第一章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)Z1

實驗16學(xué)時（8個）課堂教學(xué)64學(xué)時課堂教學(xué)的考核：平時成績40（作業(yè)+出勤+課堂表現(xiàn)）+試卷考試60=100數(shù)字電子技術(shù)的課程組成數(shù)字電路是專業(yè)基礎(chǔ)課，是后續(xù)課程的基礎(chǔ)電類專業(yè)考研學(xué)生的必考課大學(xué)生競賽的主要科目畢業(yè)設(shè)計中重要參考內(nèi)容

學(xué)習(xí)本門課程的目的參考資料余孟嘗，數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)簡明教程，高等教育出版社閻石，數(shù)字電子技術(shù)，清華大學(xué)出版社第一章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)基本要求掌握二進制、十進制、十六進制的相互轉(zhuǎn)換

掌握常用的編碼及其之間的相互轉(zhuǎn)換熟悉邏輯代數(shù)的基本定律與規(guī)則掌握邏輯函數(shù)及代數(shù)和卡諾圖化簡方法第一章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)§第一節(jié)數(shù)字電路的基礎(chǔ)知識§第二節(jié)

邏輯代數(shù)及運算規(guī)則

§第三節(jié)邏輯函數(shù)的變換§第四節(jié)邏輯函數(shù)的化簡小結(jié)一、模擬信號與數(shù)字信號模擬信號：隨時間連續(xù)變化的信號t正弦波信號t鋸齒波信號第一節(jié)數(shù)字電路的基礎(chǔ)知識數(shù)字信號：在時間和幅度上都是離散的信號。例：產(chǎn)品數(shù)量的統(tǒng)計、數(shù)字表盤的讀數(shù)、脈沖信號等。Ttwtu+5V0

2.占空比q-----表示脈沖寬度占整個周期的百分比

:q1.脈沖寬度tw

-----表示脈沖作用的時間。數(shù)字電路中，通常用數(shù)字“0”和“1”來表示?！?”和“1”，不是十進制數(shù)中的數(shù)字，而是邏輯0和邏輯1;

表示彼此相關(guān)又互相對立的兩種狀態(tài)。例如，“是”與“非”、“真”與“假”、“開”與“關(guān)”、“低”與“高”等等。因而常稱為數(shù)字邏輯。又稱二值數(shù)字邏輯，它們可以用電子器件的開關(guān)特性來實現(xiàn)。產(chǎn)生離散信號電壓或數(shù)字電壓，通常用邏輯電平來表示。電壓(V)二值邏輯電平+51H(高電平)00L(低電平)例如，邏輯電平與電壓值的關(guān)系可用下表來描述：在模擬電路中，晶體管一般工作在放大狀態(tài)。分析方法：圖解法、小信號模型法。二、數(shù)字電路與模擬電路的比較電路元件：晶體三極管、場效應(yīng)管、集成運算放大器。模擬電路：研究輸入、輸出信號間的大小、相位、失真等方面的關(guān)系。研究對象包括交直流放大器、濾波器、信號發(fā)生器等。在數(shù)字電路中，三極管工作在開關(guān)狀態(tài)，即工作在飽和和截止?fàn)顟B(tài)。數(shù)字電路：研究電路輸出、輸入間的邏輯關(guān)系。主要的分析工具是邏輯代數(shù)，表達電路的功能主要是真值表、邏輯表達式、卡諾圖及波形圖等。組成電路元件：邏輯門電路、觸發(fā)器。（一）十進制數(shù)任何一位數(shù)可以而且只可以用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)碼表示。式中，101

、100

是根據(jù)每一個數(shù)碼所在的位置而定的，稱之為“權(quán)”。在十進制中，各位的權(quán)都是10的冪，而每個權(quán)的系數(shù)只能是0～9這十個數(shù)碼中的一個。進位規(guī)律是“逢十進一”。即9+1=10=1×101+0×1001.特點：二、數(shù)制(333.33)10=3

102

+

3

101+

3

100+3

10-1

+3

10-2權(quán)權(quán)權(quán)權(quán)權(quán)位置計數(shù)法按權(quán)展開式2.一般表達式:位權(quán)系數(shù)（二）二進制數(shù)1.特點：任何一位數(shù)可以而且只可以用0和1表示。進位規(guī)律是：“逢二進一”。各位的權(quán)都是2的冪。例如：1+1=10=1×21

+0×202.二進制數(shù)的一般表達式為:位權(quán)系數(shù)（1001）B==(9)D將每一位二進制數(shù)乘以位權(quán)然后相加便得相應(yīng)的十進制數(shù)。3.二進制數(shù)的優(yōu)缺點易于電路實現(xiàn)---每一位數(shù)只有兩個值，可以用管子的導(dǎo)通或截止，燈泡的亮或滅、繼電器觸點的閉合或斷開來表示?；具\算規(guī)則簡單缺點：位數(shù)太多，不符合人的習(xí)慣，不能在頭腦中立即反映出數(shù)值的大小，一般要將其轉(zhuǎn)換成十進制后，才能反映。優(yōu)點：（三）十～二進制之間的轉(zhuǎn)換2.十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)：

常用方法是“按權(quán)相加”

整數(shù)部分用“輾轉(zhuǎn)相除”法:

將十進制數(shù)連續(xù)不斷地除以2,直至商為零，所得余數(shù)由低位到高位排列，即為所求二進制數(shù)。1.二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)：整數(shù)部分小數(shù)部分225余1

b0122余0

b162余0

b232余1

b312余1

b40(25)D=(b4b3b2b1b0)=(11001)B例：十進制數(shù)25轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)的轉(zhuǎn)換過程

若十進制數(shù)較大時，不必逐位去除2，可算出2的冪與十進制對比，如：（261)10=(?)2

∵28=256，261–256=5，(5)10=(101)2,∴(261)10=(100000101)2

小數(shù)部分用“乘基取整法”法:小數(shù)乘以目標(biāo)數(shù)制的基數(shù)（R=2），第一次相乘結(jié)果的整數(shù)部分為目的數(shù)的最高位，將其小數(shù)部分再乘基數(shù)依次記下整數(shù)部分，反復(fù)進行下去，直到小數(shù)部分為“0”，或滿足要求的精度為止。十進制小數(shù)可表示為：

0.8125×21.6250整數(shù)部分=1

0.6250×21.2500整數(shù)部分=1整數(shù)部分=0

0.2500×20.5000

0.5000×21.0000整數(shù)部分=1故（0.8125）10=（0.1101）2低位高位小數(shù)轉(zhuǎn)換不一定能算盡，達到一定精度的位數(shù)為止！注意：例：將（0.8125）10化為二進制小數(shù)可如下進行例將(0.706)D轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，要求其誤差不大于2-10。解：0.706×2=1.412由于最后的小數(shù)小于0.5，根據(jù)“四舍五入”的原則，b－10應(yīng)為0。所以，(0.706)D=(0.101101001)B，其誤差……1……b－10.412×2=0.824……0……b－20.824×2=1.648……1……b－30.648×2=1.296……1……b－40.296×2=0.592……0……b－50.592×2=1.184……1……b－60.184×2=0.368……0……b－70.368×2=0.736……0……b－8

0.736×2=1.472……1……b－9（四）八進制1.特點：八進制數(shù)以8為基數(shù)，采用0,1,2,3,4,5,6,7八個數(shù)碼表示任何一位數(shù)。000～111表示0～7進位規(guī)律是“逢八進一”。各位的權(quán)都是8的冪。例如

(144)O=64+32+4=(100)D2.二進制轉(zhuǎn)換成八進制

轉(zhuǎn)換時，由小數(shù)點開始，整數(shù)部分自右向左，小數(shù)部分自左向右，三位一組，不夠三位的添零補齊，則每三位二進制數(shù)表示一位八進制數(shù)。例：11010111.0100111B=?O

11010111.0100111B=327.234O11010111.0100111小數(shù)點為界000723234轉(zhuǎn)換方法八進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)？十進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)？（五）十六進制1.特點：十六進制數(shù)采用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A、B、C、D、E、F十六個數(shù)碼表示。進位規(guī)律是“逢十六進一”。各位的權(quán)都是16的冪。從小數(shù)點開始，將二進制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分每四位分為一組，整數(shù)部分自右向左，小數(shù)部分自左向右，不足四位的分別在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后加“0”補足，然后每組用等值的十六進制碼替代，即得目的數(shù)。例9：111011.10101B=?H

111011.10101B=3B.A8H111011.10101小數(shù)點為界00000B3A82.二進制與十六進制間的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換方法十六進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)？十進制數(shù)如何轉(zhuǎn)換成十六進制數(shù)？3.優(yōu)點：

十六進制在數(shù)字電路中，尤其在計算機中得到廣泛的應(yīng)用，因為：

與二進制之間的轉(zhuǎn)換容易。計數(shù)容量較其它進制都大。假如同樣采用四位數(shù)碼，二進制最多可計至1111B=15D；八進制可計至7777O=14095D；十進制可計至9999D；十六進制可計至FFFFH=65535D，即64K。其容量最大。計算機系統(tǒng)中，大量的寄存器、計數(shù)器等往往按四位一組排列。故使十六進制的使用獨具優(yōu)越性。（六）常用數(shù)制對照表三、編碼數(shù)字系統(tǒng)的信息數(shù)值文字符號二進制代碼編碼為了表示字符為了分別表示N個字符，所需的二進制數(shù)的最小位數(shù)：常用四位自然二進制碼，表示十進制數(shù)0--15，各位的權(quán)值依次為23、22、21、20。（一）自然二進制碼1.自然二進制碼按自然數(shù)順序排列的二進制碼當(dāng)用n位二進制碼時，有2n

個代碼。編碼可以有多種，數(shù)字電路中所用的主要是二—十進制碼（BCD碼）。BCD------Binary-Coded-Decimal（二）二—十進制BCD碼在BCD碼中，用四位二進制數(shù)表示0~9十個數(shù)碼。四位二進制數(shù)最多可以表示16個字符，因此0~9十個字符與這16中組合之間可以有多種情況，不同的對應(yīng)便形成了一種編碼。有權(quán)碼四位二進制數(shù)中的每一位都對應(yīng)有固定的權(quán)(N)D=W3K3+W2K2+W1K1+W0K0W3~W0為二進制各位的權(quán)重

8421碼是一種有權(quán)碼，是指各位的權(quán)重是8、4、2、1。按權(quán)相加，即可得到所代表的十進制數(shù)。除此之外，還可取四位二進制碼的前五種和后五種狀態(tài)，代表十進制的0～9，中間六個狀態(tài)不用，這就構(gòu)成了2421碼，它也是一種有權(quán)碼，其權(quán)依次為2、4、2、1。另外還有5421碼和余3碼等（余3碼為無權(quán)碼，它是8421碼加0011得來的）。由自然二進制碼的本位與高位異或而得。

Gn=BnGi=Bi+1⊕Bi格雷碼格雷碼是一種無權(quán)碼（三）幾種常見的碼

ASCII碼是美國標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼，它是用七位二進制碼表示，其編碼見P28。它共有128個代碼，可以表示大、小寫英文字母、十進制數(shù)、標(biāo)點符號、運算符號、控制符號等，普遍用于計算機、鍵盤輸入指令和數(shù)據(jù)等。000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二進制數(shù)自然碼8421碼2421碼5421碼余三碼§1-2邏輯代數(shù)及運算規(guī)則返回邏輯代數(shù)與基本邏輯關(guān)系邏輯代數(shù)的基本定律

邏輯代數(shù)的運算公式規(guī)則

邏輯代數(shù)與基本邏輯關(guān)系取值：邏輯0、邏輯1。邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對立的兩種邏輯狀態(tài)。與運算或運算非運算一、邏輯變量二、基本邏輯運算與邏輯只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生。EFABC開關(guān)A開關(guān)B燈F斷斷斷斷斷合斷合斷斷合合合斷斷合斷合合合斷

合合合滅滅滅滅滅滅滅亮開關(guān)CF=A?B?C邏輯式邏輯乘法邏輯與AFBC00001000010011000010101001101111真值表與邏輯運算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示&ABCF邏輯符號或邏輯只有決定某一事件的有一個或一個以上具備，這一事件才能發(fā)生。AEFBC開關(guān)A開關(guān)B燈F

斷斷斷斷斷合斷合斷斷合合合斷斷合斷合合合斷合合合滅亮亮亮亮亮亮亮開關(guān)C邏輯式邏輯加法邏輯或AFBC00001001010111010011101101111111真值表F=A+B+C或邏輯運算符，也有用“∨”、“∪”表示1ABCF邏輯符號非邏輯當(dāng)決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。AEFR開關(guān)A燈F斷亮合滅邏輯式邏輯非邏輯反真值表AF0110“-”非邏輯運算符邏輯符號AF1三、幾種常見組合邏輯運算與非：條件A、B、C都具備，則F不發(fā)生。&ABCF或非：條件A、B、C任一具備，則F不發(fā)生。1ABCF1ABF10110100100邏輯表達式F=A

B=AB+AB

ABF=1邏輯符號ABF101101000011同或運算邏輯表達式F=AB=A

B

ABF=1邏輯符號“

”異或邏輯運算符“⊙”同或邏輯運算符異或運算四、幾種基本邏輯運算從三種基本的邏輯關(guān)系，我們可以得到以下邏輯運算：0?0=0?1=1?0=01?1=10+0=00+1=1+0=1+1=1邏輯代數(shù)的基本定律一、基本運算規(guī)則A+0=AA+1=1A?0=0?A=0A?1=A二、基本代數(shù)規(guī)律交換律結(jié)合律分配律A+B=B+AA?B=B?AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA?(B?C)=(A?B)?CA(B+C)=A?B+A?CA+B?C=(A+B)(A+C)普通代數(shù)不適用!反演律（摩根定律）A+B+C=A.B.CA.B.C=A+B+C三、吸收規(guī)則1.原變量的吸收：A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。例如：被吸收2.反變量的吸收：證明：例如：被吸收3.混合變量的吸收：證明：例如：1公式可推廣：例：用真值表證明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000

AB=A+BA+B=AB證明方法1.利用真值表2.利用基本定律例F=AB=A

B

AB+AB=AB.AB=(A+B)(A+B)=AB+AB=A

B

任何一個含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立。例：A

B=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個變量：利用反演律邏輯代數(shù)的運算公式和規(guī)則1.代入規(guī)則對于任意一個邏輯函數(shù)式F，做如下處理：若把式中的運算符“.”換成“+”,“+”換成“.”；常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；原變量換成反變量，反變量換成原變量;那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的反函數(shù)式。例：F(A、B、C)其反函數(shù)為或2.反演規(guī)則

保持原函數(shù)的運算次序--先與后或，可時適當(dāng)加入括號。不屬于單個變量上的非號有兩種處理方法：非號保留，而非號下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換將非號去掉，而非號下的函數(shù)式保留不變。注意對于任意一個邏輯函數(shù)，做如下處理：若把式中的運算符“.”換成“+”，“+”換成“.”；常量“0”換成“1”，“1”換成“0”得到新函數(shù)式為原函數(shù)式F的對偶式F′，也稱對偶函數(shù)。3.對偶規(guī)則如果兩個函數(shù)式相等，則它們對應(yīng)的對偶式也相等。例：其對偶式求對偶式時運算順序不變，且它只變換運算符和常量，其變量是不變的。函數(shù)式中有“

”和“⊙”運算符，求反函數(shù)及對偶函數(shù)時，要將運算符“

”換成“⊙”，“⊙”換成“

”。

注意一、邏輯函數(shù)用有限個與、或、非邏輯運算符，按某種邏輯關(guān)系將邏輯變量A、B、C、...連接起來，描述輸入變量與輸出變量之間的邏輯關(guān)系，所得的表達式F=f（A、B、C、...）稱為邏輯函數(shù)。輸入變量輸出變量§1-3邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式五種常用表達式F(A、B、C)“與―或”式“或―與”式“與非―與非”式

“或非―或非”式“與―或―非”式基本形式表達式形式轉(zhuǎn)換二、邏輯函數(shù)的表示方法真值表：輸入變量不同取值組合與函數(shù)值間的對應(yīng)關(guān)系列成表格。挑出函數(shù)值為1的項ABCF00000100101110011011101100001101101111101111每個函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫成一個乘積項這些乘積項作邏輯加1.邏輯函數(shù)式F=ABC+ABC+ABC把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號和連線表示出來。&AB&CD1FF=AB+CD2.邏輯圖乘積項用與門實現(xiàn)，和項用或門實現(xiàn)。方法：逐級寫出邏輯表達式然后化簡。已知邏輯圖求邏輯表達式BAABABL&&&11ABABY11111解：例:已知函數(shù)的邏輯圖如下所示，試求它的邏輯函數(shù)式。方法：先化簡→轉(zhuǎn)化為需要的形式→畫邏輯圖對其二次求非求最簡與或式用與非門表示例解：已知邏輯表達式求邏輯圖ACL&&&&&DB畫出對應(yīng)的邏輯圖例:

已知邏輯函數(shù)返回&ABCY111&11ABC§1-4

邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)化簡的目的：邏輯電路所用的門數(shù)量少、每個門的輸入端個數(shù)少、邏輯電路的級數(shù)少，并保證電路可靠的工作。常用的與—或表達式的最簡的標(biāo)準(zhǔn)有兩條：（1）與項最少，即表達式中“+”號最少；（2）每個與項中的變量數(shù)最少，即表達式中“.”號最少。邏輯函數(shù)的化簡化簡后電路簡單、可靠性高1.與或表達式的簡化方法：并項：利用將兩項并為一項，消去變量B消項：

利用A+AB=A消去多余的項AB和互補律、配項：利用重疊律先增添項，再消去多余項BC消元：利用消去多余變量A一、代數(shù)法簡化函數(shù)例：試化簡函數(shù)解：利用反演律配項加AB消反變量消項AB試求函數(shù)的最簡或與式解:F對偶式(消去求原函數(shù)求對偶式F(最簡或與式)F(或與式)求對偶式F′(與或式）

簡化F′(最簡與或式)2.或與表達式的簡化綜合運用例1先配項利用A+AB=A消去多余項展開例2代數(shù)法化簡在使用中遇到的困難：1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡過程要求對所有公式熟練掌握；2.代數(shù)法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗和靈活性；3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數(shù)化簡后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難。所以，介紹另一種方法---卡諾圖化簡法。3個變量有23（8）個最小項

n個變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個變量的乘積項（每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）。最小項000001010011100101110111二進制數(shù)01234567十進制數(shù)m0m1m2m3m4m5m6m7編號n個變量有2n個最小項，記作mi1.最小項二、最小項的定義與性質(zhì)A(B+C)

是最小項嗎？任意一組變量取值，只有一個最小項的值為1，其它最小項的值均為0;同一組變量取值任意兩個不同最小項的乘積為0;不同的最小項，使它的值為1的那一組變量取值也不同；全部最小項之和為1。2.最小項的性質(zhì)001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m71000000001000000110100111001011101110000000000001000000100000010000001000000100000011111113.三變量的最小項

為“與或”邏輯表達式；在“與或”式中的每個乘積項都是最小項。4.最小項的表達式例1將化成最小項表達式=m7＋m6＋m3＋m1

例2將

化成最小項表達式去掉非號去括號

將AB乘以可見，任一邏輯函數(shù)都可以化成唯一的最小項表達式。圖中的一小格對應(yīng)真值表中的一行，即對應(yīng)一個最小項AB00011011m0m1m2m3miABC0100011110m0m1m2m3m4m5m6m70001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二變量K圖三變量K圖四變量K圖1.卡諾圖（K圖）二、圖形法化簡函數(shù)k圖為方形圖。n個變量的函數(shù)--k圖有2n個小方格，分別對應(yīng)2n個最小項。k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項之間具有邏輯相鄰性。上下左右?guī)缀蜗噜彽姆礁駜?nèi)，只有一個因子不同有三種幾何相鄰：鄰接、相對（行列兩端）和對稱（圖中以0、1分割線為對稱軸）方格均屬相鄰。0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD四變量K圖兩個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去一個變量ABDADA1四個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去兩個變量八個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去三個變量十六個相鄰格圈在一起，結(jié)果

mi=12.K圖的特點3.根據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖已知函數(shù)為最小項表達式，存在的最小項對應(yīng)的格填1，其余格均填0。若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值為1的那些最小項對應(yīng)的方格填1，其余格均填0。函數(shù)為一個復(fù)雜的運算式，則先將其變成與或式，再用直接法填寫。（4）一個包圍圈的方格數(shù)要盡可能多，包圍圈的數(shù)目要可能少。（3）同一取值為1的方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。（1）包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2n個，且包圍圈必須呈矩形。（2）循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。X（5）取值為1的方格均要被圈過，不能漏掉取值為1的項。4.作圈的步驟5.卡諾圖化簡函數(shù)規(guī)則幾何相鄰的2i（i=1、2、3…n）個小格可合并在一起構(gòu)成正方形或矩形圈，消去i個變量，而用含（n-i）個變量的積項標(biāo)注該圈。6.與或表達式的簡化

先將函數(shù)填入相應(yīng)的卡諾圖中，存在的最小項對應(yīng)的方格填1，其它填0。

合并：按作圈原則將圖上填1的方格圈起來，要求圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復(fù)包圍但每個圈內(nèi)必須有新的最小項。

按取同去異原則，每個圈寫出一個乘積項。

最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達式。例1用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1111111111三、圖形法簡化函數(shù)舉例邏輯函數(shù)最