2023年北京大學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)科學(xué)夏令營(yíng)試題（含答案）

年北大夏令營(yíng)試題解答與評(píng)析2023年8月5日和6日進(jìn)行了兩場(chǎng)考試，每天上午各一場(chǎng)，每場(chǎng)4小時(shí)4題.試題第1，5，7題較簡(jiǎn)單，第3，4，6題難度中等，第2，8題較困難.試題整體思想性較強(qiáng)，需要將問(wèn)題想到位，想清楚.筆者水平有限，解答如有不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.I.試題1.設(shè)奇數(shù)，求證：是無(wú)理數(shù).2.對(duì)正整數(shù)，用表示在十進(jìn)制中的數(shù)碼和之和.求證：對(duì)任意正整數(shù)，3.在中，是最長(zhǎng)邊.設(shè)的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)分別交于點(diǎn)關(guān)于此中垂線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.設(shè)的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)分別交于點(diǎn)關(guān)于此中垂線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.設(shè)交于點(diǎn)的外接圓與直線(xiàn)交于另一點(diǎn)的外接圓與直線(xiàn)交于另一點(diǎn).過(guò)作的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于，設(shè)是的交點(diǎn)，是外接圓平行于的直徑，求證：直線(xiàn)交于一點(diǎn).4.將一個(gè)方格表的每個(gè)格黑白染色，滿(mǎn)足每個(gè)小正方形中均至少有一個(gè)黑格，且每個(gè)黑格均在一個(gè)小黑色正方形中.記為每行中黑格的個(gè)數(shù)，為每列中黑格的個(gè)數(shù)，求的最大值.5.給定正整數(shù).求所有的數(shù)組，使得對(duì)任意滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)組，都有.6.是否存在質(zhì)數(shù)和非零整系數(shù)多項(xiàng)式，使得對(duì)任意正整數(shù)中至少有個(gè)正整數(shù)使得？7.魔術(shù)師和小美在的方格表中放入或的骨牌.魔術(shù)師先放入一些兩兩無(wú)公共格的骨牌，滿(mǎn)足對(duì)任意，方格表中每個(gè)的正方形至多與個(gè)已放入的骨牌有公共格.求證：小美可以再放入骨牌恰覆蓋方格表中余下的方格.8.設(shè)簡(jiǎn)單有向圖的頂點(diǎn)是（10行1000列）的格點(diǎn).的邊滿(mǎn)足：除最后一列外，每個(gè)頂點(diǎn)恰有三條有向邊指向下一列的三個(gè)不同頂點(diǎn)；除第一列外，每個(gè)頂點(diǎn)恰有三條有向邊被前一列的三個(gè)不同頂點(diǎn)指向；中無(wú)其他邊.對(duì)最后一列的每個(gè)頂點(diǎn)賦予一個(gè)實(shí)數(shù).對(duì)其余每個(gè)頂點(diǎn)，若從出發(fā)指向，則遞歸定義.求證：.II.解答與評(píng)注題1.證明1用反證法，若是有理數(shù)，設(shè)為，其中為正整數(shù).則.又由且，得為一根.化簡(jiǎn)得模并結(jié)合，可得，與為大于等于3的奇數(shù)矛盾!證明2用反證法，若是有理數(shù)，設(shè)為，其中為正整數(shù)，.易得.則.記，且.則.歸納易證明為奇數(shù)，且，也即說(shuō)明這樣的存在且單調(diào)遞增.只需注意到為奇數(shù)，.由歐拉定理，知有，與單調(diào)遞增矛盾.評(píng)注本題較為簡(jiǎn)單，做法也較多，法一引入切比雪夫多項(xiàng)式，是考場(chǎng)上大多數(shù)同學(xué)的證法.法二較為巧妙.由法一可以看出是代數(shù)整數(shù)，故若其為有理數(shù)則必定為整數(shù)，則為奇數(shù)的條件可加強(qiáng)為.題2.證明記為在十進(jìn)制中數(shù)碼和.不妨設(shè)，只需證明對(duì)歸納，時(shí)成立.若命題對(duì)小于的數(shù)均成立，設(shè).①.設(shè).對(duì).有又歸納假設(shè)有兩式相加即證.需證②.有，只又時(shí)，.只需證即，化為歸納假設(shè).③.設(shè).有只需證若，化為更弱的①②情形；若，即化為更弱的更小情形.評(píng)注本題較為復(fù)雜，雖然入手點(diǎn)較多，但無(wú)論是直接表示還是討論進(jìn)位次數(shù)最多的數(shù)都容易卡住.關(guān)鍵的想法是把看作在退位上對(duì)應(yīng)最佳，從而走通歸納法.除了此作法外，還可以應(yīng)用用類(lèi)似Kummer公式表示.通過(guò)討論進(jìn)位次數(shù)來(lái)解決一部分的情形①③），其余的情況可用歸納法解決.題3.證明易證共線(xiàn)，設(shè)為與交點(diǎn)，則是的外心.由共圓，有進(jìn)而共圓.由，有共圓，記為圓1.又由，有共圓，記為圓2.由得.再由，得與圓1相切，及.再結(jié)合，得為圓1與圓2的根軸.設(shè)與交于，由，得與圓2相切.故為圓1，圓2，點(diǎn)圓的根心.由共圓，進(jìn)而共圓，同理共圓.又共圓，得延長(zhǎng)與圓1交于，由在圓1和點(diǎn)圓根軸上得：.故共圓，直線(xiàn)與圓1交于.故與重合，即共線(xiàn).評(píng)注本題是中等難度的幾何題，作圖是一個(gè)難點(diǎn).從很多共圓可感覺(jué)到根軸根心的想法十分自然，余下部分主要是倒角.題4.解答案為，構(gòu)造為行均染黑，其余染白.因?yàn)橐虼酥恍栌?，只需設(shè)第行中某段連續(xù)黑格長(zhǎng)為，由每個(gè)黑格均在黑色正方形中，第?第行中與這一段同列的黑格總數(shù)個(gè).設(shè)第行中某段連續(xù)白格長(zhǎng)為，由每個(gè)小正方形中均至少有一個(gè)黑格，第?第行中與這一段同列黑格數(shù)各有個(gè).若，由以上論述，，由及二次函數(shù)凸性，結(jié)合得證.若，第行白格被分為至多674段，故得證.將這674條式子與相加得證.評(píng)注答案較容易猜出，此后調(diào)整法可以走通，也可以通過(guò)取等配湊均值.這一類(lèi)題目需敢于下手處理，抓住要點(diǎn)即可做出.難度中等.題5.解答案為滿(mǎn)足的所有數(shù)組.一方面，若存在，即.取使趨向于且之和為0.則趨向于0時(shí)，矛盾!另一方面，若有.即且時(shí)該式大于等于不取等.所以即，得證.評(píng)注容易看出數(shù)列應(yīng)集中于較大的一側(cè)，進(jìn)而用密度大于刻畫(huà)得到最后答案，構(gòu)造和證明自然就得到了.題6.解不存在.加強(qiáng)命題為：不存在常數(shù)，使存在質(zhì)數(shù)和非零整系數(shù)多項(xiàng)式，使得對(duì)任意正整數(shù)中至少有個(gè)正整數(shù)使得.對(duì)次數(shù)歸納證明.時(shí)平凡.若對(duì)成立，考慮的情況.用反證法.若存在常數(shù)，質(zhì)數(shù)和多項(xiàng)式，使得對(duì)任意正整數(shù)中至少有個(gè)正整數(shù)使得.引入優(yōu)化版本的Hensel引理：由反證假設(shè)，中至少有個(gè)正整數(shù)使得.待定正整數(shù)，設(shè)有個(gè)正整數(shù)使得.若不整除，則中有個(gè)數(shù)滿(mǎn)足；（由），即，所有模同余，至多個(gè)若整除，則中有個(gè)數(shù)滿(mǎn)足.故取，即.則存在個(gè)數(shù)滿(mǎn)足.由的任意性及為定值，也即存在質(zhì)數(shù)和非零整系數(shù)多項(xiàng)式，使得對(duì)任意正整數(shù)中至少有個(gè)正整數(shù)使得.又，由歸納假設(shè)得矛盾.評(píng)注考慮到Hensel定理的證明方式，可以想到把變?yōu)?，于是?duì)次數(shù)歸納.中間用到模分析?多項(xiàng)式展開(kāi)等基本數(shù)論技巧.題7.證明只用到的情況，即每個(gè)只與一個(gè)給定多米諾相交，這時(shí)給出構(gòu)造.將棋盤(pán)劃分為個(gè)兩兩不交的.若某個(gè)與給定多米諾均不交，用兩個(gè)多米諾填充該；若與一個(gè)給定多米諾相交，分類(lèi)：（1）給定多米諾落在內(nèi)部.則再放入一個(gè)多米諾填充該；（2）給定多米諾與這個(gè)（記為）與另一個(gè)（記為）均恰有一格相交.由條件，相鄰且不與其他任一個(gè)給定多米諾相交，易得可再放入三個(gè)多米諾填充和.綜上，找到了符合條件的構(gòu)造.評(píng)注很有腦筋急轉(zhuǎn)彎的感覺(jué).敢于用情況去做可以得到意外簡(jiǎn)單的答案.也可用一般的及Hall定理處理.題8.證明設(shè)行列處數(shù)為，記.記為列指向列的有向邊.下證對(duì)均成立.對(duì)某個(gè)，記列上的數(shù)為列上的數(shù)為.存在使得兩兩不同，中各出現(xiàn)3次.則最后一個(gè)等號(hào)可以這樣理解：每個(gè)出現(xiàn)于3組中，即至