強(qiáng)基計(jì)劃專(zhuān)題練01 集合與常用邏輯用語(yǔ)（原卷版）

專(zhuān)題訓(xùn)練01集合與常用邏輯用語(yǔ)一、單選題1．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，x軸上方兩點(diǎn)A，B在橢圓上，與平行，交于P.過(guò)P且傾斜角為的直線(xiàn)從上到下依次交橢圓于S，T.若，則“為定值”是“為定值”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不必要也不充分條件2．已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則“”是“”的（）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若集合且，則稱(chēng)構(gòu)成的一個(gè)二次劃分.任意給定一個(gè)正整數(shù)，可以給出整數(shù)集的一個(gè)次劃分，其中表示除以余數(shù)為的所有整數(shù)構(gòu)成的集合.這樣我們得到集合，稱(chēng)作模的剩余類(lèi)集.模的剩余類(lèi)集可定義加減乘三種運(yùn)算，如，（其中為除以的余數(shù)）.根據(jù)實(shí)數(shù)中除法運(yùn)算可以根據(jù)倒數(shù)的概念轉(zhuǎn)化為乘法，因此要定義除法運(yùn)算只需通過(guò)定義倒數(shù)就可以了，但不是所有中都可以定義除法運(yùn)算.如果該集合還能定義除法運(yùn)算，則稱(chēng)它能構(gòu)成素域.那么下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．能構(gòu)成素域當(dāng)且僅當(dāng)是素?cái)?shù) B．C．是最小的素域（元素個(gè)數(shù)最少） D．4．設(shè)集合，集合是集合的非空子集，中最大元素和最小元素的差稱(chēng)為集合的長(zhǎng)度，那么集合所有長(zhǎng)度為的子集的元素個(gè)數(shù)之和為（）A． B． C． D．5．設(shè)集合，，下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．二、多選題6．設(shè)數(shù)集滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：（1）；（2），若則.則下論斷正確的是（）A．中必有一個(gè)為0B．a(chǎn)，b，c，d中必有一個(gè)為1C．若且，則D．，使得三、解答題7．已知集合，若集合，且對(duì)任意的，存在，，使得（其中），則稱(chēng)集合為集合的一個(gè)元基底．(1)分別判斷下列集合是否為集合的一個(gè)二元基底，并說(shuō)明理由；①，；②，．(2)若集合是集合的一個(gè)元基底，證明：；(3)若集合為集合的一個(gè)元基底，求出的最小可能值，并寫(xiě)出當(dāng)取最小值時(shí)的一個(gè)基底．8．給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱(chēng)集合S為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對(duì)值之和.(1)判斷、哪個(gè)是規(guī)范數(shù)集，并說(shuō)明理由；(2)任取一個(gè)元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；(3)當(dāng)遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)的最小值.注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).9．我們稱(chēng)為“花式集合”，如果它滿(mǎn)足如下三個(gè)條件：（a）；（b）的每個(gè)元素都是包含于中的閉區(qū)間（元素可重復(fù)）；（c）對(duì)于任意實(shí)數(shù)中包含的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)1011.對(duì)于“花式集合”和區(qū)間，用表示使得的對(duì)的數(shù)量.求的最大值.10．設(shè)數(shù)集滿(mǎn)足：①任意，有；②任意x，，有或，則稱(chēng)數(shù)集具有性質(zhì).(1)判斷數(shù)集和是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)集且具有性質(zhì).（i）當(dāng)時(shí)，求證：，，…，是等差數(shù)列；（ii）當(dāng)，，…，不是等差數(shù)列時(shí)，求的最大值.11．已知定義城為的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都存在滿(mǎn)足，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)，無(wú)需說(shuō)明理由；①；②(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?，且具有性質(zhì)，則“有解”是“”的__________條件（橫線(xiàn)上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并證明你的結(jié)論；(3)若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)，具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的值．12．令.(1)若，，試寫(xiě)出的解析式并求的最小值；(2)已知是嚴(yán)格增函數(shù)，是周期函數(shù)，是嚴(yán)格減函數(shù)，，求證：是嚴(yán)格增函數(shù)的充要條件：對(duì)任意的，，.13．A是由定義在上且滿(mǎn)足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對(duì)任意的，都有；②存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有．(1)設(shè)，證明：；(2)設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的；(3)設(shè)，任取，令，證明：給定正整數(shù)k，對(duì)任意的正整數(shù)p，不等式成立．14．已知正整數(shù)，集合.對(duì)于中的元素，，定義，令.(1)直接寫(xiě)出的兩個(gè)元素及的元素個(gè)數(shù)；(2)已知，，…，，滿(mǎn)足對(duì)任意，都有，求m的最大值；(3)證明：對(duì)任意，，…，，總存在，使得.15．設(shè)集合中至少有兩個(gè)元素，且S，T滿(mǎn)足：①對(duì)于任意，若，都有；②對(duì)于任意，若，則．(1)分別對(duì)和，求出對(duì)應(yīng)的；(2)如果當(dāng)S中恰有三個(gè)元素時(shí)，中恰有4個(gè)元素，證明：S中最小的元素是1；(3)如果S恰有4個(gè)元素，求的元素個(gè)數(shù)．16．設(shè)為實(shí)數(shù)，定義生成數(shù)列和其特征數(shù)列如下：（i）；（ii），其中.(1)直接寫(xiě)出生成數(shù)列的前4項(xiàng)；(2)判斷以下三個(gè)命題的真假并說(shuō)明理由；①對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有；②對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有；③存在自然數(shù)和正整數(shù)，對(duì)任意自然數(shù)，有，其中為常數(shù).(3)從一個(gè)無(wú)窮數(shù)列中抽出無(wú)窮多項(xiàng)，依原來(lái)的順序組成一個(gè)新的無(wú)窮數(shù)列，若新數(shù)列是遞增數(shù)列，則稱(chēng)之為原數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮遞增子列.求證：對(duì)任意正實(shí)數(shù)生成數(shù)列存在無(wú)窮遞增子列.17．給定正整數(shù)m，數(shù)列，且.對(duì)數(shù)列A進(jìn)行T操作，得到數(shù)列.(1)若，，，，求數(shù)列；(2)若m為偶數(shù)，，且，求數(shù)列各項(xiàng)和的最大值；(3)若m為奇數(shù)，探索“數(shù)列為常數(shù)列”的充要條件，并給出證明.18．設(shè)且，集合，若對(duì)的任意元子集，都存在，滿(mǎn)足：，，且為偶數(shù)，則稱(chēng)為理想集，并將的最小值記為.(1)當(dāng)時(shí)，是否存在理想集？若存在，求出相應(yīng)的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，是否存在理想集？若存在，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的以及滿(mǎn)足條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)證明：當(dāng)時(shí)，.19．對(duì)非空數(shù)集，，定義與的和集.對(duì)任意有限集，記為集合中元素的個(gè)數(shù).(1)若集合，，寫(xiě)出集合與；(2)若集合滿(mǎn)足，，且，求證：數(shù)列，，，是等差數(shù)列；(3)設(shè)集合