專(zhuān)題02 數(shù)列（解答題12種考法）（精練）（解析版）

專(zhuān)題02數(shù)列（解答題12種考法）1．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)（）(2)【解析】（1）因?yàn)?，（），所以，（），所以，，，…，，（且），所以（且），整理得：（且），即，（且），又因?yàn)?，所以，（且），?dāng)時(shí)，適合上式，所以，（）.（2）由（1）知，，所以，即.2．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，，故等比數(shù)列的公比為，，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由得：，，故，即，，，得：，故．3（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【解析】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，即，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.（2）解：因?yàn)椋瑒t，①可得，②①②得，故.4．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且是和的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意可得，，且公差為，則，解得，則.（2）由（1）可知，，則，則，則.5．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若______，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并解答問(wèn)題．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）由，得，且，（i）所以當(dāng)時(shí)，，（ii）（i）（ii），得，所以．當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，所以，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以．（2）若選①：，則，所以，所以，所以．若選②：，則若選③：因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以27為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．6．（2023秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】（1）已知，當(dāng)時(shí)，即，由解得.當(dāng)時(shí)，，則相減得.當(dāng)時(shí)也成立.所以對(duì)于都有成立.上式化為，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為3，則，即.（2）因?yàn)?，則，兩式相減得，所以.7．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列和各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿(mǎn)足：，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列是由數(shù)列和中不同的項(xiàng)按照從小到大的順序排列得到的新數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)，(2)15220【解析】（1）根據(jù)條件，設(shè)，，又，解得，故，.（2）當(dāng)時(shí)，，由，得，，又，，，，故在數(shù)列的前100項(xiàng)中含有數(shù)列中的4項(xiàng)，所以，所以.8．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）由，得，令，有，，當(dāng)時(shí)，，又滿(mǎn)足上式，于是，則，當(dāng)時(shí)，，又滿(mǎn)足上式，因此，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）由（1）知，，所以．9．（2023秋·天津河?xùn)|·高三校考階段練習(xí)）正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為3的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，正項(xiàng)數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】(1)，；(2)(3)【解析】（1）根據(jù)題意可設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由可得，即，解得或（舍）；即所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；由可得，即，解得或（舍）；所以；即數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可知，數(shù)列的前項(xiàng)的和即可得.（3）由（1）可得；所以數(shù)列的前項(xiàng)的和，，兩式相減可得，所以10．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，是與9的等差中項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)足（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）依題意，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，又，有，則當(dāng)，，因此數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比的等比數(shù)列，而，即，解得，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，于是不等式化為：，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞增，當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減，從而，則，所以實(shí)數(shù)的最小值為.11.（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以，即所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以；（2）.12．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意，且當(dāng)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【解析】（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴.（2）因?yàn)?，所以∴?dāng)時(shí)，，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.13．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┯洖閿?shù)列的前n項(xiàng)和，已知.(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{}滿(mǎn)足且，的前n項(xiàng)和為，證明:.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由，由可得，則時(shí)，兩式相減可得，化為，因?yàn)?，所以，?shù)列{}是首項(xiàng)與公差都是2的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）得，又，所以，，所以，，，14．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列和滿(mǎn)足：，，（為常數(shù)，且）．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若當(dāng)和時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值，求的表達(dá)式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【解析】（1）因?yàn)?，即，所以，而，所以，即，即?shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以．因?yàn)楫?dāng)和時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值，所以，即，解得．所以．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以先增后減，在和時(shí)取得最大值，符合題意．此時(shí)．15．（2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求集合中元素的個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以所以，?又因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)椋粤?，得，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為.16．（2023秋·天津紅橋·高三天津市瑞景中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(3)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(4)記的前項(xiàng)和為，求證：；【答案】(1)，；(2)；(3)；(4)證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，得，，解得，或（舍去），所以，.（2）由（1）知，，，則，所以.（3）由（1）知，，于是，兩式相減得，所以.（4）由（1）知，，，于是所以.17．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.（2）由（1）得：，，，.18．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿(mǎn)足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．19．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿(mǎn)足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.20．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【解析】1）設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因?yàn)?，所以，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.21．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為和，且對(duì)任意，恒成立.(1)若，，求；(2)若對(duì)任意，都有及恒成立，求正整數(shù)的最小值.【答案】(1)；(2)3【解析】（1）由題設(shè)，且，而，顯然也滿(mǎn)足上式，故，由，又，所以是首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列.綜上，.（2）由，，則，所以，而，故，即是公比為3的等比數(shù)列.所以，則，，而，所以，所以對(duì)都成立，所以，故，則正整數(shù)的最小值為3.22．（2022·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校校考一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，可得，令，可得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知，且，當(dāng)時(shí)，可得成立；當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，可得，可得，所以，綜上可得，.23．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)校考二模）在某個(gè)周末，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約打臺(tái)球．四人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩組，進(jìn)行組內(nèi)一對(duì)一對(duì)打；②第一輪甲乙對(duì)打、丙丁對(duì)打；③每輪游戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對(duì)打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一輪游戲中對(duì)打；④每輪比賽均無(wú)平局出現(xiàn)．已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為，甲勝丙、乙勝丁的概率均為，甲勝丁的概率為．(1)設(shè)在前三輪比賽中，甲乙對(duì)打的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)求在第10輪比賽中，甲丙對(duì)打的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題可知，甲乙在第一輪對(duì)打，且在第二輪不對(duì)打，所以的可取值為1，2，，則，所以X的數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)在第輪中，甲乙對(duì)打的概率為，甲丙對(duì)打的概率為，甲丁對(duì)打的概率為，易知，，，且，又，所以，整理得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，即，所以，則，故在第10輪比賽中，甲丙對(duì)打的概率為．24．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，從①；②，；③中任選一個(gè)條件作為已知，并解答下列問(wèn)題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析.【解析】（1）選擇①：因?yàn)?，則，兩式相減得，即，而，，則，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.選擇②：因?yàn)椋瑒t，于是當(dāng)時(shí)，，即，由，得，即有，因此，，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.選擇③：因?yàn)?，又，則，即，顯然，于是，即是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而，即，因此，而滿(mǎn)足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，則，顯然數(shù)列單調(diào)遞減，于是，則，所以.25．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某知識(shí)測(cè)試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A，B，C，D這4個(gè)選項(xiàng)，4個(gè)選項(xiàng)中僅有兩個(gè)或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.已知測(cè)試過(guò)程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇，每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.若第一題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為；第題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為.(1)若第二題只選了“C”一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)Y表示第n題得分，求證：.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；(2)(3)證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率.設(shè)事件表示選項(xiàng)“C”為第二題的一個(gè)正確選項(xiàng)，用隨機(jī)變量表示第二題得分.依題得，可能取值為.因?yàn)椋?，所以所以的分布列?所以.（2）依題得，，所以，又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以，.（3）由（2）可知，，.依題得，可能取值為.，，所以.26．（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)?？级＃┮阎炔顢?shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.設(shè)表示不超過(guò)的最大正整數(shù)，求使的最大正整數(shù)的值.【答案】(1)(2)64【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得，則，所以，因?yàn)?，則，所以，則，即數(shù)列是以首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，則，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以使的最大正整數(shù)的值為64.27．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，．若對(duì)于任意，有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1），∴，，∴,∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，也符合上式，∴．（2），∵，∴，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，存在，（其中，