2023年江西省中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題練-8二次函數(shù)

2023年江西省中考數(shù)學(xué)專題練——8二次函數(shù)一、選擇題（共11小題）1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A． B． C． D．2．用一張寬為x的矩形紙片剪成四個全等的直角三角形，如圖1，然后把這四個全等的直角三角形紙片拼成一個趙爽弦圖；如圖2，若弦圖的大正方形的邊長為6，中間的小正方形面積為S，請?zhí)骄縎與x之間是什么函數(shù)關(guān)系（）A．一次函數(shù) B．二次函數(shù) C．反比例函數(shù) D．其它函數(shù)3．已知拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…則以下結(jié)論錯誤的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1 C．m的值為0 D．拋物線不經(jīng)過第三象限4．已知拋物線y＝﹣（x﹣m）2+2m過不同的兩點A（a，n），B（b，n），則當(dāng)點C（a+b，m）在該函數(shù)圖象上時，m的值為（）A．0 B．1 C．0或1 D．±15．已知點M為二次函數(shù)y＝x2+2kx+k﹣2圖象的頂點，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．該函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點 B．若該函數(shù)圖象的頂點M的坐標(biāo)為（a，b），則b與a的關(guān)系滿足b＝﹣a2﹣a﹣2 C．無論k取何值，頂點M總在x軸的上方 D．直線y＝k﹣2與該函數(shù)圖象交于點C、D，則當(dāng)k=3時，△6．已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+3x+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．下列說法正確的是（）①線段AC的長度為172；②拋物線的對稱軸為直線x=34；③P是此拋物線的對稱軸上的一個動點，當(dāng)P點坐標(biāo)為（34，214）時，|PA﹣PC|的值最大；④若M是x軸上的一個動點，N是此拋物線上的一個動點，如果以A，C，M，NA．①② B．①②③ C．①②④ D．③④7．已知二次函數(shù)y＝ax2+2ax+a﹣1的圖象只經(jīng)過三個象限，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．頂點在第一象限 C．a(chǎn)≥1 D．當(dāng)x＞1時，y的最小值為﹣18．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝mx+n與二次函數(shù)y＝nx2+m的大致圖象可以是（）A． B． C． D．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于（﹣1，0），（3，0）兩點，則下列判斷中，錯誤的是（）A．圖象的對稱軸是直線x＝1 B．當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小 C．當(dāng)﹣1＜x＜1時，y＜0 D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根是﹣1和310．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行于x軸的直線y＝2，與二次函數(shù)y＝x2，y＝ax2分別交于A、B和C、D，若CD＝2AB，則a為（）A．4 B．14 C．2 D．11．二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4的圖象經(jīng)過的象限為（）A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限 D．第一象限、第三象限、第四象限二、填空題（共5小題）12．拋物線y=12x2﹣2x﹣1的頂點坐標(biāo)為13．拋物線y=12x2-14．拋物線y＝x2﹣mx﹣m+1的頂點在第四象限，則m的取值范圍是．15．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給下以下結(jié)論：①2a﹣b＝0；②abc＞0③4ac﹣b2＜0；④9a+3b+c＜0；⑤8a+c＜0．其中正確的結(jié)論有．16．如圖，已知在邊長為6的正方形FCDE中，A為EF的中點，點B在邊FC上，且BF＝2，連接AB，P是線段AB上的一動點，過點P作PM⊥DE，PN⊥DC，垂足分別為M，N，則矩形PNDM面積的最大值是．三、解答題（共11小題）17．跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺的起跳臺的高度OA為66m，基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）．設(shè)運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為；（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時a=-150，b=910②若a=-150時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．18．二次函數(shù)y＝x2﹣2mx的圖象交x軸于原點O及點A．感知特例（1）當(dāng)m＝1時，如圖1，拋物線L：y＝x2﹣2x上的點B，O，C，A，D分別關(guān)于點A中心對稱的點為B′，O′，C′，A′，D′，如表：…B（﹣1，3）O（0，0）C（1，﹣1）A（，）D（3，3）……B'（5，﹣3）O′（4，0）C'（3，1）A′（2，0）D'（1，﹣3）…①補全表格；②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為L'．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象L'上的點和拋物線L上的點關(guān)于點A中心對稱，則稱L'是L的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)m＝﹣2時，圖2中的拋物線L'是拋物線L的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當(dāng)m＝﹣1時，若拋物線L與它的“孔像拋物線”L'的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)m取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)y＝x2﹣2mx的所有“孔像拋物線”L'都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函數(shù)y＝x2﹣2mx及它的“孔像拋物線”與直線y＝m有且只有三個交點，求m的值．19．已知拋物線y＝x2+mx+1的對稱軸為x＝1．（1）求m的值；（2）如果將此拋物線先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，求兩次平移后所得到的拋物線表達式．20．若拋物線y＝2x2+bx+c的頂點坐標(biāo)M（2，﹣2），求：拋物線與x軸交點的坐標(biāo)．21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y0＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0），點B（6，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線y0的表達式及點C的坐標(biāo)；（2）若點D0是拋物線y0上一動點，連接CD0，點D0在拋物線y0上運動時；①取CD0的中點D1，當(dāng)點D0與點A重合時，D1的坐標(biāo)為；當(dāng)點D0與點B重合時，D1的坐標(biāo)為；請在圖2的網(wǎng)格中畫出點D1的運動軌跡，并猜想點D1的運動軌跡是什么圖形：；并求點D1運動軌跡的函數(shù)y1的解析式；②在線段CD1上取中點D2，點D2運動軌跡的函數(shù)的解析式為y2，在線段CD2上取中點D3，點D3的運動軌跡的函數(shù)的解析式為y3，……，在線段CDn﹣1上取中點Dn，點Dn的運動軌跡的函數(shù)的解析式為yn（n為正整數(shù)）；請求出函數(shù)yn的解析式（用含n的式子表示）．③若直線y＝x+m與系列函數(shù)y0，y1，y2，……，yn的圖象共只有4個交點，求m的取值范圍．22．在暑假課后延時服務(wù)進行時，某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)y＝x2﹣2|x|﹣3的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如表．請補充完整．（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…0m﹣4﹣3﹣4﹣30…其中，m＝．（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分．請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．（3）觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)．（4）進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①函數(shù)圖象與x軸有個交點，所以對應(yīng)的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有個實數(shù)根．②方程x2﹣2|x|＝0有個實數(shù)根．③關(guān)于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝n有2個實數(shù)根時，n的取值范圍是．23．已知拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點為M．（1）當(dāng)k＝2時，以下結(jié)論正確的有．（填序號）①對稱軸是直線x＝﹣2；②頂點坐標(biāo)是（﹣2，﹣4）；③當(dāng)x＞﹣2時，y隨x的增大而減?。?）求證：不論k取何值，拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點M總在x軸的下方．（3）若拋物線y＝x2+2kx+k﹣2關(guān)于直線y＝﹣k對稱后得到新的拋物線的頂點為M'（x，y），寫出頂點M'中的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式，并判斷頂點M'是否存在落在x軸上的情形，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．24．已知二次函數(shù)C1：y＝mx2﹣2mx+3（m≠0）．（1）有關(guān)二次函數(shù)C1的圖象與性質(zhì)，下列結(jié)論中正確的有.（填序號）①二次函數(shù)C1的圖象開口向上；②二次函數(shù)C1的圖象的對稱軸是直線x＝1；③二次函數(shù)C1的圖象經(jīng)過定點（0，3）和（2，3）；④函數(shù)值y隨著x的增大而減?。?）當(dāng)m＝1時，①拋物線C1的頂點坐標(biāo)為；②將拋物線C1沿x軸翻折得到拋物線C2，則拋物線C2的表達式為；（3）設(shè)拋物線C1與y軸相交于點E，過點E作直線l∥x軸，與拋物線C1的另一交點為F，將拋物線C1沿直線l翻折，得到拋物線C3，拋物線C1，C3的頂點分別記為P，Q．是否存在實數(shù)m，使得以點E，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形為正方形？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．25．如圖是小智用數(shù)學(xué)軟件模擬彈球運動軌跡的部分示意圖，已知彈球P從x軸上的點A向右上方彈射出去，沿拋物線l1：y＝﹣x2+2x+15運動，落到圖示的臺階S1﹣S5某點Q處后，又立即向右上方彈起，運動軌跡形成另一條與L1，形狀相同的拋物線L2，拋物線L2的頂點N與點Q的垂直距離為4，點A到臺階底部O的距離為3，最高一是臺階S1到x軸的距離為9，S1～S5每層臺階的高和寬均分別為1和1.5．臺階的各拐角均為直角．（1）求彈球P上升到最高點M時，彈球到x軸的距離；（2）①指出落點Q在哪一層臺階上，并求出點Q的坐標(biāo)；②求出拋物線L2的解析式；（3）已知△BCD的BC邊緊貼x軸，∠C＝90°，BC＝1，CD＝2，當(dāng)彈球沿拋物線L2下落能擊中△BCD時，求點C的橫坐標(biāo)的最大值與最小值．26．已知拋物線L1：y＝x2+2kx+k﹣2的頂點為M．（1）當(dāng)k＝2時，拋物線的對稱軸是；頂點M坐標(biāo)是；當(dāng)函數(shù)值y隨x的增大而減小時，自變量x的取值范圍為；（2）若拋物線L1：y＝x2+2kx+k﹣2關(guān)于直線y＝﹣k軸對稱后得到新的拋物線L2，其頂點M′（x，y）．①當(dāng)k＝﹣1時，請在圖中畫出相應(yīng)的L1，L2圖象；②求頂點M′的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式；③直接寫出當(dāng)k為何值時，頂點M′恰好落在x軸上．27．已知拋物線C：y＝x2﹣2mx+2m+1．（1）若拋物線C經(jīng)過原點，則m的值為，此時拋物線C的頂點坐標(biāo)為．（2）無論m為何值，拋物線C恒過一定點A，點A的坐標(biāo)為．（3）用含m的代數(shù)式表示拋物線C的頂點坐標(biāo)，并說明無論m為何值，拋物線C的頂點都在同一條拋物線C'上．（4）設(shè)拋物線C的頂點為B，當(dāng)點B不與點A重合時，過點A作AE∥x軸，與拋物線C的另一交點為E，過點B作BD∥x軸，與拋物線C'的另一交點為D．①求證：四邊形AEBD是平行四邊形；②當(dāng)?AEBD是菱形時，求m的值．

2023年江西省中考數(shù)學(xué)專題練——8二次函數(shù)參考答案與試題解析一、選擇題（共11小題）1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x=-b2a＜0故選：D．2．用一張寬為x的矩形紙片剪成四個全等的直角三角形，如圖1，然后把這四個全等的直角三角形紙片拼成一個趙爽弦圖；如圖2，若弦圖的大正方形的邊長為6，中間的小正方形面積為S，請?zhí)骄縎與x之間是什么函數(shù)關(guān)系（）A．一次函數(shù) B．二次函數(shù) C．反比例函數(shù) D．其它函數(shù)【解答】解：設(shè)圖2外面正方形為正方形ABCD，里面正方形為正方形EFGH，如圖：∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AD＝6，∵四邊形EFGH為正方形，∴∠FEH＝90°，EF＝EH，∠AEF＝∠DHE＝90°﹣∠DEH，在△AEF與△DHE中，∠A∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AE＝DH＝x，AF＝DE＝（6﹣x），∴S＝EF2＝AE2+AF2＝x2+（6﹣x）2＝2x2﹣12x+36，∴S與x之間是二次函數(shù)關(guān)系，故選：B．3．已知拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…則以下結(jié)論錯誤的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1 C．m的值為0 D．拋物線不經(jīng)過第三象限【解答】解：由表格可知，a-解得a=1∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∵a＝﹣1＜0，拋物線開口向下，①正確；∴拋物線的對稱軸是直線x＝1，故②錯誤；∵x＝2，y＝0，故③正確；∴方拋物線不經(jīng)過第三象限．故④正確．故選：B．4．已知拋物線y＝﹣（x﹣m）2+2m過不同的兩點A（a，n），B（b，n），則當(dāng)點C（a+b，m）在該函數(shù)圖象上時，m的值為（）A．0 B．1 C．0或1 D．±1【解答】解：∵A（a，n），B（b，n）的縱坐標(biāo)相等，∴A，B是一對對稱點，∴m=a+b2，即a+b∵C（a+b，m）在該函數(shù)圖象上，即C（2m，m）在該函數(shù)圖象上，∴﹣（2m﹣m）2+2m＝m，解得m＝0或m＝1，因為A、B是兩個不同是點，所以m＝1，故選：B．5．已知點M為二次函數(shù)y＝x2+2kx+k﹣2圖象的頂點，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．該函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點 B．若該函數(shù)圖象的頂點M的坐標(biāo)為（a，b），則b與a的關(guān)系滿足b＝﹣a2﹣a﹣2 C．無論k取何值，頂點M總在x軸的上方 D．直線y＝k﹣2與該函數(shù)圖象交于點C、D，則當(dāng)k=3時，△【解答】解：令x2+2kx+k﹣2＝0，則Δ＝4k2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣4k+8＝4（k-12）2+7＞∴拋物線與x軸有2個交點，選項A正確．∵y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，∴拋物線頂點坐標(biāo)為（﹣k，﹣k2+k﹣2），∴a＝﹣k，b＝﹣k2+k﹣2＝﹣a2﹣a﹣2，選項B正確．∵拋物線開口向上，拋物線與x軸有2個交點，∴拋物線頂點在x軸下方，選項C錯誤．∵點M坐標(biāo)為（﹣k，﹣k2+k﹣2），∴拋物線對稱軸為值x＝﹣k，∴點C，D坐標(biāo)為（0，k﹣2），（﹣2k，k﹣2）．∵△MCD是等邊三角形，∴k﹣2﹣（﹣k2+k﹣2）=3|k|當(dāng)k=3時，3-2﹣（﹣3+3-2）＝故選：C．6．已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+3x+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．下列說法正確的是（）①線段AC的長度為172；②拋物線的對稱軸為直線x=34；③P是此拋物線的對稱軸上的一個動點，當(dāng)P點坐標(biāo)為（34，214）時，|PA﹣PC|的值最大；④若M是x軸上的一個動點，N是此拋物線上的一個動點，如果以A，C，M，NA．①② B．①②③ C．①②④ D．③④【解答】解：①二次函數(shù)y＝﹣2x2+3x+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，∴x＝0時，y＝2，當(dāng)y＝0時，則﹣2x2+3x+2＝0，解得x1=-12，x2∴A（-12，0），B（2，0），C（0，∴OA=12，OC＝∴AC=(12②∵y＝﹣2x2+3x+2，∴拋物線的對稱軸為直線x=-32×(-2)③∴A（-12，0），C（0，∴直線AC為y＝4x+2，把x=34代入得，y＝4×34∴當(dāng)P點坐標(biāo)為（34，5）時，|PA﹣PC|的值最大，故說法③④當(dāng)AM＝NC，則M（1，0）或（﹣2，0），當(dāng)AC＝MN，則M（3+414，0）或（3-41綜上所述：點M的坐標(biāo)分別是（1，0）或（﹣2，0）或（3+414，0）或（3-414，0）共故選：C．7．已知二次函數(shù)y＝ax2+2ax+a﹣1的圖象只經(jīng)過三個象限，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．頂點在第一象限 C．a(chǎn)≥1 D．當(dāng)x＞1時，y的最小值為﹣1【解答】解：∵y＝ax2+2ax+a﹣1＝a（x+1）2﹣1，∴頂點為（﹣1，﹣1），∴頂點在第三象限，∵二次函數(shù)y＝ax2+2ax+a﹣1的圖象只經(jīng)過三個象限，∴拋物線開口向上，a﹣1≥0，∴a≥1，∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，∴x≥﹣1時，y的最小值為﹣1，故A、B、D錯誤，C正確；故選：C．8．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝mx+n與二次函數(shù)y＝nx2+m的大致圖象可以是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由直線過一、二、三象限可知，m＞0，由拋物線可知，圖象與y軸交于負(fù)半軸，則m＜0，矛盾，故此選項錯誤；B、由直線過二、三、四象限可知，n＜0，由拋物線可知，開口向上，n＞0，矛盾，故此選項錯誤；C、由直線過一、三、四象限可知，n＜0，由拋物線可知，開口向上，n＞0，矛盾，故此選項錯誤；D、由直線過一、三、四象限可知，m＞0，n＜0，由拋物線可知，開口向上，n＞0，圖象與y軸交于正半軸，則m＜0，一致，故此選項正確；故選：D．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于（﹣1，0），（3，0）兩點，則下列判斷中，錯誤的是（）A．圖象的對稱軸是直線x＝1 B．當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小 C．當(dāng)﹣1＜x＜1時，y＜0 D．一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根是﹣1和3【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于（﹣1，0），（3，0）兩點，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，所以A選項不符合題意；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小，所以B選項不符合題意；∵拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于（﹣1，0），（3，0）兩點，∴當(dāng)x＜﹣1或x＞3時，y＜0，所以C選項符合題意；∵拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于（﹣1，0），（3，0）兩點，即x＝﹣1或x＝3時，y＝0，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根是﹣1和3，所以D選項不符合題意．故選：C．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行于x軸的直線y＝2，與二次函數(shù)y＝x2，y＝ax2分別交于A、B和C、D，若CD＝2AB，則a為（）A．4 B．14 C．2 D．【解答】解：將y＝2代入y＝x2得2＝x2，解得x1=-2，x2將y＝2代入y＝ax2得2＝ax2，解得x3=-2aa，∴AB＝22，CD=2由題意得22aa解得a=1故選：B．11．二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4的圖象經(jīng)過的象限為（）A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限 D．第一象限、第三象限、第四象限【解答】解：∵y＝﹣x2﹣4，∴拋物線對稱軸為y軸，頂點坐標(biāo)為（0，﹣4），開口向下，∴拋物線經(jīng)過第三，四象限，故選：C．二、填空題（共5小題）12．拋物線y=12x2﹣2x﹣1的頂點坐標(biāo)為（2，﹣3【解答】解：y=12x2﹣2x=12（x2﹣4x+4）﹣2=12（x﹣2）2﹣則其頂點坐標(biāo)為（2，﹣3）．故答案為：（2，﹣3）．13．拋物線y=12x2-2x【解答】解：利用配方法y=12x2﹣2x﹣y=y=12（x﹣2）2﹣∴頂點的坐標(biāo)是（2，3），故答案為：（2，3）．14．拋物線y＝x2﹣mx﹣m+1的頂點在第四象限，則m的取值范圍是m＞﹣2+22．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣mx﹣m+1的頂點在第四象限，且拋物線開口向上，∴拋物線與x軸有2個交點，且拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，∴--∴m＞﹣2+22，故答案為：m＞﹣2+22．15．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給下以下結(jié)論：①2a﹣b＝0；②abc＞0③4ac﹣b2＜0；④9a+3b+c＜0；⑤8a+c＜0．其中正確的結(jié)論有②③④．【解答】解：①拋物線的對稱軸為x=-b2a=1，所以2a+b＝0，故①錯誤；②拋物線開口向上，得：a＞0；拋物線的對稱軸為x=-b2a＞0故b＜0；拋物線交y軸于負(fù)半軸，得：c＜0；所以abc③由圖知：拋物線與x軸有兩個不同的交點，則Δ＝b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故③正確；④根據(jù)拋物線的對稱軸方程可知：（﹣1，0）關(guān)于對稱軸的對稱點是（3，0）；當(dāng)x＝﹣1時，y＜0，所以當(dāng)x＝3時，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正確；⑤由圖知：當(dāng)x＝﹣2時y＞0，所以4a﹣2b+c＞0，因為b＝﹣2a，所以4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，故⑤錯誤；所以這結(jié)論正確的有②③④3個．故答案為②③④．16．如圖，已知在邊長為6的正方形FCDE中，A為EF的中點，點B在邊FC上，且BF＝2，連接AB，P是線段AB上的一動點，過點P作PM⊥DE，PN⊥DC，垂足分別為M，N，則矩形PNDM面積的最大值是24．【解答】解：延長NP交EF于點G，延長MP交CF于點H，∵A是EF的中點，EF＝6，∴AF＝3，∵BF＝2，∴tan∠BAF=2設(shè)AG＝x，則PG=23x，PH＝3﹣∴PN＝6-23x，MP＝3+∴S＝（6-23x）（3+x）=-23x2+4x+18=-23當(dāng)x＝3時，S有最大值24，故答案為：24．三、解答題（共11小題）17．跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺的起跳臺的高度OA為66m，基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）．設(shè)運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值為66；（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時a=-150，b=910②若a=-150時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為b（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．【解答】解：（1）∵起跳臺的高度OA為66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案為：66；（2）①∵a=-150，∴y=-150x2+∵基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為75m，∴y=-150×752+∴基準(zhǔn)點K的高度h為21m；②∵a=-∴y=-150x2+∵運動員落地點要超過K點，∴x＝75時，y＞21，即-150×752+75b+66解得b＞9故答案為：b＞9（3）他的落地點能超過K點，理由如下：∵運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，∴拋物線的頂點為（25，76），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a=-∴拋物線解析式為y=-2125（x﹣25）當(dāng)x＝75時，y=-2125×（75﹣25）2∵36＞21，∴他的落地點能超過K點．18．二次函數(shù)y＝x2﹣2mx的圖象交x軸于原點O及點A．感知特例（1）當(dāng)m＝1時，如圖1，拋物線L：y＝x2﹣2x上的點B，O，C，A，D分別關(guān)于點A中心對稱的點為B′，O′，C′，A′，D′，如表：…B（﹣1，3）O（0，0）C（1，﹣1）A（2，0）D（3，3）……B'（5，﹣3）O′（4，0）C'（3，1）A′（2，0）D'（1，﹣3）…①補全表格；②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為L'．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象L'上的點和拋物線L上的點關(guān)于點A中心對稱，則稱L'是L的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)m＝﹣2時，圖2中的拋物線L'是拋物線L的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當(dāng)m＝﹣1時，若拋物線L與它的“孔像拋物線”L'的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為﹣3≤x≤﹣1；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)m取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)y＝x2﹣2mx的所有“孔像拋物線”L'都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是y＝ax2（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函數(shù)y＝x2﹣2mx及它的“孔像拋物線”與直線y＝m有且只有三個交點，求m的值．【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3）、B'（5，﹣3）關(guān)于點A中心對稱，∴點A為BB′的中點，設(shè)點A（m，n），∴m=-1+52=2，故答案為：（2，0）；②所畫圖象如圖1所示，（2）①當(dāng)m＝﹣1時，拋物線L：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，對稱軸為直線x＝﹣1，開口向上，當(dāng)x≤﹣1時，L的函數(shù)值隨著x的增大而減小，拋物線L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣（x+3）2+1，對稱軸為直線x＝﹣3，開口向下，當(dāng)x≥﹣3時，L′的函數(shù)值隨著x的增大而減小，∴當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時，拋物線L與它的“孔像拋物線”L'的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，故答案為：﹣3≤x≤﹣1；②∵拋物線y＝x2﹣2mx的“孔像拋物線”是y＝﹣x2+6mx﹣8m2，∴設(shè)符合條件的拋物線M解析式為y＝a′x2+b′x+c′，令a′x2+b′x+c′＝﹣x2+6mx﹣8m2，整理得（a′+1）x2+（b′﹣6m）x+（c′+8m2）＝0，∵拋物線M與拋物線L′有唯一交點，∴分下面兩種情形：i）當(dāng)a′＝﹣1時，無論b′為何值，都會存在對應(yīng)的m使得b′﹣6m＝0，此時方程無解或有無數(shù)解，不符合題意，舍去；ii）當(dāng)a′≠﹣1時，Δ＝（b′﹣6m）2﹣4（a′+1）（c′+8m2）＝0，即b′2﹣12b′m+36m2﹣4（a′+1）?8m2﹣4c′（a′+1）＝0，整理得[36﹣32（a′+1）]m2﹣12b′m+b′2﹣4c′（a′+1）＝0，∵當(dāng)m取不同值時，兩拋物線都有唯一交點，∴當(dāng)m取任意實數(shù)，上述等式都成立，即：上述等式成立與m取值無關(guān)，∴36-解得a′=18，b′＝0，c′＝則y=18x故答案為：y＝ax2；③拋物線L：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，頂點坐標(biāo)為M（m，﹣m2），其“孔像拋物線”L'為：y＝﹣（x﹣3m）2+m2，頂點坐標(biāo)為N（3m，m2），拋物線L與其“孔像拋物線”L'有一個公共點A（2m，0），∴二次函數(shù)y＝x2﹣2mx及它的“孔像拋物線”與直線y＝m有且只有三個交點時，有三種情況：i）直線y＝m經(jīng)過M（m，﹣m2），∴m＝﹣m2，解得：m＝﹣1或m＝0（舍去），ii）直線y＝m經(jīng)過N（3m，m2），∴m＝m2，解得：m＝1或m＝0（舍去），iii）直線y＝m經(jīng)過A（2m，0），∴m＝0，但當(dāng)m＝0時，y＝x2與y＝﹣x2只有一個交點，不符合題意，舍去，綜上所述，m＝±1．19．已知拋物線y＝x2+mx+1的對稱軸為x＝1．（1）求m的值；（2）如果將此拋物線先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，求兩次平移后所得到的拋物線表達式．【解答】解：（1）由題意，得-m解得m＝﹣2；（2）由（1）知y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴將此拋物線先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線表達式為y＝（x﹣1+2）2﹣1，即y＝（x+1）2﹣1．兩次平移后得到的拋物線表達式為y＝（x+1）2﹣1或y＝x2+2x．20．若拋物線y＝2x2+bx+c的頂點坐標(biāo)M（2，﹣2），求：拋物線與x軸交點的坐標(biāo)．【解答】解：∵拋物線y＝2x2+bx+c的頂點坐標(biāo)M（2，﹣2），∴拋物線的解析式為y＝2（x﹣2）2﹣2，令y＝0，得2（x﹣2）2﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴拋物線與x軸交點的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）．21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y0＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0），點B（6，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線y0的表達式及點C的坐標(biāo)；（2）若點D0是拋物線y0上一動點，連接CD0，點D0在拋物線y0上運動時；①取CD0的中點D1，當(dāng)點D0與點A重合時，D1的坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；當(dāng)點D0與點B重合時，D1的坐標(biāo)為（3，﹣6）；請在圖2的網(wǎng)格中畫出點D1的運動軌跡，并猜想點D1的運動軌跡是什么圖形：拋物線；并求點D1運動軌跡的函數(shù)y1的解析式；②在線段CD1上取中點D2，點D2運動軌跡的函數(shù)的解析式為y2，在線段CD2上取中點D3，點D3的運動軌跡的函數(shù)的解析式為y3，……，在線段CDn﹣1上取中點Dn，點Dn的運動軌跡的函數(shù)的解析式為yn（n為正整數(shù)）；請求出函數(shù)yn的解析式（用含n的式子表示）．③若直線y＝x+m與系列函數(shù)y0，y1，y2，……，yn的圖象共只有4個交點，求m的取值范圍．【解答】解：（1）把點A（﹣2，0），點B（6，0）代入拋物線y0＝x2+bx+c，∴4-解得b=∴拋物線y0＝x2﹣4x﹣12．令x＝0，則y0＝﹣12，∴C（0，﹣12）；（2）當(dāng)點D0與點A重合時，∵CD0的中點D1，C（0，﹣12），∴D1（-2+02，0-122），即D1（﹣1當(dāng)點D0與點B重合時，∵CD0的中點D1，C（0，﹣12），∴D1（6+02，0-122），即D1（3，﹣點D1的運動軌跡如圖，猜測點D1的運動軌跡是拋物線，∵點D0在拋物線y0上，設(shè)點D0的橫坐標(biāo)為m，∴D0（m，m2﹣4m﹣24），∴CD0的中點D1的坐標(biāo)為（m2，m設(shè)m2=x，則m＝2x，y1=m2-4m-24故答案為：（﹣1，﹣6）；（3，﹣6）；拋物線；②同理可得，D2的坐標(biāo)為（m4，m∴y2=m2-4m-484=D3的坐標(biāo)為（m8，m∴y3=m2-4m-968=……Dn的坐標(biāo)為（m2n，∴yn=m2-4m-12×2n2③若直線y＝x+m與函數(shù)y0有兩個交點，與函數(shù)y1有兩個交點時，共有4個交點，聯(lián)立y=整理得，2x2﹣5x﹣12﹣m＝0，當(dāng)直線y＝x+m與函數(shù)y1有一個交點時，Δ＝25+8（12+m）＝0，解得m=-聯(lián)立y=整理得，4x2﹣5x﹣12﹣m＝0，當(dāng)直線y＝x+m與函數(shù)y2有一個交點時，Δ＝25+16（12+m）＝0，解得m=-∴-1218＜22．在暑假課后延時服務(wù)進行時，某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)y＝x2﹣2|x|﹣3的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如表．請補充完整．（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…0m﹣4﹣3﹣4﹣30…其中，m＝﹣3．（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分．請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．（3）觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)．（4）進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①函數(shù)圖象與x軸有2個交點，所以對應(yīng)的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有2個實數(shù)根．②方程x2﹣2|x|＝0有3個實數(shù)根．③關(guān)于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝n有2個實數(shù)根時，n的取值范圍是n＝﹣4或n＞﹣3．【解答】解：（1）當(dāng)x＝﹣2時，y＝（﹣2）2﹣2×|﹣2|﹣3＝﹣3，∴m＝﹣3，故答案為：﹣3．（2）根據(jù)給定的表格中數(shù)據(jù)描點畫出圖形，如圖所示．（3）觀察函數(shù)圖象，可得出函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)有最小值為﹣4．（4）①觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＝﹣3、3時，y＝0，∴該函數(shù)圖象與x軸有2個交點，即對應(yīng)的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有2個實數(shù)根．故答案為：2；2．②觀察函數(shù)圖象可知：函數(shù)y＝x2﹣2|x|﹣3的圖象與y＝﹣3只有3個交點．故答案為：3．③觀察圖象可知：當(dāng)n＝﹣4時，直線y＝﹣4與函數(shù)y＝x2﹣2|x|﹣3的圖象有2個交點，當(dāng)n＞﹣3時，直線y＝n與函數(shù)y＝x2﹣2|x|﹣3的圖象有2個交點，故答案為：n＝﹣4或n＞﹣3．23．已知拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點為M．（1）當(dāng)k＝2時，以下結(jié)論正確的有①②．（填序號）①對稱軸是直線x＝﹣2；②頂點坐標(biāo)是（﹣2，﹣4）；③當(dāng)x＞﹣2時，y隨x的增大而減?。?）求證：不論k取何值，拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點M總在x軸的下方．（3）若拋物線y＝x2+2kx+k﹣2關(guān)于直線y＝﹣k對稱后得到新的拋物線的頂點為M'（x，y），寫出頂點M'中的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式，并判斷頂點M'是否存在落在x軸上的情形，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【解答】（1）解：當(dāng)k＝2時，y＝x2+2kx+k﹣2＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，∴對稱軸為直線x＝﹣2，頂點坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），當(dāng)x＞﹣2時，y隨x的增大而增大，故①②正確，③錯誤，故答案為：①②；（2）證明：（方法一）y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，∴頂點M的坐標(biāo)為（﹣k，﹣k2+k﹣2）．又∵拋物線開口向上，且-k∴不論k取何值，拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點M總在x軸的下方．（方法二）Δ＝（2k）2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣4k+8＝（2k﹣1）2+7＞0，∴拋物線與x軸有兩個交點．又∵拋物線開口向上，∴拋物線y＝x2+2kx+k﹣2的頂點M總在x軸的下方．（3）解：拋物線y＝x2+2kx+k﹣2關(guān)于直線y＝﹣k對稱后得到新的拋物線的頂點M'（﹣k，k2﹣3k+2）．由x＝﹣k，可得k＝﹣x，∴y＝k2﹣3k+2＝（﹣x）2﹣3（﹣x）+2＝x2+3x+2；若頂點M'（﹣k，k2﹣3k+2）在x軸上，則k2﹣3k+2＝0，解得k1＝1，k2＝2，∴存在頂點M'在x軸上，此時k的值為1或2．24．已知二次函數(shù)C1：y＝mx2﹣2mx+3（m≠0）．（1）有關(guān)二次函數(shù)C1的圖象與性質(zhì)，下列結(jié)論中正確的有②③.（填序號）①二次函數(shù)C1的圖象開口向上；②二次函數(shù)C1的圖象的對稱軸是直線x＝1；③二次函數(shù)C1的圖象經(jīng)過定點（0，3）和（2，3）；④函數(shù)值y隨著x的增大而減?。?）當(dāng)m＝1時，①拋物線C1的頂點坐標(biāo)為（1，2）；②將拋物線C1沿x軸翻折得到拋物線C2，則拋物線C2的表達式為y＝﹣x2+2x﹣3；（3）設(shè)拋物線C1與y軸相交于點E，過點E作直線l∥x軸，與拋物線C1的另一交點為F，將拋物線C1沿直線l翻折，得到拋物線C3，拋物線C1，C3的頂點分別記為P，Q．是否存在實數(shù)m，使得以點E，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形為正方形？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）當(dāng)m＞0時，拋物線y＝mx2﹣2mx+3的開口向上，故①不一定正確；拋物線y＝mx2﹣2mx+3的對稱軸為直線x=--2m在y＝mx2﹣2mx+3中，x＝0時y＝3，x＝2時y＝3，即拋物線y＝mx2﹣2mx+3經(jīng)過定點（0，3）和（2，3），故③正確；二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+3的值在對稱軸x＝1兩側(cè)的增減性恰好相反，故④不正確；故答案為：②③；（2）當(dāng)m＝1時，y＝x2﹣2x+3，①∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴拋物線C1的頂點坐標(biāo)為（1，2），故答案為：（1，2）；②∵將拋物線C1沿x軸翻折得到拋物線C2，∴拋物線C2的頂點為（1，﹣2），∴拋物線C2的表達式為y＝﹣（x﹣1）2﹣2＝﹣x2+2x﹣3，故答案為：y＝﹣x2+2x﹣3；（3）存在實數(shù)m，使得以點E，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形為正方形，理由如下：如圖：在y＝mx2﹣2mx+3中，令x＝0得y＝3，∴E（0，3），∵拋物線y＝mx2﹣2mx+3的對稱軸為直線x＝1，∴F（2，3），在y＝mx2﹣2mx+3中，令x＝1得y＝3﹣m，∴P（1，3﹣m），∵P，Q關(guān)于直線y＝3對稱，∴Q（1，3+m），由對稱性知EF，PQ互相平分，且EF⊥PQ，∴以點E，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形為正方形，只需PQ＝EF，∴|（3+m）﹣（3﹣m）|＝2，解得m＝1或m＝﹣1，∴m的值為1或﹣1．25．如圖是小智用數(shù)學(xué)軟件模擬彈球運動軌跡的部分示意圖，已知彈球P從x軸上的點A向右上方彈射出去，沿拋物線l1：y＝﹣x2+2x+15運動，落到圖示的臺階S1﹣S5某點Q處后，又立即向右上方彈起，運動軌跡形成另一條與L1，形狀相同的拋物線L2，拋物線L2的頂點N與點Q的垂直距離為4，點A到臺階底部O的距離為3，最高一是臺階S1到x軸的距離為9，S1～S5每層臺階的高和寬均分別為1和1.5．臺階的各拐角均為直角．（1）求彈球P上升到最高點M時，彈球到x軸的距離；（2）①指出落點Q在哪一層臺階上，并求出點Q的坐標(biāo)；②求出拋物線L2的解析式；（3）已知△BCD的BC邊緊貼x軸，∠C＝90°，BC＝1，CD＝2，當(dāng)彈球沿拋物線L2下落能擊中△BCD時，求點C的橫坐標(biāo)的最大值與最小值．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+1