河南省南陽地區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月階段檢測考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

大聯(lián)考南陽地區(qū)2024春高二年級(jí)3月階段檢測考試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊第七章，選擇性必修第二冊第一章．5．本試卷可能用到的公式及數(shù)據(jù)：在兩個(gè)變量與的列聯(lián)表中，，，0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．對(duì)甲、乙兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖（左圖為甲，右圖為乙），下列結(jié)論不正確的是（）A．甲、乙兩組數(shù)據(jù)都呈線性相關(guān) B．乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度比甲強(qiáng)C．乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r比甲大 D．乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值更接近12．若數(shù)列滿足，，則（）A． B．5 C． D．3．為促進(jìn)學(xué)生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，提高體質(zhì)健康水平，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行“是否喜歡體育鍛煉”的問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：性別體育鍛煉合計(jì)喜歡不喜歡男女5080合計(jì)110下列結(jié)論不正確的是（）A．樣本中男生所占比例為60%B．估計(jì)該校不喜歡體育鍛煉的學(xué)生所占比例為45%．C．樣本中喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人D．沒有99.9%的把握認(rèn)為是否喜歡體育鍛煉與性別有關(guān)聯(lián)4．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，則（）A．729 B． C． D．21875．某老師很喜歡某APP中的“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對(duì)的題數(shù)，如下表：天數(shù)1234567一次最多答對(duì)題數(shù)1416182121a27根據(jù)最小二乘法得到關(guān)于的回歸直線方程為，則（）A．22 B．23 C．24 D．256．已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列滿足若，則所有可能的取值之和為（）A．15 B．29 C． D．417．某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)均為，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的．若有的把握認(rèn)為喜歡短視頻和性別相關(guān)聯(lián)，則的最小值為（）A．18 B．20 C．22 D．248．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…．其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和．后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．記為“斐波那契數(shù)列”的前項(xiàng)和，若，，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列結(jié)論正確的是（）A．兩個(gè)變量x，y的線性相關(guān)系數(shù)越大，則與之間的線性相關(guān)性越強(qiáng)B．若兩個(gè)變量x，y的線性相關(guān)系數(shù)，則與之問不具有線性相關(guān)性C．在一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為0.9D．在一組樣本數(shù)據(jù)中，根據(jù)最小二乘法求得線性回歸方程為且，去除兩個(gè)異常數(shù)據(jù)和后，若得到的新線性回歸直線的斜率為3，則新的線性：回歸方程為10．如圖，已知點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，過作斜率為的直線與拋物線的上半部分交于點(diǎn)，以為邊構(gòu)造等邊，其中在軸上；過作直線平行于直線，交的上半部分于，以為邊構(gòu)造等邊，其中在軸上；依此類推構(gòu)造等邊三角形，…，，…．記為的邊長，為的面積，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為11．如表，在兩個(gè)變量與的列聯(lián)表中，已知，其中，下列結(jié)論正確的是（）總計(jì)abcd總計(jì)A．若每個(gè)數(shù)據(jù)a，b，c，d均變?yōu)樵瓉淼?倍，則的值不變B．越大，兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大C．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大D．若計(jì)算得到，則有的把握認(rèn)為與有關(guān)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y的一組觀測數(shù)據(jù)為，其線性回歸方程為，且，，則當(dāng)時(shí)，__________．13．以“智聯(lián)世界，生成未來”為主題的2023世界人工智能大會(huì)在中國上海舉行，人工智能的發(fā)展為許多領(lǐng)域帶來了巨大的便利，但同時(shí)也伴隨著一些潛在的安全隱患．為了調(diào)查人們對(duì)人工智能所持的態(tài)度，某機(jī)構(gòu)從所在地區(qū)隨機(jī)調(diào)查100人，所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：年齡在50歲以上（含50歲）年齡在50歲以下性別男女男女持支持態(tài)度15103015不持支持態(tài)度101055__________（填“有”或“沒有”）的把握認(rèn)為所持態(tài)度與年齡有關(guān)．14．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其信徒組成的學(xué)派，他們把美學(xué)視為自然科學(xué)的一個(gè)組成部分．美表現(xiàn)在數(shù)量比例上的對(duì)稱與和諧，和諧起于差異的對(duì)立，美的本質(zhì)在于和諧．他們常把數(shù)描繪成沙堆上的沙?；蛐∈?，并由它們排列而成的形狀對(duì)自然數(shù)進(jìn)行研究．如圖所示，圖形的點(diǎn)數(shù)分別為1，5，12，22，…，總結(jié)規(guī)律并以此類推下去，第10個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為___________，若這些數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）能源和環(huán)境問題是目前全球性急需解決的，發(fā)展新能源是時(shí)代的要求，是未來生存的要求，新能源汽車不僅對(duì)環(huán)境保護(hù)具有重大意義，而且還能夠減少對(duì)不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向．“保護(hù)環(huán)境，人人有責(zé)”，在政府和有關(guān)企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表：年份20192020202120222023編號(hào)x12345購買汽車y/萬輛0.400.601.001.201.80（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求變量y與x的線性回歸方程，并根據(jù)線性回歸方程預(yù)測該地區(qū)2025年新能源汽車的購買量．（2）為了調(diào)查購買新能源汽車后使用的滿意度，從往年購買新能源汽車的所有用戶中隨機(jī)抽取100位進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：滿意不滿意2019年購買532020年購買832021年購買1462022年購買1872023年購買306用頻率近似概率，若從往年購買新能源汽車的所有用戶中隨機(jī)抽取3位用戶深入調(diào)查客戶需求及建議，設(shè)為抽取的3人中對(duì)新能源汽車滿意的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：，．16．（15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：為等比數(shù)列．（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．（15分）第18屆亞洲杯于2024年1月12日在卡塔爾舉行，該比賽吸引了億萬球迷觀看．為了了解某校大學(xué)生喜歡觀看足球比賽是否與性別有關(guān)，該大學(xué)記者站隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，記“從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取的1名學(xué)生為男生”為事件，“從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取的1名學(xué)生喜歡觀看足球比賽”為事件，“從這100名學(xué)生里男生和女生中各隨機(jī)抽取1人，抽取的2人都喜歡觀看足球比賽”為事件，且，，喜歡觀看足球比賽的學(xué)生中女生的人數(shù)比男生少．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為喜歡觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián)．男女合計(jì)喜歡看足球比賽不喜歡觀看足球比賽合計(jì)（2）在喜歡觀看足球比賽的學(xué)生中，按性別用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人參加校記者站的訪談節(jié)目，設(shè)抽到的男生人數(shù)為X，求X的分布列和期望．18．（17分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）證明：是單調(diào)遞減數(shù)列．（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（17分）某公司為了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對(duì)年銷售額（單位：億元）的影響，對(duì)公司近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)，進(jìn)行了對(duì)比分析，建立了①，②兩個(gè)模型，其中均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值．令，經(jīng)計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：22665885522764605312503645403.081334（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型的擬合程度更好；（2）由（1）的結(jié)論，求擬合程度更好的線性回歸方程；（3）若該公司計(jì)劃年銷售額突破10億元，根據(jù)以上所求的線性回歸方程，預(yù)測該公司年研發(fā)資金投入量至少為多少億元．附：相關(guān)系數(shù)．線性回歸方程中，，．?。舐?lián)考南陽地區(qū)2024春高二年級(jí)3月階段檢測考試卷數(shù)學(xué)參考答案1．C由散點(diǎn)圖可以看出，甲、乙兩組數(shù)據(jù)都呈線性相關(guān)，所以A正確；乙圖的點(diǎn)相對(duì)更加集中，所以其相關(guān)性較強(qiáng)，更接近1，所以B，D正確；甲圖是正相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)大于0，乙圖是負(fù)相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)小于0，所以C錯(cuò)誤．2．A因?yàn)?，，所以，，，所以是周期?的數(shù)列，故．3．D完善列聯(lián)表如下：性別體育鍛煉合計(jì)喜歡不喜歡男8040120女305080合計(jì)11090200樣本中男生所占比例為，所以A正確；估計(jì)不喜歡體育鍛煉的學(xué)生所占比例為，所以B正確；喜歡體育鍛煉的男生有80人，中體育鍛煉的女生有30人，所以C正確；根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，所以有的把握認(rèn)為是否喜歡體育鍛煉與性別有關(guān)聯(lián)，所以D錯(cuò)誤．4．B設(shè)的公比為，則，，．因?yàn)?，所以，又，所以，所以．因?yàn)榈母黜?xiàng)均為正數(shù)，所以．因?yàn)?，所以?．B因?yàn)椋?，所以，解得?．B因?yàn)?，所以，所以，．若為奇?shù)，則，；若為偶數(shù)，則，．當(dāng)時(shí)，同理得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，同理得或．故所有可能的取值之和為．7．B根據(jù)題意，寫出列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計(jì)男3m3m6m女4m2m6m合計(jì)7m5m12m則．因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為喜歡短視頻和性別相關(guān)聯(lián)，所以，解得，所以的最小值為20．8．A因?yàn)椋?，所以，所以．因?yàn)?，所以?．BD對(duì)于A，越大，與之間的線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則樣本數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)性，所以B正確；對(duì)于C，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)完全相關(guān)，所以這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以去除兩個(gè)異常數(shù)據(jù)和后，所以到新的，因?yàn)榍遥?，．因?yàn)榈玫降男戮€性回歸直線的斜率為3，，所以新的線性回歸方程為，所以D正確．10．ACD依題意可得，則，解得，A正確．因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以，則，于是有，整理得①，則②，②-①得．因?yàn)椋?，則是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，，則，B錯(cuò)誤．，，C正確．因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)和為，D正確．11．BCD對(duì)于A，若列聯(lián)表中的每個(gè)數(shù)字均變成原來的2倍，則，此時(shí)的值變?yōu)樵瓉淼?倍，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，同一個(gè)樣本中，越小，說明兩個(gè)變量的關(guān)系越弱，越大，說明兩個(gè)變量有關(guān)的關(guān)系越強(qiáng)，所以B正確；對(duì)于C，獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大，所以C正確；對(duì)于D，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知，所以有的把握認(rèn)為與有關(guān)，所以正確．12．42因?yàn)?，，所以，．因?yàn)榫€性回歸直線過樣本點(diǎn)的中心，所以，所以，所以線性回歸方程為．當(dāng)時(shí)，．13．有將表整理成如下列聯(lián)表：年齡在50歲以上（含50歲）年齡在50歲以下總計(jì)持支持態(tài)度254570不持支持態(tài)度201030總計(jì)4555100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，所以有的把握認(rèn)為所持態(tài)度與年齡有關(guān)．14．；由圖知，，，，…，，累加得，所以．因?yàn)椋裕?5．解：（1）因?yàn)?，，所以，，所以，，所以關(guān)于的線性回歸方程是．當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測該地區(qū)2025年新能源汽車購買量約為2.36萬輛．（2）由樣本知往年購買新能源汽車用戶的滿意率為，易知．所以；；；．的分布列為0123所以．16．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，等式兩邊同乘以可得，所以．又，所以是以12為首項(xiàng)，6為公比的等比數(shù)列．（2）解：由（1）知，則，．令，①，②②-①可得，所以．因?yàn)?，所以的前?xiàng)和．17．解：（1）因?yàn)椋赃@100名學(xué)生中男生有60人，女生有40人．因?yàn)?，所以這100名學(xué)生中喜歡觀看足球比賽的有60人，不喜歡觀看足球比賽的有40人．設(shè)男生中喜歡觀看足球比賽的人數(shù)為，則女生中喜歡觀看足球比賽的人數(shù)為，因?yàn)?，解得．列?lián)表如下：男女合計(jì)喜歡觀看足球比賽402060不喜歡觀看足球比賽202040合計(jì)6040100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，所以有的把握認(rèn)為喜歡觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián)．（2）按照分層隨機(jī)抽樣的方式抽取6人，根據(jù)抽樣比可知應(yīng)抽取男生4人，女生2人，則的可能取