2023年高考數(shù)學(xué)二模試卷附答案解析

2023年高考數(shù)學(xué)二模試卷附答案解析

1.已知集合4={x|a/-3x+2=0}的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.IB.oC.就oD.無(wú)解

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足。-l）z=2,給出下列四個(gè)命題其中正確的是（）

A.Z的虛部為一1B.\z\=2c.Z=1+iD.Z2=2i

3.已知向量為=（—1,1）花=（3,1）,則為在1上的投影向量為（）

A.（1，。）B.（一陪―答）

1Q1

C.D.（-i-0

4.某市在文明城市建設(shè)中，鼓勵(lì)市民"讀書好，好讀書，讀好書”.在各閱覽室設(shè)立茶座,

讓人們?cè)谛蓍e中閱讀有用有益圖書.某閱覽室為了提高閱讀率，對(duì)于周末前來(lái)閱讀的前三名閱

讀者各贈(zèng)送一本圖書，閱讀者從四種不同的書籍中隨意挑選一本，則他們有且僅有2名閱讀者

挑選同一種書的概率為（）

A.lB.|4D.葛

5.放射性核素錮89的質(zhì)量M會(huì)按某個(gè)衰減率衰減，設(shè)其初始質(zhì)量為M。,質(zhì)量M與時(shí)間t（單

位：天）的函數(shù)關(guān)系為M=Mo??胰，若錮89的質(zhì)量從%衰減至,1M0,a/所經(jīng)過(guò)的

時(shí)間分別為ti,t2,打，則（）

A.￡3=2ti+12B.￡3=tl+^2C.t2=+13D.^3=2ti—

6.經(jīng)過(guò)P（2,3）向圓/+y2=4作切線，切線方程為（）

A.5x-12y+26=0B.13x-12y+10=0

C.5x-12y+26=0或x=2D.13x-12y+10=0曲=2

7.正三棱柱ABC-的底面邊長(zhǎng)是4，側(cè)棱長(zhǎng)是6,M,N分別為CQ,4B的中點(diǎn)，若P

是側(cè)面BCC/i上一點(diǎn)，且PN〃平面AB】”,則線段PN的最小值為（）

A.粵B.?C.yD嚀

8.已知定義在R上的函數(shù)"%)滿足f。+6)=f(x),y=f(%+3)為偶函數(shù)，若/Xx)在(0,3)

內(nèi)單調(diào)遞增?記a=/(2021),b=f(e-源,c=f(仇2),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c

9.下列化簡(jiǎn)正確的是()

11

A.cos82Osin52sin82Ocos520=B.sinl50sin30Osin75°=

Lo

C.小48。+.72。=D.COS215。-siM15。=早

l-tan48°tan72°v2

10.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽，且f(x)>1,/(3)=4,則下列結(jié)論中正確的有()

A.f0)為增函數(shù)B.g(x)=f(x)-%為增函數(shù)

C./(2x-1)>4的解集為(一以2)D./(2x-l)>2x的解集為(2,+8)

11.已知拋物線必=2PMp>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)尸的直線/交拋物線于4B兩點(diǎn)，以線段48

為直徑的圓交y軸于“、N兩點(diǎn)，設(shè)線段48的中點(diǎn)為P,貝?。?)

A.OAOB=

4

B.^\AF\\BF\=4P2,則直線4B的斜率為C

C.若拋物線上存在一點(diǎn)E(2,t)到焦點(diǎn)尸的距離等于3,則拋物線的方程為f=8%

D.若點(diǎn)尸到拋物線準(zhǔn)線的距離為2,則sin/PMN的最小值為g

12.如圖，矩形BDEF所在平面與正方形4BC0所在平面互相垂'產(chǎn)

直，4。=DE=4,G為線段4E上的動(dòng)點(diǎn)，則()C/:

A.若G為線段4E的中點(diǎn)，則GB〃平面CEF4

B.AE1CFB

C.8G2+CG2的最小值為48

D.點(diǎn)B到平面CEF的距離為殍

13.在(x-|)7的展開(kāi)式中，含:的項(xiàng)的系數(shù)是.

14.設(shè)a>0,b>1,若a+b=2,則，+言取最小值時(shí)a的值為.

15.若函數(shù)/Q)=x(x-c)2在x=3處有極小值，貝！Jc的值為.

16.已知坐標(biāo)平面xOy中，點(diǎn)&,尸2分別為雙曲線c：^-y2=i(a>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)。，且。為MF2的中點(diǎn),點(diǎn)/為△

?！笆?的外心，若0、I、。三點(diǎn)共線,則雙曲線。的離心率為.

17.在4ABC中，內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=2bcosB,C=y.

(1)求B；

(2)在下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使AABC存在且唯一確定，并求8c邊上的中線的長(zhǎng)

度.

ZBC的周長(zhǎng)為4+2<3；②面積為SfBC=彳.

18.已知等差數(shù)列｛an｝中，公差d>0,Su=77,且a2,。6-1，成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列5｝的通項(xiàng)公式；

(2)若Tn為數(shù)列｛[—｝的前n項(xiàng)和，且存在neN*,使得T”-AOn+i>0成立，求實(shí)數(shù)2的取

anan+l

值范圍.

19.如圖1,在4力BC中，D,E分別為4B,4c的中點(diǎn)，。為。E的中點(diǎn),AB=AC=2H,

BC=4將4ADE沿DE折起到△&DE的位置，使得平面&DE，平面BCE。,如圖2.

(I)求證：4。1BD.

(口)求直線&C和平面&BD所成角的正弦值.

(Ill)線段&C上是否存在點(diǎn)F，使得直線DF和BC所成角的余弦值為手？若存在,求出籠的

值；若不存在，說(shuō)明理由.

20.我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃.某

企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.該企業(yè)為了了解研

發(fā)資金的投入額x(單位：百萬(wàn)元)對(duì)年收入的附加額y(單位：百萬(wàn)元)的影響，對(duì)往年研發(fā)資

金投入額期和年收入的附加額%進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

投入額々234568911

年收入的附加額%3.64.14.85.46.27.57.99.1

(1)求年收入的附加額y與投入額x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于1,則稱對(duì)應(yīng)的投入額為“優(yōu)秀投資額"，現(xiàn)從上

面8個(gè)投入額中任意取3個(gè),用X表示這3個(gè)投入額為"優(yōu)秀投資額"的個(gè)數(shù)，求X的分布列及

數(shù)學(xué)期望.

【參考數(shù)據(jù)】鄧=1距%=334.1，%1%=48.6,溪1靖=356.

【附】在經(jīng)驗(yàn)回歸方程5=晨+。中，力=/第審)=智腎-a=y-bx-

21.已知橢圓E:號(hào)+4=l(a>b>0)的左.右焦點(diǎn)分別為&(一1,0),F(l,0),過(guò)&且斜率

ab2

為空的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在X軸上的射影恰好為『2.

4

(1)求橢圓E的方程；

(2)如圖，下頂點(diǎn)為4,過(guò)點(diǎn)8(0,2)作一條與y軸不重合的直線.該直線交橢圓E于C,。兩點(diǎn).直

線4D,4c分別交支軸于點(diǎn)口，G.求證：△ABG^L40”的面積之積為定值，并求出該定值.

22.已知函數(shù)/(x)=Inx,g(x)=?,其中a>0.

(1)若F(x)=g(sm；_i))-f(x)在(。，1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍，

(2)證明：￡biSinW<ln(n+1),n,fc6W.

Ki1

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合4有一個(gè)元素，即方程a--3x+2=0有一解，

2

當(dāng)a=0時(shí)，A=(x\ax-3%+2=0}={x|-3%4-2=0}={|},符合題意，

當(dāng)aH0時(shí)，ax2-3x+2=0有一解，

則4=9-8Q=0,解得：Q=',

O

綜上可得：a=?；騛=|,

O

故選：c.

集合4有一^元素，即方程a%2-3%+2=0有一解，分a=0,a于0兩種情況討論，即可得解.

本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】AD

【解析】解："(i-l)z=2,

,_2_2(-1)_..

“z--1+1-(-1+0(-1-0--1-'，

對(duì)于4,z的虛部為-1,故力正確，

對(duì)于B,|z|=J(-1)2+(-1)2=,故8錯(cuò)誤，

對(duì)于C,￡=一1+i,故。錯(cuò)誤，

對(duì)于D,z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,故。正確.

故選：AD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，先對(duì)z化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的性質(zhì),即可依次求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：向量五=(-1,1遙=(3,1),設(shè)。=<a,b>,

八a-5-21

3。=麗=7^7^=-

由S3上的投影向量為I磯COS。-X=y/~2X(-^=)?=(―|,—j).

故選：D.

根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求解.

本題考查平面向量的投影向量的計(jì)算方法，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：三人挑四種書，每人有4種選法，共有43=64種方法，

恰有2人選同一種書的方法有《盤廢種，即36種方法，

故恰有2人選同一種的概率P=

04-1O

故選：D.

由條件求出所有基本事件的個(gè)數(shù)，再求事件恰有2名閱讀者挑選同一種書所包含的基本事件的個(gè)數(shù),

利用古典概型的概率公式求概率即可.

本題主要考查古典概型及其概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】4

/t11

--=1-

5O-2

2

￡21=50

4---1-

5O-3即

【解析】解：由題可得2t2=50log23,

t31t=50ZOO12

--=1--32

I50-12

2

因?yàn)?，。?12=log20x2)=1。923+2,所以匕=2tl+七?

故選：4.

根據(jù)題意列出方程組才旨數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，求出，結(jié)合/。。212=log2(3x22)=

logz3+2，得到S=2tl+t2.

本題主要考直函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】c

【解析】解：(1)當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線X=2是圓的切線；

(2)當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，：y-3=k(x-2),

.|2k-3]?<

由(0,0)到切線距離為d=7=7=2,得卜=。，

-JK十

此時(shí)切線方程為y-3=指(x-2),即5x-12y+26=0.

故選：C.

根據(jù)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.

本題考查圓的切線方程的求解，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

7.【答案】c

【解析】解：如圖，

取BBi的中點(diǎn)為D,連接CD,ND,

???ND//AB1,ND不包含于平面AB】”,包含于平面，:.ND〃平面,

同理CD〃平面4&M，,:CDCND=D,

二平面CND〃平面ABiM,

PN〃平面4B1M,

.??點(diǎn)P在緋殳CD上,

當(dāng)PN1CD時(shí),線段PN最短,

???|ND|=722+32=AO3,\CD\=V42+32=5,\CN\=V42-22=2口,

貝”CN『+\ND\2=\CD\2,ACN1.ND,

???CN-ND=CD-PN,

.,2nx<752>T39

PnN-----------5--.

故選：c.

先求出平面CND〃平面ABiM,再確定點(diǎn)P在線段CD上,進(jìn)而由PN1CD得出答案.

本題考查面面平行的判定，考查三角形面積的運(yùn)用，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：/(%)滿足/■(%+6)=/(x),y=f(x+3)為偶函數(shù),

所以函數(shù)的周期T=6,且關(guān)于x=3對(duì)稱，

因?yàn)?(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增,a=/(2021)=/(5)=/(I),b=/5),c=f(Zn2),

又1>ln2>\ny/~e>e-1,

則a>c>b.

故選：4.

根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

9.【答案】ABD

【解析】解：A：cos820sin52。一sin820cos520=sin(52。-82)=sin(—309=一2，正確；

B:sinl50sin300sin750=sinlS°sin302osl50=^sin230°=:,正確；

LO

C?tan480+tan72°,cc,ci—姚沖.

C-1f"48。,加72。=tan(48+72°)=tan(120°)=-G'管天'

D:cos2150—sin215°=cos30°=三,正確.

故選:ABD.

4逆用差角正弦公式求值；B誘導(dǎo)公式、倍角正弦公式化簡(jiǎn)求值；C和角正切公式化簡(jiǎn)求值；。倍

角余弦公式化簡(jiǎn).

本題主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4,因?yàn)?'(x)>1,所以為增函數(shù)，故/正確；

對(duì)于B,由g(x)=/(%)-x,gQ)=-1>0,所以g(x)為增函數(shù)，故8正確；

對(duì)于C,/(3)=4,貝曠(2x-1)>4等價(jià)于/(2x-1)>/(3),又/(x)為增函數(shù)，所以2x-1>3,

解得x>2,所以f(2x-1)>4的解集為(2,+司,故。錯(cuò)誤；

對(duì)于。,f(2x-1)>2x等價(jià)于/(2%-1)-(2%-1)>1=f(3)-3.

即g(2x-1)>g(3),又g(x)為增函數(shù)，所以2x-1>3,解得x>2,所以f(2x-1)>2x的解集

為(2,+0，故。正確；

故選：ABD.

利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可判斷4B,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式判斷C。.

本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題，構(gòu)造新函數(shù)是解題關(guān)

鍵.

11.【答案】4。

【解析】

【分析】

本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)以及焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、焦半徑的計(jì)算，考查方程思想和運(yùn)算能力，

是直線與拋物線的綜合問(wèn)題，屬于難題.

設(shè)直線1的方程為x=my+1,設(shè)4(4%),8(小①)，聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)

定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判斷4；由拋物線的定義，結(jié)合韋達(dá)定理，解方程可得血，可得直

線4B的斜率，可判斷8;由拋物線的定義求得p,可得拋物線的方程，可判斷C；設(shè)直線/的方程為

x=my+1,設(shè)聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線

4(xi，yj,fi(x2,y2),

的距離公式，求得sin/PMN關(guān)于m的表達(dá)式，求得最小值，可判斷。.

【解答】

解：拋物線必=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F虔,0),

準(zhǔn)線方程為*=，對(duì)于4，可設(shè)4(%i，yi)乃(必，丫2),

直線48的方程為X=my+1,與拋物線y?=2Px聯(lián)

立，消去工，可得y?-2pmy-p2=0,

2

可得'1+丫2=2Pm,yxy2=-p,

則就?OB=%1X2+y，2=等)+為乃=卷-「2=一￥，故”正確;

對(duì)于8,由拋物線的定義可得|4F|?\BF\=(%1+1)(x2+1)

=^-+1-(2pm2+p)+y=4P2,解得TH=±7-3,則直線48的斜率為士?，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若拋物線上存在一點(diǎn)E(2,t)到焦點(diǎn)尸的距離等于3,由拋物線的定義可得2+；=3,解得

P=2,則拋物線的方程為y2=4x,故0錯(cuò)誤；

對(duì)于。，拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p=2,則該拋物線的方程為f=4x,設(shè)直線/的方程為

x=my+1，設(shè)4(xi，月)，8。2，%)，聯(lián)立可得好-4my-4=0,△=16m2+16>0,

2

%+丫2=4zn,所以/+x2=m(yt+力)+2=4m+2,

22

|48|=/+%2+2=4(m+1),P至Uy軸的距離為d="/=2m+1,

所以sin/PMN=向=韶=1一而%"—,當(dāng)且僅當(dāng)m=。時(shí)，取得等號(hào)，故D

正確.

故選：AD.

12.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)锽OEF是矢既，所以O(shè)E1DB,

又矩形8DEF所在平面與正方形4BCD所在平面互相垂直,矩形BDEF所在平面與正方形4BCD相交

于8。,

且DEu平面BDEF,所以DE1平面4BCD,

而AD,DCu平面4BCD,所以DELAD,DC1DE,

而ABC。是正方形，所以AD1DC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝必(4,0,0),5(4,4,0),C(0,4,0),￡(0,0,4),F(4,4,4),

對(duì)于A,CE=(0,-4,4),CF=(4,0,4),

當(dāng)G為線段4E的中點(diǎn)時(shí),G(2,0,2),得話=(2,4,-2),

設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為沆=(x,y,z),

有色竺=-4y+4z=0,則可取沆=QTT),

1m-CF=4%+4z=0

因?yàn)槌?沆=2x1+4x(-1)+(-2)X(-1)=0,GB<t平面CEF，則GB〃平面CEF故A正確；

對(duì)于B,AE=(-4,0,4),CF=(4,0,4),

所以荏?潦=-16+16=0今荏_L次，故8正確；

對(duì)于C,設(shè)G=,則%-4,%以力=4(-4,0,4)(46[0,1])=G(4—44,0,42),

得8G2+CG2=64A2-32A+48=64(2-^)2+44有最小值44,故。窗吳；

對(duì)于O,CB=(4,0,0),cosiCB.m)=渦高=而洛布=，

所以點(diǎn)B到平面CEF的距離為|CBI-cOs(CB,m)=4x?=殍，故。正確.

故選：ABD.

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得DE1平面4BCD,由線面垂直的性質(zhì)可得DE1AD.DC1DE,又AD1

DC,建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明線線、線面的位置關(guān)系和求解點(diǎn)到平面的距

離，結(jié)合空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出8G2+CG2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

本題考查線面平行，線線垂直的判定，考查點(diǎn)到平面的距離，考查空間向量的運(yùn)用，考查邏輯推

理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】560

72r

【解析】解：二項(xiàng)式(X-|)7展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為。.X7-T-(-|y=(一2)『-6.x-,

令7-2r=-1=r=4;

所以(x—|)7的展開(kāi)式中:的系數(shù)為(—2)4,妗=16x35=560.

故答案為：560.

根據(jù)題意可得二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為(-2)差-g-”-2r,令7-2r=-1,求出r即可求解.

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：a>0,b>l,得6-1>0,

由a+b=2,得a+(6-1)=1,

?,一+吉:6+六)[a+(b-l)]=10+^^+-^->10+2I=16,

ab-1'Qb-l八'八auiyab—1

當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)2=號(hào)，即a=*,人=)時(shí)等號(hào)成立.

a0—144

故當(dāng)a=["=/￥+六取得最小值16.

故答案為：!.

根據(jù)題意可得6-1>0、a+3-1)=1,結(jié)合基本不等式中"1"的用法計(jì)算即可求解.

本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】3

【解析】解：因?yàn)閒(X)=X(x-c)2,所以/5)=(x-c)(3x-c),

又因?yàn)楹瘮?shù)/'(X)=X(x-c)2在工=3處有極小值，

所以/'(3)=(3-c)(9-c)=0,解得C=3或c=9,

當(dāng)c=3時(shí)，/⑺=(%-3)(3%-3),

所以x>3時(shí)，f(久)>0,1<x<3時(shí)，f(%)<0,

所以函數(shù)/(%)在x=3處取得極小值；

當(dāng)c=9時(shí)，/Q)=(x-9)(3r-9),

所以3<x<9時(shí)，<0,x<3時(shí)，f(x)>0,

所以函數(shù)/(%)在"=3處取得極大值，不合題意，舍去.

故答案為：3.

利用導(dǎo)數(shù)在x=&處取到極值的必要不充分條件fix。)=0,從而求出c值，再對(duì)c進(jìn)行檢驗(yàn)即可求

出結(jié)果.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】G

【解析】解：由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=,F2(C,O),

不妨設(shè)點(diǎn)切在第二象限,則AMF?=會(huì),

由。為MF2的中點(diǎn)，。、/、。三點(diǎn)共線知直線。。垂直平分MF2,

則。。-'y=ix'有a=-。，且”=4,竽,

解得加=咚1,n=§,所以M(咚i,g),

將煙餐1勺,即(當(dāng)《勺,代入雙曲線的方程，

得哈算一殍=1,化簡(jiǎn)可得c2=5a2,BPe=<5,

當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，同理可得e=工.

故答案為：口.

設(shè)M(犯n),根據(jù)題意可知。。垂直平分MB，利用兩直線垂直斜率之積為-1和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

段=一。且2=求出m、n,得出點(diǎn)M坐標(biāo)，代入雙曲線方程得到關(guān)于a、c的方程，結(jié)

合離心率的定義化簡(jiǎn)即可求解.

本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1);C=2bC0sB,C=y,

在448c中，由正弦定理得sinC=2sinBcosB,sin2B=?,

又0<B<,則0<2B<第:2B='解得B;

(2)如圖所示,設(shè)。為BC的中點(diǎn)，則4。為BC邊上的中線.

若選。：由(1)得B=?4建,設(shè)BC=AC-2x,

由余弦定理得cos鄉(xiāng)=4/管2｝那,則AR=2/3%,

32-2x-2x

故周長(zhǎng)為(4+2<3)x=4+2/3,解得％=1,貝=AC=2,AB=2y/~3,

則在△4BD中，由余弦定理得cosB=竺2鼠蘆2=燈鴕=?,解得4。=<7；

2ABBD4V32

若選②:：SAABC=當(dāng)詈，二SXABC=gabsinc=?爐=,即人=門,貝此。=亭,

4-Z4-4-Z

在44CD中，由余弦定理得4/)2=AC2+CD2_2AC?CD-cosC=3+'-2x，3x?x

42

JA-4

(2)-4，

AD=年，故8c邊上的中線長(zhǎng)為9.

【解析】⑴利用正弦定理將條件中的邊轉(zhuǎn)化成角，將c=年代入，即可求出sin2B,即可得出答

案；

（2）若選。，首先根據(jù)^ABC的周長(zhǎng)求出三角形三邊長(zhǎng)度，然后在△48。中使用余弦定理即可求出

中線4。的長(zhǎng)度若選②，首先根據(jù)△ABC的面積求出4c與BC的長(zhǎng)度，可得CD的長(zhǎng)度然后在△ACD

中使用余弦定理即可求出中緩4。的長(zhǎng)度.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(...11x10,

11?!+---d=77艮哈考U+5d)=36

18.【答案】解：（1）由題意可得，

2

(ax+5d-l)=(g+d)(%+lOd)

又因?yàn)閐>0,所以｛)］；,所以即=n+i...........................(5分)

(2)v---=------=-------

')anan+i(n+l)(n+2)n+1n+2'

?T/—11_,L.11...._.__1___1_—1__1____n__

n2334n+1n+22n+22(n+2),

??存在nSN*,使得Tn-4即_1＞。成立.

?,?存在n￡N*,使得湍萬(wàn)一45+2）＞。成立.

、一n

即存在neN*,使得2W而不成立.

五6=五而W而（當(dāng)且僅當(dāng)4=2時(shí)取等號(hào)）.

W2，即實(shí)數(shù)2的取值范圍是（一R忐...................（12分）

【解析】（1）利用等差數(shù)列的和以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求解數(shù)列的首項(xiàng)與公差，然后求解數(shù)列

的通項(xiàng)公式.

（2）數(shù)列七上｝的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和，通過(guò)7n-如_1＞0成立.說(shuō)明存在

unun+l

neN*,使得溫可-+2）＞0成立.得到“＜就及成立.利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，是中檔題.

19.【答案】(I)證明：因?yàn)樵?人⑶。中，D,E分別為AB,4C的中點(diǎn)，

^DE//BC,AD=AE.

所以41。=ArE,又。為DE的中點(diǎn)，所以&。1DE.

因?yàn)槠矫嬲?E1平面BCEO,

平面&DEn平面BCE。=DE,且&。u平面A/E,

所以4。1平面8CED,

因?yàn)锽Du平面BCED,

所以401BD.

(H)解：取BC的中點(diǎn)G,連接0G,所以0E10G.

由(I)得&。10E,4。10G.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

由題意得，①(0,0,2),6(2,-2,0),C(2,2,0),0(0,-1,0).

所以砧=(2,-2,-2),A^D=(0,-1,-2),砧=(2,2,-2).

設(shè)平面4BD的法向量為元=(x,y,z).

即M二2,°,

令X=1,貝Uy=2,z=—1,所以元-(1,2,-1).

設(shè)直線AC和平面4BD所成的角為。,

則sinJ=|cos(n,^C)|=總?cè)?乎.

故所求角的正弦值為號(hào).

(田)解：線段&C上存在點(diǎn)F適合題意.

設(shè)彳F=a砧，其中ae[0,1].

設(shè)rQi，%,zQ,則有Qi，%2—2)=(2A,2A,-2A),

所以亞=2A,%=24,zi=2-2；l,從而F(24,所2-2A),

所以而=(2A,2A+1,2-24),又就=(0,4,0),

"--―>1'?瓦?困_______4|2%+1|_________

所以|cos〈DF,BC)|

□HE小4^(2A)2+(2A+l)2+(2-22)2

_________|24+1|___________<35

(2A)2+(2A+l)2+(2-2A)2

整理得16萬(wàn)—24A+9=0.解得4=，.

所以線段&C上存在點(diǎn)尸適合題意,且第=I.

【解析】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用直線與平面所成角的求法，考查空間想象能

力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.

(I)證明公。1DE.結(jié)合平面&DE，平面BCE。,推出公。1平面BCE。，即可證明公。1BD;

(II)取BC的中點(diǎn)G，連接OG，推出。E1OG.ArO1OE,&01OG.建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz.求

出平面4BD的法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線&C和平面&BD所成的角的正弦值；

(HI)設(shè)中=2砧，其中46[0,1].求出前=(22,22+1,2-2A)，結(jié)合同=(0,4,0),然后利用空

間向量的數(shù)量積求解異面直線所成角，推出結(jié)果即可.

2+3+4+5+6+8+9+11

。【答案】解:⑴％==6,y="踝1%=等=6.075,

28

￡之13匕一兀)丫334.1—8x6x6.075

所以=0.625

b=Sjli^-nx2-356-8x36-

_八c八

又因?yàn)閍=y-bx-所以a=6.075-0.625x6=2.325，

所以年收入的附加額y與投入額x的線性回歸方程為y=0,625%+2.325；

(2)8個(gè)投入額中，"優(yōu)秀投資額”的個(gè)數(shù)為5個(gè)，故X的所有可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=1=^,

P(X=1)=萼=祟P(X=2)=卑=沙P(X=3)=烏=蔡，

Cg56'、Cg56Cs561

則X的分布列為：

X0123

115155

p

56562828

【解析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)和參考公式，即可求出y與投入額X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

(2)求出X的所有可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出答案.

本題主要考查了線性回歸方程的求解，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題.

21.【答案】解：⑴過(guò)&且斜率為?的直線的方程為y=?(x+1),

令x=1,得y=好(

a2—b2=1

由題意可得工;工=1,解得標(biāo)=2,非=1.

。22b2

2

求橢圓E的方程為券+y2=i；

證明：(2)由題意知，直線BC的斜率存在，設(shè)直線BC:y=kx+2,

O(xi,yi),C(x2,y2),

,

(了

=kx+2

聯(lián)

S序

I9,得(1+2k2)*2+8kx+6=0.

12+y“=1

-8k6

X1+X2-2%1%2-2

??l+2fc/l+2k'

o

由4=16k2-24>0,得H>￡,

4

?,-%+丫2=k(Xi+%2)+4=^2,

2

月力=(5+2)(依2+2)=kxrx2+2k(xr+x2)+4=，

直線4。的方程為y=誓％-1,令y=0,解得％=急,

則”(武，°),同理可得G(武，。)