第五章-數(shù)控裝置的軌跡控制原理

黑龍江大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院劉國華數(shù)控技術(shù)第五章數(shù)控裝置的軌跡控制原理第一節(jié)概述第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)第四節(jié)數(shù)控裝置的進(jìn)給速度控制第一節(jié)概述

數(shù)控機(jī)床上進(jìn)行加工的各種工件，大部分由直線和圓弧構(gòu)成。因此，大多數(shù)數(shù)控裝置都具有直線和圓弧的插補(bǔ)功能。對于非圓弧曲線輪廓軌跡，可以用微小的直線段或圓弧段來擬合。

插補(bǔ)：根據(jù)給定速度和給定輪廓線形的要求，在輪廓的已知點(diǎn)之間，確定一些中間點(diǎn)的方法，即：數(shù)據(jù)密化的過程。1、插補(bǔ)的基本概念數(shù)控系統(tǒng)根據(jù)零件輪廓線型的有限信息，計(jì)算出刀具的一系列加工點(diǎn)、完成所謂的數(shù)據(jù)“密化”工作。插補(bǔ)有二層意思：

一是用小線段逼近產(chǎn)生基本線型（如直線、圓弧等）；

二是用基本線型擬和其它輪廓曲線。

插補(bǔ)運(yùn)算具有實(shí)時(shí)性，直接影響刀具的運(yùn)動(dòng)。插補(bǔ)運(yùn)算的速度和精度是數(shù)控裝置的重要指標(biāo)。第一節(jié)概述第一節(jié)概述

由于每個(gè)中間點(diǎn)計(jì)算的時(shí)間直接影響數(shù)控裝置的控制速度，而插補(bǔ)中間點(diǎn)的計(jì)算精度又影響到整個(gè)數(shù)控系統(tǒng)的精度，所以插補(bǔ)算法對整個(gè)數(shù)控系統(tǒng)的性能至關(guān)重要，也就是說數(shù)控裝置控制軟件的核心是插補(bǔ)。

研究出一套簡單而有效的插補(bǔ)算法是人們追求的目標(biāo)。目前使用的插補(bǔ)算法有兩類：一類是脈沖增量插補(bǔ)；另一類是數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)。第一節(jié)概述2、插補(bǔ)方法的分類硬件插補(bǔ)器

完成插補(bǔ)運(yùn)算的裝置或程序稱為插補(bǔ)器軟件插補(bǔ)器

軟硬件結(jié)合插補(bǔ)器

1.脈沖增量插補(bǔ)

每次插補(bǔ)結(jié)束僅向各運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)軸輸出一個(gè)控制脈沖，各坐標(biāo)僅產(chǎn)生一個(gè)脈沖當(dāng)量或行程的增量。脈沖序列的頻率代表坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)的速度，而脈沖的數(shù)量代表運(yùn)動(dòng)位移的大小。基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)的方法很多，如逐點(diǎn)比較法、數(shù)字積分法、脈沖乘法器等。

2.數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)

采用時(shí)間分割思想，根據(jù)編程的進(jìn)給速度將輪廓曲線分割為每個(gè)插補(bǔ)周期的進(jìn)給直線段（又稱輪廓步長）進(jìn)行數(shù)據(jù)密化，以此來逼近輪廓曲線。然后再將輪廓步長分解為各個(gè)坐標(biāo)軸的進(jìn)給量（一個(gè)插補(bǔ)周期的近給量），作為指令發(fā)給伺服驅(qū)動(dòng)裝置。該裝置按伺服檢測采樣周期采集實(shí)際位移，并反饋給插補(bǔ)器與指令比較，有誤差運(yùn)動(dòng)，誤差為零停止，從而完成閉環(huán)控制。數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)方法有：直線函數(shù)法、擴(kuò)展DDA、二階遞歸算法等。第一節(jié)概述脈沖增量插補(bǔ)又稱基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)，這類插補(bǔ)算法是以脈沖形式輸出，每插補(bǔ)運(yùn)算一次，最多給每一軸一個(gè)進(jìn)給脈沖。把每次插補(bǔ)運(yùn)算產(chǎn)生的指令脈沖輸出到伺服系統(tǒng)，以驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)。每發(fā)出一個(gè)脈沖，工作臺(tái)移動(dòng)一個(gè)基本長度單位，也叫脈沖當(dāng)量，用δ表示。脈沖當(dāng)量是脈沖分配計(jì)算的基本單位，根據(jù)加工精度選擇，普通機(jī)床取δ＝0.01mm，較為精密的機(jī)床取δ＝1μm或0.1μm。插補(bǔ)誤差不得大于一個(gè)脈沖當(dāng)量。

一、脈沖增量插補(bǔ)第一節(jié)概述二、數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)

數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)又稱時(shí)間標(biāo)量插補(bǔ)或數(shù)字增量插補(bǔ)。這類插補(bǔ)算法的特點(diǎn)是數(shù)控裝置產(chǎn)生的不是單個(gè)脈沖，而是數(shù)字量。插補(bǔ)程序每調(diào)用一次，算出坐標(biāo)軸在一個(gè)周期中的增長段（不是脈沖），得到坐標(biāo)軸相應(yīng)的指令位置，與通過位置采樣所獲得的坐標(biāo)軸的現(xiàn)時(shí)的實(shí)際位置（數(shù)字量）相比較,求得跟隨誤差。位置伺服軟件將根據(jù)當(dāng)前的跟隨誤差算出適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸進(jìn)給速度指令，輸出給驅(qū)動(dòng)裝置。插補(bǔ)運(yùn)算分兩步完成。第一節(jié)概述

第二步為精插補(bǔ)，它是在粗插補(bǔ)算出的每一微小直線上再作“數(shù)據(jù)點(diǎn)的密化”工作。這一步相當(dāng)于對直線的脈沖增量插補(bǔ)。XOYPiPi+1△L=FT第一步為粗插補(bǔ)，它是在給定起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲線之間插入若干個(gè)點(diǎn)，即用若干條微小直線段來擬合給定曲線，每一微小直線段的長度△L都相等，且與給定進(jìn)給速度有關(guān)。粗插補(bǔ)時(shí)每一微小直線段的長度△L與進(jìn)給速度F和插補(bǔ)T周期有關(guān)，即△L＝FT。P1XOYP0Pn△L=FT第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)一、逐點(diǎn)比較法

逐點(diǎn)比較法又稱代數(shù)運(yùn)算法或醉步法，其基本原理是：數(shù)控裝置在控制刀具按要求的軌跡移動(dòng)過程中，不斷比較刀具與給定輪廓的誤差，由此誤差決定下一步刀具的移動(dòng)方向，使刀具向減少誤差的方向移動(dòng)。偏差判別進(jìn)給偏差計(jì)算終點(diǎn)？ＹＮ結(jié)束逐點(diǎn)比較法進(jìn)行插補(bǔ)每一步都要經(jīng)過四個(gè)工作節(jié)拍：第一節(jié)拍：偏差判別第二節(jié)拍：進(jìn)給第三節(jié)拍：偏差計(jì)算第四節(jié)拍：終點(diǎn)判別

逐點(diǎn)比較法既可作為直線插補(bǔ)，又可作為圓弧插補(bǔ)。這種算法的特點(diǎn)是：運(yùn)算直觀，插補(bǔ)誤差小于一個(gè)脈沖當(dāng)量，輸出脈沖均勻，而且輸出脈沖的速度變化小，調(diào)節(jié)方便，在兩坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床中應(yīng)用較為廣泛。1.直線插補(bǔ)

如右圖所示第一象限直線OE，起點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)E（Xe，Ye），直線方程為：

XeY－XYe＝0直線OE

為給定軌跡，P（X，Y）為動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有三種情況：動(dòng)點(diǎn)在直線上方、直線上、直線下方。YＯＸＥ(Xe,Ye)P(X,Y)P1P2第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)（1)若P1點(diǎn)在直線上方，則有

XeY－XYe>0（2)若P點(diǎn)在直線上，則有

XeY－XYe＝0（3）若P2點(diǎn)在直線下方，則有

XeY－XYe<0YＯＸＥ(Xe,Ye)P(X,Y)P1P2因此，可以構(gòu)造偏差函數(shù)為:第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)偏差函數(shù)的推計(jì)算采用偏差函數(shù)的遞推式（迭代式）由前一點(diǎn)計(jì)算后一點(diǎn)：若Fi>=0，規(guī)定向+X方向走一步Xi+1=Xi+1

Fi+1=

XeYi

–Ye(Xi

+1)=Fi

-Ye若Fi<0，規(guī)定+Y方向走一步，則有Yi+1=Yi

+1

Fi+1=

Xe(Yi

+1)-YeXi

=Fi

+Xe終點(diǎn)判別直線插補(bǔ)的終點(diǎn)判別可采用三種方法。1）判斷插補(bǔ)或進(jìn)給的總步數(shù)；2）分別判斷各坐標(biāo)軸的進(jìn)給步數(shù)；3）僅判斷進(jìn)給步數(shù)較多的坐標(biāo)軸的進(jìn)給步數(shù)。

第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)開始加工時(shí)，將刀具位于起點(diǎn)，刀具正好處于直線上，偏差為零，即F＝0，沿X軸進(jìn)給一步，到達(dá)新的位置，根據(jù)這一點(diǎn)偏差可求出新一點(diǎn)偏差，隨著加工的進(jìn)行，每一新加工點(diǎn)的偏差都可由前一點(diǎn)偏差和終點(diǎn)坐標(biāo)相加或相減得到。在插補(bǔ)計(jì)算、進(jìn)給的同時(shí)還要進(jìn)行終點(diǎn)判別。常用終點(diǎn)判別方法，是設(shè)置一個(gè)長度計(jì)數(shù)器，從直線的起點(diǎn)走到終點(diǎn)，刀具沿X軸應(yīng)走的步數(shù)為Xe，沿Y軸走的步數(shù)為Ye，計(jì)數(shù)器中存入X和Y兩坐標(biāo)進(jìn)給步數(shù)總和N＝∣Xe∣＋∣Ye∣，當(dāng)X或Y坐標(biāo)進(jìn)給時(shí)，計(jì)數(shù)長度減一，當(dāng)計(jì)數(shù)長度減到零時(shí)，即N＝0時(shí)，停止插補(bǔ)，到達(dá)終點(diǎn)。第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)YX2E(4,3)O134123直線插補(bǔ)軌跡過程實(shí)例例:加工第一象限直線OE，如下圖所示，起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)為E（4，3）。試用逐點(diǎn)比較法對該段直線進(jìn)行插補(bǔ)，并畫出插補(bǔ)軌跡。N=0F7=F6-Ye=0+XF6>07N=1F6=F5+Xe=3+YF5<06N=2F5=F4-Ye=-1+XF4>05N=3F4=F3+Xe=2+YF3<04N=4F3=F2-Ye=-2+XF2>03N=5F2=F1+Xe=1+YF1<02N=6F1=F0-Ye=-3+XF0=01N=7F0=00終點(diǎn)判別偏差計(jì)算坐標(biāo)進(jìn)給偏差判別序號(hào)YX2E(4,3)O1341232.逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)

（1）偏差函數(shù)任意加工點(diǎn)Pi（Xi，Yi），偏差函數(shù)Fi可表示為若Fi=0，表示加工點(diǎn)位于圓上；若Fi>0，表示加工點(diǎn)位于圓外；若Fi<0，表示加工點(diǎn)位于圓內(nèi)。XYPi（Xi，Yi）ABF>0F<0第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)（2）偏差函數(shù)的遞推計(jì)算

1）逆圓插補(bǔ)若F≥0，規(guī)定向-X方向走一步若Fi<0，規(guī)定向+Y方向走一步

2）順圓插補(bǔ)

若Fi≥0，規(guī)定向-Y方向走一步

若Fi<0，規(guī)定向+y方向走一步（3）終點(diǎn)判別

1）判斷插補(bǔ)或進(jìn)給的總步數(shù)：2）分別判斷各坐標(biāo)軸的進(jìn)給步數(shù)；,

（4）逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)舉例對于第一象限圓弧AB，起點(diǎn)A（4，0），終點(diǎn)B（0，4）ABYX44步數(shù)偏差判別坐標(biāo)進(jìn)給偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算終點(diǎn)判別起點(diǎn)

F0=0x0=4,y0=0Σ=4+4=81F0=0-xF1=F0-2x0+1=0-2*4+1=-7x1=4-1=3y1=0Σ=8-1=72F1<0+yF2=F1+2y1+1=-7+2*0+1=-6x2=3y2=y1+1=1Σ=7-1=63F2<0+yF3=F2+2y2+1=-3x3=4,y3=2Σ=54F3<0+yF4=F3+2y3+1=2x4=3,y4=3Σ=45F4>0-xF5=F4-2x4+1=-3x5=4,y5=0Σ=36F5<0+yF6=F5+2y5+1=4x6=4,y6=0Σ=27F6>0-xF7=F6-2x6+1=1x7=4,y7=0Σ=18F7<0-xF8=F7-2x7+1=0x8=4,y8=0Σ=03.逐點(diǎn)比較法的象限處理

（1）分別處理法

四個(gè)象限的直線插補(bǔ)，會(huì)有4組計(jì)算公式，對于4個(gè)象限的逆時(shí)針圓弧插補(bǔ)和4個(gè)象限的順時(shí)針圓弧插補(bǔ)，有8組計(jì)算公式（2）坐標(biāo)變換法

用第一象限逆圓插補(bǔ)的偏差函數(shù)進(jìn)行第三象限逆圓和第二、四象限順圓插補(bǔ)的偏差計(jì)算，用第一象限順圓插補(bǔ)的偏差函數(shù)進(jìn)行第三象限順圓和第二、四象限逆圓插補(bǔ)的偏差計(jì)算。

順圓逆圓二、數(shù)字積分法

又稱數(shù)字微分分析法DDA(DigitaldifferentialAnalyzer)，是在數(shù)字積分器的基礎(chǔ)上建立起來的一種插補(bǔ)算法。數(shù)字積分法的優(yōu)點(diǎn)是，易于實(shí)現(xiàn)多坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)，較容易地實(shí)現(xiàn)二次曲線、高次曲線的插補(bǔ)，并具有運(yùn)算速度快，應(yīng)用廣泛等特點(diǎn)。第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)

如右圖所示，設(shè)有一函數(shù)Y＝f(t)，求此函數(shù)在t0～tn區(qū)間的積分，就是求出此函數(shù)曲線與橫坐標(biāo)t在區(qū)間（t0，tn）所圍成的面積。如果將橫坐標(biāo)區(qū)間段劃分為間隔為t的很多小區(qū)間，當(dāng)t取足夠小時(shí)，此面積可近似地視為曲線下許多小矩形面積之和。函數(shù)Y=f(t)的積分t0titntYY=f(t)Yi第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)式中Yi為t=ti時(shí)f(t)的值，這個(gè)公式說明，求積分的過程也可以用累加的方式來近似。在數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，取t為基本單位“1”，則上式可簡化為:函數(shù)在t0～tn區(qū)間的積分為：第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)1.數(shù)字積分法直線插補(bǔ)YXVy

VVxE(Xe,Ye)O

如右圖所示第一象限直線OE，起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)坐標(biāo)為E（Xe，Ye），直線OE的長度L為：數(shù)字積分直線插補(bǔ)第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)設(shè)刀具以勻速V由起點(diǎn)移向終點(diǎn)，其X、Y坐標(biāo)的速度分量為Vx，Vy，則有：kYVXVＬVeyex===刀具在X，Y方向移動(dòng)的微小增量分別為：YXVy

VVxE(Xe,Ye)O第二節(jié)脈沖增量插補(bǔ)動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)走向終點(diǎn)的過程，可以看作是各坐標(biāo)軸每經(jīng)過一個(gè)單位時(shí)間間隔t，分別以增量kXe及kYe同時(shí)累加的結(jié)果:?。ㄒ粋€(gè)單位時(shí)間間隔），則若經(jīng)過m次累加后，X，Y都到達(dá)終點(diǎn)E（Xe，Ye）,下式成立可見累加次數(shù)與比例系數(shù)之間有如下關(guān)系：兩者互相制約，不能獨(dú)立選擇，m是累加次數(shù)，取整數(shù)，k取小數(shù)。即先將直線終點(diǎn)坐標(biāo)Xe，Ye縮小到kXe，kYe，然后再經(jīng)m次累加到達(dá)終點(diǎn)。另外還要保證沿坐標(biāo)軸每次進(jìn)給脈沖不超過一個(gè)，保證插補(bǔ)精度，應(yīng)使下式成立：或如果存放Xe，Ye寄存器的位數(shù)是n，對應(yīng)最大允許數(shù)字量為（各位均為1），所以Xe，Ye最大寄存數(shù)值為則：為使上式成立，不妨取代入得：累加次數(shù)為：上式表明，若寄存器位數(shù)是n，則直線整個(gè)插補(bǔ)過程要進(jìn)行2n次累加才能到達(dá)終點(diǎn)。

DDA直線插補(bǔ)：以Xe/2N、ye/2N（二進(jìn)制小數(shù)，形式上即Xe、ye）作為被積函數(shù)，同時(shí)進(jìn)行積分（累加），N為累加器的位數(shù)，當(dāng)累加值大于2N-1時(shí)，便發(fā)生溢出，而余數(shù)仍存放在累加器中。積分值=溢出脈沖數(shù)代表的值+余數(shù)當(dāng)兩個(gè)積分累加器根據(jù)插補(bǔ)時(shí)鐘脈沖同步累加時(shí)，用這些溢出脈沖數(shù)（最終X坐標(biāo)Xe個(gè)脈沖、Y坐標(biāo)ye個(gè)脈沖）分別控制相應(yīng)坐標(biāo)軸的運(yùn)動(dòng)，加工出要求的直線。（3）終點(diǎn)判別

累加次數(shù)、即插補(bǔ)循環(huán)數(shù)是否等于2N可作為DDA法直線插補(bǔ)判別終點(diǎn)的依據(jù)。（4）組成：二坐標(biāo)DDA直線插補(bǔ)器包括X積分器和Y積分器，每個(gè)積分器都由被積函數(shù)寄存器JVX（速度寄器）和累加器JRX（余數(shù)寄存器）組成。初始時(shí)，X被積函數(shù)寄存器存Xe，Y被積函數(shù)寄存器存ye。例題：設(shè)有一直線OE，如右圖所示起點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)，終點(diǎn)坐標(biāo)為E（4，3），累加器和寄存器的位數(shù)為3位，其最大可寄存數(shù)值為7（J≥8時(shí)溢出）。若用二進(jìn)制計(jì)算，起點(diǎn)坐標(biāo)O（000，000），終點(diǎn)坐標(biāo)E（100，011），J≥1000時(shí)溢出。試采用DDA法對其進(jìn)行插補(bǔ)。其插補(bǔ)運(yùn)算過程見下表。累加次數(shù)

(Δt)

X積分器

Y積分器

終點(diǎn)

計(jì)數(shù)器

JE

JVX

JRX

ΔX

JVY

JRY

ΔY

0

4

0

3

0

0

100

011

000

1

4

0+4=4

3

0+3=3

1

100

000+100=100

011

000+011=011

001

2

4

4+4=8+0

1

3

3+3=6

2

100

100+100=1000

011

011+011=110

010

3

4

0+4=4

3

6+3=8+1

1

3

100

000+100=100

011

110+011=1001

011

4

4

4+4=8+0

1

3

1+3=4

4

100

100＋100＝1000

011

001＋011＝100

100

累加次數(shù)

(Δt)

X積分器

Y積分器

終點(diǎn)

計(jì)數(shù)器

JE

JVX

JRX

ΔX

JVY

JRY

ΔY

5

4

0+4=4

3

4+3=7

5

100

000+100=100

011

100+011=111

101

6

4

4+4=8+0

13

7+3=8+2

1

6

100

000+100=1000

011

111+011=1010

110

7

4

0+4=4

3

2+3=5

7

100

000+100=100

011

010+011=101

111

8

4

4+4=8+0

13

5+3=8+0

1

8

100

100+100=1000

011

101+011=1000

1000

YE(4,3)OX如右圖所示，P點(diǎn)為逆圓弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由圖可知

注意：對于第一象限逆圓弧，x坐標(biāo)軸的進(jìn)給方向是－x方向，因此，要加上負(fù)號(hào)（－）。其余過程與直線插補(bǔ)相同。3.DDA圓弧插補(bǔ)第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)一、數(shù)據(jù)采樣法原理

數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)又稱為時(shí)間分割法，與基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)法不同，數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)法得出的不是進(jìn)給脈沖，而是用二進(jìn)制表示的進(jìn)給量。這種方法是根據(jù)程編進(jìn)給速度F，將給定輪廓曲線按插補(bǔ)周期T（某一單位時(shí)間間隔）分割為插補(bǔ)進(jìn)給段（輪廓步長），即用一系列首尾相連的微小線段來逼近給定曲線。每經(jīng)過一個(gè)插補(bǔ)周期就進(jìn)行一次插補(bǔ)計(jì)算，算出下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)，即算出插補(bǔ)周期內(nèi)各坐標(biāo)軸的進(jìn)給量，得出下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的指令位置。插補(bǔ)周期越長，插補(bǔ)計(jì)算誤差越大，插補(bǔ)周期應(yīng)盡量選得小一些。CNC系統(tǒng)在進(jìn)行輪廓插補(bǔ)控制時(shí)，除完成插補(bǔ)計(jì)算外，數(shù)控裝置還必須處理一些其它任務(wù)，如顯示、監(jiān)控、位置采樣及控制等。

采樣是指由時(shí)間上連續(xù)信號(hào)取出不連續(xù)信號(hào)，對時(shí)間上連續(xù)的信號(hào)進(jìn)行采樣，就是通過一個(gè)采樣開關(guān)K（這個(gè)開關(guān)K每隔一定的周期TC閉合一次）后，在采樣開關(guān)的輸出端形成一連串的脈沖信號(hào)。這種把時(shí)間上連續(xù)的信號(hào)轉(zhuǎn)變成時(shí)間上離散的脈沖系列的過程稱為采樣過程，周期T叫采樣周期。計(jì)算機(jī)定時(shí)對坐標(biāo)的實(shí)際位置進(jìn)行采樣，采樣數(shù)據(jù)與指令位置進(jìn)行比較，得出位置誤差用來控制電動(dòng)機(jī)，使實(shí)際位置跟隨指令位置。對于給定的某個(gè)數(shù)控系統(tǒng)，插補(bǔ)周期T和采樣周期TC是固定的，通常T≥TC，一般要求T是TC的整數(shù)倍。

第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)如有右圖所示，用弦線逼近圓弧，其最大徑向誤差er為：

式中:R

—被插補(bǔ)圓弧半徑（mm）；—角步距，在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)逼近弦所對應(yīng)的圓心角。將式(3-26)中的用冪級(jí)數(shù)展開，得:插補(bǔ)周期T與精度δ、速度F的關(guān)系:對于直線插補(bǔ)，不會(huì)造成軌跡誤差。在圓弧插補(bǔ)中，會(huì)帶來軌跡誤差。

ORYXerδ

圖5-29圓弧插補(bǔ)

設(shè)T為插補(bǔ)周期，F(xiàn)為進(jìn)給速度，則輪廓步長為

用輪廓步長代替弦長，有

有：

可見，圓弧插補(bǔ)過程中，用弦線逼近圓弧時(shí)，插補(bǔ)誤差er與程編進(jìn)給速度F的平方、插補(bǔ)周期T的平方成正比，與圓弧半徑R成反比。第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)插補(bǔ)周期T與插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)間Ts的關(guān)系:

一旦系統(tǒng)各種線形的插補(bǔ)算法設(shè)計(jì)完畢，那么插補(bǔ)運(yùn)算的最長時(shí)間Tsmax就確定了。顯然要求：

Tsmax

<T

在采用分時(shí)共享的CNC系統(tǒng)中，Tsmax

<T/2

這是因?yàn)橄到y(tǒng)除進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算外，CPU還要執(zhí)行諸如位置控制、顯示等其他任務(wù)。第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)

由于插補(bǔ)運(yùn)算的輸出是位置控制的輸入，因此插補(bǔ)周期最好是位置控制周期的整數(shù)倍。例如，日本FANUC7M系統(tǒng)的插補(bǔ)周期是8ms，而位置控制周期是4ms。插補(bǔ)周期T與位置控制周期ΔTP的關(guān)系：

T=nΔTP

n=0，1，……第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)二、直接函數(shù)法

設(shè)要加工右圖所示直線OE，起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)為E（Xe,Ye），直線與X軸夾角為，則有：1.直線插補(bǔ)

若已計(jì)算出輪廓步長，從而求得本次插補(bǔ)周期內(nèi)各坐標(biāo)軸進(jìn)給量為：Y

E(Xe，Ye）ΔYiX

OαΔXi直線插補(bǔ)第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)

圓弧插補(bǔ)，需先根據(jù)指令中的進(jìn)給速度F，計(jì)算出輪廓步長l，再進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算。以弦線逼近圓弧，就是以輪廓步長為圓弧上相鄰兩個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)之間的弦長，由前一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)和輪廓步長，計(jì)算后一插補(bǔ)點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上是求后一插補(bǔ)點(diǎn)到前一插補(bǔ)點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)軸的進(jìn)給量ΔX,ΔY。2.圓弧插補(bǔ)圓弧插補(bǔ)第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)

如右圖所示，A(Xi,Yi)為當(dāng)前點(diǎn)，B(Xi+1,Yi+1）為插補(bǔ)后到達(dá)的點(diǎn)，圖中AB弦正是圓弧插補(bǔ)時(shí)在一個(gè)插補(bǔ)周期的步長l，需計(jì)算x軸和y軸的進(jìn)給量ΔX=Xi+1-Xi

，ΔY=Yi+1-Yi。AP是A點(diǎn)的切線，M是弦的中點(diǎn)，OM⊥AB，ME⊥AG，E為AG的中點(diǎn)。圓心角計(jì)算如下:

圓弧插補(bǔ)第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)因?yàn)镺A垂直于AP(AP為圓弧切線)所以△AOC∽△PAG則∠AOC＝∠GAP＝因?yàn)椤螾AB+∠OAM=900所以∠PAB＝∠AOM=∠AOB＝設(shè)＝∠GAB＝∠GAP＋∠PAB＝△MOD中

將DH=Xi，OC＝Y(jié)i，HM＝，

CD＝代入上式，則有：

第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)又因?yàn)椋河纱丝梢酝瞥觯旱年P(guān)系式：上式反映了圓弧上任意相鄰兩插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，只要求得和，就可以計(jì)算出新的插補(bǔ)點(diǎn)第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)

上式中，和均為未知，求解較困難。為此，采用近似算法，用和來代替，即

′與不同，從而造成了的偏差，在處偏差較大。如圖3-31所示，由于角成為′，因而影響到值，使之為′：為保證下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)仍在圓弧上，′的計(jì)算應(yīng)按下式進(jìn)行第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)經(jīng)展開整理得由上式可用迭代法解出采用近似算法可保證每次插補(bǔ)點(diǎn)均在圓弧上，引起的偏差僅是：。這種算法僅造成每次插補(bǔ)進(jìn)給量的微小變化，而使進(jìn)給速度有偏差，實(shí)際進(jìn)給速度的變化小于指令進(jìn)給速度的1％，在加工中是允許的。第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)圖5-32近似處理引起的進(jìn)給速度偏差ΔX

ΔX′A

O

B

S

T

F

ΔY′

ΔY

Y

X

α

α′

第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)

直線函數(shù)法，用弦線逼近圓弧，因此插補(bǔ)誤差主要為半徑的絕對誤差。因插補(bǔ)周期是固定的，該誤差取決于進(jìn)給速度和圓弧半徑，當(dāng)加工的圓弧半徑確定后，為了使徑向絕對誤差不超過允許值，對進(jìn)給速度要有一個(gè)限制。第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)三、擴(kuò)展DDA數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)1.擴(kuò)展DDA直線插補(bǔ)YXOvE(Xe,Ye)VxVy圖5-33擴(kuò)展DDA直線插補(bǔ)第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)

假設(shè)根據(jù)編程進(jìn)給速度，要在時(shí)間段T1內(nèi)走完圖3-32所示直線，其起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)坐標(biāo)為E（Xe，Ye），V為進(jìn)給速度（零件加工程序中記為F），Vx與Vy分別為X、Y坐標(biāo)的分速度。則有:將時(shí)間T1用插補(bǔ)周期T分割為n個(gè)子區(qū)間（n取≥最接近的整數(shù)），從而在每個(gè)插補(bǔ)周期T內(nèi)的坐標(biāo)增量分別為:第三節(jié)數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)式中V—編程的進(jìn)給速度（mm/min）;

T—插補(bǔ)周期（ms）;—根據(jù)插補(bǔ)周期換算后的時(shí)間常數(shù)，F(xiàn)RN—進(jìn)給速率數(shù),式中L—插補(bǔ)直線長度(mm)。

對于任何一個(gè)數(shù)控機(jī)床來說，都要求能夠?qū)M(jìn)給速度進(jìn)行控制，它不僅直接影響到加工零件的表面粗糙度和精度，而且與刀具和機(jī)床的壽命和生產(chǎn)效率密切相關(guān)。按照加工工藝的需要，進(jìn)給速度的給定一般是將所需的進(jìn)給速度用F代碼編入程序。對于不同材料的零件，需根據(jù)切削速度、切削深度、表面粗糙度和精度的要求，選擇合適的進(jìn)給速度。在進(jìn)給過程中，還可能發(fā)生各種不能確定或沒有意料到的情況，需要隨時(shí)改變進(jìn)給速度，因此還應(yīng)有操作者可以手動(dòng)調(diào)節(jié)進(jìn)給速度的功能。數(shù)控系統(tǒng)能提供足夠的速度范圍和靈活的指定方法。第五節(jié)

進(jìn)給速度控制一、為什么要控制進(jìn)給速度進(jìn)給速度控制方法和所采用的插補(bǔ)算法有關(guān)?；鶞?zhǔn)脈沖插補(bǔ)多用于以步進(jìn)電機(jī)作為執(zhí)行元件的開環(huán)數(shù)控系統(tǒng)中，各坐標(biāo)的進(jìn)給速度是通過控制向步進(jìn)電機(jī)發(fā)出脈沖的頻率來實(shí)現(xiàn)的，所以進(jìn)給速度處理是根據(jù)程編的進(jìn)給速度值來確定脈沖源頻率的過程。進(jìn)給速度F與脈沖源頻率f之間關(guān)系為:另外，在機(jī)床加工過程中，由于進(jìn)給狀態(tài)的變化，如起動(dòng)、升速、降速和停止，為了防止產(chǎn)生沖擊、失步、超程或振蕩等，保證運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)和準(zhǔn)確定位，必須按一定規(guī)律完成升速和降速的過程。二、基準(zhǔn)脈沖法進(jìn)給速度控制和加減速控制1.速度控制

（1）前加減速控制是對編程的F指令值即合成速度進(jìn)行控制。首先要計(jì)算出穩(wěn)定速度Fs和瞬時(shí)速度Fi。所謂穩(wěn)定速度，就是系統(tǒng)處于恒定進(jìn)給狀態(tài)時(shí)，在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)每插補(bǔ)一次的進(jìn)給量。實(shí)際上就是編程給定F值（mm/min）在每個(gè)插補(bǔ)周期T（ms）的進(jìn)給量。（2）后加減速控制放在插補(bǔ)后各坐標(biāo)軸的加減速控制為后加減速控制。這種加減速控制是對各運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)軸進(jìn)行分別控制，因此，可利用實(shí)際進(jìn)給滯后于插補(bǔ)運(yùn)算進(jìn)給這一特點(diǎn)，在減速控制時(shí)，只要運(yùn)算終點(diǎn)到就進(jìn)行減速處理，經(jīng)適當(dāng)延遲就能平穩(wěn)地到達(dá)程序終點(diǎn)，無需預(yù)測減速點(diǎn)。前加減速的控制對象是指令進(jìn)給速度V，它是在插補(bǔ)前計(jì)算出進(jìn)給速度V′，然后根據(jù)進(jìn)給速度進(jìn)行插補(bǔ)，得到各坐標(biāo)軸的進(jìn)給量△X、△Y，最后轉(zhuǎn)換為進(jìn)給脈沖或電壓驅(qū)動(dòng)電機(jī)。這種方法能夠得到準(zhǔn)確地加工輪廓曲線，但需要預(yù)測減速點(diǎn)，運(yùn)算量較大。后加減速的控制算法放在插補(bǔ)器之后，它的控制量是各運(yùn)動(dòng)軸的速度分量。它不需要預(yù)測減速點(diǎn)，而是在插補(bǔ)輸出為零時(shí)開始減速，并通過一定的時(shí)間延遲逐漸靠近程序段的終點(diǎn)。這種方法的缺點(diǎn)是：由于它是對各運(yùn)動(dòng)軸分別進(jìn)行控制，所以在加減速控制后，實(shí)際的各坐標(biāo)軸的合成位t不準(zhǔn)確，引起輪廓誤差，并且當(dāng)輪廓中存在急劇變化時(shí)，后加減速無法預(yù)見，從而會(huì)產(chǎn)生過沖。式中—為脈沖當(dāng)量(mm/脈沖)；f—脈沖源頻率(Hz)；F—進(jìn)給速度(mm/min)。脈沖源頻率為

下面介紹程序計(jì)時(shí)法，利用調(diào)用延時(shí)子程序的方法來實(shí)現(xiàn)速度控制。根據(jù)要求的進(jìn)給速度F，求出與之對應(yīng)的脈沖頻率f，再計(jì)算出兩個(gè)進(jìn)給脈沖的時(shí)間間隔（插補(bǔ)周期），在控制軟件中，只要控制兩個(gè)脈沖的間隔時(shí)間，就可以方便地實(shí)現(xiàn)速度控制。進(jìn)給脈沖的間隔時(shí)間長，進(jìn)給速度慢；反之，進(jìn)給速度快。這一間隔時(shí)間，通常由插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)間tch和程序計(jì)時(shí)時(shí)間tj兩部分組成，即，由于插補(bǔ)運(yùn)算所需時(shí)間一般來說是固定的，因此只要改變程序計(jì)時(shí)時(shí)間就可控制進(jìn)給速度的快慢。程序計(jì)時(shí)時(shí)間（每次插補(bǔ)運(yùn)算后的等待時(shí)間），可用空運(yùn)轉(zhuǎn)循環(huán)來實(shí)現(xiàn)。用CPU執(zhí)行延時(shí)子程序的方法控制空運(yùn)轉(zhuǎn)循環(huán)時(shí)間，延時(shí)子程序的循環(huán)次數(shù)少，空運(yùn)轉(zhuǎn)等待時(shí)間短，進(jìn)給脈沖間隔時(shí)間短，速度就快；延時(shí)子程序的循環(huán)次數(shù)多，空運(yùn)轉(zhuǎn)等待時(shí)間長，進(jìn)給脈沖間隔時(shí)間長，速度就慢。例題：已知系統(tǒng)脈沖當(dāng)量δ＝0.01mm/脈沖，進(jìn)給速度F＝300mm/min，插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)間tch＝0.1ms，延時(shí)子程序延時(shí)時(shí)間為ty＝0.1ms，求延時(shí)子程序循環(huán)次數(shù)。脈沖源頻率插補(bǔ)周期程序計(jì)時(shí)時(shí)間tj＝T－tch＝1.9(ms)循環(huán)次數(shù)n=tj/ty＝19程序計(jì)時(shí)法比較簡單，但占用CPU時(shí)間較長，適合于較簡單的控制過程。因?yàn)椴竭M(jìn)電機(jī)的啟動(dòng)頻率比它的最高運(yùn)行頻率低得多，為了減少定位時(shí)間，通過加速使電機(jī)在接近最高的速度運(yùn)行。隨著目標(biāo)位置的接近，為使電機(jī)平穩(wěn)的停止，再使頻率降下來。因此步進(jìn)電機(jī)開環(huán)控制系統(tǒng)過程中，運(yùn)行速度都需要有一個(gè)加速-恒速-減速-低恒速-停止的過程，如下圖所示。

2.加減速控制圖5-46速度曲線式中F—程編給出的合成進(jìn)給速度（mm/min）；

T—插補(bǔ)周期（ms）；

ΔL—每個(gè)插補(bǔ)周期小直線段的長度（μm）。以上給出的是穩(wěn)定狀態(tài)下的進(jìn)給速度處理關(guān)系。當(dāng)機(jī)床起動(dòng)、停止或加工過程中改變進(jìn)給速度時(shí)，系統(tǒng)應(yīng)自動(dòng)進(jìn)行加減速處理。三、數(shù)據(jù)采樣法進(jìn)給速度控制和加減速控制1.速度控制

數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)方式多用于以直流電機(jī)或交流電機(jī)作為執(zhí)行元件的閉環(huán)和半閉環(huán)數(shù)控系統(tǒng)中，速度計(jì)算的任務(wù)是確定一個(gè)插補(bǔ)周期的輪廓步長，即一個(gè)插補(bǔ)周期T內(nèi)的位移量。2.加減速控制

自動(dòng)加減速處理可按常用的指數(shù)加減速或直線加減速規(guī)律進(jìn)行。加減速控制多數(shù)采用軟件來實(shí)現(xiàn)。V(t)OV(t)Ottt1t2ABV(t)加速勻速減速加速勻速減速圖5-47指數(shù)加減速圖5-48直線加減速勻速時(shí):

指數(shù)加減速控制的目的是將起動(dòng)或停止時(shí)的速度突變變成隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律加速或減速，如圖3-48所示。指數(shù)加減速的速度與時(shí)間的關(guān)系為加速時(shí)：式中：T—時(shí)間常數(shù)；Vc—穩(wěn)定速度。直線加減速控制算法使機(jī)床在起動(dòng)和停止時(shí)，速度沿一定斜率的直線上升或下降，如圖3-49所示，速度變化曲線是OABC。

減速時(shí):式中Vw—穩(wěn)定速度（mm/插補(bǔ)周期）;

T—插補(bǔ)周期（ms）；

F—程編指令速度（mm/min）；

K—速度系數(shù)，調(diào)節(jié)范圍在0~200%之間，它包括快速倍率，切削進(jìn)給倍率等。

進(jìn)行加減速控制，首先要計(jì)算出穩(wěn)定速度和瞬時(shí)速度。所謂穩(wěn)定速度，就是系統(tǒng)處于穩(wěn)定進(jìn)給狀態(tài)時(shí)，每插補(bǔ)一次（一個(gè)插補(bǔ)周期）的進(jìn)給量。在數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)中，零件程序段中速度命令（或快速進(jìn)給）的F值（mm/min），需要轉(zhuǎn)換成每個(gè)插補(bǔ)周期的進(jìn)給量。另外為了調(diào)速方便，設(shè)置了快速和切削進(jìn)給二種倍率開關(guān)，一般CNC系統(tǒng)允許通過操作面板上進(jìn)給速度倍率修調(diào)旋鈕，進(jìn)行進(jìn)給速度