點、直線和平面-直線投影（工程制圖課件）

直線的投影（一）一、直線的投影兩點確定一條直線。畫出直線上任意兩點的投影，連接其同面投影，即為直線的投影。直線的投影一般仍為直線，特殊情況下，當(dāng)直線垂直于投影面時，其投影積聚為一個點。一、直線的投影直線和它在某一投影面上的投影間的夾角，稱為直線對該投影面的傾角。對H面的傾角用α表示；對V面的傾角用β表示；對W面的傾角用γ表示，如圖所示。一、直線的投影根據(jù)直線與投影面的相對位置，直線可分為：一般位置直線、投影面平行線和投影面垂直線三種，后兩種統(tǒng)稱為特殊位置直線。二、一般位置直線對三個投影面均不平行不垂直的直線稱為一般位置直線（簡稱一般線）。如圖為一般位置直線的立體圖和投影圖。二、一般位置直線從圖可看出，ab=ABcosα，a′b′=ABcosβ，a″b″=ABcosγ，而α、β和γ均介于0°與90°之間，cosα、cosβ和cosγ均小于1，所以一般位置直線的三個投影都小于實長。1.一般位置直線的投影特性//////01二、一般位置直線直線上各點對某一投影面的距離都不相等，所以其三面投影都傾斜于各投影軸，各投影與相應(yīng)的投影軸所成的夾角，都不反映直線對各投影面的真實傾角，如圖。1.一般位置直線的投影特性//////02只平行某個投影面，而傾斜于另外兩個投影面的直線，稱為某投影面的平行線。三、投影面平行線三、投影面平行線與V面平行的直線稱為正面平行線，簡稱正平線，如圖中的AB；三、投影面平行線與H面平行的直線稱為水平面平行線，簡稱水平線，如圖中的CD；三、投影面平行線與W面平行的直線稱為側(cè)面平行線，簡稱側(cè)平線，如圖中的EF。//////01三、投影面平行線現(xiàn)以正平線為例討論其投影特性：因為AB//V面，正平線的正面投影反映實長，即a'b'=AB，而且a'b'與投影軸的夾角反映了直線與H、W面的真實傾角α、γ。//////02三、投影面平行線

因為AB上各點到V面的距離都相等，所以正平線的水平投影平行于OX軸，即ab//OX軸；同理，正平線的側(cè)面投影平行于OZ軸，即a"b"http://OZ軸?，F(xiàn)以正平線為例討論其投影特性：三、投影面平行線2.正平線的投影圖投影特性1ab∥OX軸；a″b″∥OZ軸；2a′b′=AB3a′b′與投影軸的夾角，反映直線與H、W面的真實傾角α、γ。三、投影面平行線3.水平線的投影圖投影特性1c′d′∥OX軸；c″d″∥OYW軸；2cd=CD3cd與投影軸的夾角，反映直線與V、W面的真實傾角β、γ。三、投影面平行線4.側(cè)平線的投影圖投影特性1e′f′∥OZ軸；ef∥OYH軸；2e″f″=EF3e″f″與投影軸的夾角，反映直線與H、V面的真實傾角α、β。三、投影面平行線直線在所平行的投影面上的投影反映實長，且該投影與相應(yīng)投影軸所成之夾角，反映直線對其他兩投影面的傾角；//////01

直線其他兩投影均小于實長，且平行于相應(yīng)的投影軸。//////025.投影面平行線的共性四、投影面垂直線與某一個投影面垂直的直線統(tǒng)稱為投影面垂直線，垂直于一個投影面，必平行于另兩個投影面。投影面垂直線有三種情況。四、投影面垂直線與V面垂直的稱為正面垂直線，簡稱正垂線，如圖中的CE；c″e″四、投影面垂直線與H面垂直的稱為水平面垂直線，簡稱鉛垂線，如圖中的AB；四、投影面垂直線與W面垂直的稱為側(cè)面垂直線，簡稱側(cè)垂線，如圖中的CD。四、投影面垂直線現(xiàn)以正垂線為例，討論其投影特性：1正垂線CE⊥V面，所以其V面投影c'e'積聚為一點；2正垂線CE平行于H、W面，其H、W面投影反映實長，即ce=c"e"=CE；3ce⊥OX；c"e"⊥OZ。c″e″四、投影面垂直線直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點（積聚性）；//////01

直線的其他兩投影與相應(yīng)的投影軸垂直，并都反映實長（顯實性）。//////021.投影面垂直線的投影特性直線的投影（二）直線的實長及其與投影面的傾角一般位置直線的三面投影圖既不反映其實長，也不反映傾角，要想求得一般線的實長和傾角，可以采用直角三角形法。如圖所示，在BEeb所構(gòu)成的投射平面內(nèi)，延長BE和be交于點M，則∠BMb就是BE直線對H面的傾角α。

過E點作EB1∥eb，則∠BEB1=α，且EB1=eb。所以只要在投影圖上作出直角三角形BEB1的實形，即可求出BE直線的實長和傾角α。

其中直角邊EB1=eb，即BE為已知的H面投影；另一直角邊BB1，是直線兩端點的Z坐標(biāo)差，即BB1=ZB－ZE，可從V面投影圖中量得，也是已知的，其斜邊BE即為實長。作圖步驟為（1）過H面投影eb的任一端點b作直線垂直于eb；（2）在所作垂線上截取bk=ZB－ZE，得k點；（3）連直角三角形的斜邊ek，即為所求的實長，∠bek即為傾角α。

如圖求作BE直線對V面的傾角β的立體圖和投影圖。以直線的V面投影，直線上兩端點的Y坐標(biāo)差為兩條直角邊，組成一個直角三角形，就可求出直線的實長和直線對V面的傾角β。

如果求直線對W面的傾角γ，則以直線的W面投影，直線兩端點的X坐標(biāo)差為兩直角邊，組成一個直角三角形。這種利用直角三角形求一般位置直線的實長及傾角的方法稱為直角三角形法。

其要點是以線段的一個投影為直角邊，以線段兩端點相對于該投影面的坐標(biāo)差為另一直角邊，所構(gòu)成的直角三角形的斜邊即為線段實長，斜邊與線段投影之間的夾角即為直線對該投影面的傾角。直線上的點由正投影的特性可知：（1）點在直線上，則點的各個投影必在直線的同面投影上，即點的從屬性。（2）點分割線段成定比，其投影也把線段的投影分成相同的比例，即點的

定比分割特性。

且AM：MB=am：mb=a'm'：m'b'=a"m"：m"b"。點M在直線AB上，則其投影m、m′、m″必在AB的相應(yīng)投影ab、a′b′、a″b″上。直線的跡點

直線與投影面的交點，稱為直線的跡點。與水平投影面的交點稱為水平跡點，用M表示；與正立投影面的交點稱為正面跡點，用N表示；與側(cè)立投影面的交點稱為側(cè)面跡點，用S表示。m′Oa′b′n′MnamHXVbANB

跡點是直線與投影面的交點，所以跡點既在直線上又在投影面內(nèi)，因此，跡點的投影必須同時具有直線上的點和投影面上的點的投影特點，這是求作跡點的依據(jù)。m′Oa′b′n′MnamHXVbANB

如圖所示，由于水平跡點M是H面上的點，所以m′必在OX軸上；同時M也是直線AB上的點，所以m′一定在a′b′上，m在ab上。m′Oa′b′n′MnamHXVbANBbamm′a′b′n′nOX求水平跡點M的方法是（1）延長AB的正面投影a′b′與OX軸相交得m′。（2）自m′引OX軸的垂線與直線的水平投影ab的延長線相交，即得m。m′Oa′b′n′MnamHXVbANB同理，求正面跡點N的方法是（1）延長AB的水平投影ab與OX軸相交得n。（2）自n引OX軸的垂線與直線的正面投影a'b'的延長線相交，即得n'。bamm′a′b′n′nOXm′Oa′b′n′MnamHXVbANB兩直線相對位置兩直線相對位置一、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為三種情況：平行、交叉和相交三種情況，其中交叉位置的兩直線稱為異面直線。二、兩直線平行若空間兩直線互相平行，則其同面投影互相平行，反之，若兩直線的同面投影互相平行，則此空間兩直線一定互相平行。如圖所示，如果AB//CD，則ab∥cd，a'b'∥c'd'，a"b"∥c"d"。

在一般情況下，判定兩直線是否平行，只要直線的任意兩同面投影互相平行，就可判定兩直線是平行的，但對與投影面平行的兩直線來說，有時不能肯定。ZXYWYHdefcOd′f′f″d″e″c″e′c′

如圖所示兩條側(cè)平線CD和EF，它們的V、H面投影平行，但是還不能確定它們是否平行，必須求出它們的側(cè)面投影或通過判斷比值是否相等才能最后確定。例

如圖所示，作出其側(cè)面投影，c"d"和e"f"不平行，則CD和EF兩直線不平行。ZXYWYHdefcOd′f′f″d″e″c″e′c′三、兩直線相交如圖所示，兩直線AB和CD相交，其交點K為兩直線的共有點，它既是AB上的一點，又是CD上的一點。由于線上一點的投影必在該直線的同面投影上，因此K點的H面投影k既在ab上，又應(yīng)在cd上。這樣k必然是ab和cd的交點；同理k'必然是a'b'和c'd'的交點；k"必然是a"b"和c"d"的交點。由此可得出結(jié)論：兩直線相交，其同面投影必相交，交點符合點的投影規(guī)律。反之，如果兩直線的各同面投影相交，且交點符合點的投影規(guī)律，則此兩直線在空間必定相交。

判定兩直線是否相交，對一般位置直線，根據(jù)任意兩組同面投影即可判斷，但當(dāng)兩直線之一為投影面平行線時，則要看該直線在所平行的那個投影面上的投影情況。如圖所示，兩直線AB和CD，因為a"b"和c"d"的交點與a'b'和c'd'的交點不符合點的投影規(guī)律，所以可以判定AB和CD不相交。三、兩直線交叉

兩直線交叉，則兩直線既不平行也不相交。其各面投影既不符合平行兩直線的投影特性，也不符合相交兩直線的投影特性。若兩直線的同面投影不同時平行，或同面投影雖相交但交點連線不垂直于投影軸，則該兩直線必交叉。它們的投影可能有一對或兩對同面投影互相平行，但決不可能三對同面投影都互相平行。交叉兩直線也可表現(xiàn)為一對、兩對或三對同面投影相交，但其交點的連系線不可能符合點的投影規(guī)律。

如圖所示，AB和CD是兩條交叉直線，其三面投影都相交，但其交點不符合點的投影規(guī)律，即ab和cd的交點不是一個點的投影，而是AB上的M點和CD上的N點在H面上的重影點，M點在上，m可見，N點在下，n為不可見。

同樣a′b′和c′d′的交點是CD上的E點和AB上的F點在V面上的重影點，E點在前，e′為可見，F(xiàn)點在后，f′為不可見。W面投影a″b″和c″d″的交點也是重影點。四、直角投影

兩直線相交（或交叉）成直角，如果其中有一條直線與某一投影面平行，則在該投影面上的投影仍反映直角。

反之，相交或交叉兩直線的某一投影成直角，且有一條直線平行于該投影面，則此兩直線的交角必是直角。1.垂直相交已知：如圖所示，直線AB垂直于BC，BC∥H面，求證：∠abc=90°。證明：因為BC⊥