新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章復(fù)數(shù)7.2復(fù)數(shù)的四則運算7.2.1復(fù)數(shù)的加減運算及其幾何意義教師用書新人教A版必修第二冊

7.2復(fù)數(shù)的四則運算7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義學(xué)習(xí)任務(wù)1．把握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)2．了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義．(直觀想象)我們知道，任意兩個實數(shù)都可以相加，而且實數(shù)中的加法運算還滿足交換律與結(jié)合律，即a，b，c∈R時，必定有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．那么，復(fù)數(shù)中的加法應(yīng)當(dāng)如何規(guī)定，才能使得類似的交換律與結(jié)合律都成立呢？學(xué)問點1復(fù)數(shù)的加、減運算1．復(fù)數(shù)加法、減法的運算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，則有：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．2．復(fù)數(shù)加法的運算律設(shè)z1，z2，z3∈C，則有：交換律：z1＋z2＝z2＋z1；結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．兩個實數(shù)之和仍是一個實數(shù)，兩個復(fù)數(shù)之和仍是一個復(fù)數(shù)，那么兩個虛數(shù)之和仍是一個虛數(shù)嗎？[提示]不肯定，如i＋(－i)＝0．2．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1－z2>0，能否認為z1>z2?[提示]不能．如2＋i－i>0，但2＋i與i不能比較大?。畬W(xué)問點2復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)向量分別為OZ1，OZ2，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量OZ與復(fù)數(shù)z1＋z2對應(yīng)，向量Z2Z13．類比確定值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？[提示]|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點Z到點Z0的距離．已知向量OZ1對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－3i，向量OZ2對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－4i，則向量Z11－i[Z1Z2＝OZ2-OZ1＝(3－類型1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算【例1】(1)計算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y為實數(shù)，若z1－z2＝5－3i，則|z1＋z2|＝________．(1)－2－i(2)2[(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i．(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，所以5x-所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，則z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝2．]復(fù)數(shù)加減運算的方法技巧(1)可把復(fù)數(shù)運算類比實數(shù)運算，若有括號，先計算括號里面的；若沒有括號，可以從左到右依次進行．(2)當(dāng)利用交換律、結(jié)合律抵消掉某些項的實部或虛部時，可以利用運算律簡化運算，留意正負號法則與實數(shù)相同，不能弄錯．[跟進訓(xùn)練]1．復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對應(yīng)的點在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限A[復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其對應(yīng)的點為(9，1)，在第一象限．]類型2復(fù)數(shù)代數(shù)形式加、減運算的幾何意義【例2】(1)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2．則|z1－z2|＝________．(2)如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i，試求：①AO所表示的復(fù)數(shù)，BC所表示的復(fù)數(shù)；②對角線CA所表示的復(fù)數(shù)；③對角線OB所表示的復(fù)數(shù)及OB的長度．(1)2[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，知z1，z2，z1＋z2對應(yīng)的點是一個邊長為1的正方形的三個頂點，所求|z1－z2|是這個正方形的一條對角線長，所以|z1－z2|＝2．](2)[解]①AO＝－OA，∴AO所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i．∵BC＝AO，∴BC所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i．②∵CA＝OA-∴CA所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．③對角線OB＝OA+OC，它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i,|OB|＝12利用復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義解題的技巧(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運算去處理．(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復(fù)數(shù)運算也可以賜予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運用于幾何之中．[跟進訓(xùn)練]2．復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．[解]設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z3在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為A，B，C，正方形的第四個頂點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x＋yi(x，y∈R)，如圖．則AD＝OD-OA＝(x，y)－(1，2)＝(x－1，y－BC＝OC-OB＝(－1，－2)－(－2，1)＝(1，－∵AD＝BC，∴x解得x=2，y=-1，故點類型3復(fù)數(shù)模的最值問題【例3】(1)假如復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1 B．12C．2 D．5(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．(1)A[設(shè)復(fù)數(shù)－i，i，－1－i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1，Z2，Z3，由于|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點Z的集合為線段Z1Z2．問題轉(zhuǎn)化為動點Z在線段Z1Z2上移動，則求|ZZ3|的最小值，由于|Z1Z3|＝1．所以|z＋i＋1|min＝1．](2)[解]如圖所示，設(shè)OM＝－3－i，則|OM|＝-32所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1．|z1－z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1，z2對應(yīng)的兩點間的距離．利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點間的距離問題，從而進行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解．[跟進訓(xùn)練]3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值．[解]由于|z|＝1且z∈C，作圖如圖，所以|z－2－2i|的幾何意義為單位圓上的點M到復(fù)平面上的點P(2，2)的距離，所以|z－2－2i|的最小值為|OP|－1＝22－1．1．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝()A．8i B．6C．6＋8i D．6－8iB[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]2．設(shè)z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限D(zhuǎn)[∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，∴z1－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限．]3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i和1＋3i分別對應(yīng)向量OA和OB，其中O為坐標(biāo)原點，則|AB|＝()A．2 B．2C．10 D．4B[由復(fù)數(shù)減法運算的幾何意義知，AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1＋3i)－(1＋i)＝2i，所以|AB|＝2．]4．若|z－2|＝|z＋2|，則|z－1|的最小值是________．1[由|z－2|＝|z＋2|，知z對應(yīng)點的軌跡是到(2，0)與到(－2，0)距離相等的點，即虛軸．|z－1|表示z對應(yīng)的點與(1，0)的距離．∴|z－1|min＝1．]回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．如何理解復(fù)數(shù)的加減法？[提示]由于復(fù)數(shù)具有數(shù)與形的多重性，因此復(fù)數(shù)加減法也應(yīng)從數(shù)與形等方面領(lǐng)悟，即從代數(shù)形式上領(lǐng)悟，復(fù)數(shù)加減法類似于多項式合并同類項；從幾何形式上，復(fù)數(shù)加減法等同于向量加減法運算．2．|z－z0|的幾何意義是什么？|z－z1|＝3表示的軌跡是什么？[提示]|z－z0|表示z和z0所對應(yīng)的點的距離．當(dāng)|z－z1|＝3時，表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是以z1對應(yīng)的點為圓心，半徑為3的圓．課時分層作業(yè)(十八)復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義一、選擇題1．復(fù)數(shù)(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋i B．1－iC．i D．－iA[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i．故選A．]2．已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量如圖所示，則復(fù)數(shù)z＋1所對應(yīng)的向量正確的是()ABCDA[由圖可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，則復(fù)數(shù)z＋1所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為(－1，1)．故選A．]3．復(fù)數(shù)z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它們的和為實數(shù)，差為純虛數(shù)，則實數(shù)a，b的值為()A．a(chǎn)＝－3，b＝－4 B．a(chǎn)＝－3，b＝4C．a(chǎn)＝3，b＝－4 D．a(chǎn)＝3，b＝4A[由題意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是實數(shù)，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是純虛數(shù)，故b+4=0，a+3=0，4-b≠04．在平行四邊形ABCD中，若A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為()A．5 B．5C．25 D．10B[依題意，AC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長度為|－3－4i|＝5．]5．(多選)3+2i-1+iA．點(3，2)與點(B．點(3，2)與點C．點(2，D．坐標(biāo)為(-2ACD[由復(fù)數(shù)的幾何意義，知復(fù)數(shù)3＋2i，1＋i分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(3，2)與點(1，1)，所以3+2i-1+i表示點(3，2)與點(1，1)之間的距離，故A說法正確，B說法錯誤；3+2i-1+i＝2+i，2+i可表示點2，1到原點的距離，故C說法正確；3+2i-1+i＝1+二、填空題6．已知復(fù)數(shù)z滿足z＋(1＋2i)＝5－i，則z＝________．4－3i[z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i．]7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)－3－i與5＋i對應(yīng)的向量分別是OA與OB，其中O是原點，則向量OA+OB＝________，則BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為________，A，B兩點間的距離為2－8－2i217[向量OA+OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－3－i)＋(5＋i)∵BA＝OA-∴向量BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．∴A，B兩點間的距離為|－8－2i|＝-82+-8．已知|z|＝4，且z＋2i是實數(shù)，則復(fù)數(shù)z＝________．±23－2i[由于z＋2i是實數(shù)，所以可設(shè)z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±23，所以z＝±23－2i．]三、解答題9．已知復(fù)數(shù)z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R)．(1)當(dāng)a為何值時，復(fù)數(shù)z1－z2＋z3是實數(shù)？(2)當(dāng)a為何值時，復(fù)數(shù)z1－z2＋z3是純虛數(shù)？[解]由題意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i．(1)若復(fù)數(shù)z1－z2＋z3是實數(shù)，則a＋4＝0，即a＝－4．(2)若復(fù)數(shù)z1－z2＋z3是純虛數(shù)，則1-2a+a210．已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是純虛數(shù)，那么實數(shù)a的值為()A．1 B．2C．－2 D．－2或1C[由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是純虛數(shù)，得a2-2+a=0，11．A，B分別是復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，O是坐標(biāo)原點，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則△AOB肯定是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形B[依據(jù)復(fù)數(shù)加(減)法的幾何意義，可知以O(shè)A，OB為鄰邊所作的平行四邊形的對角線相等，則此平行四邊形為矩形，故△AOB12．(多選)設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，i為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是()A．z＋z∈RB．z－z是純虛數(shù)C．若z＝cosπ5＋isin3π5，則|zD．若|z－i|＝1，則|z|的最大值為2AD[由于復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)為z的實部相等，虛部互為相反數(shù)，所以z＋z∈R，A正確；當(dāng)z為實數(shù)時，z也為實數(shù)，則z－z是實數(shù)，B錯誤；若z＝cosπ5＋isin3則|z|＝cos2π5+sin若|z－i|＝1，設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則x2＋(y－1)2＝1，則|z|表示滿足方程x2＋(y－1)2＝1的圓上的點到原點的距離，其最大值為2，D正確．]13．設(shè)f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，則f(z1＋z2)＝________．3＋32[z1＋z2＝3＋3i，故f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋32．]14．在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝32，求|z1＋z2|．[解]設(shè)OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2，則OA+OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＋z2，OA-OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1－z2，由于|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|所以△AOB為等腰直角三角形，且|BA|＝3