湖南省益陽市2022-2023學(xué)年高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試題含答案

益陽市2022年下學(xué)期期末質(zhì)量檢測

局一數(shù)學(xué)

注意事項：

L本試卷包括試題卷和答題卡兩部分；試題卷包括單項選擇題、多項選擇題、填空題和解答題

四部分，共4頁，時量120分鐘，滿分150分.

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號等填寫在本試題卷和答題卡指定位置.請按答題卡的

要求在答題上上卡作答，在本試題卷和草稿紙上作答無效.

3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.

試題卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1,已知集合"={°'1'2}]={123},則（）

A.0B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)并集的定義和運算直接得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，

AB={0,1,2}{1,2,3}={0,1,2,3}.

故選：D.

2.已知夕：sinx=siny，4：x=y,則0是q的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可判斷命題.

【詳解】當(dāng)％=0,y=兀時，sinO=sinTT,但則命題p推不出命題q；

當(dāng)左=y時，sinx=siny,則命題q推出命題p,

所以命題p是命題q的必要不充分條件.

故選：B.

3.函數(shù)/(x)=e，+ln(2x+l)的定義域為()

1D.L+oo

A.(-co,+co)B.(0,+oo)C.—,+co

212

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,即可解出其定義域.

【詳解】/(x)=eA+ln(2x+l)有意義，則2x+l>0nx>—；,

所以函數(shù)定義域為-g,+8.

故選：C.

l-cos2x

4.化簡:

A.sinxB.cosxC.2sinxD.2cosX

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式，逐步化簡，即可得到本題答案.

l-cos2xl-(l-2sin2x)2sin2x8.

【詳解】「一"=----------=—=2smx

JIsin%sinx

COS5—1

故選：C

x2-x,x>0/、

5.已知函數(shù)/(%)=<則〃-2=()

|x|+l,x<0

A.6B.3C.2D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】將x=—2代入分段函數(shù)，即可得到了(—2)的值.

【詳解】由題意,

x2-x,x>0

在/(x)=<中,

|x|+l,x<0

/(-2)=|-2|+1=3,

故選：B.

6.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,+8）上是增函數(shù)的是（）

A.》=丁B.y=lwc

C.y=e*+eTD.y=tanx

【答案】A

【解析】

【分析】對選項函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐個判斷，即可得到本題答案.

【詳解】A、D為奇函數(shù)，B為非奇非偶函數(shù)，C為偶函數(shù)，排除B、C,

y=tanx在—：+左肛g+左"（左eR）上單調(diào)遞增，不滿足題意，排除D,

易知y=_?在區(qū)間（0,+。）上為增函數(shù).

故選：A

=2sin[%-W

7.為了得到函數(shù)y的圖象,只要把y=2sinx的圖象上的所有的點（)

ir7T

A.向左平移二個單位長度B.向右平移二個單位長度

66

7TTT

C.向左平移乙個單位長度D.向右平移二個單位長度

33

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得結(jié)論.

【詳解】為了得到函數(shù)y=2sin[x-的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx的圖象上所有的點向右平移器個

單位長度.

故選：B

8.已知函數(shù)y=/（x）的部分圖像大致如圖所示，則其解析式可以是（）

r2?2

B

A.7(x)=ln(|x|+l)-—-7(x)=ln(|%|+l)--

C./(x)=eY+e"%-x2D./(x)=ev-e-x-2x3

【答案】A

【解析】

【分析】通過分析各個函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，與所給圖像的單調(diào)性和奇偶性進行對比，即可得出正確的解

析式.

【詳解】解：由題意及圖像可知，

/(0)=0,函數(shù)關(guān)于x軸對稱，故為偶函數(shù),

在-8到(-1,0)的某點處單調(diào)遞增，在(-1,0)的某點處到。處單調(diào)遞減；

在o處到(0,1)的某點處單調(diào)遞減，在(0,1)的某點處到+8處單調(diào)遞減.

對于A,

2/\22

在/(力=如(國+1)_5中,/(-%)=In(|-%|+1)---3-=ln(W+l)-""(x)'

-1x2-x-1

當(dāng)xvO時，/(x)=ln(-x+l)-—/'(x)=-------x-.........

-X+1-X+1

當(dāng)r(x)=o時，解得：

當(dāng)尤<二5時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)口5<%<0時函數(shù)單調(diào)遞減,

22

當(dāng)x>0時，y(x)=ln(x+l)-5,=~~Y~X=~——

當(dāng)了'(%)=o時，解得：

?.?當(dāng)0<X<避二1時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)X>避二1時函數(shù)單調(diào)遞減,

22

與所給圖像相同，故A正確.

對于B,

2/\22

在/(%)=皿國+1)_?中，/(-%)=In(|-%|+1)---^=ln(|x|+l)-^-=/(x)

/、/、drf/\~1XX1—X—2

當(dāng)尤<0時，/(x)=ln(-x+l)-T>八"=癡—5=

當(dāng)/'(x)=0時，解得：%=-1,

...當(dāng)x<—1時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)—1<%<0時函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)了>。時，〃x)=ln(x+l)-1，外力=百-5==(Hl)'

當(dāng)/'(x)=0時，解得：%=1,

...當(dāng)0<x<1時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)％>1時函數(shù)單調(diào)遞減，

與圖像不符，故錯誤.

對于C,

xxx2

在/(x)=e'+尸—三中，/(_%)=e-+e'—(—九)2=e-+e-x=f(x),/(0)=2w0,

故C錯誤.

對于D項，

在/'(x)=e"—尸—2丁中，/(—%)=e-v-ev-2(-%)3=ex-e-r+2dw/(%),

故D錯誤.

故選：A.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=2siiu,則()

A./(力是R上的奇函數(shù)B.7(%)的最小正周期為27

C./(%)有最大值1D./(%)在［0,可上為增函數(shù)

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項即可.

【詳解】A：函數(shù)的定義域為R,且/（一%）=2sin（—無）=-2sinx=—/（尤），為奇函數(shù)，故A正確;

2〃

B：函數(shù)的最小值正周期為7=7=2〃，故B正確；

C：-l<sinx<l,得/（x）=2sinx的最大值為2,故C錯誤；

7C

D：函數(shù)/（x）=2sinx的單調(diào)增區(qū)間為-5+2^71,5+2?（左eZ）,

7C7C7C7C

當(dāng)左=0時，—不+24兀,5+24兀]=[—不，不，即函數(shù)在0,—上為增函數(shù)，故D錯誤.

故選：AB.

10.下列命題正確的是（）

A.若a>b，則/

B.若a3>）3,則

C.若〃>01>0,且a+Z?=6,則"<3

D.若〃>—1,則一1—+

〃+1

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)特例判斷A,由作差法可判斷B,由均值不等式可判斷CD.

【詳解】對A,0>-1成立，但。2>（_1）2不成立，故A錯誤；

對B,/0/一匕3>0<^>（^-Z?）（fl2+（2&+/72）>0,

〃3

而〃2+次?+/=（〃+—）2+—Z?3〉0（“力不同時為零），所以〃一Z?>0,即故B正確；

24

對C,由均值不等式可得（"與2=9,故不成立，故C錯誤；

2

對D,”〃>一1,/.^+1>0,—-—+a+122A——-（a+1）=2,即一--l-a>l,故D正確.

a+1\a+1。+1

故選：BD

11.已知a=0,Z?=log2g，c=log32,則（）

A.a>bB.b>C

C.a>CD.ac<l

【答案】ACD

【解析】

【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷瓦c的大小范圍，結(jié)合y=6的單調(diào)性可判斷。的取值范圍，從而可判

斷選項A,B,C的正誤;通過比較215,3的大小，可判斷出ac=log32&<log33=l,即可判斷選項D的正誤.

【詳解】解:因為>=正在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以即1<。<1.5,

因為y=log2x,y=log3x在(0,+。)單調(diào)遞增，

所以人=log2j=-log23<0,0=log31<c=log32<log33=1,

綜上:b<c<〃,故選項B錯誤，選項A、C正確；

因ac=V21og32=log32^，且*<=g=樞<也=3,

即2&<3，所以ac=log32點<log33=1,故選項D正確.

故選:ACD

12.已知函數(shù)〃尤)=6sin3x+cos3x-21g(;c+l)的所有非負(fù)零點從小到大依次記為X1,%,?，七，貝U

()

A.n=8B.n=9

104兀13171

C.+,+X.T>—^―D,X；+%2+.+xn>—^~

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點問題，故作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合

判斷交點個數(shù)，再由正弦型函數(shù)的對稱性判斷CD選項.

【詳解】由/(x)=V3sin3x+cos3x-21g(x+1)=2sin(3x+-^)-2lg(x+1)=0,

TT

可得sin(3x+—)=lg(x+1)，

6

TT

即y=sin(3x+與與y=lg(x+1)的圖象在第一象限交點橫坐標(biāo)即為，玉，

6

77

因為y=sin(3x+—)?l,y=lg(x+l)=l時，x=9,如圖，

由圖可知，共有9個符合要求的交點，所以〃=9,

*...7C.<ATI/口-TC_r3兀,_nrt47c,_

令sm(3xd——)=-1,解得3xd——=2kn-\---,左eZ,即％=-----1-----,keZ,

66239

47r27r47r47r47r67r47r

故由圖象可知X]+%2>2x—,毛+%4>2x(—+—),x5+x6>2x(—+—),毛+%8>2x(—+—),

biic52兀104?

所以百+九2++玉>2X———=-,

Ltd104兀什13171

因為玉+%++%>---，右芯+%2+''+九8+九9>9'

27兀

則需％9>.=3兀，由圖知，尤9<9<3兀，故不成立,

綜上可知，BC正確，AD錯誤.

故選：BC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.計算:&.

27

【答案】77

64

【解析】

【分析】將分?jǐn)?shù)指數(shù)塞轉(zhuǎn)化為根式形式,求出值即可.

14.已知點？(一3,4)為角a終邊上的一點，貝Ijsintz=

4

【答案】-

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計算可得;

44

【詳解】解：點尸(—3,4)為角a終邊上的一點，所以sin。=

3+425

4

故答案為：—

15.科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，地震時釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為

lgE=4.8+1.5M,記里氏9.0級地震、7.0級地震所釋放出來的能量分別為耳、石2,則獸=__________.

七2

【答案】IO?##10()0

【解析】

【分析】把9.0和7.0代入到lg￡=4.8+L5M,然后兩式相減，即可得到本題答案.

【詳解】由題可得，Igg=4.8+1.5x9.0=18.3,坨￡*2=4.8+1.5x7.0=15.3,

FF

所以坨4TgE?=3力=3,得』=101

E,E2

故答案為：l()3##1000

16.己知定義在R上的奇函數(shù)y=/(x)滿足y=/(x+l)是R上的偶函數(shù)，且則

/(1)+/(2)++/(2022)=.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】通過討論函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，即可計算出所求的式子的值.

【詳解】由題意，xeR,

在y=/(x)中,"X)是奇函數(shù),y=/(*+1)是偶函數(shù),

??./(%)=-/(-%),/(x+l)=/(-X+1),/(。)=。,

.?./(x)=/(x-l+l)=/(-(x-l)+l)=/(2-x),

：.f(2-x)=-f{-x),貝廳(x)+/(x+2)=0,

.-./(2-%)=/(2+x),BP/(x)=/(x+4),

函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，/(0)+/(2)=0,

,-./(2)=/(0)=0./(3)=/(-1)=-/(1)=-1,〃4)=-7?⑵=0，

???/（1）+/（2）++/（2022）=505x[/（l）+/（2）+/（3）+/（4）]+/（l）+/（2）=505x0+1+0=1.

故答案為：

四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(1)已知,ABCcosA二』，求tanA的值.

13

(2)求證：1+sin2x=?os元+sinx.

cosx+sinx

【答案】(1)y;(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)同角的基本關(guān)系求解即可;

(2)根據(jù)二倍角的正弦公式及同角基本關(guān)系即可得證.

【詳解】(1)A是.ABC的內(nèi)角，二人武。,兀)，又cosA=《

sinA=Vl-cos*2A=—

13

,sinA12

/.tanA=----=—

cosA5

/0TH口+斗1+sin2xsin2x+cos2%+2sinxcosx

(2)證明：左邊二----------二------------------------

cosx+sinxcosx+sin%

_(sinx+cosx)2

cosx+sinx

=cosx+sinx=右邊

所以等式成立.

18.設(shè)集合A={JT|2X-5<1},5={%|X>1-Q}.

(1)當(dāng)a=2時，求AcB;

(2)若求〃的取值范圍.

【答案】(1)AnB={x|-l<x<3}

(2)(-2,+co)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)交集的定義和運算直接求解；

⑵結(jié)合⑴，根據(jù)交集的結(jié)果即可求出參數(shù)的取值范圍.

【小問1詳解】

A={x|2x-5<1}={x|x<3}

當(dāng)a=2時，B={x\x>—1},

AnB=1x|x<3}n{x|x>-l}={x|-l<x<3}；

【小問2詳解】

由⑴知，A={x|x<3},

Acw0,1—a<3,解得：a>—2,

所以。的取值范圍是(—2,W).

19.已知函數(shù)=-2mx+2,xeR

(1)若/(X)>O對一切實數(shù)尤都成立，求加的取值范圍；

(2)已知加=2,請根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明/(%)在(—,2)上單調(diào)遞減.

【答案】(1)(-72,72)

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)判別式小于。求解即可；

(2)利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)即可.

【小問1詳解】

VXGR,有/(X)>0,即d—2mx+2〉0恒成立，

/.A=4m2-8<0,

解得-0<根<0，所以用的取值范圍是卜后,四)

【小問2詳解】

由已知有=*-4x+2,任取內(nèi)，9設(shè)石<々，

貝獷(七)一f(?^2)k—4/+2—4+4/一2=(七一9)(%+W—4),

e(-oo,2),玉<巧玉一/<0,/+/—4<0,

所以/(七)一/(W)>。，即/(%)>/(%2),

\"X)在(—8,2)上單調(diào)遞減.

20.已知函數(shù)/(x)=0sin(0x+9)°〉0,閘＜]的圖象與y軸交于p點(o,i),若土,馬,凡是方程

/(尤)一1=0的三個連續(xù)的實根，且為+%+退=--

88

(1)求/(尤)的解析式;

(2)求“X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】(1)/(x)=6sin4也+；

(keZ)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求出函數(shù)的最小正周期，進而求得。，將點尸的坐標(biāo)代入求出。，即可

求解；

(2)利用整體代換法結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可求解.

【小問1詳解】

西,馬，%是方程/(尤)一1=°的三個連續(xù)的實根，且不+%=L々+%=，，

88

記％=%4，%=%是三根之間從左到右的兩條相鄰對稱軸，

12幾

T=2(%5—%)=5，即0=^^=4兀，

再將點P代入得：l=0sin0,且|。|〈:■得夕=：■，

〃x)=A/2sin^4^x+^.

【小問2詳解】

由一二十24兀44兀%十二4工+24兀(keZ)

242v7

3k1k

解之得:-----1--<九<----1--，左￡Z

162162

-3k1k~

\/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為一記記+'(kwZ).

21.生物愛好者甲對某一水域的某種生物在自然生長環(huán)境下的總量w進行監(jiān)測.第一次監(jiān)測時的總量為“

（單位：噸），此時開始計時，時間用/（單位：月）表示.甲經(jīng)過一段時間的監(jiān)測得到一組如下表的數(shù)

關(guān)系：①w=+②w=Z?log“（/+l）+%（a>0且。/1）.

（1）請根據(jù)表中提供的前2列數(shù)據(jù)確定兩個函數(shù)模型的解析式；

（2）根據(jù)第3,4列數(shù)據(jù)，選出其中一個與監(jiān)測數(shù)據(jù)差距較小函數(shù)模型；甲發(fā)現(xiàn)總量w由飛翻一番時

經(jīng)過了2個月，根據(jù)你選擇的函數(shù)模型，若總量卬再翻一番時還需要經(jīng)過多少個月？（參考數(shù)據(jù)：

lg3?0.48,lgl7?1.23）

【答案】（1）w-y/2t+2；w=210g3。+1）+2

（2）24個月

【解析】

【分析】（1）分別代入前2列數(shù)據(jù)到兩個函數(shù)模型的解析式，解方程組，即可得到本題答案；

（2）分別把/=8和f=16代入到兩個函數(shù)模型的解析式，選擇數(shù)據(jù)差距較小的函數(shù)模型；然后把vv=8代

入到攻=21og3±+1）+2,解出即可得到本題答案.

【小問1詳解】

2="%（dwr.=2

將前2列數(shù)據(jù)代入解析式①得：《L，解之得：\「，

4=cy/2+6?w0[C=A/2

.二①w=yflt+2；

2—VHx14M—2

將前2列數(shù)據(jù)代入解析式②得：471:，解之得：7L，

4=bloga3+w0[b=210g3〃

.,.②w=21og3tzlogfl（t+l）+2=2log3a'"+D+2-21og3（?+l）+2.

【小問2詳解】

當(dāng)/=8時，模型①w=4+2=6,模型②w=21og39+2=6；

21gl7?…

當(dāng)。=16時，模型①匹=4亞+227.66模型②w=21og317+2=—^+227.13.

Ig3

二選模型②；

當(dāng)總量W再翻一番時有：8=21og3(r+l)+2,解之得t=26,

即再經(jīng)過26-2=24個月時，總量w能再翻一番.

22.已知函數(shù)=

C

(1)若函數(shù)/(九)是R上的奇函數(shù)，求。的值；

(2)若函數(shù)/(尤)的在R上的最小值是20，確定。的值；

(3)在(2)條件下，設(shè)8(力=/田""小)(加>0且〃-1),若g⑺在［0,4］上的最小值為1,請

確定加的值.

【答案】(1)1(2)a=-2

(3)機=^/5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義可得/(-力+/(力=0,即可求出。，驗證即可；

⑵當(dāng)a<0時，利用基本不等式計算即可求解；當(dāng)。之0時，利用定義法證明函數(shù)/(x)=e'-W在R上單

e

調(diào)遞增，沒有最小值；

⑶由⑵可得g(x)=/2(止硒止4=加,3在［0,4］上的最小值為1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)0〈根<1時

Mmax(x)=°，當(dāng)勿>1時％n(x)=。.利用換元法得〃(。=產(chǎn)—皿―+

?=/(%)),結(jié)合分類討論的思想和二次函數(shù)的性質(zhì)求出對應(yīng)的加值即可.

【小問1詳解】

/(九)是R上奇函數(shù)，.??/(—x)+/(x)=0

即e'—ae'+ex—ae