高數(shù)同濟(jì)15極限運(yùn)算法則

高數(shù)同濟(jì)15極限運(yùn)算法則極限概念與性質(zhì)回顧極限運(yùn)算法則概述極限運(yùn)算法則證明及應(yīng)用多元函數(shù)極限及其運(yùn)算法則無窮小量階與主部概念及應(yīng)用連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型判斷contents目錄01極限概念與性質(zhì)回顧123描述當(dāng)自變量趨近于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值趨近于的某個(gè)確定值。極限的直觀定義對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)|x-x0|<δ時(shí)，有|f(x)-A|<ε成立，則稱A為f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限。極限的嚴(yán)格定義（ε-δ語言）根據(jù)自變量的變化趨勢，極限可分為x→x0、x→∞、x→+∞、x→-∞等類型。極限的分類極限定義及分類數(shù)列極限定義對(duì)于數(shù)列{xn}，若存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，有|xn-A|<ε成立，則稱A為數(shù)列{xn}的極限。函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系函數(shù)在某點(diǎn)的極限可以通過構(gòu)造特殊數(shù)列來求解，即海涅定理（歸結(jié)原則）。數(shù)列極限與函數(shù)極限關(guān)系03無窮小量與無窮大量的關(guān)系在自變量的同一變化過程中，無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)關(guān)系。01無窮小量定義以0為極限的變量稱為無窮小量。02無窮大量定義絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大量。無窮小量與無窮大量夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則等是判斷極限存在的重要方法。極限存在準(zhǔn)則極限具有唯一性、局部有界性、保號(hào)性、保不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算法則等重要性質(zhì)。極限的性質(zhì)極限存在準(zhǔn)則及性質(zhì)02極限運(yùn)算法則概述加法運(yùn)算法則減法運(yùn)算法則乘法運(yùn)算法則除法運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則若$limf(x)$和$limg(x)$都存在，則$lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)$。若$limf(x)$和$limg(x)$都存在，則$lim[f(x)-g(x)]=limf(x)-limg(x)$。若$limf(x)$和$limg(x)$都存在，則$lim[f(x)cdotg(x)]=limf(x)cdotlimg(x)$。若$limf(x)$和$limg(x)$都存在，且$limg(x)neq0$，則$limfrac{f(x)}{g(x)}=frac{limf(x)}{limg(x)}$。復(fù)合函數(shù)極限定理：設(shè)函數(shù)$y=f[g(x)]$是由函數(shù)$u=g(x)$與$y=f(u)$復(fù)合而成，$f[g(x)]$在點(diǎn)$x0$的某去心鄰域內(nèi)有定義。若$\lim{x\tox_0}g(x)=u_0$，且存在$\delta_0>0$，當(dāng)$x\inU^{\circ}(x_0,\delta_0)$時(shí)，有$g(x)equ0$。若$\lim{u\tou0}f(u)=A$，則$\lim{x\tox0}f[g(x)]=\lim{u\tou_0}f(u)=A$。復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則反函數(shù)極限定理：若函數(shù)$f(x)$在$x0$的某去心鄰域內(nèi)單調(diào)有界，且$\lim{x\tox_0}f(x)=A$，則其反函數(shù)$f^{-1}(y)$在$y0=A$的某去心鄰域內(nèi)單調(diào)有界，且$\lim{y\toA}f^{-1}(y)=x_0$。反函數(shù)極限運(yùn)算法則冪指函數(shù)極限定理：設(shè)$f(x)>0$，$g(x)$為實(shí)數(shù)域上的函數(shù)，若$\lim_{x\tox0}f(x)=A>0$，$\lim{x\tox0}g(x)=B$，則$\lim{x\tox0}f(x)^{g(x)}=A^B$。特別地，當(dāng)$f(x)\to1$，$g(x)\to\infty$時(shí)，有$\lim{x\tox0}(1+f(x))^{\frac{1}{f(x)}}=e$，$\lim{x\tox0}(1+f(x))^{g(x)}=e^{\lim{x\tox_0}f(x)g(x)}$。冪指函數(shù)極限運(yùn)算法則03極限運(yùn)算法則證明及應(yīng)用四則運(yùn)算法則證明若$limf(x)=A$，$limg(x)=B$，則$lim[f(x)+g(x)]=A+B$若$limf(x)=A$，$limg(x)=B$，則$lim[f(x)-g(x)]=A-B$若$limf(x)=A$，$limg(x)=B$，則$lim[f(x)cdotg(x)]=AcdotB$若$limf(x)=Aneq0$，$limg(x)=B$，則$limfrac{f(x)}{g(x)}=frac{A}{B}$加法運(yùn)算法則減法運(yùn)算法則乘法運(yùn)算法則除法運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)$y=f[g(x)]$是由函數(shù)$u=g(x)$與$y=f(u)$復(fù)合而成，若$\limu=a$時(shí)，$\limf(u)$存在，且$\limx=x_0$時(shí)，$\limg(x)=a$，則$\limf[g(x)]=\limf(u)$復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則證明若函數(shù)$f(x)$在$x_0$的某鄰域內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且$f'(x_0)eq0$，則其反函數(shù)$f^{-1}(x)$在$y_0=f(x0)$處連續(xù)，且有$\lim{y\toy_0}f^{-1}(y)=x_0$反函數(shù)極限運(yùn)算法則證明0102冪指函數(shù)極限運(yùn)算法則證明特別地，當(dāng)$f(x)to1$，$g(x)toinfty$時(shí)，有$lim[1+f(x)]^{g(x)}=e^{limf(x)g(x)}$設(shè)$f(x)>0$，若$limf(x)=a>0$，$limg(x)=b$，則$limf(x)^{g(x)}=a^b$通過四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則等，求解復(fù)雜函數(shù)的極限值求極限判斷連續(xù)性解決實(shí)際問題利用反函數(shù)極限運(yùn)算法則，判斷反函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，利用冪指函數(shù)極限運(yùn)算法則求解，如計(jì)算復(fù)利、放射性衰變等問題030201實(shí)際應(yīng)用舉例04多元函數(shù)極限及其運(yùn)算法則VS設(shè)二元函數(shù)$f(P)=f(x,y)$的定義域?yàn)?D$，$P_0(x_0,y_0)$是$D$的聚點(diǎn)。如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$epsilon$，總存在正數(shù)$delta$，使得當(dāng)點(diǎn)$P(x,y)$滿足$0<sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<delta$時(shí)，都有$|f(x,y)-A|<epsilon$成立，那么就稱常數(shù)$A$為函數(shù)$f(x,y)$當(dāng)$(x,y)to(x_0,y_0)$時(shí)的極限。幾何意義多元函數(shù)在某點(diǎn)的極限值，就是當(dāng)自變量趨近于該點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值所趨近的常數(shù)。定義多元函數(shù)極限概念

多元函數(shù)極限性質(zhì)唯一性如果多元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，那么該極限是唯一的。局部有界性如果多元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，那么在該點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，函數(shù)是有界的。局部保號(hào)性如果多元函數(shù)在某點(diǎn)的極限大于0（或小于0），那么在該點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，函數(shù)值也大于0（或小于0）。如果多元函數(shù)$f(x,y)$和$g(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$的極限都存在，那么它們的和、差、積、商（分母不為0）在點(diǎn)$(x_0,y_0)$的極限也存在，且等于各函數(shù)極限的四則運(yùn)算結(jié)果。四則運(yùn)算法則如果多元函數(shù)$u=u(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$的極限存在，且$u_0=u(x_0,y_0)$，函數(shù)$y=f(u)$在$u=u_0$處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)$y=f[u(x,y)]$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$的極限也存在，且等于$f(u_0)$。復(fù)合運(yùn)算法則多元函數(shù)極限運(yùn)算法則累次極限是指先對(duì)一個(gè)自變量求極限，再對(duì)另一個(gè)自變量求極限；而重極限是指同時(shí)對(duì)兩個(gè)自變量求極限。定義如果多元函數(shù)在某點(diǎn)的重極限存在，那么該點(diǎn)的任意累次極限也存在，且等于重極限；但反之不一定成立，即累次極限存在并不能保證重極限一定存在。例如，函數(shù)$f(x,y)=frac{xy}{x^2+y^2}$在原點(diǎn)處的兩個(gè)累次極限都存在且為0，但重極限不存在。關(guān)系累次極限與重極限關(guān)系05無窮小量階與主部概念及應(yīng)用無窮小量的定義以0為極限的變量稱為無窮小量。無窮小量的階設(shè)α、β是在同一自變量的變化過程中的兩個(gè)無窮小量，且α≠0，若β/α的極限為0，則稱β是比α高階的無窮小量，記作β=o(α)；若β/α的極限為∞，則稱β是比α低階的無窮小量；若β/α的極限為不等于0的常數(shù)c，則稱β與α是同階無窮小量，特別地，當(dāng)c=1時(shí)，稱β與α是等價(jià)無窮小量，記作β~α。無窮小量階概念若一個(gè)無窮小量可以表示成另一個(gè)無窮小量與一個(gè)高階無窮小量之和，則稱前者是后者的主部。通過泰勒公式或洛必達(dá)法則可以求出函數(shù)在某點(diǎn)的展開式，進(jìn)而確定其主部。主部概念及求法主部求法主部定義通過計(jì)算兩個(gè)無窮小量之比的極限來確定它們的階關(guān)系。使用極限運(yùn)算法則將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)，比較不同階數(shù)的系數(shù)來確定無窮小量的階。使用泰勒公式對(duì)于0/0型或∞/∞型的極限，可以使用洛必達(dá)法則來求解，并比較不同階數(shù)的導(dǎo)數(shù)來確定無窮小量的階。使用洛必達(dá)法則無窮小量階比較方法在求極限過程中，可以將一個(gè)復(fù)雜的無窮小量替換成一個(gè)簡單的等價(jià)無窮小量，從而簡化計(jì)算。在計(jì)算一些復(fù)雜函數(shù)的極限時(shí)，可以利用常見的等價(jià)無窮小量進(jìn)行替換，如sinx~x、tanx~x、e^x-1~x等。通過替換可以大大簡化計(jì)算過程，提高計(jì)算效率。同時(shí)，在解決一些實(shí)際問題時(shí)，也可以利用無窮小量的替換原理來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行求解。替換原理應(yīng)用示例無窮小量替換原理及應(yīng)用06連續(xù)性與間斷點(diǎn)類型判斷若函數(shù)在某點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則稱函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。連續(xù)性的定義函數(shù)圖像在該點(diǎn)處無間斷，即“連綿不斷”。連續(xù)性的幾何意義若函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則必須滿足三個(gè)條件——函數(shù)在該點(diǎn)有定義、函數(shù)在該點(diǎn)有極限、函數(shù)在該點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值。連續(xù)性的充要條件連續(xù)性概念回顧第二類間斷點(diǎn)包括無窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn)，左右極限至少有一個(gè)不存在且不為無窮大。第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)，左右極限都存在但不相等或不存在。間斷點(diǎn)的判斷方法首先找出函數(shù)無定義的點(diǎn)，然后判斷這些點(diǎn)處的左右極限情況，根據(jù)間斷點(diǎn)的定義進(jìn)行分類。間斷點(diǎn)類型及判斷方法連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)主要包括最值定理、介值定理等。連續(xù)函數(shù)與極限的關(guān)系