24 微專題21　基本初等函數(shù)與函數(shù)模型 【正文】教師

微專題21基本初等函數(shù)與函數(shù)模型[備選理由]例1考查基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);例2考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想;例3考查對數(shù)函數(shù)模型與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.1[配例1使用]（1）[2023·天津和平區(qū)三模]已知a,b,c滿足2-a=a+2,b+log2b=-2,c3-c-2=0,則a,b,c的大小關(guān)系為 (B)A.b<a<c B.a<b<cC.a<c<b D.c<b<a(2)(多選題)[2023·汕頭一模]已知2x=3y=36,則下列說法正確的是 (ABC)A.xy=2(x+y) B.xy>16C.x+y<9 D.x2+y2<32(3)[2023·北京豐臺區(qū)二模]已知函數(shù)f(x)=12-12x+1,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是 (A.f(-x)-f(x)=0B.f'(x)<0C.若0<x1<x2,則x1f(x2)>x2f(x1)D.若0<x1<x2,則f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)[解析](1)b+log2b=-2?-log2b=b+2?log12b=b+2.由題意知,a為函數(shù)y=12x與函數(shù)y=x+2的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),b為函數(shù)y=log12x與函數(shù)y=x+2的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),c為函數(shù)y=x3與函數(shù)y=x+2的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=12x,y=log12x由圖可知a<b<c.故選B.(2)由2x=3y=36可得x=log236,y=log336.對于A,x+yxy=1y+1x=log363+log362=log366=12,所以xy=2(x+y),故選項(xiàng)A正確;對于B,x=log236=log24+log29=2+log29,因?yàn)閘og28<log29<log216,即3<log29<4,所以x=2+log29∈(5,6),y=log336=log39+log34=2+log34,因?yàn)閘og33<log34<log39,即1<log34<2,所以y=2+log34∈(3,4),所以x+y>8,xy=2(x+y)>16,故選項(xiàng)B正確;對于C,x=log236=2+2log23,y=log336=2+2log32,所以x+y=4+2(log23+log32)=4+2log23+1log23,令log23=t∈(1,2),則x+y=4+2t+1t,因?yàn)閥=t+1t在(1,2)上單調(diào)遞增,所以x+y=4+2t+1t<4+2×2+12=9,故選項(xiàng)C正確;對于D,因?yàn)閤=2+log29∈(5,6),y=2+log34∈(3,4),所以x2>52(3)對于選項(xiàng)A,易知f(x)的定義域?yàn)镽,∵f(x)=12-12x+1=2x-12(2x+1),∴f(-x)=2-x-12(2-x+1)=1-2x2(1+2x),∴f(-x)=-f(x),故A選項(xiàng)錯誤;對于選項(xiàng)B,∵f(x)=12-12x+1,∴f'(x)=2xln2(2x+1)2,由ln2>0知f'(x)>0,故B選項(xiàng)錯誤;對于選項(xiàng)C,f(1)=12-12+1=16,f(2)=12-122+1=310,1×f(2)<2×f(1),故C選項(xiàng)錯誤;對于選項(xiàng)D,函數(shù)f(x)=12-12x+1=2x-12(2x+1),則f(x1)+f(x2)=2x1-12(2x1+1)+2x2-12(2x2+1),f(x1+x2)=2x1+x2-12(2x1+x2+1),∵x2>x1>0,∴2x2>2x1>1,∴2x1(2x2-1)>2x22[配例1使用][2023·福建泉州三模]已知函數(shù)f(x)=|ex-1|-ax有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+∞)∪(-1,0).

[解析]∵f(x)=|ex-1|-ax有兩個零點(diǎn),∴關(guān)于x的方程|ex-1|=ax有兩個根,即y=|ex-1|的圖象與y=ax的圖象有兩個交點(diǎn),作出y=|ex-1|的圖象如圖所示.由圖可知,①當(dāng)a>0時,設(shè)g(x)=ex-1,則g'(x)=ex,若y=|ex-1|的圖象與y=ax的圖象有兩個交點(diǎn),則a>g'(0)=1;②當(dāng)a=0時,y=|ex-1|的圖象與y=ax的圖象只有一個交點(diǎn);③當(dāng)a<0時,設(shè)h(x)=1-ex,則h'(x)=-ex,若y=|ex-1|的圖象與y=ax的圖象有兩個交點(diǎn),則a>h'(0)=-1.綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+∞)∪(-1,0).3[配例2使用][2023·河北衡水模擬]李明開發(fā)的小程序發(fā)布經(jīng)過t天后,用戶人數(shù)為A(t)=500ekt,其中k為常數(shù).已知該小程序發(fā)布經(jīng)過10天后的用戶人數(shù)為2000,則用戶人數(shù)超過50000至少需要經(jīng)過的天數(shù)為(lg2≈0.3) (D)A.31 B.32C.33 D.34[解析]根據(jù)題意得2000=500e10k,即4=e10k,∴l(xiāng)g4=lge10k