高考數(shù)學人教B版一輪復習訓練11-7-2離散型隨機變量與其他知識的綜合問題

核心考點·精準研析考點一與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)的綜合問題

1.已知一批產(chǎn)品的不合格率為p(0<p<1)，從中任取20件作檢驗，記20件產(chǎn)品中恰好有2件不合格品的概率為f(p)，則f(p)取到最大值時，p= () B.0.2 2.已知離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2PpE(X)=QUOTE，D(X)=QUOTE，則px1x2的最小值為_________.

3.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間QUOTE，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)QUOTE，QUOTE2QUOTE，QUOTE16QUOTE，QUOTE36QUOTE，QUOTE25QUOTE，QUOTE7QUOTE，QUOTE4以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. 導學號(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列.(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值.【解析】1.選A.根據(jù)題意得f(p)=QUOTEp2(1p)18，因此f′(p)=QUOTE[2p(1p)1818p2(1p)17]=2QUOTEp(1p)17(110p)(0<p<1).令f′(p)=0，得p=0.1.當p∈(0，0.1)時，f′(p)>0；當p∈(0.1，1)時，f′(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0=0.1.所以p=0.1.2.因為QUOTE+p=1，所以p=QUOTE，又因為E(X)=QUOTEx1+QUOTEx2=QUOTE，D(X)=QUOTE+QUOTE=QUOTE，解得QUOTE或QUOTE所以px1x2=QUOTE或px1x2=QUOTE，所以px1x2的最小值為QUOTE.答案：QUOTE3.(1)由題意得，X的可能取值為200，300，500.根據(jù)題意，結(jié)合頻數(shù)分布表，用頻率估計概率可知P(X=200)=QUOTE=QUOTE，P(X=300)=QUOTE=QUOTE，P(X=500)=QUOTE=QUOTE，所以六月份這種酸奶一天的需求量X的分布列為：X200300500P(2)①當200≤n≤300時，若X=200，則Y=(64)X+(24)(nX)=4X2n=8002n，P(Y=8002n)=QUOTE.若X=300時，則Y=(64)n=2n，P(Y=2n)=QUOTE，若X=500時，則Y=(64)n=2n，P(Y=2n)=QUOTE.所以Y的分布列為：Y8002n2n2nP所以E(Y)=QUOTE×(8002n)+QUOTE×2n+QUOTE×2n=QUOTEn+160，所以當n=300時，E(Y)max=520(元).②當300<n≤500時，若X=200，則Y=(64)X+(24)(nX)=8002n，P(Y=8002n)=QUOTE.若X=300時，則Y=(64)X+(24)(nX)=12002n，P(Y=12002n)=QUOTE.若X=500時，則Y=(64)n=2n，P(Y=2n)=QUOTE.所以Y的分布列為：Y8002n12002n2nP所以E(Y)=QUOTE×(8002n)+QUOTE×(12002n)+QUOTE×2n=QUOTEn+640<QUOTE×300+640=520(元).綜上，當n為300瓶時，Y的數(shù)學期望達到最大值.與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)的綜合問題的解法1.與函數(shù)有關(guān)的問題，結(jié)合概率，方差，均值的公式列出函數(shù)表達式，再利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最值等)求解.2.與方程、不等式有關(guān)的問題，結(jié)合均值、方差公式列出方程或不等式，解方程或不等式即可.考點二與數(shù)列有關(guān)的綜合問題

【典例】某情報站有A，B，C，D四種互不相同的密碼，每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機選用一種.設第一周使用A種密碼，則第7周也使用A種密碼的概率為_________.(用最簡分數(shù)表示)

【解析】用Pk表示第k周用A種密碼的概率，則第k周未用A種密碼的概率為1Pk，所以Pk+1=QUOTE，k∈N*，所以Pk+1QUOTE=QUOTE.由P1=1知，數(shù)列QUOTE是首項為QUOTE，公比為QUOTE的等比數(shù)列，所以PkQUOTE=QUOTE，所以Pk=QUOTE+QUOTE，P7=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE解決離散型隨機變量與數(shù)列交匯的綜合問題的方法把離散型隨機變量的分布列、方差、均值用表達式表示出來，結(jié)合數(shù)列中等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義、通項、求和等【思想方法】，分拆為一個個小問題，各個擊破，最后解答整個問題.設非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1，x2，x3，…，x9的公差，隨機變量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x9，則方差D(ξ)= ()A.QUOTEd2 B.QUOTEd2C.10d2 D.6d2【解析】選B.因為等差數(shù)列x1，x2，x3…x9的公差是d，所以QUOTE=QUOTE=x1+4d，D(ξ)=QUOTE[(4d)2+(3d)2+(2d)2+(d)2+02+d2+(2d)2+(3d)2+(4d)2]=QUOTEd2，故選B.考點三與統(tǒng)計交匯的綜合問題

命題精解讀考什么：與統(tǒng)計知識交匯命題，考查統(tǒng)計背景下離散型隨機變量的分布列、均值、方差的計算問題.怎么考：與統(tǒng)計中頻率分布直方圖、獨立性檢驗、線性回歸方程、莖葉圖等知識結(jié)合，綜合考查統(tǒng)計中的數(shù)字特征和概率分布中的均值、方差.新趨勢：概率與統(tǒng)計結(jié)合，綜合考查離散型隨機變量的分布列、均值、方差等.學霸好方法與統(tǒng)計知識交匯問題的解決方法(1)熟練掌握統(tǒng)計中抽樣方法、用樣本估計總體的思想，掌握頻率分布直方圖、莖葉圖、條形圖等統(tǒng)計圖形的意義，熟記平均數(shù)、方差、標準差的公式.(2)正確求解離散型隨機變量的分布列、均值、方差，熟悉二項分布、正態(tài)分布的模型.與統(tǒng)計中的頻率分布直方圖等有關(guān)的綜合問題【典例】一個不透明的袋子中裝有4個形狀相同的小球，分別標有不同的數(shù)字2，3，4，x，現(xiàn)從袋中隨機摸出2個球，并計算摸出的這2個球上的數(shù)字之和，記錄后將小球放回袋中攪勻，進行重復試驗.記A事件為“數(shù)字之和為7”.試驗數(shù)據(jù)如表摸球總次數(shù)“和為7”出現(xiàn)的頻數(shù)“和為7”出現(xiàn)的頻率1010.102090.4530140.4760240.4090260.29120370.31180580.32240820.343301090.334501500.33參考數(shù)據(jù)：0.33≈QUOTE(1)如果試驗繼續(xù)下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“數(shù)字之和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近.試估計“出現(xiàn)數(shù)字之和為7”的概率，并求x(2)在(1)的條件下，設定一種游戲規(guī)則：每次摸2球，若數(shù)字和為7，則可獲得獎金7元，否則需交5元.某人摸球3次，設其獲獎金額為隨機變量η元，求η的數(shù)學期望和方差. 導學號【解析】(1)由數(shù)據(jù)表可知，當試驗次數(shù)增加時，頻率穩(wěn)定在0.33附近，所以可以估計“出現(xiàn)數(shù)字之和為7”的概率為QUOTE；因為P(A)=QUOTE=QUOTE，所以A事件包含兩種結(jié)果，則有3+4=2+x=7，解得x=5.(2)設ξ表示3次摸球中A事件發(fā)生的次數(shù)，則ξ～A3，QUOTE，E(ξ)=3×QUOTE=1，D(ξ)=3×QUOTE×QUOTE=QUOTE；則η=7ξ5(3ξ)=12ξ15，E(η)=E(12ξ15)=12E(ξ)15=1215=3，D(η)=D(12ξ15)=144D(ξ)=144×QUOTE=96.與統(tǒng)計中的回歸直線方程、獨立性檢驗有關(guān)的綜合問題【典例】隨著的發(fā)展，“微信”逐漸成為人們交流的一種形式，某機構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成人數(shù)如表：年齡(單位：歲)頻數(shù)贊成人數(shù)QUOTE，QUOTE55QUOTE，QUOTE1010QUOTE，QUOTE1512QUOTE，QUOTE107QUOTE，QUOTE52QUOTE，QUOTE51(1)若以“年齡55歲為分界點”，由統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān).年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計贊成不贊成合計(2)若從年齡不低于55歲的被調(diào)查人中隨機選取3人進行追蹤調(diào)查，求3人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)的分布列和均值.【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下：年齡不低于55歲的人數(shù)年齡低于55歲的人數(shù)合計贊成33437不贊成7613合計104050χ2=QUOTE≈12.578>10.828，所以有99.9%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān).(2)設3人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)為X，則X的取值為0，1，2，3，由(1)中數(shù)據(jù)可得年齡不低于55歲的人數(shù)為10，其中贊成“使用微信交流”的人數(shù)為3，不贊成“使用微信交流”的人數(shù)為7，所以PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，所以X的分布列為X0123P所以均值為E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.與統(tǒng)計中的平均數(shù)、方差等數(shù)字特征有關(guān)的綜合問題【典例】為了保障某種藥品的主要藥理成分在國家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的范圍內(nèi)，某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過程中，檢驗員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時對該藥品進行檢測，每天檢測4次：每次檢測由檢驗員從該藥品生產(chǎn)線上隨機抽取20件藥品進行檢測，測量其主要藥理成分含量(單位：mg).根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的藥品的主要藥理成分含量服從正態(tài)分布N(μ，σ2).(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示某次抽取的20件藥品中主要藥理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之外的藥品件數(shù)，求P(X=1)(精確到0.0001)及X的數(shù)學期望.(2)在一天內(nèi)四次檢測中，如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之外的藥品，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)異常情況，需對本次的生產(chǎn)過程進行檢查；如果在一天中，有連續(xù)兩次檢測出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之外的藥品，則需停止生產(chǎn)并對原材料進行檢測.①下面是檢驗員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量：10.02，9.78，10.04，9.92，10.14，10.04，9.22，10.13，9.91，9.95，10.09，9.96，9.88，10.01，9.98，9.95，10.05，10.05，9.96，10.12.經(jīng)計算得QUOTE=QUOTExi=9.96，s=QUOTE=QUOTE≈0.19.其中xi為抽取的第i件藥品的主要藥理成分含量，i=1，2，…，20，用樣本平均數(shù)QUOTE作為μ的估計值μ′，用樣本標準差s作為σ的估計值σ′，利用估計值判斷是否需對本次的生產(chǎn)過程進行檢查.②試確定一天中需停止生產(chǎn)并對原材料進行檢測的概率(精確到0.001).附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布NQUOTE，則P(μ3σ<Z≤μ+3σ)=0.997，0.99719≈0.9445，0.99720≈0.9417，0.05832≈0.0034，0.94172≈0.8868導學號【解析】(1)抽取的一件藥品的主要藥理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.997，從而主要藥理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之外的概率為0.003，故X～B(20，0.003).因此P(X=1)=QUOTE(0.997)19×0.003≈0.0567，X的數(shù)學期望為E(X)=20×0.003=0.06.(2)①由QUOTE=9.96，s=0.19，得μ的估計值為μ′=9.96，σ的估計值為σ′=0.19，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一件藥品的主要藥理成分含量(9.22)在(μ′3σ′，μ′+3σ′)=(9.39，10.53)之外，因此需對本次的生產(chǎn)過程進行檢查.②設“在一次檢測中，發(fā)現(xiàn)需要對本次的生產(chǎn)過程進行檢查”為事件A，則P(A)=1[P(X=0)]20≈1(0.997)20≈10.9417=0.0583，如果在一天中，需停止生產(chǎn)并對原材料進行檢測，則在一天的四次檢測中，有連續(xù)兩次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在(μ3σ，μ+3σ)之外的藥品，故概率為P=3[P(A)]2×[1P(A)]2≈3×(0.0583)2×(0.9417)2≈0.009，所以一天中需停止生產(chǎn)并對原材料進行檢測的概率為0.009.1.重慶市推行“共享吉利博瑞車”服務，租用該車按行駛里程加用車時間收費，標準是“1元/千米+0.2元/分鐘”.剛在重慶參加工作的小劉擬租用“共享吉利博瑞車”上下班，同單位的鄰居老李告訴他：“上下班往返總路程雖然只有10千米，但偶爾開車上下班總共也需花費大約1小時”，并將自己近50天的往返開車的花費時間情況統(tǒng)計如表：時間(分鐘)次數(shù)QUOTE，QUOTE10QUOTE，QUOTE18QUOTE，QUOTE12QUOTE，QUOTE8QUOTE，QUOTE2將老李統(tǒng)計的各時間段頻率視為相應概率，假定往返的路程不變，而且每次路上開車花費時間視為用車時間.(1)試估計小劉每天平均支付的租車費用(每個時間段以中點時間計算).(2)小劉認為只要上下班開車總用時不超過45分鐘，租用“共享吉利博瑞車”為他該日的“最優(yōu)選擇”，小劉擬租用該車上下班2天，設其中有ξ天為“最優(yōu)選擇”，求ξ的分布列和數(shù)學期望.【解析】(1)由題可得如下用車花費與相應頻率的數(shù)表：花費1416182022頻率0.20.360.240.160.04估計小劉平均每天用車費用為14×0.2+16×0.36+18×0.24+20×0.16+22×0.04=16.96(元).(2)ξ可能的取值為0，1，2，用時不超過45分鐘的概率為0.8，ξ～B(2，0.8)，P(ξ=0)=QUOTE0.80×0.22=0.04，P(ξ=1)=QUOTE0.81×0.21=0.32，P(ξ=2)=QUOTE0.82×0.20=0.64，ξ012P0.040.320.64所以E(ξ)=2×0.8=1.6.2.某地農(nóng)民種植A種蔬菜，每畝每年生產(chǎn)成本為7000元，A種蔬菜每畝產(chǎn)量及價格受天氣、市場雙重影響，預計明年雨水正常的概率為QUOTE，雨水偏少的概率為QUOTE.若雨水正常，A種蔬菜每畝產(chǎn)量為2000千克，單價為6元/千克的概率為QUOTE，單價為3元/千克的概率為QUOTE；若雨水偏少，A種蔬菜每畝產(chǎn)量為1500千克，單價為6元/千克的概率為QUOTE，單價為3元/千克的概率為QUOTE.(1)計算明年農(nóng)民種植A種蔬菜不虧本的概率.(2)在政府引導下，計劃明年采取“公司加農(nóng)戶，訂單農(nóng)業(yè)”的生產(chǎn)模式，某公司未來不增加農(nóng)民生產(chǎn)成本，給農(nóng)民投資建立大棚，建立大棚后，產(chǎn)量不受天氣影響，因此每畝產(chǎn)量為2500千克，農(nóng)民生產(chǎn)的A種蔬菜全部由公司收購，為保證農(nóng)民的每畝預期收入增加1000元，收購價格至少為多少？【解析】(1)只有當價格為6元/千克時，農(nóng)民種植A種蔬菜才不虧本，所以農(nóng)民種植A種蔬菜不虧本的概率是P=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)按原來模式種植，設農(nóng)民種植A種蔬菜每畝收入為ξ元，則ξ可能取值為：5000，2000，1000，2500.P(ξ=5000)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，P(ξ=2000)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，P(ξ=1000)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，P(ξ=2500)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，E(ξ)=5000×QUOTE+2000×QUOTE1000×QUOTE2500×QUOTE=500，設收購價格為a元/千克，農(nóng)民每畝預期收入增加1000元，則2500a≥7000+1500，即a≥3.4，所以收購價