安徽巢湖市2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題（含解析）

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={1,2,3,4,5},5={（%,?。┾?4/64%-丁64},則3中所含元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.6C.8D.10

TT

2.函數(shù)f（x）=Asin（Qx+<t>）（其中A>0,o>0,|。|V一）的圖象如圖所示，為了得到g（x）=ACOSQX的圖

2

象，只需把y=f（x）的圖象上所有的點(diǎn)（）

A.向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度

1212

C.向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度

66

3.在AABC中，已知ABAC=9,sin=cosA?C,SMBC=6,P為線段AB上的一點(diǎn)，S.CPx--+y—,

CA'CB

11

則一+一的最小值為（）

A]WC.*o.海

4.若圓Q:（x—3y+（y—4）2=25和圓&:（工+2）2+（丁+8）2=r2（5<「<10）相切，則r等于（）

A.6B.7C.8D.9

5.一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是

A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱

6.若函數(shù)/（x）=sina）x-^］（0<口<10）的圖象與8（%）=85（彳+9）（0<0<3）的圖象都關(guān)于直線無(wú)=一言對(duì)

稱，則。與。的值分別為（

c7萬(wàn)八74一幾-乃

A.8,—B.2,—C.8,—D.2,—

12121212

,a.一a,

1

口局0〃父母M至?AAAQ南壁山蜥61Hill2玨工

7.&質(zhì)寺左數(shù)列，乙,。G成寺雙列，則/寺」

1111一1

A.-B.-C.——D.一或——

42222

8.由y=-胃與直線y=2x-3圍成的圖形的面積是()

56432

A.-B.—C.—D.9

333

9.函數(shù)/(x)=sin(2x+e)的圖象向右平移J個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

6

A.

10.已知/(X)在R上是奇函數(shù)，且/(x+4)=/(x),當(dāng)xe(0,2)時(shí)，/。)=2/,則/⑺=

A.-2B.2C.-98D.98

11.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件3,

則事件中恰有一個(gè)發(fā)生的概率是()

3135

A.—B.—C.-D.一

10257

12.若(1-2xY=%+4%+4彳2+…+%/，貝!114I+1qI+1%14---H%l=()

A.-1B.1C.0D.37

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知三棱錐P—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，且球。的表面積為22萬(wàn)，A5J_AC,P4，平面

ABC,AB=Q4=3,則三棱錐P-ABC的體積為.

14.已知函數(shù)/(x)=V+21nx,若曲線八幻在點(diǎn)(1J⑴)處的切線經(jīng)過(guò)圓C：x2+(y-a)2=2的圓心，則實(shí)數(shù)。的

值為.

15.JJ,cosx+Jg-d)-=.

16.在AABC中，若BCLAC,AC=b,3C=a,則AABC的外接圓半徑「=近逵，將此結(jié)論拓展到空間，可

2

得出的正確結(jié)論是：在四面體S—A3C中，若以、SB、SC兩兩垂直，SA=a,SB=b,SC=c,則四面體S—ABC

的外接球半徑R=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知3（1,2）是拋物線加：丁=2〃彳（〃>0）上一點(diǎn)，尸為M的焦點(diǎn).

⑴若C（|,“是加上的兩點(diǎn)，證明：|叫|阿g依次成等比數(shù)列.

（2）若直線y=日一3小。0）與加交于義知K），Q（w，%）兩點(diǎn)，且%+%+%%=—4,求線段PQ的垂直平

分線在大軸上的截距.

x=2j

18.（12分）已知直線/：<a為參數(shù)）和圓c的極坐標(biāo)方程:Q=4COS。.

y=i+丁

（1）分別求直線/和圓C的普通方程并判斷直線/與圓C的位置關(guān)系;

（2）已知點(diǎn)尸（2,1）,若直線/與圓C相交于A,8兩點(diǎn)，求RVP3的值.

19.（12分）已知Q4_L菱形ABC。所在平面，PA=&B，G為線段PC的中點(diǎn)，E為線段PD上一點(diǎn)，且-=2.

（1）求證：8G//平面A￡C；

(2)若AB=2,NAOC=60,求二面角G—AE-C的余弦值.

20.（12分）在數(shù)列他“｝,｛2｝中，6=2,4=4,且a“，b?,成等差數(shù)列，"，。田，成等比數(shù)列（〃eN*）.

（1）求為，。3，及,b&；

（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想｛。,,｝,｛〃｝的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

21.（12分）正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S”滿足?一卮=〃一1.

（I）求eq,a1,%9

（H）猜想｛2｝的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=xln(x+l)+(g-a)x+2-a,aeR.

(1)當(dāng)x>0時(shí)，求函數(shù)g(x)=/(x)+ln(x+l)+gx的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)aeZ時(shí)，若存在x20,使不等式/(幻<0成立，求〃的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

列舉法得出集合8={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2卜(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},共含10個(gè)元素.

故答案選。

2、B

【解析】

由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出8,由五點(diǎn)法作圖求出中的值，可得/(%)的解析式，再利用函數(shù)

y=Asin(<ox+(p)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

【詳解】

冗12477t

根據(jù)函數(shù)/(x)=Asin((ox+(p)(其中A>0,(o>0,|(p|<—)的圖象，可得A=L------一兀---，A(o=l.

24w123

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得1X?+(()=&,求得(p=q,.?.函數(shù)/(x)=sin(lx+y).

故把y=/(x)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y=sin(lx+^+y)=coslx=g(x)的圖象.

故選從

【點(diǎn)睛】

確定y=Asin("x+o)+伙A>0,。>0)的步驟和方法：(1)求A,b,確定函數(shù)的最大值M和最小值小，貝!J

A=J"，)=\巴；(D求，。，確定函數(shù)的最小正周期7,則可得。=且；(3)求仍常用的方法有：①代入法:

把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A,?,5已知)或代入圖象與直線y=Z>的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還

是在下降區(qū)間上).②特殊點(diǎn)法：確定o值時(shí)，往往以尋找“最值點(diǎn)”為突破口.具體如下：“最大值點(diǎn)''(即圖象的“峰點(diǎn)”)

時(shí)3x+<p=g；"最小值點(diǎn)'’（即圖象的“谷點(diǎn)”）時(shí)（?x+（p=J.

3、C

【解析】

分析：AABC中設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,由$inB=cosA?sinC結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求cosC=0即

090°,再由A3.AC=9，S^ARC=6可得bccosA=9,譏4=6可求得c=5,b=3,a=4,考慮建立以AC所在的直

線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn),則存在實(shí)數(shù)人使得

CACB

CP=ACA+(l-A)CB=(3X,4-4入)(0<k<l),設(shè)網(wǎng)=6'同=，2則卜|卜聞=1,et=(LO),e2=(0,1),由

CA,CB111f11)

°?一XfT=]'+(x,0)+(0,y)=(x,y)可得x=3A,,y=4-4入則4x+3yE2而一H--=——4-(4x+3y、

W\CB\Xy12(尤y)

利用基本不等式求解最小值.

詳解：AABC中設(shè)AB=c,BC=a,AC=b

VsinB=cosA*sinC,/.sin(A+C)=sinCcosA,

BPsinAcosC+sinCcosA=sinCcosA,

:.sinAcosC=0,

VsinA^O,AcosC=0C=90°

TABAC=9，SAABC=6

:.bccosA=9,—bcsinA-6

2

443

tanA=—,根據(jù)直角三角形可得sinA=—,cosA=—,bc=15

355

1Ac=5,b=3,a=4

y

以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C(0,0)A(3,0)B(0,4)

P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)X使得CP=XC4+(1-/l)C8=(334-4X)(O<X<1)

CACB

設(shè)同洞=力,則同=同=1，q=(1,0)/=(?！?)

CACB

*同'網(wǎng)=(X，。)+(。，y)=(x,y)

，x=3A,y=4-4入貝!|4x+3y=12

123

故選C.

點(diǎn)睛：本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值

CA

問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解把已知所給的不是一個(gè)單位向量，從而可用x,y表示。尸，建立x,y與人的關(guān)系，解決

本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由x=3入，y=4-4入發(fā)現(xiàn)4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值

4,C

【解析】

根據(jù)的圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得兩圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓內(nèi)切、外切的條件，分別求得，?的值并驗(yàn)證5<r<10即可得結(jié)

果.

【詳解】

圓Q:(x—3)2+(y-4)2=25的圓心Q(3,4),半徑為5；

圓&：(%+2)2+(y+8『=/的圓心Q(-2,—8),半徑為r.

若它們相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差，即［(3+2)2+(4+8)2="一5|,

求得r=18或一8,不滿足5<r<10.

若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即J(3+2y+(4+8)2=|r+5|,

求得r=8或一18(舍去)，故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的方程以及圓與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.兩圓半徑為尺乙兩圓心間的距離為4,比較△與R—廠

及d與R+/"的大小，即可得到兩圓的位置關(guān)系.

5、D

【解析】

試題分析：球的三視圖都是圓，如果是同一點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱兩兩垂直，并且長(zhǎng)度相等的三棱錐（一條側(cè)棱與底面垂

直時(shí)）的三視圖是全等的等腰直角三角形，正方體的三視圖可以都是正方形，但圓柱的三視圖中有兩個(gè)視圖是矩形，

有一個(gè)是圓，所以圓柱不滿足條件，故選D.

考點(diǎn)：三視圖

6、D

【解析】

（冗、九71

分析：由題意得。?一五女），結(jié)合（）</<1（）即可求出。，同理可得。的值.

詳解：函數(shù)/（》）=$m（0%一引（0</<10）的圖象與8（%）=以萬(wàn)（％+9）（0<°<3）的圖象都關(guān)于直線.丫=一^!對(duì)

稱,

/.w［一5）一］=,+&"和一內(nèi)+"=〃乃（k,neZ）

7T

解得0=—10—12A和0=—+n4,

0<。<10和0<。<3

二%=—1時(shí)，0=2；

〃=0時(shí)，夕=看.

故選：D.

點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

試題分析：因?yàn)橐?,4,4,一8成等差數(shù)列，所以生—4=二^手義=-2,因?yàn)橐?,4也也,一8成等比數(shù)列，所以

a一〃一21

向？=（一2乂-8）=16,由42=—2仇〉0得4=~4,-%「=1=5’故選B.

考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的性質(zhì)；2、等比數(shù)列的性質(zhì).

8、C

【解析】

分析：先聯(lián)立方程，組成方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得被積區(qū)間，再用定積分表示出y=-x2與直線y=2x-3的面積,

即可求得結(jié)論.

詳解：由y=-x2與直線y=2x-3聯(lián)立,

解得y=-x2與直線y=2x-3的交點(diǎn)為(-3,-9)和(1,-1)

因此，y=-x2與直線y=2x-3圍成的圖形的面積是

232l

S=|(-x-2x+3)dx=(--x-x+3x)|_3=—.

-333

故答案為：c.

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查利用定積分的幾何意義和定積分求面積，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)從幾何

上看，如果在區(qū)間可上函數(shù)/(x)連續(xù)，且函數(shù)y=/(x)的圖像有一部分在x軸上方，有一部分在x軸下方，那么

9、B

【解析】

求出函數(shù)圖象平移后的函數(shù)解析式，再利用函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即g(O)=(),求出9,比較可得.

【詳解】

函數(shù)/(x)=sin(2x+0)的圖象向右平移今個(gè)單位后得到g(x)=sin2［一今)+夕=sin(2x一:.

此函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以8(0)=$皿(一］+，=0.所以一1+0=1?1,1<€2.

當(dāng)k=0時(shí)，(p=—.

3

故選B.

【點(diǎn)睛】

由夕=$1皿的圖象，利用圖象變換作函數(shù)y=Asin(5+e)(A>0,w>0)的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變

換的先后順序不同時(shí)，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別.先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|同個(gè)單位；而

先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是?個(gè)單位.

(0

10、A

【解析】

??,f(x+4)=f(x),.?.f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，.??f(2019)=f(504X4+3)=f(3)=f(-l).又f(x)為奇函數(shù),

Af(-1)=-f(1)=-2X12=-2,即f(2019)=-2.

故選A

11>B

【解析】

由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得：事件A，3中恰有一個(gè)發(fā)生的概率是+=得解.

26262

【詳解】

記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,

則P（A）=!，P（B）=，，

26

???事件A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率是，x，+?x*=].

26262

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意識(shí)別概率模型.

12、D

【解析】

分析：根據(jù)題意求各項(xiàng)系數(shù)和，直接賦值法令x=-l代入即可得到3t.

詳解：已知（1一2%）7=%+4*+出*2+—+%*7,根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)得到第r+1項(xiàng)是&|=C；（—2r）"，故當(dāng)

r為奇數(shù)時(shí)，該項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，故原式令x=-l代入即可得到3’.

故答案為D.

點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了二項(xiàng)式中系數(shù)和的問(wèn)題，二項(xiàng)式主要考查兩種題型，一是考查系數(shù)和問(wèn)題；二是考查特定項(xiàng)系

數(shù)問(wèn)題；在做二項(xiàng)式的問(wèn)題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解

決這類(lèi)問(wèn)題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

由題意PAA8,AC兩兩垂直，可把三棱錐A-PBC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球.由此

計(jì)算即可.

【詳解】

.??三棱錐ABC可以ARAB,AC為棱補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球.

由S=4萬(wàn)r=22%,得r=-----,

2

AP^+AB^AC2=4r2,即3?+33+AC?=4x(與>,AC=2,

Vp.nc=—xPAxy4Bxy4C=—x3x3x2=3.

PM66

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查棱錐及其外接球，考查棱錐的體積，解題是把三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球,

而長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，這樣計(jì)算方便.

14、-4

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得切線方程，將圓心坐標(biāo)代入切線方程，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?⑴=l+21nl=l,f\x)=3x2+-,

x

切線的斜率&=f'(I)=3+2=5,

所以切線方程為y—l=5(x—l),即5x-y-4=0.

因?yàn)閳A。:犬+(3，-4=2的圓心為(0,。)，

所以—。一4=0,所以實(shí)數(shù)。的值為-4,故答案為-4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程，屬于中檔題.求曲線切線方程的一般步驟是：(1)求出y=/(x)在x=x0處的

導(dǎo)數(shù)，即y=/(x)在點(diǎn)P(%,/(/))出的切線斜率(當(dāng)曲線y=/(x)在P處的切線與y軸平行時(shí)，在2處導(dǎo)數(shù)不存

在，切線方程為X=%);(2)由點(diǎn)斜式求得切線方程y-%=

97r

15>—

2

【解析】

將定積分分為兩部分，前一部分根據(jù)奇函數(shù)積分為0,后一部分轉(zhuǎn)化為幾何面積得到答案.

【詳解】

J3k3cosx+如-x2)公=J3/cosxdx+J3yl9-x2dx

x3cosx為奇函數(shù)=>J；dcosxdx=0

「J9-X2必;表示半徑為3的半圓面積：為二

J-32

9萬(wàn)

故答案為：--

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了定積分的計(jì)算，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

in\Ja2+b2+C2

］（3、-------------

2

【解析】

通過(guò)條件三條棱兩兩垂直，可將其補(bǔ)為長(zhǎng)方體，從而求得半徑.

【詳解】

若S4SB、SC兩兩垂直，可將四面體5-ABC補(bǔ)成一長(zhǎng)方體，從而長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，于是半徑

R=&2+〃+*,故答案為6+/+U.

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查外接球的半徑，將四面體轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體求解是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、（1）見(jiàn)解析；（2）4

【解析】

（1）由3在拋物線上，求出拋物線方程；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得|E4|,|EB|,的長(zhǎng)度，從而證得依次成

等比數(shù)列；（2）將直線代入拋物線方程，消去x,根據(jù)韋達(dá)定理求解出從而可得PQ中點(diǎn)坐標(biāo)和垂直平分線斜率,

從而求得PQ垂直平分線所在直線方程，代入y=0求得結(jié)果.

【詳解】

（1）6（1,2）是拋物線M：、2=20%（。>0）上一點(diǎn)

.?.4=2pnp=2

丁=4x

根據(jù)題意可得：|E4|=/+1=/,|￡B|=1+1=2,|FC|=§+1=3

.?.|冏，|￡8|,|尸。|依次成等比數(shù)列

y=kx-3i

(2)由12,，消X可得-4y—12=()

［曠=4x

412

二%+%=7’乂%二二

Kk

412

y+%+X%=-4=-4=>k=2

kk

設(shè)PQ的中點(diǎn)(x。,%)

1/1/_

；?%=#+%)=￡=1，%=5(%+3)=2

乙K乙

，線段PQ的垂直平分線的斜率為

2

故其直線方程為y_1=_，犬_2)

當(dāng)y=0時(shí)，%=4

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線綜合問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠通過(guò)直線與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理的形

式，從而準(zhǔn)確求解出斜率.

18、(1)直線百x+y—(1+20)=0,圓(x-2『+y2=4,直線/和圓C相交(2)3

【解析】

(1)消去直線參數(shù)方程中參數(shù)乙可得直線的普通方程，把夕=4cos8兩邊同時(shí)乘以「，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互

化公式可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，再由圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系判斷直線/和圓C的位置關(guān)系；

(2)把直線/的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，化為關(guān)于/的一元二次方程，利用參數(shù)f的幾何意義及根與系

數(shù)的關(guān)系，求P4P8的值.

【詳解】

解：(1)由/：。為參數(shù))，消去參數(shù)f得辰+丁-(1+26)=0.

由夕=4cos，得夕2=40cos。，Hp2=x2+y2,QCOS〃=X,

則圓C的普通方程為(x—2>+V=4.

則圓心(2,0)到直線/的距離d=g<2,故直線/和圓C相交.

2

（2）設(shè)A（2—：G，1+岑a）,B（2-1r2,l+^r2）,

將直線/的參數(shù)方程代入（X-2）2+V=4得f2+"一3=0,

因直線/過(guò)P點(diǎn)，且P點(diǎn)在圓C內(nèi)，

則由/的幾何意義知期?/>8=-44=3.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程和普通方程的互化，關(guān)鍵是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，

屬于中檔題.

19、（1）見(jiàn)解析；（2）盤(pán).

5

【解析】

分析：（1）取PE的中點(diǎn)F,連接GE8E,得G///CE,由線面平行的判定定理得GF//平面A￡C,連接BD交AC

與點(diǎn)。，連接OE,得BF//OE,進(jìn)而得8/〃平面AEC,再由面面平行的判定，得平面BGF//平面他C,進(jìn)而得

到BG//平面ASC.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系。一沖z,求解平面AEC和平面A￡G的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

詳解：（D證明：取尸￡的中點(diǎn)尸，連接GE8R

G為PC的中點(diǎn)，

GF//CE

G/7//平面AEC............2分

連接BO交AC與點(diǎn)。，連接?！?/p>

E為OE的中點(diǎn),

BFHOE

：.8///平面AEC..................4分

???BFcGF=F

二平面BG///平面AEC

又8G云平面BG尸

BG//平面AEC............6分

(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-DZ

則0（0,0,0）,A（—1,0,0）,c（l,0,0）,

P（—1,0,2@,0（0,百,0）

G（0,0,2）

AE=,AC=（2,0,0）,AG=（l,0詞.........7分

設(shè)平面AEC的法向量為“=(%,y,zj

22G2>/2$=0

〃]_LAE一九1-I-----------X------------Z]0

則〈,J333即Hn《

nLAC，

]2%=0

不放設(shè)y=0得勺=僅,血,一百)........8分

設(shè)平面AEG的法向量為為=(%"2)

227325/2八r

n±AE.-xH------y-------z=0=—>/2Z

則《232322322BP<22

9

n2±AG-%=0

X2+yplz?=0

不放設(shè)Z2=l得勺=卜正,0,1)10分

/\4?%—V35/5

???cos（4,名）=?%?=//=一一—

\同yl2+3y/2+l5

則二面角G-AE-C的余弦值為好

12分

5

點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的直線與平面，平面與平面平行的判定及應(yīng)用，以及二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生

的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，

通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向

量，利用向量的夾角公式求解.

2

20、(1)4=6，%=12,%=20,b2=9,仇=16,b4=25(2)猜想(〃+1),bn=(?+1),證明見(jiàn)

解析

【解析】

分析：(1)根據(jù)條件中％,bn,。的成等差數(shù)列，bn,。田，成等比數(shù)列及所給數(shù)據(jù)求解即可.(2)用數(shù)學(xué)歸納

法證明.

詳解：⑴由已知條件得2bn=a?+a?+l,“3=bnbrl+l,

由此算出生=6,%=12,4=20,

&=9,瓦=16,b4-25.

(2)由⑴的計(jì)算可以猜想4=〃(〃+1),仇=(〃+1)2,

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)〃=1時(shí)，由已知4=2,a=4可得結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)〃=攵(％22且左€%*)時(shí)猜想成立,

即4=%（%+1）,%=（左+了.

貝！I當(dāng)〃=k+1時(shí)，

4+1=24一％=2（女+1）~—左（左+1）=k2+3k+2=（攵+1）（攵+2）,

吭一（八1）《+2）2

=（々+2）2,

%bk（"I）?

因此當(dāng)〃=%+1時(shí)，結(jié)論也成立.

由①@知，對(duì)一切〃eN*都有=〃(〃+1)，d=(〃+1)2成立.

點(diǎn)睛：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)要嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟書(shū)寫(xiě)，特別是對(duì)初始值的驗(yàn)證不可省略，有時(shí)可能要取

兩個(gè)(或兩個(gè)以上)初始值進(jìn)行驗(yàn)證，初始值的驗(yàn)證是歸納假設(shè)的基礎(chǔ)；第二步的證明是遞推的依據(jù)，證明時(shí)必須要用

到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.

21、（I）4=1,4=3，%=5（H）猜想%=2〃-1,證明見(jiàn)解析

【解析】

分析：(D直接給n取值求出q,出，生?(2)猜想｛%｝的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

詳解：(I)令〃=1,則4一￡=0,又R=q,解得q=1；

令〃=2,則47al+4=1==-+4=1，解得%=3；

令〃=3,則.一“+4+“3=2=%-,4+4=2，解得。3=5.

(II)由(I)猜想/=2〃-1：

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明?！?2〃-1.

由(I)可知當(dāng)“=1時(shí)，4=2〃-1成立；

假設(shè)當(dāng)〃=左9eN*)時(shí)，ak=2^-1,

則ak~y[^k=k-l=Sk=k'.

2

那么當(dāng)〃=左+1時(shí)，ak+l-yfs^=k=>Sk+l=(ak+l-k),

由4+i=S&+]—S*=(4+]—女)—k~~ak+x—2kak+l,

所以(2Z+l)@+i=a；+],又?！?gt;0,所以%]=2&+l,

所以當(dāng)〃=Z+1時(shí)，4+I=2Z+1=2伏+1)-1.

綜上，an=2n-\.

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本計(jì)算能力.(2)數(shù)學(xué)歸納法的步驟:

①證明當(dāng)n=l時(shí)，命題成立。②證明假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+l時(shí)，命題也成立.由①②得原命題成立.

22、(1)見(jiàn)解析；(2)2

【解析】

分析：(1)求出g'(x),分兩種情況討論〃的范圍，在定義域內(nèi)，分別令g'(x)>0求得