錯誤：

a2

對于D,由雙曲線定義||尸片-|尸用|=2a,即^-|尸可卜4,

解得|尸國=?或歸/=；＜"-2(舍去)，D選項正確；

故選：BD.

故選：BD.

13.153

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)。向=4+2得到數(shù)列｛q｝是首項%=-7,公差d=%-q=2的等差數(shù)列

貝Ijq+a?+…+《7=17x(-7)+-^y^x2=153.

對于A,假設(shè)直線月A與直線E尸共面，因為平面平面。CGA，平面力E/肛n平面力644=平面故答案為：153.

DCCXD.PI平面ABB.4=。尸,

14.x2+(y-l)2=2

所以/E〃"F,

【分析】求出圓心的坐標以及圓。的半徑，即可得出圓。的方程.

因為所以CQI〃DF，矛盾，所以直線力A與直線E尸不共面，所以A錯誤;【詳解】在直線x-y+i=o方程中，令x=o,可得y=i,故圓心為C(O,1),

對于B,因為軍酢所以，圓C的半徑為『=丁:五?

所以率?蕭=0+；-；=0,所以而1.肝，所以4EJ_N尸，所以B正確，

因此，圓C的方程為x?+(y-l)2=2.

對于C,設(shè)直線川與直線8尸的所成角為6,因為而=(0,；,-1)歷=(-1,0,￡|,

故答案為：x2+(.y-l)2=2.

______115.25/2

所以8S"H花麗)卜用菽=51尸%]

【分析】由題意可知曲線為等軸雙曲線，結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)可得答案.

所以8*60。，所以C錯誤，【詳解】由題意可知，。=1,b=\,c=JJ，雙曲線是等軸雙曲線，則兩條漸近線的夾角是90。，因為在直角三

角形中，斜邊中線是斜邊一半，故|尸。=2五.

對于D,因為.4Q_L平面。CCQ,

故答案為：2應(yīng)

所以匕;-血=，A-C\DF=§5調(diào)*，。=5*[二5*1><1=F，所以D正確,

16.35

答案第4頁，共7頁

【分析】利用列舉法列舉數(shù)列的前10項，然后求和.即C的標準方程是/=8.x.

【詳解】容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛凡｝的各項為：1,2,2,3,3,4,4,5,5…，故｛%｝的前10項和為

(2)由題意得，拋物線的焦點為尸(2,0),

(1+2+…+5)+(2+3+…+6)=35.

，/的方程為丁=x-2,/(為，乂),B(X,,y2),

故答案為：35

17.(1)--21=1f/=8x■>

〈=>.v"-12x+4=0,

88｛y=x-2

⑵工+匕=1

1612X)+JC2=12,工吊=4,

【分析】(I)設(shè)等軸雙曲線的方程為E=l(a>0)，根據(jù)雙曲線的焦點坐標求出。的值，即可得出雙曲線的

a~a~???|幽=Jl+4,卜-A-,|=V2-V122-4X4=16.

方程；

綜上所述，線段的長度為16.

(2)求出。、力的值，結(jié)合橢圓的焦點位置可得出所求橢圓的標準方程.

【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：

【詳解】(1)解：設(shè)等軸雙曲線的標準方程為1-與=1(。>0),則《=缶=4,可得°=28，

a'a

(1)得出直線方程，設(shè)交點為/(司，乂)，8(.0%)；

因此，所求雙曲線的標準方程為二-亡=1.

88

(2)聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于無(或的一元二次方程；

(2)解：設(shè)橢圓的標準方程為，■+方則c=2,6=2石，:.a=>lb2+c2=4,

(3)寫出韋達定理：

因此，所求橢網(wǎng)的標準方程為工+匕=1.

(4)將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為演+々，1馬形式：

1612

18.(1)4：(2)16.(5)代入韋達定理求解.

【解析】⑴由題可得勺2,即可求出〃：19.(1)佝=2187

(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式可求出.

lw

(2)當(dāng)g=2時，q+%+……+fl?=2-l；當(dāng)g=3時，&+%++%=

【詳解】(1)?.4(2,0),則由拋物線性質(zhì)得曰=2,

?'?p=4,/.y2=,

1分析】(1)首先根據(jù)題意得到％=；,再根據(jù)%=qg"求解即可.設(shè)々=(x,y,z)是平面的一個法向量,

(2)首先根據(jù)題意得到9=2或g=3,再分別求和即可.^-DE=o(y+z=o

則由1.而=0'^\2x+2y=0.Mj=(1,-1,1).

【詳解】<1)因為$=4+%+%=?，9=3,

,:PA,〃]=2-2=0,

所以q+%,+%=?,解得

：.PALnx,

所以%=%q'=；x3"=2187.

又H4Q平面BDE，：.P4〃平面BDE.

(2)。，=6,6ai+%=30,所以％?+a,夕=30,即/一5g+6=0,解得夕=2或夕=3.

q

當(dāng)"2時，q=3,

50100

所以q+a3+……=MlL4-1=2-1.

當(dāng)夕=3時，4=2,

(2)由(1)知E=(1，T，D是平面的一個法向量，

2(1-950)3100T

所以q+%+....+%=

1-94

又%=方=(2,0,0)是平面DEC的一個法向量.

20.(1)證明見解析