2024年1月九省聯(lián)考普通高等學(xué)校招生考試適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題

2024年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（九省聯(lián)考）

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

].答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

2.橢圓二+丁=1（〃〉1）的離心率為9，則。=（）

a

A.手B.V2C.V3D.2

3.記等差數(shù)列｛4,｝的前幾項(xiàng)和為+。7=6,。12=17,則S[6=（）

A.120B.140C.160D.180

4.設(shè)名廠是兩個(gè)平面，機(jī),/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

K.若a工B，m〃a,l〃0,則B.若mua,lu0,m〃I,則

C.若a/3=m,l//a,l///3,則/〃〃/D,若"Z_L_L回m〃/,則

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）

A.20種B.16種C.12種D.8種

6.已知。為直線/：x+2y+l=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足。尸=。,一3）,記P的軌跡為E,貝|（）

A.E是一個(gè)半徑為班的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為百D.E是兩條平行直線

_A13無)(兀)1+sin26>

7.已1z知i——，兀|,tan28=-4tan|，+一|,則--------------

14)I4)2cos28+sin29)

133

A.-B.-C.1D.

442

22

8.設(shè)雙曲線。:\-谷=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,耳，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于A3兩點(diǎn),

ab

閨邳=2閨從塌.可=44,則C的離心率為（）

A.72B.2C.75D.幣

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）=si”+卦,則（)

A.函數(shù)/1x—偶函數(shù)

B.曲線y=/（x）對稱軸為l=灼1,左￡2

c.“天）在區(qū)間?］單調(diào)遞增

D.〃龍）的最小值為-2

10.已知復(fù)數(shù)z,w均不為0,則（）

z

A.z2=|z|2B.

z

zZ

C.z—w=z—wD.—

W

11.已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,且＞0,若/a+y）+〃x）/（y）=4孫，則（）

C.函數(shù)/（x—g］是偶函數(shù)D.函數(shù)/（x+gj是減函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知集合4={-2,0,2,4},3={x||x—3區(qū)機(jī)},若AB=A,則機(jī)的最小值為

13.已知軸截面為正三角形的圓錐W的高與球。的直徑相等，則圓錐W的體積與球。的體積的比值

是，圓錐W的表面積與球。的表面積的比值是.

14.以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)已知/?22a或a+〃Wl,則

max{》一a,c一41一c}的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/■(耳=114+/+依+2在點(diǎn)(2,/(2))處的切線與直線2x+3y=0垂直.

(1)求a；

(2)求“力的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.

(1)求取出3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

17.如圖，平行六面體ABC。-44GR中，底面ABCD是邊長為2的正方形，。為AC與的交點(diǎn),

懼=2,/qcB=ZQCD^QCO=45°.

(1)證明：平面ABC。；

(2)求二面角5-9-。正弦值.

18.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/交C于兩點(diǎn)，過尸與/垂直的直線交。于RE

兩點(diǎn)，其中5。在x軸上方，陽,^^分別為4民。石的中點(diǎn).

(1)證明：直線"N過定點(diǎn)；

(2)設(shè)G為直線AE與直線3。交點(diǎn)，求—GMN面積的最小值.

19.離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)。是素?cái)?shù)，集合X={1,2,、。一1},若%neX,〃7eN,記〃(g)v

為MV除以。的余數(shù)，產(chǎn)?為除以。的余數(shù)；設(shè)aex,1,a,/，應(yīng),…,々。々?兩兩不同，若

an^=b(ne(0,1,；p-2}),則稱“是以。為底方的離散對數(shù)，記為〃=log5)M.

(1)若夕=11,0=2,求

(2)對e{O,l,..,p-2},記外十性為叫+/%除以夕T的余數(shù)(當(dāng)叫+鈾能被0-1整除時(shí),

叫十加2=0).證明：log5)03區(qū)c)=log(p)ab十log(p)aC,其中仇ceX；

(3)已知〃=log(“6.對xeX,左e{l,2,」.,p-2},令％=a*像,%=》兇。*偽.證明：

x=%"(k2),?.

2024年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（九省聯(lián)考）

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

].答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

2.橢圓W+y2=1（。〉1）的離心率為:，則。=（）

a

A.與B.V2C.V3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.

【詳解】由題意得6=也三=,，解得叵，

a23

故選：A.

3.記等差數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為反,。3+%=6嗎2=17,貝（JS[6=（）

A.120B.140C.160D.180

【答案】c

【解析】

【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)先求出%+%2的值，然后根據(jù)前〃項(xiàng)和公式結(jié)合下標(biāo)和性質(zhì)求解出S16的值.

【詳解】因?yàn)椤?+%=2%=6,所以%=3,所以%+42=3+17=20,

所以S[6=_8（%+?12）=160,

故選：C.

4.設(shè)名廠是兩個(gè)平面，相，/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.韭a，B，m〃a,U/§,則爪_L/B.若mua,lu0,m〃l,則a〃1

C.若a/3=m,l//a,l///3,則m〃/D.若"z_L%/_L尸，加〃/,則。

【答案】C

【解析】

【分析】由線面平行性質(zhì)判斷真命題，舉反例判定假命題即可.

【詳解】對于A,帆,/可能平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤，對于B,名P可能相交或平行，故B錯(cuò)誤，

對于D,名A可能相交或平行，故D錯(cuò)誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，

故選：C

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）

A.20種B.16種C.12種D.8種

【答案】B

【解析】

【分析】分類討論：乙丙及中間2人占據(jù)首四位、乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，然后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理

求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橐液捅g恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，

①當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時(shí)還剩末位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有用種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有A；種排法，

所以有人上人上人；=8種方法；

②當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時(shí)還剩首位，故甲在乙丙中間,

排乙丙有A；種方法，排甲有A；種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有A；種排法，

所以有人就人人人；=8種方法；

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有8+8=16種排法，

故選：B.

6.已知。為直線/：x+2y+l=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足QP=（1,—3）,記P的軌跡為E,則（）

A.E是一個(gè)半徑為石的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為&D.E是兩條平行直線

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)?（龍,?。蒕P=（l,-3）可得。點(diǎn)坐標(biāo)，由。在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得產(chǎn)軌跡E,

結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.

【詳解】設(shè)尸（x,y）,由QP=（l,—3）,則Q（Iy+3）,

由。在直線/：%+2丁+1=0上，故x—l+2（y+3）+l=0,

化簡得％+2y+6=0,即p軌跡為E為直線且與直線/平行，

E上的點(diǎn)至!J/的距離d=,故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

Vl2+22

故選：C.

7.已知（羽，7r],tan2，=_4tan[，+^],則一1；sin2"_=（）

I4JI2cos2e+sin28

133

A.—B.—C.1D.一

442

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切二倍角公式，將齊次化即可得出答案.

2cos2^+sin20

【詳解】由題6eLT，tan2e=Ttan（e+：）,

z2tan0—4（tan8+l）/2八

得0---------=——--------1=-4（tan8+lX）=2tan。，

l-tan2<91-tan^v7

則（210!1。+1）&311。+2）=0=>1011。二一2或12118=-;,

因?yàn)閑￡［年,7i）,tane￡（—l,0）,所以tan8=—g,

l+sin28_sin2^+cos2^+2sin^cos0_tan2^+l+2tan^

2cos2。+sin282cos2^+2sin^cos^2+2tan^

-2+（-1）-4

故選：A

22

8.設(shè)雙曲線C:5-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,且，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與。交于AB兩點(diǎn),

ab

閨邳=2閨4厘.@=4〃,則C的離心率為（）

A.0B.2C.75D.布

【答案】D

【解析】

【分析】由雙曲線的對稱性可得閨H=|8隊(duì)閨固=|耳H且四邊形A45月為平行四邊形，由題意可得出

HBR,結(jié)合余弦定理表示出與。、c有關(guān)齊次式即可得離心率.

由雙曲線的對稱性可知閨4|=|耳到，山.=醫(yī)旬，有四邊形鳥為平行四邊形,

令陽川=|乙同=加，則閨目=|用旬=2根,

由雙曲線定義可知|月旬一閨旬=2。，故有2機(jī)—機(jī)=2a,即帆=2a,

即閨H=優(yōu)到=m=2。，閨W=EH=4a,

2

F2A-F2B=\F2A-|F2B^COSZAF2B=2ax4acosZAF2B=4a,

則cosNA《3=；,即乙隼8=告，故/《明=^

⑶班+匝4-由用2(4a『+(2a)2—(Ze)?

則有cosZFBF=

2l2國孫國國2x4ax2a

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于。、b.c之間的等量關(guān)系，本題中

結(jié)合題意與雙曲線的定義得出閨小優(yōu)目與。的具體關(guān)系及N854的大小，借助余弦定理表示出與

。、c有關(guān)齊次式，即可得解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.己知函數(shù)/(X)=sin[2x+?1+cos[2x+^J,則()

A.函數(shù)—為偶函數(shù)

B,曲線y=/(x)對稱軸為％=防1,左eZ

/、(兀兀、

C.“X)在區(qū)間不,5單調(diào)遞增

D./(%)的最小值為-2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡/(x)=sin[2x+q^+cos12x+?；再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即

可.

【詳解】/(x)=sin|^2x++cos^2x+

=sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos--sin2xsin—

-名心+2os2A避8s2"-正疝2』小心,

2222

即/(x)=-V2sin2x,

對于A,7（九一；-V2sinI2x-1-I=V2cos2x,易知為偶函數(shù)，所以A正確;

對于B,〃％)=—正51112%對稱軸為2%二二十防1,左eZ^>%=—+—,Z:eZ,故B錯(cuò)誤;

v7242

71712兀

對于C,,2xGT,7r，y=sin2x單調(diào)遞減，則

/（x）=-V2sin2x單調(diào)遞增，故C正確;

對于D,/(%)=-V2sin2x,則sin2xe,所以/(x)e[—后,0],故D錯(cuò)誤;

故選：AC

10.已知復(fù)數(shù)z,w均不為0,則（）

2

ZZ

A.z2=|z|2B.■=?—----

,Z|zI2

__Z_z

C.z—vv=z—wD.—=

ww

【答案】BCD

【解析】

【分析】設(shè)出z=〃+歷、w=c+di,結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共輾復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)逐個(gè)計(jì)算即可得.

【詳解】設(shè)2=。+歷(a,Z?￡R)、w=c+Ji(c,JeR)；

對A：設(shè)z=a+bi6R),則z2=(〃+歷了=a2+2abi—b1=a1-b1+2abi,

IZF=(Ja?+/;2)="+人2,故A錯(cuò)誤；

2

772.zz

對B：==———，又z?z=M，即有=='j―y,故B正確；

zz?ZzIZI

對C：z-w=a+bi-c-di-a-c+(b-d^i,則z—w=a—c—(Z7—d)i,

z=a—bi，w=c—di則2—一為一。+泊=〃一c—(b—d)i,

即有z—w=z—w，故C正確;

za+bi(tz+Z?i)(c-Ji)ac+bd-(ad—bc)i

對D：

wc+di(c+di)(c-di)c2+d2

2

22++a2d?—

ac+bdI+ad-be2abed+b2d22abcd+b?$

c2+d2c2+屋

22

aC+b2d2+a2d2+b2c2Ja2c2+b2d2+a2d2+b2c2

(c2+J2)2c1+d2

\z\_[a2+/_yja2+b2xyJc2+d2

c1+d2c~+d~

_1a2c2+bW+02d2+b2d2

c1+d2

zz

故一—,故D正確.

ww

故選:BCD.

11.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/H0,若/(x+y)+/(x)/(y)=4呼，則(

A.f0-2

D.函數(shù)+g

c.函數(shù)小一；是偶函數(shù)是減函數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】對抽象函數(shù)采用賦值法，令x=g、y=°，結(jié)合題意可得/(o)=—1，對A：令x=g、丁=°，

代入計(jì)算即可得；對B、C、D：令y=-可得/卜I-2x,即可得函數(shù)—g及函數(shù)/x+g

函數(shù)的性質(zhì)，代入x=l,即可得了

【詳解】令》=；、y=°，則有/[g1/⑼=/即1+/(。)]

+/X=0,

2

又/[；卜0,故1+/(0)=0,即/(o)=—1,

人11

令x=一、

2

即+=由/(O)=-L可得J=0'

又了(；]w0，故/1_g]=0,故A正確;

-2%,故函數(shù)/1x-g

即/是奇函數(shù),

有/fx+l-^-j=-2(x+l)=-2x-2,即/fx+^-j=-2x-2,

即函數(shù)/x+g是減函數(shù),

令x=l,有f=—2x1=—2,

故B正確、C錯(cuò)誤、D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到/(o)=-1，再重新

賦值，得到—3]=0,再得至U/1x—g]=_2x.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A={-2,0,2,4},3={x||x—3區(qū)相},若AB=A,則加的最小值為

【答案】5

【解析】

【分析】由AB=A可得解出集合B后結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可得.

【詳解】由AB=A,故

由上一得一根+3<%<相+3,

4<m+3m>1

故有《即《廠，即加25,

-2>-m+3m>5

即加的最小值為5.

故答案為：5.

13.已知軸截面為正三角形的圓錐W的高與球。的直徑相等，則圓錐W的體積與球。的體積的比值

是，圓錐W的表面積與球。的表面積的比值是.

2

【答案】①.1②.1

【解析】

【分析】設(shè)圓錐的底面圓半徑，?以及球的半徑R,用「表示出圓錐的高/7和母線/以及球的半徑R,然后根

據(jù)體積公式求出體積比，根據(jù)表面積公式求得表面積之比.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，球的半徑為R,

因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高〃=母線/=2r,

由題可知：h=2R,所以球的半徑氏=且廠

2

所以圓錐的體積為M=-x

13

2

3

圓錐的表面積耳=nrl+7ir2=3兀/,

、2

球的表面積S2=4兀尺2=4”r-3兀產(chǎn)，

所以j

2

故答案為：—；1.

14.以max"表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)OVQVZ?VCV1,已知或Q+Z?VI,則

max{Z?-a,c-Z>,l-c}的最小值為

【答案】1##0.2

【解析】

b=l-n-p

【分析】利用換元法可得<?，進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解.

a=l—m—n—p

【詳解】令b_a=m,c_b=n,l_c=p,其中加，2p>。，

b=l-n-p

所以

a=l—m—n—p

若bN2a,則Z?=l—〃一〃22。一加一〃一〃），故2加+〃+〃之1,

令A(yù)f=max{Z?-Q,c-Z7,l-c}=max{根,,

2M>2m

因止匕<M>n，故4Af>2m+n+夕之1,則M2工，

4

M>p

若,則1一〃一p+1一根一〃一p<l,即m+2n+2p>l,

M=max!/?-d!,c-Z7,l-c1=rnax{m,n,/?）,

M>m

則<2M>2n，故5M之機(jī)+2〃+2p21,則

2M>2p,

當(dāng)根=2〃=2P時(shí)，等號(hào)成立，

綜上可知max{b-a,c-b,l-c}的最小值為g,

故答案：—

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法，在人22。和。+5<1前提下進(jìn)行合理分類討論，根據(jù)題意

得到相對應(yīng)的不等式組，注意題目的條件關(guān)鍵詞是“或”.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/（兄）=11^+必+依+2在點(diǎn)（2J（2））處的切線與直線2%+3y=。垂直.

（1）求。；

（2）求/（%）單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】（1）a=-3

（2）單調(diào)遞增區(qū)間為10,gj、（L+8），單調(diào)遞減區(qū)間為（glj，極大值;—ln2,極小值0

【解析】

【分析】(1)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計(jì)算即可得;

(2)借助導(dǎo)數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.

【小問1詳解】

11g

/'(X)=—+2x+a,則fr(2)=—+2x2+a=—+a,

x22

由題意可得=—1,解得q=—3；

【小問2詳解】

由。=一3,故/(x)=hix+x2-3x+2,

,/x12x2—3x+1(2x—l)(x—1)

則r(x)=—+2x-3=-------------=-^-------△——L*>o,

XXX

故當(dāng)?！礋o時(shí)，>0,當(dāng)工<X<1時(shí)，r(x)<0,當(dāng)X〉1時(shí)，>0,

22

故/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為［o，g］、(1,+8)，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為&,11

13

故/(￡)有極大值/-3x-+2=——ln2,

2UJ24

有極小值/(l)=lnl+F—3xl+2=0.

16.盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.

(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

4

【答案】(1)-

7

(2)分布列見解析，E(X)=y

【解析】

【分析】(1)先確定3個(gè)不同數(shù)字的小球，然后再從確定的每種小球中取1個(gè)，通過計(jì)算可求符合要求的取

法數(shù)，再除以總的取法數(shù)可得結(jié)果；

(2)先確定X的可取值為L2,3,然后計(jì)算出不同取值的概率，注意X的每種取值對應(yīng)兩種情況，由此可

求分布列和期望E(X).

【小問1詳解】

記“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M,

先確定3個(gè)不同數(shù)字的小球，有C；種方法，

然后每種小球各取1個(gè)，有C；xC；xC；種取法，

所以

8

【小問2詳解】

由題意可知，X的可取值為L2,3,

當(dāng)X=1時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為1的小球、有兩個(gè)數(shù)字為1的小球，

所以p(x=i)=c；c，3c

8

當(dāng)X=2時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為2的小球、有兩個(gè)數(shù)字為2的小球,

所以P(X=2)=弋=：

8

當(dāng)X=3時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為3的小球、有兩個(gè)數(shù)字為3的小球，

所以p(x=3)=c；c個(gè)3c爆=',

8

所以X的分布列為:

X123

921

p

14714

92110

所以石(X)=lx—+2x—+3又一=一.

'/147147

17.如圖，平行六面體ABC。—A4GR中，底面ABCD是邊長為2的正方形，。為AC與5。的交點(diǎn),

AA=2,NGCB=ZQCD^QCO=45°.

（1）證明：G。，平面ABC。；

（2）求二面角8—朋―。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵也

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的正弦值.

【小問1詳解】

連接3G，QG，

因?yàn)榈酌鍭BC。是邊長為2的正方形，所以BC=DC,

又因NC]CB=ZQCD,CC,=CCX,

所以C|C5三GC。，所以BQ=DG，

點(diǎn)。為線段中點(diǎn)，所以

在△￡CO中，CG=2,。0=（4。=五，ZC]CO=45°,

所以coszqco=—="2+℃2-G02nGO=0，

22xQCxOC

222

則qc=OC+CtOnCQ1OC,

又OCBD=O,OCu平面ABC。，BDu平面ABC。，

所以CQ,平面ABC。.

【小問2詳解】

由題知正方形ABC。中AC人3D,G。，平面ABCD,所以建系如圖所示,

則B(0,V2,0),D(0,-V2,0),A(V2,0,0),C(-V2,0,0),G(0,0,72),

則叫=/=(后,0,收)，

AB=(-V2,y/2,0),AD=(-72,-72,0),

設(shè)面BAA的法向量為機(jī)=（%,%,zj,面。的法向量為"=（X2，%，Z2），

-m=0Ox"岳1=0

則

AB-m=0-缶i+為i=0

心R=0=],+々=0n〃=(iTT，

AD?m=0[-y/2x2-y/2y2=0

設(shè)二面角B-44-。大小為氏

八m-n112

則“麗sin0=A/1-COS0二

3，

所以二面角的正弦值為過1.

3

18.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，過產(chǎn)的直線/交C于A3兩點(diǎn)，過尸與/垂直的直線交。于

兩點(diǎn)，其中5。在x軸上方，加,尺分別為4民￡）￡的中點(diǎn).

（1）證明：直線"N過定點(diǎn);

（2）設(shè)G為直線AE與直線3。的交點(diǎn)，求面積的最小值.

【答案】（1）證明見解析

（2）8

【解析】

【分析】（1）設(shè)出直線A5與直線CD的方程，聯(lián)立曲線后得到與縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題意，表示出

直線后即可得定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)出直線AE與直線3。的方程，聯(lián)立兩直線后結(jié)合第一問中韋達(dá)定理得出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)恒為-1,再

結(jié)合面積公式及基本不等式即可得.

【小問1詳解】

由C:y2=4x,故b（1,0）,由直線AB與直線CD垂直，

故兩只直線斜率都存在且不為0,

設(shè)直線AB、CD分別為％=叫>+1、x=m2y+l,有加即2=一1，

A6,%）、3（%2，%）、后（七，％）、。（均為），

,fy2=4%

聯(lián)立C:/=4x與直線A3,即有《，

x=mly+l

消去x可得曠-4m1y-4=0,A=16/nf+16>0,

故%+%=4叫、%％=-4，

則xl+x2=m1yl+1+m1y2+1=仍（%+%）+2=4琳+2,

故生產(chǎn)=2仍2+i,入產(chǎn)=2嗎，

即M（2訴+1,2叫）,同理可得N（2潴+1,2加2）,

當(dāng)2m+1w2*+1時(shí)，

則.尸遍著日川（I小A?九

即尸附駕22喈.1）+2町=一--U+2州（…）

-rriyv7g+叫叫+叫”+肛

x2屁+1-2叫叫-2屁_x1-2mlm2

叫+肛叫+叫叫+叫叫+叫

X1+21

(I),

由m,m2=一1,即y=

一加2+叫加2+叫

故x=3時(shí)，有'=（3—3）=0,

m2+網(wǎng)

此時(shí)過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為（3,0）,

當(dāng)2/+1=2根;+1時(shí)，即訴=加;時(shí)，由叫冽2=-1，即叫=±1時(shí),

有“v：x=2+l=3,亦過定點(diǎn)（3,0）,

故直線過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為（3,0）；

【小問2詳解】

由A（%,yJ、3（%,%）、石（七,為）、。（工4，乂），

:

則，AE-y=~~(x—石)+M，由V；=4石、yl=4X2,

X3~X1

，2、A22,

、,_%-%Y%,v_4x%44?%%

17y——2--------2~%----------十-------------------------------1----------------

改,4)%+%為+必為+x%+M%+%'

44

44?%%

y

??y2y4%+M%+M

同理可得：y=,聯(lián)立兩直線，即＜

%+%%+%4x?%%

y

%+%%+%

有上+44x?y2y4

%+X為+X/+%%+%

即4x(為+%)+X%(%+%)=4x(%+X)+%%(%+%)，

有工=------------------『——由％%=-4,同理%%=-4，

4(%+%-

故％=y2y4(%+x)-%%(%+%)=%%乂+yy2y4-%y3y4-?%%

l，4(%+%—%—%)4(%+%—%—%)

「4(%+%-X-%)：]

4(%+%-%-X)'

故%=T，

過點(diǎn)G作GQ〃x軸，交直線MN于點(diǎn)。，則SGMN=；|%—%Hq—》G|，

由“(2琳+1,2町)、N(2雇+1,2m)，

,,2Ir

故_'[=2叫一2牡=2叫+—