專題15排列9種常見考法歸類（原卷版）

專題15排列9種常見考法歸類思維導圖核心考點聚焦考點一、排列的概念及判斷考點二、排列的列舉問題考點三、排列數(shù)公式的應用考點四、元素(位置)有限的排列考點五、相鄰問題的排列考點六、不相鄰問題的排列考點七、相鄰與不相鄰的綜合問題考點八、定序問題的處理考點九、間接法1．排列的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(1)一般地，從n個不同對象中，任取m(m≤n)個對象，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個排列．(2)特別地，m＝n時的排列(即取出所有對象的排列)稱為全排列．注；兩個排列相同則應具備排列的對象及排列的順序均相同．(3)對排列概念的兩個關注點：①順序性：每一個排列不僅與選取的元素有關，而且還與元素的排列順序有關，選取的元素不同或雖元素相同但元素的排列順序不同時叫做不同的排列，只有當兩個排列的元素完全相同且元素的順序完全一樣時才是相同的排列。②選排列與全排列：在定義中規(guī)定，如果，一般稱為選排列；如果，則稱為全排列。2．排列數(shù)及排列數(shù)公式排列數(shù)的定義從n個不同對象中取出m個對象的所有排列的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數(shù)排列數(shù)的表示Aeq\o\al(m,n)(n，m∈N，m≤n)排列數(shù)公式乘積式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)階乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)階乘Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！規(guī)定0?。?，Aeq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)拓展：排列與排列數(shù)的區(qū)別“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念，“排列”是指“從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象，按照一定的順序排成一列，它不是數(shù)，而是具體的一件事；而“排列數(shù)”是上述完成這件事所有不同的排列個數(shù)，它是一個數(shù)．1、判斷一個具體問題是否為排列問題，就看取出元素后排列是有序的還是無序的，而檢驗它是否有序的依據(jù)就是變換元素的“位置”(這里的“位置”應視具體問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結果是否有變化，有變化就是排列問題，無變化就不是排列問題．2、在排列個數(shù)不多的情況下，樹形圖是一種比較有效的表示方式.在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確定第二個元素，再按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能不重不漏，然后按樹形圖寫出排列.3、求解排列應用問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉化的方法考點剖析考點一、排列的概念及判斷1．（2023上·高二課時練習）下列問題是排列問題的是（

）A．從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？D．從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？2．（2023·全國·高二專題練習）判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；(6)某班40名學生在假期相互打．3．（2023上·高二課時練習）判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的寫錯誤）（1）順序是判斷是否為排列問題的關鍵點，也是唯一的判斷依據(jù)．()（2）在排列的問題中，總體中的元素可以有重復．()（3）用1，2，3這三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù).123與321是不相同的排列．()（4）圓上的10個不同點中任取兩個點作弦是排列問題．()考點二、排列的列舉問題4．（2023·高二課時練習）北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有種機票．5．（2023上·高二課時練習）寫出從a、b、c、d四個元素中任取兩個不同元素的所有排列．6．（2023·高二課時練習）（1）從四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位不同的數(shù)，一共可以組成多少個？（2）寫出從4個元素中任取3個元素的所有排列．考點三、排列數(shù)公式的應用7．（2023·全國·高二課堂例題）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．8．（2019下·福建·高二校聯(lián)考期末）可表示為（）A． B．C． D．9．（2023下·北京大興·高二統(tǒng)考期中）若，則（

）A． B．C． D．10．（2023·全國·高二課堂例題）求證：.11．（2023·全國·高二課堂例題）證明：．考點四、元素(位置)有限的排列12．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預測）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（

）A．20種 B．16種 C．12種 D．8種13．（2024上·福建莆田·高三莆田第六中學校考階段練習）亞運會火炬?zhèn)鬟f，假設某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

）A．288種 B．360種 C．480種 D．504種14．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）現(xiàn)要從6名學生中選4名代表班級參加學校的接力賽，已知甲確定參加比賽且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，則合適的選擇方法種數(shù)為（

）A．84 B．108 C．132 D．14415．（2023上·浙江·高三浙江省長興中學校聯(lián)考期中）今年8月份貴州村籃球總決賽期間，在某場比賽的三個地點需要志愿者服務，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人報名參加，每個地點僅需1名志愿者，每人至多在一個地點服務，若甲不能到第一個地點服務，則不同的安排方法共有（

）A．18 B．24 C．32 D．6416．（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）“數(shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀的瑞士數(shù)學家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）4A．70 B．120 C．140 D．14417．（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級中學?？计谥校┯脭?shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個數(shù)列則第85個數(shù)字為（

）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310考點五、相鄰問題的排列18．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）某人將用“”進行排列設置6位數(shù)字密碼，其中兩個“1”相鄰的概率是（

）A． B． C． D．19．（2024·全國·模擬預測）第19屆亞運會于2023年9月28日至10月8日在杭州舉行，本屆亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”，分別代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、西湖和京杭大運河．某同學買了6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，現(xiàn)將這6個吉祥物排成一排，且名稱相同的兩個吉祥物相鄰，則排法種數(shù)共為（

）A．48 B．24 C．12 D．620．（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學校校考期末）2023年杭州亞運會期間，甲?乙?丙3名運動員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰?丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（

）A．720 B．960 C．1120 D．144021．（2023上·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末），，，，五人站成一排，如果，必須相鄰，那么排法種數(shù)共有（

）A．24 B．120 C．48 D．6022．（2023上·全國·高三專題練習）停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有（）A．種 B．種C．種 D．種考點六、不相鄰問題的排列23．（2023上·山東德州·高二?？计谀?把椅子擺成一排，3人隨機就座，任意兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（

）A．14 B．120 C．72 D．2424．（2023上·廣西河池·高三貴港市高級中學校聯(lián)考階段練習）某選拔性考試需要考查4個學科（語文、數(shù)學、物理、政治），則這4個學科不同的考試順序中物理考試與數(shù)學考試不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．25．（2023·山東·統(tǒng)考一模）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（

）A．36 B．72 C．81 D．14426．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）現(xiàn)有4男3女共7個人排成一排照相，其中三個女生不全相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．27．（2023下·江蘇揚州·高二揚州中學?？计谥校┰趯W校元旦文藝晚會上，有三對教師夫婦參加表演節(jié)目，要求每人只能參加一個單項表演節(jié)目.按節(jié)目組節(jié)目編排要求，男教師的節(jié)目不能相鄰，且夫妻教師的節(jié)目也不能相鄰，則該6名教師表演的節(jié)目的不同編排順序共有（

）種.A．12種 B．24種 C．36種 D．48種考點七、相鄰與不相鄰的綜合問題28．（2024上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學校聯(lián)考期末）7個人站成兩排，前排3人，后排4人，其中甲乙兩人必須挨著，甲丙必須分開站，則一共有（

）種站排方式．A．672 B．864 C．936 D．105629．（2024·全國·模擬預測）“雍容華貴冠群芳，百卉爭妍獨占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有極高的觀賞價值．某花房擬在一側種植紅、紫、白、藍、黃、黑6色牡丹，種植時，黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，白牡丹和藍牡丹相鄰．若白牡丹與黑牡丹不相鄰，則不同的種植方法共有（

）A．24種 B．20種 C．12種 D．22種30．（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習）市內(nèi)某公共汽車站有6個候車位（成一排），現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個座位上候車，則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是（

）A．48 B．54 C．72 D．8431．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習）甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（

）A．144 B．864 C．1728 D．288032．（2023下·河北唐山·高二開灤第一中學?？计谀╇S著北京冬奧會的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國內(nèi)外，現(xiàn)有3個完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁、戊5位運動員要與這3個“冰墩墩”站成一排拍照留念，則有且只有2個“冰墩墩”相鄰的排隊方法數(shù)為（

）．A．3600 B．1440 C．720 D．48033．（2023下·廣東東莞·高二統(tǒng)考期末）中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的傳統(tǒng)工藝品，綜合了繪畫、剪紙、紙扎、刺縫等工藝．從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財?shù)鯚舾饕粋€隨機掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的燈籠掛法總數(shù)為（

）A．24 B．36 C．48 D．7234．（2023下·重慶渝北·高二重慶市渝北中學校校考階段練習）若某展覽館要把6件藝術品在展位上擺放成一排，要求其中的藝術品A和B必須相鄰，且都不能與C相鄰，則這樣不同的排列方法數(shù)為（

）．A．72 B．120 C．144 D．288考點八、定序問題的處理35．（2023下·北京·高二北京市第十二中學校考期末）某4位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來4位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（

）A．10 B．20 C．24 D．3036．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學?？茧A段練習）有甲、乙、丙、丁、戊五位同學排隊，若丙在甲、乙的中間（可不相鄰），則不同的排法有（

）種.A．20 B．40 C．60 D．8037．（2023下·河北邢臺·高二統(tǒng)考期末）8人序號為1，2，3，…，8，從前往后依次排一列，將6，7，8號拉出來插到前面隊列中，5號成為末尾，且原來1，2，3，4，5號前后相對次序不變，不同的排法種數(shù)為（

）A．240 B．210 C．72 D．3538．（2023下·天津和平·高二統(tǒng)考期末）五一國際勞動節(jié)，學校團委舉辦“我勞動，我快樂”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等6名同學參加，抽簽確定出場順序，在“學生甲必須在學生乙的前面出場”的條件下，學生甲、乙相鄰出場的概率為（

）A． B． C． D．39．（2023下·江蘇常州·高二江蘇省前黃高級中學?？茧A段練習）用數(shù)字、、、、、組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個數(shù)列，則第85個數(shù)字為（

）A．2300 B．2301 C．2302 D．230340．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）按照編碼特點來分，條形碼可分為寬度調(diào)節(jié)法編碼和模塊組合法編碼．最常見的寬度調(diào)節(jié)法編碼的條形碼是“標準25碼”，“標準25碼”中的每個數(shù)字編碼由五個條組成，其中兩個為相同的寬條，三個為相同的窄條，如圖就是一個數(shù)字的編碼，則共有多少（

）種不同的編碼．A．120 B．60 C．40 D．10考點九、間接法41．（2023下·浙江嘉興·高二校考階段練習）澉浦“八大碗”是由兩冷菜，三大菜，三熱炒組成.今有人欲以其中的“東坡肉”“紅燒羊肉”“醋魚湯”“韭芽肉皮”“老筍干絲”“大蒜肉絲”共六道菜宴請遠方來客，這六道菜要求依次而上，其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數(shù)為（）A．480 B．240 C．384 D．144042．（2024·全國·高三專題練習）某班在一次班團活動中，安排2名男生和4名女生講演，為安排這六名學生講演的順序，要求兩名男生之間不超過1人講演，且第一位和最后一位出場講演的是女生．則不同的安排方法總數(shù)為（）A．168 B．192 C．240 D．336過關檢測一、單選題1．用可以組成無重復數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為（

）A．25 B．20 C．16 D．152．用1，2，3，4，5，6寫出沒有重復數(shù)字的六位數(shù)中，滿足相鄰的數(shù)字奇偶性不同的數(shù)有（

）個A．18 B．36 C．72 D．863．某5位同學排成一排準備照相時，又來了甲?乙?丙3位同學要加入，若保持原來5位同學的相對順序不變，且甲?乙2位同學互不相鄰，丙同學不站在兩端，則不同的加入方法共有（

）A．360種 B．144種 C．180種 D．192種4．2023年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.我市某中學為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五張知識展板，分別放置在五個并排的文化櫥窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中間位置，則不同的放置方式的種數(shù)有（

）A．66 B．64 C．48 D．305．某學習小組、、、、、、七名同學站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．6．已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．127．將4名鄉(xiāng)村振興志愿者分配到科技助農(nóng)，文藝文化，科普宣傳和鄉(xiāng)村環(huán)境治理4個項目進行培訓（每個項目都有志愿者參加），每名志愿者只分配到1個項目，志愿者小王不去文藝文化項目，則不同的分配方案共有（

）A．12種 B．24種 C．18種 D．48種8．現(xiàn)要從A，B，C，D，E這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則安排的方法有（

）A．56種 B．64種 C．72種 D．96種9．某班舉辦古詩詞大賽，其中一個環(huán)節(jié)要求默寫《詠柳》《送元二使安西》《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》《絕句》《江畔獨步尋花》五首古詩，并要求《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》《絕句》默寫次序相鄰，則不同的默寫次序有（

）A．36種 B．48種 C．72種 D．96種10．某中學舉辦田徑運動會，某班甲、乙等4名學生代表班級參加學校米接力賽，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么不同棒次安排方案總數(shù)為（

）A．12 B．10 C．8 D．6二、多選題11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為82種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種12．4個男生與3個女生并排站成一排，下列說法正確的是（

）（選項中排列數(shù)的計算結果均正確）A．若3個女生必須相鄰，則不同的排法有種B．若3個女生中有且只有2個女生相鄰，則不同的排法有種C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，則不同的排法共有種D．若3個女生按從左到右的順序排列，則不同的排法有種13．某班星期一上午要安排語文、數(shù)學、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結論正確的是（

）A．若數(shù)學課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法B．若語文課和數(shù)學課必須相鄰，且語文課排在數(shù)學課前面，則有6種不同的安排方法C．若語文課和數(shù)學課不能相鄰，則有12種不同的安排方法D．若語文課、數(shù)學課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法14．3名男生和3名女生站成一排，則下列結論中正確的有（

）A．3名男生必須相鄰的排法有144種B．3名男生互不相鄰的排法有72種C．甲在乙的左邊的排法有360種D．甲、乙中間恰好有2人的排法有144種三、填空題15．某單位為葫蘆島市春節(jié)聯(lián)歡會選送了甲、乙兩個節(jié)目，節(jié)目組決定在原有節(jié)目單中6個節(jié)目的相對順序保持不變的情況下填加甲乙兩個節(jié)目，若甲、乙演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為.（用數(shù)字作答）16．2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行．在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國際貴賓們感受中國飲食文化、茶文化、酒文化．這次晚宴菜單中有“全家?！薄吧呈[牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝酥”“象形枇杷”．假設在上菜的過程中服務員隨機上這八道菜（每次只上一道菜），則“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”相鄰的概率為．17．2023年11月12日，連云港市贛馬高級中學高品質(zhì)特色發(fā)展暨百年校慶大會隆重舉行，贛馬高中建校100周年文藝演出中有四個節(jié)目：《腰鼓：千年回響》、《歌伴舞：領航》、《器樂：蘭亭序》、《情景劇：我們陪你向前走》四個節(jié)目，若要對這四個節(jié)目進行排序，要求《腰鼓：千年回響》與《歌伴舞：領航》相鄰，則不同的排列種數(shù)為（用數(shù)字作答）．18．如圖，三個開關控制著號四盞燈，其中開關控制著號燈，開關控制著號燈，開關控制著1，2，4號燈．開始時，四盞燈都亮著．現(xiàn)先后按動這三個開關中的兩個不同的開關，則其中1號燈或2號燈亮的概率為．19．國際冬奧會和殘奧會兩個奧運會將于年在北京召開，這是我國在年成功舉辦夏季奧運會之后的又一奧運盛事.某電視臺計劃在奧運會期間某段時間連續(xù)播放個廣告，其中個不同的商業(yè)廣告和個不同的奧運宣傳廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是奧運宣傳廣告，且個奧運宣傳廣告不能兩兩相鄰播放，則不同的播放方式有種.20．現(xiàn)有，，，，五人排成一列，其中與相鄰，不排在兩邊，則共有種不同的排法（用具體數(shù)字作答）.21．某同學將英文單詞“million”中字母的順序記錯了，那么他在書寫該單詞時，寫錯的情況有種（用數(shù)字作答）．四、解答題22．根據(jù)張桂梅校長真實事跡拍攝的電影《我本是高山》于2023年11月24