河北省石家莊市高三三模數(shù)學(xué)試題

石家莊市2023屆高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(三)

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.如圖，集合48均為U的子集，(Q∕)c'表示的區(qū)域?yàn)?)

A

【答案】D

【解析】

【分析】由補(bǔ)集和交集的概念求解即可.

【詳解】由補(bǔ)集的概念，電/表示的區(qū)域如下圖所示陰影區(qū)域,

???(電∕)c3表示的區(qū)域?yàn)橄聢D所示陰影區(qū)域,

A

即為圖中的區(qū)域W.

故選：D.

2.已知函數(shù)/(x)同時(shí)滿足性質(zhì)：①/(—x)=-∕(x):②對(duì)于X,9e(0,l),"々)〉o,則

函數(shù)/(x)可能是()

A.7(x)=ex-eB?小)=，)

C./(x)=sin4xD./(x)=f

【答案】A

【解析】

【分析】由函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)行辨析即可.

【詳解】由函數(shù)奇偶性的定義，若函數(shù)/(x)滿足/(r)=-∕(x),則函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

由函數(shù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)/(χ)滿足?x∣,X2e(0,l),/(*)二":)〉O，則函數(shù)/(x)在區(qū)間(0』)

?x∣-?x2

上單調(diào)遞增，

選項(xiàng)中四個(gè)函數(shù)定義域均為R,VxeR,都有-XWR

rxχ

對(duì)于A,/(-x)=e^-e=-(e-e-)=-f(x),故/(x)為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，

?.?y=e，與y=—eT=-1J］均在R上單調(diào)遞增，.?./(X)=e、-e-jt在R上單調(diào)遞增，滿足性質(zhì)②；

對(duì)于B,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，=為非奇非偶函數(shù)，在R上單調(diào)遞減，性質(zhì)①，②均不滿足；

對(duì)于?,/(-%)=5皿一4%)=一5吊4》=一/(》)，故/(x)為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，

.JT7Γ.Jr左兀?！ㄘ?/p>

令——+2kπ≤4x≤—+2kπ,左∈Z,解得——+一≤x≤-+—，左∈Z,

228282

TrκτvTT

.??∕(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一^+?，丁+?，keZ,故/(X)在(0,1)不單調(diào)，不滿足性質(zhì)②；

o2o2

對(duì)于D,由累函數(shù)的性質(zhì)，/(x)=χ2為偶函數(shù)，在區(qū)間［0,+8)單調(diào)遞增，不滿足性質(zhì)①，滿足性質(zhì)②.

故選：A.

3.觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定的是()

八殘差力殘差

4

IOO-..3-....?*■.

50-.：：??:禽:.出淞.“淞港詠

?,0-?∕.Z：?*："；?,

心.~,√??..

-50-?%.-3???

-100----1-----1-----1-----1-----1>^401002003004005006007008009001000*

020406080100觀測(cè)時(shí)間觀測(cè)時(shí)間

C殘差/殘差

1500200

1000150

100

50050

C.0D.0

-500-50

-100

-1000-150

-1500,IJ-—,—?—?—1—1—?-200.->

θ20406080100觀測(cè)時(shí)間0102030405060708090100觀測(cè)時(shí)間

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定進(jìn)行判斷.

【詳解】根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差e的假定，殘差應(yīng)是均值為0、方差為人的隨機(jī)變量的觀測(cè)

值.

對(duì)于A選項(xiàng),殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，故A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng),殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)；故B正確;

對(duì)于C選項(xiàng),殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，故C錯(cuò);

對(duì)于D選項(xiàng),殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨著觀測(cè)時(shí)間變大而變大,故D錯(cuò).

故選：B.

ι÷l÷l..?+?=In/?+/(常數(shù)

4.18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果：當(dāng)n很大時(shí),+

23n

111

∕=0?577…).利用以上公式，可以估計(jì)----------1-----------+???+的值為()

200012000230000

A.InlO4B.In3+ln2C.In3-ln2D.ln2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知結(jié)論得兩個(gè)等式相減即得.

=ln3000+/,l+g+；+…+1

【詳解】由題意IH—I—I--1---=ln2000+/

2330002000

所以一^十11

+…+=In3000-In2000=3+In3—(3+In2)=In3—In2,

200012000230000

故選：C.

5.已知函數(shù)/(x)=2SiMs+0(o>O,O<e<兀)的部分圖象如圖所示，則/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是

()

_ioA7~^χ

36?/

vS,0jBJ-剎Ce）

【答案】D

【解析】

【分析】由圖象求出函數(shù)解析式,再求其對(duì)稱中心即可.

【詳解】方法一：

TTC（兀、兀

設(shè)/（X）的最小正周期為7,由函數(shù)圖象可知，ΛΓ=2J

4+O?J√Z

.72兀

??/=—=271"/.=1,Λ/(x)=2sin(x+^),

ω

又???當(dāng)X=-百I時(shí)，/(力取最大值,

3

ππ5兀

/.-----Fo=一+2kπ,%∈Z,:?φ=----F24兀，%∈Z,

326

5π

?；0<9V兀，?(P=—,

6

/./(X)=2sin

?5π5兀

令X4-----=KfTl,后∈Z,解得X-.........FAJC,左∈Z,

66

（S7I)

；?/（X）的對(duì)稱中心為I-~--+kit,0I,《∈Z,

(寸稱中心為(——)OJ.

當(dāng)左=一1時(shí)，/（x）的一個(gè);

方法二：

TTt(兀、兀T

設(shè)/（X）的最小正周期為T,由函數(shù)圖象可知，—=---T=-，???一=兀，

46I3J22

由圖象可知，/（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為

/（x）的對(duì)稱中心為（尹月兀，0），kwLr,

當(dāng)左=—2時(shí),

故選：D.

6.已知陰,〃是兩條不同的直線，。、僅是兩個(gè)不同的平面，其中下列命題正確的是（）

A.若〃?//〃,〃Ua,則〃?//a

B若mua,ac/7=〃,加J.〃，則“_1.￡

C.若加Ua,加J.4，則a_L4

D若a-L?,ml?0f,則加///?

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間直線、平面間位置關(guān)系判斷.

【詳解】若〃?//〃,〃ua,則機(jī)//a或∕wua,A錯(cuò)；

若加Ua,ac∕7=_L〃，a與夕不一定垂直，因此〃z?L尸不正確，B錯(cuò)誤；

由面面垂直的判定定理知C正確；

若a_L￡,〃?_La,則加//夕或ZMU4，D錯(cuò)誤.

故選：C.

7.已知直線2%+3了-1=0經(jīng)過(guò)圓（工一加）2+3一〃）2=1的圓心，其中加＞0且〃4_1,0）,則2?

m+2nn

的最小值為（）

A9B.5+2√5C.1D.5+√5

【答案】A

【解析】

【分析】由給定條件可得2加+3〃=1,再利用配湊思想結(jié)合“1”的妙用求解作答.

31

【詳解】圓（X-加）2+（y-a）2=1的圓心為（私〃），依題意，2加+3〃=1,即加+,〃=],

由—1,0),知〃2+2〃=—+一〃>0,令a=m+2n,b=——n,貝∣Jα>0,6>0,4+b=一,

''2222

IIL

因此擊+十二+鏟2(〃+〃+凱2(尹%?)

——n

2

≥2(-+2j---)=9,當(dāng)且僅當(dāng)竺=色，即α=2b='時(shí)取等號(hào)，

2Va2ba2b3

所以當(dāng)陽(yáng)=1,〃=—工時(shí)，二——L取得最小值9.

3m+2nn

故選:A

8.中國(guó)結(jié)是一種盛傳于民間的手工編織工藝品，它原本是舊石器時(shí)代的縫衣打結(jié)，后推展至漢朝的儀禮記

事，再演變成今日的裝飾手藝.中國(guó)結(jié)顯示的精致與智慧正是中華民族古老文明中的一個(gè)側(cè)面.已知某個(gè)中國(guó)

結(jié)的主體部分可近似地視為由一個(gè)大正方形（內(nèi)部是16個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形）和16個(gè)半圓所組成，如

圖，4C是中國(guó)結(jié)主體部分上的定點(diǎn)，點(diǎn)B是16個(gè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，則%.方的最大值為（）

A.66+6√ΠB.66+4√ΠC.66+2√ΠD.18√∏

【答案】C

【解析】

【分析】作SO,ZC于。，則萬(wàn)?益=卜@?同CoSN歷/C=阿|府I,只要I彳4最大即可，建立坐

標(biāo)系，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解

【詳解】抽取其中部分圖形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

作BD_LZC于O,則萬(wàn)?方=|/IP^CoSNBNC=河|阪|,

因此只要|彳萬(wàn)I最大，則萬(wàn)取得最大值，由圖知當(dāng)B點(diǎn)是靠近點(diǎn)C上方的半圓E與ZC垂直的切線的

切點(diǎn)X?而取得最大值?

圖中點(diǎn)C上方最靠近C點(diǎn)的圓E的方程為(X-l)2+(?-8)2=l,

Q1

左忙=一因此心=——，

C(2,8),λv2=4,DZU)4

設(shè)圓E的斜率為一一的切線方程為y=--x+m,即Lχ+y-"z=O,

444

133√17

由圖可知圖形中半圓E的切線方程為y——XH-----1-------，

444

=警+1,所以西I的最大值為嗜+1

A點(diǎn)到它的距離為“=

所以（刀.就）maχ=√82+22×（^^+D=66+2√i7.

故選：C.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.已知復(fù)數(shù)4=1+2,，復(fù)數(shù)Z滿足|z—zj=2,則()

A.Z1?z?=5

B.√5-2<∣z∣<√5+2

C.復(fù)數(shù)可在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(T,2)

D.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(x∕),則(x—Ip+(夕―2)2=4

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義判斷BCD,由復(fù)數(shù)的乘法判斷A.

【詳解】由已知或=1—2i,其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),C錯(cuò)；

22

zl?zl=I+2=5,A正確；

由IZ-z∣∣=2知Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以Zl對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，IZj=JL

因此括-2≤∣z∣≤若+2,B錯(cuò)誤；

Zl對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),因此D正確.

故選：AD.

10.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,??(Xo≠θ)是/(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是()

A.?x∈R,∕(x)≤∕(x0)B.-X。是/(-X)的極大值點(diǎn)

C.%是-∕^(x)的極小值點(diǎn)D.-Xo是—/(—X)的極大值點(diǎn)

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)極值的定義結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】/是/(X)的極大值點(diǎn).則存在區(qū)間(4,6),%e(α,b),對(duì)任意》6(4/)有/(》：^〃/),/(%)不

一定是最大值，A錯(cuò)誤；

/(一x)的圖象與/(χ)的圖象關(guān)于夕軸對(duì)稱，因此一與e(-b,-α),對(duì)任意Xe(一"一。)有/(x)<∕(-x0),

一看是/(—x)的極大值點(diǎn)，B正確；

/(x)的圖象與一/(x)的圖象關(guān)于X軸對(duì)稱，因此對(duì)任意xe(α,b)有-∕?(x)2-∕(x°),C正確；

由BC的推理可知-X。是-/(-X)的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.已知函數(shù)/(x)圖象上的點(diǎn)(XM都滿足(χ3-5x+yy°"+χ2023=4χ7-χ3,則下列說(shuō)法中正確的有

()

A.f(x)=-X3+4x

B,若直線/與函數(shù)/(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)46,C,且滿足?用=忸q=Jid,則直線ZC的斜率為3.

C.若函數(shù)g(x)=∕(x)-αχ2-4x+α(ακθ)在X=XO處取極小值O,則q=hg.

D.存在四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)/(x)的圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個(gè).

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知條件化同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)后求出/(x)的解析式，可判斷選項(xiàng)A,分類討論函數(shù)的極值情況,

可判斷選項(xiàng)C,由過(guò)原點(diǎn)的直線和/(x)的對(duì)稱性，可判斷選項(xiàng)B,選項(xiàng)D.

2023

【詳解】由(/—5x+?)+χ2023=4x-y"得，儼一5χ+歹廣十χ2023+√_4χ+j,=0，

注意到兩個(gè)高次項(xiàng)的底數(shù)χ3-5x+y與X恰好滿足-5x+y)+x=χ3-4x+y,

故有-5χ+y廣+任-5χ+y)+χ2023+χ=0,

令77(x)=x""3+x,XeR,

則(χ3-5χ+y)"'+卜3-5χ+y)+χ2023+χ=()等價(jià)于T7(X,-5x+歹)+∕7(X)=O,

即F(X)=-F(^X3-5x+y)

,.'F(-x)=(-%)2023-X=-X2023-X=-(Xg+x)=-F(x),∕7(x)為奇函數(shù)，

.,.Z7(X)=-77(x3-5x+>,)=F(-X3+5x-y),

又,：Jr(X)=2023∕°22+1>O,.?.b(χ)在R上單調(diào)遞增，

/.由F(X)=F(-X3+5x-y)得X=-/+5χ-y,即》=一丁+以，

由題意，即函數(shù)/(X)圖象上的點(diǎn)(Xj)都滿足y=-∕+4x,

.,./(x)=-x3+4x,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,V/(x)=-x3+4x,XeR,

.*.f(-x)=-(-%)3+4?(-%)=X3-4x=-(-X3+4xj=-f僅)，

.?.∕(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

當(dāng)直線/過(guò)原點(diǎn)且斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為V=依，

由直線/和/（χ）的對(duì)稱性知，若直線/與函數(shù)/（χ）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)4民c,且滿足M卸=IBq=J記,

則為坐標(biāo)原點(diǎn)不妨設(shè)/（乙,，/），

8（0,0）,C（xc,yc）,（XA<0<XC）,

則由Iy=/（*）=_X+4χ,消去y,整理得x3+（?-4）x=0,即x（x'+4-4）=0,

y=kx

?*.Xj+k-4=+k—4=0,Xj—X：,—4—k,

.?.=說(shuō)+"=說(shuō)+左2/=0+儲(chǔ)）（4—左）=10,即小一4公+左+6=0,

.?.F+1-4左2+左+5=（左+1）（F一女+1）—（左+1）（4左一5）=（左+1）伊一5左+6）=0,

解得左=T或2或3,即滿足題意的直線力C的斜率有-1,2,3,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,V/（x）=-x3+Ax,

：.g(x)=-X3+4x-ax2-4x+a=-x3-ax2+α(α≠0),

Λgz(x)=-3x2-2ax(?a≠0),令g'(x)=-3--2OX=0(Q工0),則X=O或X=--—,

當(dāng)a>0時(shí),%,g'(x)，g(%)變化情況如下:

2a

X0（0,+8）

^T上

g'(x)—0+0—

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

當(dāng)X=一等時(shí)，g（x）取極小值g1年）=_（_等）〔《_引2+4=_今+4=0,

解得α=0(舍)或α=Wl;

2

當(dāng)α<0時(shí)，X,g'（x），g（x）變化情況如下:

2Q

X(-8,0)0(0+α>)

（。等"T9

g'(x)—0+0—

g(χ)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

當(dāng)X=O時(shí)，g(x)取極小值g(0)=a=0(舍)，

綜上所述，若函數(shù)g(x)在X=XO處取極小值0,則α=邁，故選項(xiàng)C正確；

2

對(duì)于D,由正方形和/(x)的對(duì)稱性知，設(shè)正方形MNP。四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)/(x)的圖象上，

則正方形的對(duì)角線〃尸與N0所在直線均過(guò)原點(diǎn)，斜率存在且不為0,且Λ∕P1?NQ,∣M∣=∣Nq,

不妨設(shè)兒0所在直線為歹=H，則與選項(xiàng)B判斷過(guò)程同理，∣Mθf(wàn)=(l+左)(4一女)，

設(shè)NQ所在直線為y=—tx,同理可得WOF=(I+'工4+：),

-?MP?=?NQ?,Λ∣Λ∕O∣2=∣Λ^O∣2,Λ(1+Λ2)(4-^)=^1+-^J4+^,

即(1+F)(4-左)=^114+J,.?.1=*+《，

4141(?λ?1

.?--4+-+k=0,：.——4左+r+左2=o,.?.4——%++左2=o,

k2kikk2U)k2

令---k—t,則—后］=F,―T+K—2=廣，--r?+k~=Z"+2>

kIk)%k2

,?,Δ=16—8=8>0,>,?—左=，有兩解，

k

即有兩組斜率，使Λ∕P1?NQ,IMPl=IN0|,

故存在四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)/(x)的圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個(gè)，選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是“同構(gòu)”，通過(guò)“同構(gòu)”構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)確定/(x)解析式.選項(xiàng)B

和選項(xiàng)D的辨析，要利用好三次函數(shù)的對(duì)稱性.

12.已知曲線CXkI-4WM=4,P(X0，%)為。上一點(diǎn)，則()

A.eR,x-2y+〃?=0與曲線C有四個(gè)交點(diǎn)

B.君+。的最小值為1

C.k0-2%+JN的取值范圍為(、萬(wàn),2&+百]

D.過(guò)點(diǎn)卜2后,-2⑷的直線與曲線C有三個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率A∈

【答案】BCD

【解析】

【分析】分象限討論得出曲線圖象，數(shù)形結(jié)合判斷A,根據(jù)圖象及橢圓、雙曲線性質(zhì)可知離原點(diǎn)最近的點(diǎn)

判斷B,利用平行線間的距離可判斷C,求切線斜率結(jié)合圖象判斷D.

丫2

【詳解】當(dāng)XNO,y≥0時(shí)，曲線方程為f-4/=4,即、—y2=l,曲線為雙曲線一部分，

當(dāng)x<0,y>0,曲線方程為一χ2-4y2=4,曲線不存在，

2

當(dāng)x<0,y<0,曲線方程為—Y+4/=4,即歹2一、γ=],曲線為雙曲線一部分，

當(dāng)x>0∕<0,曲線方程為/+4/=4,即工+/=1，曲線為橢圓一部分，

綜上，作曲線圖象，如圖,

對(duì)A,由雙曲線方程可知，漸近線方程為_y=；x,直線x-2y+∕w=0與漸近線平行或重合，作漸近線的

平行線，由圖象可知，直線x-2y+∕n=0與曲線不存在四個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由雙曲線、橢圓頂點(diǎn)性質(zhì)可知，曲線上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)為8,由曲線方程知8(0,-1),所以X；+*

的最小值為1,故B正確；

對(duì)?,卜。7%)制表示曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線χ-2y+√J=0的距離，可轉(zhuǎn)化為兩平行線x-2y+√i=0

√i?

與直線x—2少+〃=0間的距離，且x—2少+〃=0與曲線有交點(diǎn),

x-2y+n=O

聯(lián)立《丫2可得2—+2nx+一4=O，

-----Fy2=]

I4

由4=4/-8（/-4）=0,可解得〃=—2√Σ或〃=2√Σ（舍去），

結(jié)合圖象可知，忙四＜,。一2%+閻＜卜20-四,

√i?√i77F√i17F

即百＜卜0-2盟+G∣≤2忘+6,故C正確；

對(duì)D,由團(tuán)（—2√Σ,-2√Σ）在曲線的切線x—2y-2√Σ=0上，

設(shè)過(guò)點(diǎn)M與三一/=1相切的直線方程為y+2√2=）l（x+2√2）,

4

?+2√2=Ar(x+2√2)

聯(lián)立《消元得：（1一4F）X2—（16以2-16版卜一32^+64左一36=0,

X2

L2=1

所以△=(16√2)2()l2-k)2-4(1-4k2)(-32k2+64[一36)=0，

化簡(jiǎn)可得4左2一164+9=0,解得左=2-立或左=2+也（與雙曲線左支相切，不滿足題意，舍去）,

22

由圖象可知，當(dāng)直線斜率滿足」＜a＜上3時(shí)，直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

22

故選：BCD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一個(gè)難點(diǎn)在于通過(guò)分象限討論，去掉絕對(duì)值得出曲線方程，再由曲線方程畫出

曲線圖象；第二個(gè)難點(diǎn)在于解題中充分應(yīng)用曲線在第一象限及第三象限的圖象為雙曲線部分，且具有相同

的漸近線；第三個(gè)難點(diǎn)在于求過(guò)點(diǎn)（-2忘,-2&）與第一象限雙曲線相切時(shí)，計(jì)算量繁瑣，基本不能完成.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為\

【答案】80

【解析】

【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解即可.

【詳解】Y一子）的展開式的通項(xiàng)為

加=C(X2)=(—2)"c*'r,4=0,1，2,L,5.

410--=0,則4=4,

2

.?.小—于)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為4+∣=(-2)4Cb°=16x5=80.

故答案為：80.

14.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為勺=〃-1,數(shù)列為｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則

4+旬+…+%=.

【答案】502

【解析】

【分析】由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得為,,=2"T-1,再由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可得結(jié)果.

n

【詳解】由題意可得：an=n-?,bll=2"-',ah=6π-1=2^'-1.

81><(12

所以+L+alλι=(l+2+L+2)-9=-^9=502

1—2

故答案為：502.

15.已知正四面體Z-BCZ)的棱長(zhǎng)為6,P是一8。外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，。是四面體4—BCD內(nèi)切球球面上

的動(dòng)點(diǎn)，則|尸。|的取值范圍是.

【答案】［C,2√Γj

【解析】

【分析】求出內(nèi)切球和外接球的半徑，結(jié)合球心由三點(diǎn)間距離的關(guān)系即可得.

【詳解】如圖，ZE是正四面體ZBCr)的高，由對(duì)稱性知其外接球與內(nèi)切球球心重合為。且在/E上，E

是底面正ABCD中心，BE="與乂6=26，AE=7δ2-(2√3)2=2√6-

設(shè)外接球半徑為R.即。4=。8=R,

由。力=?！?+6爐得爐=(2指一火y+(2jj)2,解得R=士尼，因此內(nèi)切球半徑為r=OE="，

22

顯然有IIoPlTO創(chuàng)≤∣P0∣≤|叫+?0Q?,即Rf≤|尸°|≤R+r,

R+r=2√6'R-r=V6,

所以庭≤∣PQ∣≤2j^,

故答案為：[遙,2C]?

C

16.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如1035=lχl()3+OxU+3χio∣+5x10。，表示十進(jìn)制的數(shù)要用0?9這

10個(gè)數(shù)字.而電子計(jì)算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需。和1兩個(gè)數(shù)字，如四位一進(jìn)制的數(shù)

321O

1OO1W=1×2+O×2+O×2+1×2,等于十進(jìn)制的數(shù)9,現(xiàn)有一組十進(jìn)制表示的數(shù)列

x1,x2√??,x2023,(x,.∈N*,z=l,2,???,2O23),定義2=[[，+□，,〃=1,2,…,2022(門外表示

Z=Ij=n+?”=[

。|，。2，~，?！钡某朔e)，若將4也,…,為期表示成二進(jìn)制數(shù)，其中有IO"個(gè)數(shù)末位是0,若將再…，工2023

表示成二進(jìn)制數(shù)，則末位是0的數(shù)至多有個(gè).

【答案】1012

【解析】

【分析】先找到a表示的二進(jìn)制數(shù)，然后結(jié)合題意利用組合極值分析即可得到.

【詳解】對(duì)于d=叫x2'+加2x2*τ+…+/4x2∣+機(jī)用x2°,且叫，加2,…，心，砥+1e{0,l}，SGN,bk

表示的二進(jìn)制數(shù)為研加2…加”小，

當(dāng)叫+∣=0時(shí)，町?2s,g?2~,…,ax2∣均為偶數(shù)，所以4為偶數(shù)，

要使X∣,X2,???,X2023中偶數(shù)最多，只需前面的偶數(shù)連續(xù)，

例如取X∣,%2,…,X∣012均為偶數(shù)，XKn3，XlOl4，…,x2023均為奇數(shù)，

則4也,…力OII均為偶數(shù)，4oi2也13,…423均為奇數(shù)，

此時(shí)仇也,…』2022中有?θ??個(gè)數(shù)的末位為0,

此時(shí)西,》2…,％2023表示成二進(jìn)制至多有1012個(gè)末位是0,

故答案為：1012

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知"BC中，角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別是。，b,c,SirL4=4SinCCOSB,且c=2.

(1)證明:tanB=3tanC；

(2)若b=2√J,求"BC外接圓的面積

【答案】(1)證明見解析

(2)4π

【解析】

【分析】(1)將SiM=4sinCcos8中的Sin力化為sin(8+C),再化簡(jiǎn)即可；

(2)用正弦定理及余弦定理將SilL4=4SinCCoSB角化邊求出。，根據(jù)三邊長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)三角形為直角三角形，故

其斜邊即為外接圓直徑，由此求解即可.

【小問1詳解】

由已知，SirL4=4si∏CcosB,

.,.sin[π-(B+C)^∣=4si∏Ccos5,

Λsin(5+C)=4sinCcosB,

.*.sinBcosC+cos5sinC=4sinCcos5,

.,.sin5cosC=3si∏Ccos5,

易知上式中，cos8w0,cosC≠0,

.q/口sin63sinCCCC

.?.由上1式得-----=------，即αrftan8=3tanC.

cos5cosC

【小問2詳解】

β/sinA=4si∏CcosS，

.?.由正弦定理和余弦定理得，a=4c-a2+c2~b'.

2ac

化簡(jiǎn)得a?=2∕-2c2=2xQ6『—2x2?=16,.?,a=4.

又，：b=26，c=2,

/.a2=b2+c2>是以。為斜邊，A為直角的直角三角形，

AZ6C外接圓的直徑2R=α=4,外接圓的半徑&=2,

?*?^ABC外接圓的面積S=TiR2=4π-

is.如圖，在-08中，NAOB=?,OB=?OA=I,C為OB的中點(diǎn)，將繞OB所在的直線逆

2

時(shí)針旋轉(zhuǎn)至形成如圖所示的幾何體Γ.4。D=y.

（1）求幾何體「的體積；

（2）求直線Z8與平面NGD所成角的正弦值.

【答案】（1）BR

9

⑵立

8

【解析】

【分析】（1）由圓錐的體積公式直接求解即可；

（2）建立坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角的正弦值.

【小問1詳解】

根據(jù)圓錐的定義易知，幾何體「為圓錐的一部分，且OB為圓錐的高,

所以「=；XS扇形XoDx08=；x；X1xfx6="兀;

【小問2詳解】

過(guò)。點(diǎn)作OM，O/,分別以。4OM,。8所在的直線為％,%z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：

'D

(Γ?(↑Fi?

Z(LO,O),Cθ,θ,?,5(θ,O,√3),D--,?,θ,

?)?√

則K=—1,0,與,AD=-Iq，O,∑S=(-1,O,√3),

\/\/

設(shè)平面ZCQ的法向量為】=(X,%z),

—x+且Z=O

萬(wàn)ZC=O2

則_，所以〈

n-AD=O3√3.

——x+——V=O

22

令y=3,得"=(6,3,2b

設(shè)直線AB與平面ACD所成角為。,

ab^?√3√3

則Sine=Icos45,萬(wàn)=^―

ABW同ii=m=^Γ'

所以直線48與平面/C。所成角正弦值為正

8

19.已知收,"為拋物線。:/=22丫5>0）上不同兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OMLON,過(guò)O作OH±,肱V于

H,且點(diǎn)"（2,2）.

（1）求直線MN的方程及拋物線C的方程；

（2）若直線/與直線A/N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，。為拋物線。上一動(dòng)點(diǎn)，求。到直線/的距離最短時(shí)，。點(diǎn)的坐

標(biāo).

【答案】（1）x+y=4,J?=?

⑵0（1,-2）

【解析】

【分析】（1）由點(diǎn)打（2,2）,得直線。，的斜率為1,則直線TW的斜率為-1,寫出直線MN的點(diǎn)斜式方

程；直線MN與拋物線聯(lián)立得出韋達(dá)定理，由OΛ∕LON結(jié)合向量數(shù)量積為零得出結(jié)果；

（2）由點(diǎn)到直線的距離公式以及二次函數(shù)求最值得出結(jié)果.

【小問1詳解】

如圖，

由點(diǎn)“（2,2）,得直線。，的斜率為I,又OH±MN,則直線MN的斜率為-1,

故直線MN的方程為y-2=T(x-2),整理得直線MN的方程為x+y=4

設(shè)Λ∕(x∣j∣),N(x2∕2),

x+y=4ryi+y2=-2p

聯(lián)立V2C>得y~+2即一8P=°，則《

y=2pxJIy2=-8。

由OWJ.ON,得麗r.麗=0,

22

即西》2+,為=V?+y%=0，因?yàn)閬V8Nθ,所以必Jj2=-4p2,

4p-

所以-4p2=-8p,解得P=2,故拋物線方程為V=4X

【小問2詳解】

設(shè)點(diǎn)A(x,y)是直線/上任一點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)H(-x,-V)在直線MN上，所以一x+(-V)=4,

即直線/的方程為X+N=-4.

∣?+Λ+4∣

設(shè)點(diǎn)。(/Jo)，則?。?4%，點(diǎn)。到直線/的距離4

-?

+y+42

∕4°(y0+2)+12

64√2

當(dāng)”=一2時(shí)，d的最小值是竽，此時(shí)，。(1,一2).

20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝滿足％=3,%+%=36,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“，滿足

2

2

35,"f+/7=3nb〃ll+n,b1,=—3.

(1)求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在正整數(shù)〃，使得27"；—8Ma,,≥O成立，求實(shí)數(shù)M的取值范圍.(將“L4,ln3=1.1).

2

【答案】（1）a=3n,b=-n

lln'3

（2）（-∞,1]

【解析】

【分析】（1）由等比數(shù)列基本量法求得。,，由已知式變形確定｛〃｝是等差數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式;

（2）不等式變形為Λ∕≤",設(shè)c,=$，用作差法求得｛c,J的最大項(xiàng)即可得范圍.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛α,,｝公比為以

由已知得%+3∕=36,即/+q-i2=0,解得4=3或q=—4（舍），

所以α,=3?3"τ=3".

因?yàn)?S,,+〃2=3〃b“+〃，所以，當(dāng)〃≥2時(shí)，3S“T+（〃-1）2=3（〃-1）“_1+〃-1

兩式作差得（3〃-3應(yīng)=3（〃-1）%+2〃一2,

277

因?yàn)椤?2,所以即數(shù)列｛或｝是首項(xiàng)為：，公差為：的等差數(shù)列，

2,、22

所以a=y+（?-l）-=y?

【小問2詳解】

27b：-SMan設(shè)％=六，則/小于等于數(shù)列｛?,｝的最大項(xiàng).

?8

設(shè)〃=左時(shí)，C“最大,因?yàn)镃i=1,。2=g>c∣,所以《〉1

由

?/?

*IFk≤—尸---≈3.5

3i一3"』Λ>√3(Λ-1)

即<，即《LI，解得(√3-l)

k3(左+I)?3k≥k+

??k>-τJ一≈2.5

3i+'(√3-l)

即2.5≤左≤3.5(左∈Z),所以k=3

[3

故數(shù)列｛g｝的最大項(xiàng)是C3=jr=l,所以Λ∕≤l,即實(shí)數(shù)"的取值范圍是

21.肝臟疾病是各種原因引起的肝臟損傷，是一種常見的危害性極大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，

是由乙肝發(fā)展而來(lái)，身體感染乙肝病毒后，病毒會(huì)在體內(nèi)持續(xù)復(fù)制，肝細(xì)胞修復(fù)過(guò)程中形成纖維化，最后

發(fā)展成肝病.因感染乙肝病毒后身體初期沒有任何癥狀，因此忽視治療，等到病情十分嚴(yán)重時(shí)，患者才會(huì)出

現(xiàn)痛感，但已經(jīng)錯(cuò)過(guò)了最佳治療時(shí)機(jī)，對(duì)乙肝病毒應(yīng)以積極預(yù)防為主，通過(guò)接種乙肝疫苗可以預(yù)防感染乙

肝病毒、體檢是篩查乙肝病毒攜帶者最好的方法，國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中小學(xué)校

每年組織一次在校學(xué)生健康體檢，現(xiàn)某學(xué)校有4000名學(xué)生，假設(shè)攜帶乙肝病毒的學(xué)生占機(jī)％,某體檢機(jī)構(gòu)

通過(guò)抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)次數(shù)4000次.為減輕化驗(yàn)

工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)按照4個(gè)人進(jìn)行分組，將各組人個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果

混合血樣呈陰性，說(shuō)明這片個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就

需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別化驗(yàn)一次.假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立.

(1)若m=0.4,記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X,當(dāng)左取何值時(shí)，X的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；

(2)若〃?=0.8,設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用5元，k個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用上+4元.求當(dāng)左取何值時(shí)，

每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總費(fèi)用.

參考數(shù)據(jù)及公式：√iθ≈3.16,(l+x)π≈l+nx(w∈N*,M≥2,∣x∣≤0.01).

【答案】(1)左=16,506次

(2)左=10,7200TG

【解析】

【分析】(1)設(shè)每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X,結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式求得

E(X),從而確定正確答案.

(2)設(shè)每組左人，每組化驗(yàn)總費(fèi)用為y元，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式求得

E(Y),從而確定正確答案.

【小問1詳解】

設(shè)每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X,

由題意若混合血樣呈陰性，則X=若混合血樣呈陽(yáng)性，則X='+1,

kk

P[X=：)=0.996,,p[x=：+l[=l—0.996*

所以E(X)=(X0.996A+11+:卜(l-0?996*)

=1+'—0.996?=1+,-(1-0.004)*≈i÷0.004Λ,

kkk

令/(x)=J→0.004x,

則/(x)在僅,5ji6)上單調(diào)遞減，在3JE,+力)為單調(diào)遞增，

?.?Ar∈Z.且/(15)=W+0.004X15B0.1267J(16)=0.1265,

.?.%=16取得最小值，E(X)最小值為0.1265.

所以，按16人一組，每個(gè)人血樣化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望最小，

此時(shí)化驗(yàn)總次數(shù)為4000X0.1265=506(次).

【小問2詳解】

設(shè)每組左人，每組化驗(yàn)總費(fèi)用為Y元，

若混合血樣呈陰性則y=左+4,若混合血樣為陽(yáng)性，則y=64+4,

且尸(Y=左+4)=0.992",尸(丫=64+4)=1—0.992”,

所以E(Y)=(左+4)χ0.992*+(6左+4乂1一0.992")

=6左一5左χ0.992"+4,

每個(gè)人血樣的化驗(yàn)費(fèi)用為：

=6-5x0.992*+-=6-5x(1-0.008)*+-

kkk

44