某中學(xué)2023屆九年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023（±）初三第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（18分）.

I.計算：23=（）

A.5B.6C.8D.9

2.據(jù)國家統(tǒng)計局公布，2015年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值約為676700億元（人民幣），請用科學(xué)

記數(shù)法表示數(shù)據(jù)“676700億”，結(jié)果是()

A.6.767x105B.6.676X1012C.6.676X1013D.6.676X1014

3.下列計算正確的是（）

A.3丫=初3B.X54-X5=xc.3X2-5X3=15X5D.5X2/+2X2/=10X4/

4.反比例函數(shù)），="的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=2kx2-4x+k2的圖象大致是（

)

X

5.設(shè)拋物線Ci：y=f向右平移2個單位長度,再向下平移3個單位長度得到拋物線C2,

則拋物線C2對應(yīng)的函數(shù)解析式是（）

A.y=(x-2)2-3B.y=(x+2)2-3

C.y=(x-2)2+3D.y=(x+2>+3

6.有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S/,S2,則S”S2等于（）

A.1：72B.1：2C.2：3D.4：9

二、填空題（18分）

7.一個矩形的面積為a：+2°,若一邊長為a,則另一邊長為.

8.化簡++—）=.

9.已知點P（3-m,m）在第二象限，則m的取值范圍是.

10.某班一次測驗成績（10分制）如下：10分4人，9分7人，8分14人，7分18人，6

分5人，5分2人.則本次測驗的中位數(shù)是一.

11.如圖a,ABCD是一矩形紙片，AB=6cm,AO=8cm,E是AO上一點，且AE=6cm.操

作：（1）將AB向AE折過去，使AB與AE重合，得折痕A凡如圖6；（2）將以B/

為折痕向右折過去，得圖a則AGFC的面積是

圖a圖c

12.如圖，在半徑為5的。。中，弦A8=6,P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點，連接AP,過

點A作AP的垂線交射線PB于點C,當(dāng)APAB是等腰三角形時，線段BC的長為一.

三、解答題

(1)求值：明一2卜卜，-(2016-^)n+2cos30o

13.

（2）解方程：X2-3X-4=0

14.先化簡，再求值：（占一口）+，其中k-2.

Xx+1X+2x4-1

15.請僅用無刻度的直尺在下列圖1和圖2中按要求畫菱形.

（1）圖1是矩形ABCD,E,F分別是AB和AD的中點，以EF為邊畫一個菱形；

（2）圖2是正方形ABCD,E是對角線BD上任意一點（BE>DE）,以AE為邊畫一個菱

形.

16.小惠家大門進門處有一個三位單極開關(guān)，如圖，每個開關(guān)分別控制著A（樓梯），B（客

廳），C（走廊）三盞電燈，其中走廊的燈已壞（對應(yīng)的開關(guān)閉合也沒有亮）.

（1）若小惠任意閉合一個開關(guān)，“客廳燈亮了''是事件；若小惠閉合所有三個開關(guān),

“樓梯，客廳，走廊燈全亮了''是事件(填“不可能”或"必然”或"隨機”)；

(2)若任意閉合其中兩個開關(guān)，試用畫樹狀圖或列表的方法求“客廳和樓梯燈都亮了'’的概

17.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,D,E分別為AC,AB的中點，BF〃CE交OE的延

長線于點F.

(1)求證：四邊形ECB尸是平行四邊形；

(2)當(dāng)/A=30。時，求證：四邊形ECBF是菱形.

⑻如圖，已知反比例函R*。)的圖象經(jīng)過點(8,4),直線)…+3反比例函數(shù)圖

象相交于點A和點仇機，4).

(1)求上述反比例函數(shù)和直線的解析式;

(2)當(dāng)時，請直接寫出左的取值范圍.

19.如圖，在放AA8C中，ZACB=90°,B。是/ABC的平分線，點。在4B上，。經(jīng)過

B,。兩點，交BC于點E.

(1)求證：AC是。的切線.

2

(2)若A8=6,sinABAC=-,求8E的長.

20.圖1是一種可折疊臺燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2,其中點B,E,。均

為可轉(zhuǎn)動點.現(xiàn)測得A8=BE=EZ)=8=15cm,經(jīng)多次調(diào)試發(fā)現(xiàn)當(dāng)點8,E所在直線垂直

經(jīng)過的中點F時(如圖3所示)放置較平穩(wěn).

(1)求平穩(wěn)放置時燈座力C與燈桿OE的夾角的大??；

(2)為保護視力，寫字時眼離桌面的距離應(yīng)保持在30cm,為防止臺燈刺眼，點A離桌面的距

離應(yīng)不超過30cm,求臺燈平穩(wěn)放置時NA8E的最大值.(結(jié)果精確到0.01。，參考數(shù)據(jù)：

^3-1.732,sin7.7030.134,cos82.30°=0.134,可使用科學(xué)計算器)

圖1圖2圖3

21.如圖，在Rt/iABC中，ZACB=90°,AC=5cm,ZBAC=60°,動點M從點B出發(fā)，在

BA邊上以每秒2cm的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒6cm

的速度向點B勻速運動，設(shè)運動時間為t秒(0MW5),連接MN.

(1)若BM=BN,求t的值;

(2)若△MBN與△ABC相似，求t的值；

(3)當(dāng)t為何值時，四邊形ACNM的面積最??？并求出最小值.

22.已知△ABC是等腰三角形，AB=AC.

(1)特殊情形：如圖1,當(dāng)DE〃BC時，有DB_EC.(填“>”，“<”或“=”)

(2)發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(00<a<180°)到圖2位置，

則(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展運用：如圖3,P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，NACB=90。，且PB=1,PC=2,

PA=3,求/BPC的度數(shù).

AAK

5圖i°圖2CC圖3J

23.如圖1,拋物線y=ar2+(a+3)x+3(axO)與x軸交于點A(4,0),與)，軸交于點B,在

x軸上有一動點E(九0)(0<相<4),過點E作x軸的垂線交直線AB于點M交拋物線于

點P,過點P作于點M.

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達式：

C,6

(2)設(shè)△產(chǎn)〃"的周長為G，AAEN的周長為C?,若才=g求〃?的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段OE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到。旋轉(zhuǎn)角為a

2

(0°<a<90°),連接E'A、E'B,求+的最小值.

1.c

解析：解：23=8.

故選：C

2.C

解析：解：676700億=676700x1（）8=6.767x1（嚴；

故選C.

3.C

解析：A.（肛）3=凸,3’故該選項錯誤，不符合題意；

B.x5^x5=l,故該選項錯誤，不符合題意；

C.3X2-5/=15X\故該選項正確，符合題意；

232i2i

D.5xy+2Xy=lXy,故該選項錯誤，不符合題意;

故選C.

4.B

解析：；函數(shù)y="的圖象經(jīng)過二、四象限，

X

，k<0,

由圖知當(dāng)*=-1時，y=-k<l,

.,.0>k>-1,

，拋物線y=2kx2-4x+k2開口向下，

對稱軸在-1左側(cè)，

?.?當(dāng)x=0時，y=k2<l.

故選B.

5.A

解析：試題分析：由“左加右減''的原則可知，向右平移2個單位長度所得拋物線的解析式為:

y=(x-2)2；

由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=(x-2)2向下平移3個單位長度所得的拋物線的解析

式為：y=(x-2『-3.故選A.

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換.

6.D

解析：設(shè)小正方形的邊長為x,根據(jù)圖形可得：

EF1

...，」

SDAC9

.s,J

,,SABCD18

SABC4

=

**?S2-S正方形ABCD,

8

?.?oc2=--Xt

8

/.Si：S2=—X2：-X2=4：9

188

故答案為：D

7.〃+2.

解析：請在此輸入詳解!

8.x

V-J-1

解析：解：原式=（X+1）+干

故答案為：尤.

9.m>3.

3—加<0

解析：試題分析：因為點P在第二象限，所以，｛,解得：m>3

m>n（）

考點：（1）平面直角坐標(biāo)；（2）解不等式組

10.7.5

解析：解：由題意可知，共50個數(shù)據(jù)，按從大到小的順序排列后，中位數(shù)是第25,26個數(shù)

據(jù)的平均數(shù)，

即：—=7.5,

2

故答案為：7.5.

11.2cm2##2平方厘米

解析：由題意得：FC=BC-BF=8-6=2cm,ZA=45°,AB//FC,

：.ZGFC=45°.

■:ZGCF=90°,

:.CF=CG=2cm,

/.S--CF-CG=—x2x2=2cm2.

GCFC22

故答案為：2cm2.

12.6或日或亞

104

解析：①當(dāng)BA=BP時，

貝ijAB=BP=BC=6,即線段BC的長為6；

②當(dāng)AB=AP時，如圖1,連接AO交PB于點D,過點O作OEJ_AB于點E,則AD_LPB,

AE"AB=3,

B

圖1

???BD=DP,

在RMAEO中，AE=3,AO=5,

???OE=,52—32=4,

VZOAE=ZBAD,ZAEO=ZADB=90°,

/.△AOE^AABD,

.OEBD4BD

..=,即nn—=,

AOAB56

.\BD=y,

2448

BD=PD=,即PB=-^-,

VAB=AP=6,

AZABD=ZAPC,

VZPAC=ZADB=90°,

/.△ABD^ACPA,

24

BDPA

即之」,

6~CP

-CP=T

==21

-BCBP-CPT-TTo

③當(dāng)PA=PB時,

如圖2,連接PO并延長，交AB于點E過點C作CGLAB,交AB的延長線于點G,連

接OB,貝l」PF_LAB,

AAF=FB=3,

在R3OFB中，OB=5,FB=3,/.0F=4,

AFP=9,

?/ZPAF=ZABP=ZCBG,ZAFP=ZCGB=90°,

AAPFB^ACGB,

.PFCG9c

??==~——3t

FBBG3

設(shè)BG=t,貝i」CG=3t,

VZPAF=ZACG,ZAFP=ZAGC=90°,

/.△APF^ACAG,

?AFCG

"PF-AG?

.33r

??一二---，

96+r

3

解得，

4

39

BG=—,CG=一，

44

在RSBCG中，BC=jBG2+CG2T審+令邛

線段BC的長為6或磊或率;

綜上所述，當(dāng)APAB是等腰三角形時,

故答案為6或昌或還.

104

13.(1)-2(2)與=4,x2=-1

解析：解：（1）

回2卜㈢-(2016-^y)+2cos30°=2-V3-3-l+2x^=2-V3-3-l+>/3=-2

2

(2)X-3X-4=0.

因式分解得：(x-4)(x+l)=0,

所以Xi=4,x2=-\.

rX+l

14.—5-,1

X4

Eif—1—+(x+1)~

解析：解:原式二------------x'二

x(x+l)x(2x-l)

210+1)2

x(x+l)x(2x-l)

X4-1

X

當(dāng)x=—2時,

西十一2+1]_

原式=百

4

15.(1)作圖見解析；(2)作圖見解析.

解析：(1)如圖所示：四邊形EFGH即為所求的菱形;

(2)如圖所示：四邊形AECF即為所求的菱形.

16.(1)隨機；不可能；(2)

解析：解：(1)若小惠任意閉合一個開關(guān)，“客廳燈亮了”是隨機事件；

???走廊的燈已壞，

若小惠閉合所有三個開關(guān)，“樓梯，客廳，走廊燈全亮了“是不可能事件;

故答案為：隨機；不可能;

(2)設(shè)客廳燈亮了為事件A,樓梯燈亮了為事件B,走廊燈亮了為事件C；則

樹狀圖如下：

開始

.??共有6種結(jié)果，其中“客廳燈和樓梯燈亮了'’的有2種，

21

/.P（客廳燈和樓梯燈都亮了）

63

17.（1）詳見解析；（2）詳見解析.

解析：解：（1）證明：；D,￡分別為邊AC,4B的中點,

C.DE//BC,即EF//BC.

又,：BFHCE,

...四邊形ECB尸是平行四邊形.

（2）證法一：

VZACB=9Q°,NA=30°,E為AC的中點,

ACB=-AB,CE=-AB.

22

,CB=CE,

又由（1）知，四邊形ECB尸是平行四邊形，

.??四邊形EC8尸是菱形.

證法二：

VZACB=90°,NA=30。，E為A8的中點，

：.BC=^AB=BE,NABC=60°,

2

...△BCE是等邊三角形，

，CB=CE.

又由（1）知，四邊形EC8F是平行四邊形，

四邊形ECBF是菱形.

證法三：

為AB的中點，乙4cB=90。，乙4=30。，

ACE=^AB=BE,NABC=60°,

.?.△8CE是等邊三角形，

：.CB=CE.

又由(1)知，四邊形ECBF是平行四邊形，

，四邊形ECBF是菱形.

18.(1)反比例函數(shù)解析式為％

x

(2)-4<x<-1或x>0

上1

解析：(1)解：?..反比例函數(shù)*=一(七0)的圖象經(jīng)過點(8,-1),

x2

?I_k

*''2-8；

:?k=-4,

4

，反比例函數(shù)解析式為弘=——.

x

4

???點B(mf4)在反比例函數(shù)解析式為y=-一上,

二4=-

m

m=-1,

又3(-1,4)在為內(nèi)+。上，

/.4=-1+b,

b=5,

???直線的解析式為%=x+5.

(2)解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得

，4

y=一一

4X,

y=x+5

???A(-4,1),

由圖象可知，當(dāng)必<%時X的取值范圍-4<xV-1或x>0.

19.(1)見解析；(2)BE=3.2.

解析：（1）如圖，連接O。,

???。經(jīng)過B,。兩點，

，OB=()D,

：.ZOBD=ZODB,

BE)是NA8c的平分線，

二NOBD=NCBD.

：.ZODB=NCBD,

：.OD//BC,

VZACB=90°,即BC1AC,

：.OD1AC,

。。是-o的半徑，

AC是.。的切線.

(2)解：設(shè)。的半徑為R,

在曲AA8C中，ZACB=90°,

BC2

?.?AB=6,sinZBAC=——=一,

AB3

80=2x6=4,

3

VOD//BC,

??.\AOD\ABC,

.ODOAnnR6-R

BCAB46

解得：R=2.4,

過。作于點/，則。///AC,

???NBOF=ABAC,

??=sin4B0F=一,

OB3

BF=-x2.4=1.6,

3

...由垂徑定理得：8￡=2BF=2x1.6=3.2.

20.(1)平穩(wěn)放置時燈座DC與燈桿DE的夾角是60°

(2)臺燈平穩(wěn)放置時/ABE的最大值是97.70°

解析：(1)解：由題意得，DF=^CD=1.5cm,EF1CD,

DF1

???coszZn.D=--=一

DE2

???NO=60。

平穩(wěn)放置時燈座￡>C與燈桿DE的夾角是60°.

(2)解：如圖3,過A作交EB的延長線于”，

"F=30

“達7315也

?EF=15x——=------

22

???BH=30-BE-EF=\5-^^-

2

???cosZ/lfiW=—?0.134

AB

：.82.30。

???/ABE=180°-/ABH=97.70°

???臺燈平穩(wěn)放置時NABE的最大值是97.70°.

21.(1)10^-15；⑵t=|或t=￡；(3)t=2.5：最小值為告百

解析：(1)I?在RSABC中，ZACB=90°,AC=5,ZBAC=60°,

，A8=10,BC=5g

由題意知CN=8,BN=5』-?,

由BM=BN得2f=5#-而

解得：￡=—>=106-15

2+V3

(2)①當(dāng)△MBNs/\ABC時，

.MBBNF1n2f5△-底

??----=-----,艮I」---=-------7=---，

ABBC10573

解得：t=g

2

②當(dāng)△NBM^AABC時，

.NBBM加5月-42/

??――=——，即---------=-7=,

ABBC10一56

解得：f=*

.?.當(dāng)1=3或1="時，△ABC相似.

27

(3)過M作MDLBC于點D,可得：MD=t,設(shè)四邊形ACNM的面積為y,

???尸S^BC-SABMV=gACBC—；BN.MD

」x5x5(5省-局1

22

V325百25百

=--1-----1H-----

222

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)仁|時，y的值最小.

此時,y=等百

O

B

22.(1)=；(2)成立，證明見解析；(3)135°.

解析：(1)VDE//BC,

.DBEC

?---=---,

ABAC

「AB=AC,

ADB=EC,

故答案為二，

(2)成立.

證明：由①易知AD=AE,

???由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知NDAB=NEAC,

XVAD=AE,AB=AC

/.△DAB^AEAC,

ADB=CE,

(3)如圖，

將aCPB繞點C旋轉(zhuǎn)90。得ACEA,連接PE,

AACPB^ACEA,

ACE=CP=2,AE=BP=1,ZPCE=90°,

:.ZCEP=ZCPE=45°,

在R3PCE中，由勾股定理可得，PE=2及，

在^PEA中，PE2=(2&)2=8,AE2=12=1,PA2=32=9,

VPE2+AE2=AP2,

/.△PEA是直角三角形

/PEA=90°,

/CEA=135。，

又'.,△CPB絲Z\CEA

.".ZBPC=ZCEA=135°,

3,