2023年江西省中考一輪復習數(shù)學專題練-13圖形的相似

2023年江西省中考數(shù)學專題練——13圖形的相似一、選擇題（共8小題）1．如圖，△ABO是等邊三角形，其中點O與原點重合，點B的坐標為（6，0），點A在反比例函數(shù)的圖象上，數(shù)學興趣小組對等邊△ABO進行變換操作，得到如下結(jié)論：①將等邊△ABO沿AO方向平移6個單位長度，恰好存在一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上；②將△ABO繞著點O分別逆時針旋轉(zhuǎn)30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上；③將等邊△ABO以點O為位似中心，位似比為1，得到的位似圖形恰好存在一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上；④將等邊△ABO以直線y＝x或直線y＝﹣x為對稱軸進行翻折，恰好存在一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上．其中正確的是（）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．如圖，△ABC的兩條高BD，CE相交于點O，則下列結(jié)論正確的是（）A．△ABC是等腰三角形 B．OB＝OC C．∠AED＝∠ACB D．OD3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D在AC邊上，E是BC邊上一點，若AB＝6，AE＝32，∠AED＝∠B，則AD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．5.54．某校開展“展青春風采，樹強國信念”科普閱讀活動．小明看到黃金分割比是一種數(shù)學上的比例關(guān)系，它具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值，應(yīng)用時一般取0.618．特別奇妙的是在正五邊形中，如圖所示，連接頂點AB，AC，∠ACB的平分線交邊AB于點D，則點D就是線段AB的一個黃金分割點，即ADAB≈0.618，已知AC＝10A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm5．如圖平行四邊形ABCD，F(xiàn)為BC中點，延長AD至E，使DE：AD＝1：3，連結(jié)EF交DC于點G，若△DEG的面積是1，則五邊形DABFG的面積是（）A．11 B．12 C．554 D．6．如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是AD上的點，AF＝2FD，直線BF交AC于點E，交CD的延長線于點G，則BEEGA．12 B．13 C．23 7．古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-12（5-1A．155cm B．165cm C．175cm D．185cm8．若xy=10，yz=A．556 B．665 C．5 D二、填空題（共8小題）9．如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的正半軸成60°的射線OC，在射線OC上截取OA＝2，過點A作AB⊥x軸于點B，在坐標軸上取一點P（不與點B重合），使得以P，O，A為頂點的三角形與△AOB相似，則所有符合條件的點P的坐標為．10．某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特將汽車倒車鏡設(shè)計為整個車身黃金分割點的位置（如圖，即車尾到倒車鏡的距離與車長之比為0.618），若車頭與倒車鏡的水平距離為1.91m，則該車車身總長為m11．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O為AC的中點，點P是射線BO上的一個動點，當△ACP為直角三角形時，則BP的長為．12．如圖，在△ABC中，CD，BE是△ABC的兩條中線，則S△DEFS△BCF的值為13．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”．其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點，從點A往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，則正方形城池的邊長為步．14．已知如圖，矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，AB＝4，AD＝8，CF＝3，若△ABE與以E、C、F為頂點的三角形相似，則BE的長為．15．如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點，連接AE，AB＝4CE，F(xiàn)是AE上一點，射線BF與正方形的邊交于點G（不同于點B），若BG＝AE，BFAC=16．在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），延長CB交x軸于點A，作正方形A1CC1B1；延長CB交x軸于點A2，作正方形A2C1C2B2；…按照這樣的規(guī)律，S正方形A2021B三、解答題（共8小題）17．如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AO是BC邊上的中線，點D是AO上一點，DE⊥EO，E是垂足，△DEO可繞著點O旋轉(zhuǎn)，點F是點E關(guān)于點O的對稱點，連接AD和CF．●問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖2，當ADDO=1時，則下列結(jié)論正確的是①BE＝CF；②點F是OC的中點；③AO是∠BAC的角平分線；④AD=5CF●數(shù)學思考（2）將圖2中△DEO繞點O旋轉(zhuǎn)，如圖3，則AD和CF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；●拓展應(yīng)用（3）在圖1中，若ADDO=x，將△DEO繞著點①則AD＝CF；②若AB＝4，x＝1，在△DEO旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當點D落在AB上時，連結(jié)BE，EC，求四邊形ABEC的面積．18．（1）計算：(-（2）如圖，l1∥l2∥l3，AB＝5，DE＝4，EF＝8，求AC的長．19．如圖，AB和A'B'與x軸垂直，A點坐標是（1，2），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，點C是OA'的中點，反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象經(jīng)過點C，與（1）求點D坐標；（2）連接BD、CD，求四邊形ABDC的面積．20．如圖，在⊙O中，AB為弦，AM為⊙O的切線，A為切點，請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖．（1）在圖1中，以AB為邊作一個矩形；（2）在圖2中，分別在AM上取一點C，在⊙O取兩點E，D，作△ACE∽△DCA．21．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，點P是對角線BD上一點，連接AP，AE⊥AP，且APAE=1（1）當DP＝2時，求BE的長．（2）四邊形AEBP可能為矩形嗎？如果不可能，請說明理由；如果可能，求出此時四邊形AEBP的面積．22．【溫故知新】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值．我們知道：如圖1，點C把線段AB分成兩部分，如果BCAC=ACAB，那么稱點【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，請直接寫出AC與CB的比值是．【問題探究】如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，則AEAC的值為【問題解決】如圖3，用邊長為6的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABDE得折痕MN，連接EN，將AE折疊到EN上，點A對應(yīng)點H，得折痕CE，試說明：C是AB的黃金分割點．【拓展延伸】如圖4，正方形ABCD中，M為對角線BD上一點，點N在邊CD上，且CN＜DN，當N為CD的黃金分割點時，∠AMB＝∠ANB，連NM，延長NM交AD于E，請用相似的知識求出DEAE的值為23．定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點所連線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果其中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們就把這條線段叫做這個三角形的“華麗分割線”．例如：如圖1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“華麗分割線”．（1）【定義感知】如圖1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．求證：AD是△ABC的“華麗分割線”．（2）【問題解決】①如圖2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是等腰三角形，則∠C的度數(shù)為．②如圖3，在△ABC中，AB＝2，AC=3，AD是△ABC的“華麗分割線”，且△ABD是以AD為底邊的等腰三角形，求華麗分割線AD24．如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當AB＝6，AC＝4時，求AE的長．

2023年江西省中考數(shù)學專題練——13圖形的相似參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題）1．如圖，△ABO是等邊三角形，其中點O與原點重合，點B的坐標為（6，0），點A在反比例函數(shù)的圖象上，數(shù)學興趣小組對等邊△ABO進行變換操作，得到如下結(jié)論：①將等邊△ABO沿AO方向平移6個單位長度，恰好存在一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上；②將△ABO繞著點O分別逆時針旋轉(zhuǎn)30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上；③將等邊△ABO以點O為位似中心，位似比為1，得到的位似圖形恰好存在一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上；④將等邊△ABO以直線y＝x或直線y＝﹣x為對稱軸進行翻折，恰好存在一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上．其中正確的是（）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】解：過點A作AH⊥OB于點H，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB＝6，∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，∴OH＝3，AH=∴A的坐標為（3，33∴反比例函數(shù)表達式為：y=①如圖所示，△ABO沿AO方向平移6個單位長度，點A恰好與O重合，點O平移到E點，此時OE＝OA＝6，∴A、E關(guān)于原點對稱，∴點E在反比例函數(shù)圖象上，①正確．②若將△ABO繞著點O分別逆時針旋轉(zhuǎn)30°，點A恰好落在y軸上（0，6），此時，點B恰好落在（33，3∵3∴B的對應(yīng)點落在反比例函數(shù)圖象上；若將△ABO繞著點O分別逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點B恰好落在（3，33若將△ABO繞著點O分別逆時針旋轉(zhuǎn)180°，點A恰好落在（﹣3，-3∵(∴A的對應(yīng)點落在反比例函數(shù)圖象上；若將△ABO繞著點O分別逆時針旋轉(zhuǎn)210°，點A恰好落在y軸上（0，﹣6），此時，點B恰好落在（-33，﹣∵(∴B的對應(yīng)點落在反比例函數(shù)圖象上；若將△ABO繞著點O分別逆時針旋轉(zhuǎn)240°，點B恰好落在（﹣3，-3∴將△ABO繞著點O分別逆時針旋轉(zhuǎn)30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一個頂點在反比例函數(shù)的圖象上，②正確．③將等邊△ABO以點O為位似中心，位似比為1，相當于將A繞點O旋轉(zhuǎn)180°，點A的對應(yīng)點恰好落在為（﹣3，-33），在反比例函數(shù)圖象上，④根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性，將等邊△ABO以直線y＝x或直線y＝﹣x為對稱軸進行翻折，點A的對應(yīng)點都在反比例函數(shù)的圖象上，④正確．故選：D．2．如圖，△ABC的兩條高BD，CE相交于點O，則下列結(jié)論正確的是（）A．△ABC是等腰三角形 B．OB＝OC C．∠AED＝∠ACB D．OD【解答】解：如圖，∵△ABC的兩條高BD，CE相交于點O，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∴B、C、D、E四點共圓，∴∠AED＝∠ACB，故C正確；∴∠EDB＝∠ECB，∠EOD＝∠BOC，∴△EOD∽△BOC，∴ODOC故D錯誤；△ABC中AB不一定等于AC，故A錯誤；OB不一定等于OC，故B錯誤；故選：C．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D在AC邊上，E是BC邊上一點，若AB＝6，AE＝32，∠AED＝∠B，則AD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．5.5【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AED＝∠B，∴∠AED＝∠C，∴180°﹣∠EAC﹣∠AED＝180°﹣∠EAC﹣∠C，∴∠ADE＝∠AEC，∴△ADE∽△AEC，∴ADAE∵AE＝32，AC＝AB＝6，∴AD3∴AD＝3，故選：A．4．某校開展“展青春風采，樹強國信念”科普閱讀活動．小明看到黃金分割比是一種數(shù)學上的比例關(guān)系，它具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值，應(yīng)用時一般取0.618．特別奇妙的是在正五邊形中，如圖所示，連接頂點AB，AC，∠ACB的平分線交邊AB于點D，則點D就是線段AB的一個黃金分割點，即ADAB≈0.618，已知AC＝10A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm【解答】解：由題意，點D是線段AB的黃金分割點，∵AD＝0.618AB，AB＝AC＝10cm，∴AD＝6.18（cm），∵∠ABC＝∠ACB＝72°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠CAD＝36°，∠CDB＝∠CBD＝72°，∴BC＝CD＝AD＝6.18（cm），∴五邊形的周長為6.18×5＝30.9（cm），故選：C．5．如圖平行四邊形ABCD，F(xiàn)為BC中點，延長AD至E，使DE：AD＝1：3，連結(jié)EF交DC于點G，若△DEG的面積是1，則五邊形DABFG的面積是（）A．11 B．12 C．554 D．【解答】解：如圖，連接BG，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠E＝∠CFG，∵F為BC中點，∴FC=12BC=∵DE：AD＝1：3，∴DE：BC＝1：3，∴DE：CF＝2：3，∵∠E＝∠CFG，∠DGE＝∠CGF，∴△DGE∽CGF，∴DG：CG＝DE：CF＝2：3，∴S△DEG：S△CFG＝4：9＝1：S△CFG，∴S△CFG=9取AD的中點Q，連接FQ，∴FQ∥DG，∴△EDG∽△EQF，∴DE：EQ＝1：2.5＝2：5，∴S△DEG：S△QEF＝4：25＝1：S△EQF，∴S△EQF=25∴S四邊形DQFG=254-∴S四邊形ABFQ＝S四邊形DQFG+S△CFG=21∴S五邊形DABFG=21故選：D．6．如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是AD上的點，AF＝2FD，直線BF交AC于點E，交CD的延長線于點G，則BEEGA．12 B．13 C．23 【解答】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，∴AEEC∴BE故選：C．7．古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-12（5-A．155cm B．165cm C．175cm D．185cm【解答】解：設(shè)小凡的頭頂至肚臍的長度為xcm，則小凡的身高為（x+108）cm，由題意得：x108∴x≈0.618×108＝66.744（cm），∴x+108≈175（cm），即小凡的身高約為175cm，故選：C．8．若xy=10，yz=A．556 B．665 C．5 D【解答】解：∵yz=∴y＝5z，∵xy=∴x＝10y＝50z，∴x+故選：A．二．填空題（共8小題）9．如圖，在第一象限內(nèi)作與x軸的正半軸成60°的射線OC，在射線OC上截取OA＝2，過點A作AB⊥x軸于點B，在坐標軸上取一點P（不與點B重合），使得以P，O，A為頂點的三角形與△AOB相似，則所有符合條件的點P的坐標為（4，0）或（0，433）或（0，3【解答】解：∵∠AOB＝60°，∠ABC＝90°，∴當P點在x軸上，∠AOP＝60°，∠OAP＝90°時，△PAO∽△ABO，此時OP＝2OA＝4，則P（4，0）；當P點在y軸上，若∠APO＝60°，∠OAP＝90°時，△PAO∽△OBA，此時AP=33OA=233，OP＝2AP=43若∠PAO＝60°，∠APO＝90°時，△APO∽△OBA，此時AP=12OA＝1，OP=3AP=3，則P（綜上所述，P點坐標為：（4，0）或（0，433）或（0，故答案為：（4，0）或（0，433）或（0，10．某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特將汽車倒車鏡設(shè)計為整個車身黃金分割點的位置（如圖，即車尾到倒車鏡的距離與車長之比為0.618），若車頭與倒車鏡的水平距離為1.91m，則該車車身總長為5m【解答】解：設(shè)汽車的車身總長為x米，則車尾與倒車鏡的水平距離為（x﹣1.91）m，∴x-1.91解得：x＝5．故答案為：5；11．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O為AC的中點，點P是射線BO上的一個動點，當△ACP為直角三角形時，則BP的長為25或5+1或5-1或0【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O為AC的中點，∴AO＝1，BO=A①若∠ACP＝90°時，∵∠OCP＝∠OAB＝90°，CO＝AO，∠COP＝∠AOB，∴△OCP≌△OAB（ASA），∴OP＝BO，∴BP＝OP+BO＝25；②若∠APC＝90°，且點P在BO延長線上時，∵O為AC的中點，∴OP=1∴BP＝OP+BO＝1+5③若∠APC＝90°，且點P在線段BO上時，∵O為AC的中點，∴OP=1∴BP＝BO﹣OP=5-若∠CAP＝90°，則點P與B重合，此時BP＝0，綜上所述，線段BP的長為：25或5+1或5-1或故答案為：25或5+1或5-1或12．如圖，在△ABC中，CD，BE是△ABC的兩條中線，則S△DEFS△BCF的值為【解答】解：∵CD，BE分別是△ABC的邊AB，AC上中線，∴D是AB的中點，E是AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12∴△DEF∽△CBF，∴S△故答案為：1413．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”．其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點，從點A往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點，從點C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，則正方形城池的邊長為300步．【解答】解：設(shè)正方形城池的邊長為x步，則AE＝CE=12∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴ABEC=AE∴x＝300，即正方形城池的邊長為300步．故答案為300．14．已知如圖，矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，AB＝4，AD＝8，CF＝3，若△ABE與以E、C、F為頂點的三角形相似，則BE的長為2或6或447【解答】解：設(shè)BE＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，∠B＝∠C＝90°，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣x，若△ABE∽△ECF，則ABEC即4x∴x2﹣8x+12＝0，解得：x＝2或x＝6，若△ABE∽△FCE，則ABFC即43即32﹣4x＝3x，解得：x＝447∴BE的長為2或6或447故答案為：2或6或44715．如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點，連接AE，AB＝4CE，F(xiàn)是AE上一點，射線BF與正方形的邊交于點G（不同于點B），若BG＝AE，BFAC=5162【解答】解：設(shè)CE＝x，則AB＝4x，BE＝3x，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC，∴AE=AB2+BE2=5x，有兩種情形：①如圖1，當G在AD邊上時，連接EG，在Rt△ABG和Rt△BAE中，AE=∴Rt△ABG≌△Rt△BAE（HL），∴AG＝BE，∵AG∥BE，∴四邊形ABEG是矩形，∴AE＝BG，∴BF=1∴BFAC②當G在CD上時，如圖2，同理可得△ABE≌△BCG（HL），∴∠BAE＝∠CBG，∵∠CBG+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AFB＝90°，∴BG⊥AE，∵12?AB?BE=12?AE∴BF=AB?∴BFAC綜合以上可得BFAC的值為5162故答案為5162或16．在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），延長CB交x軸于點A，作正方形A1CC1B1；延長CB交x軸于點A2，作正方形A2C1C2B2；…按照這樣的規(guī)律，S正方形A2021B2021C2021C【解答】解：∵正方形ABCD的點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），∴OA＝1，OD＝2，AD=5，OA∵∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，∴∠ADO＝∠BAA1，又由題意可得∠DOA＝∠ABA1＝90°，∴△DOA∽△ABA1，∴A1∵AD＝AB=5∴A1B=5∴正方形A1CC1B1的面積為：S1＝A1C2＝5?（32）2同理可得，A2C12＝（325+正方形A2C1C2B2的面積為：S2＝5×（32）4....．正方形AnCn﹣1?nBn的面積為：Sn＝5×（32）2n∴正方形A2021B2021C2021C2020的面積S正方形A2021B2021C故答案為：5×（32）4042三．解答題（共8小題）17．如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AO是BC邊上的中線，點D是AO上一點，DE⊥EO，E是垂足，△DEO可繞著點O旋轉(zhuǎn)，點F是點E關(guān)于點O的對稱點，連接AD和CF．●問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖2，當ADDO=1時，則下列結(jié)論正確的是①②④①BE＝CF；②點F是OC的中點；③AO是∠BAC的角平分線；④AD=5CF●數(shù)學思考（2）將圖2中△DEO繞點O旋轉(zhuǎn)，如圖3，則AD和CF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；●拓展應(yīng)用（3）在圖1中，若ADDO=x，將△DEO繞著點①則AD＝5CF；②若AB＝4，x＝1，在△DEO旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當點D落在AB上時，連結(jié)BE，EC，求四邊形ABEC的面積．【解答】解：（1）如圖2，∵AO是BC邊上的中線，點F是點E關(guān)于點O的對稱點，∴OB＝OC，OE＝OF，∴OB﹣OE＝OC﹣OF，∴BE＝CF，故①正確；∵DE⊥EO，∠ABC＝90°，∴∠DEO＝∠ABC＝90°，∴DE∥AB，∴BEEO=∴BE＝EO=12∴CF＝BE=12OB=∴點F是OC的中點，故②正確；延長AO到點G，使OG＝OA，連結(jié)BG，∵∠BOG＝∠COA，OB＝OC，∴△BOG≌△COA（SAS），∴GB＝AC，∠G＝∠OAC，∵AB⊥BC，∴AC＞AB，假設(shè)∠OAB＝∠OAC，則∠OAB＝∠G，∴GB＝AB，∴AC＝AB，這與AC＞AB相矛盾，∴假設(shè)∠OAB＝∠OAC不成立，∴AO不能是∠BAC的角平分線，故③錯誤；∵AB＝BC，BC＝2OB，∴AB＝2OB，∴OA=AB∴EODO=cos∠AOB∴DO=5EO∵AD＝DO，EO＝BE＝CF，∴AD=5CF故④正確，故答案為：①②④．（2）AD=5CF證明：如圖3，由旋轉(zhuǎn)得∠AOD＝∠COF，∵OD=12OA，OF=∴ODOA∴ODOF∴△AOD∽△COF，∴ADCF∴AD=5CF（3）①如圖1（1）∵DE∥AB，∴ODOA∵OE＝OF，OB＝OC，∴BE＝CF，ODOA∴ODOF如圖1（2），由旋轉(zhuǎn)得∠AOD＝∠COF，ODOF∴△AOD∽△COF，∴ADCF∴AD=5CF故答案為：5．②如圖1（1）∵AB＝BC＝4，∴OB＝OC=12BC＝∴OA=5OB＝25∵ADDO=x＝∴AD＝DO=5∵DOEO∴EO=55DO=如圖4，過E作EM⊥BC于M，過D作DN⊥AO于N，∵BD=OD∴12×25DN+12×2×1∴DN=3由旋轉(zhuǎn)得∠BOE＝∠DON，∵∠DNO＝∠EMO＝90°，∴△EOM∽△DON，∴EMDN∴EM=55DN∴S△BCE=12BC?ME=1∵S△ABC=12AB?AC=12×4∴S四邊形ABEC＝S△BCE+S△ABC=65+∴四邊形ABEC的面積為46518．（1）計算：(-（2）如圖，l1∥l2∥l3，AB＝5，DE＝4，EF＝8，求AC的長．【解答】解：（1）原式＝1+3-1﹣1+1故答案為：3．（2）∵l1∥l2∥l3，∴ABBC即5BC解得：BC＝10，∴AC＝AB+BC＝5+10＝15．故答案為：15．19．如圖，AB和A'B'與x軸垂直，A點坐標是（1，2），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，點C是OA'的中點，反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象經(jīng)過點C，與（1）求點D坐標；（2）連接BD、CD，求四邊形ABDC的面積．【解答】解：（1）∵AB和A'B'與x軸垂直，A點坐標是（1，2），∴點B的坐標為（1，0），∵△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，∴點B′的坐標為（3，0），點A′的坐標為（3，6），∵點C是OA'的中點，∴點C的坐標為（32，3∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點∴k=32×∴反比例函數(shù)解析式為y=9當x＝3時，y=3∴點D的坐標為（3，32（2）連接BD、CD，S四邊形ABCD＝S△A′OB′﹣S△AOB﹣S△DBB′﹣S△ACD=12×3×6-12×1=2520．如圖，在⊙O中，AB為弦，AM為⊙O的切線，A為切點，請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖．（1）在圖1中，以AB為邊作一個矩形；（2）在圖2中，分別在AM上取一點C，在⊙O取兩點E，D，作△ACE∽△DCA．【解答】解：（1）如圖1中，四邊形ABCD即為所求；（2）如圖，△ACE，△ACD即為所求．21．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，點P是對角線BD上一點，連接AP，AE⊥AP，且APAE=1（1）當DP＝2時，求BE的長．（2）四邊形AEBP可能為矩形嗎？如果不可能，請說明理由；如果可能，求出此時四邊形AEBP的面積．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴∠DAB＝90°，ADAB∴ADAB∵AP⊥AE，∴∠PAE＝90°，∴∠DAP+∠PAB＝∠PAB+∠BAE，∴∠DAP＝∠BAE，∴△ADP∽△ABE，∴DPBE∴BE＝2DP＝4；（2）四邊形AEBP可能為矩形，理由如下：由（1）得△ADP∽△ABE，∴∠ABE＝∠ADB，∴∠PBE＝∠PBA+∠ABE＝∠PBA+∠ADB＝90°，當∠APB＝90°時，∵∠APB＝∠PAB＝∠PBE＝90°，∴四邊形AEBP為矩形，由勾股定理得BD=42+∵S△ABD=12×AB×AD=1∴AP=4×8∴AE＝2AP=16∴S四邊形AEBP＝AE?AP=12822．【溫故知新】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值．我們知道：如圖1，點C把線段AB分成兩部分，如果BCAC=ACAB，那么稱點【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，請直接寫出AC與CB的比值是5+12【問題探究】如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，則AEAC的值為5-【問題解決】如圖3，用邊長為6的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABDE得折痕MN，連接EN，將AE折疊到EN上，點A對應(yīng)點H，得折痕CE，試說明：C是AB的黃金分割點．【拓展延伸】如圖4，正方形ABCD中，M為對角線BD上一點，點N在邊CD上，且CN＜DN，當N為CD的黃金分割點時，∠AMB＝∠ANB，連NM，延長NM交AD于E，請用相似的知識求出DEAE的值為35【解答】【問題發(fā)現(xiàn)】解：∵點C為線段AB的黃金分割點，∴CBAC∴ACCB故答案為：5+1【問題探究】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB=2∵BD＝BC＝1，∴AE＝AD＝AB﹣BD=5-∴AEAC故答案為：5-【問題解決】解：如圖3，設(shè)EC與MN交于點P，∵MN∥AB，且M為EA的中點，∴NPAC過點P作PQ⊥EN，∵EC平分∠AEN，∴PM＝PQ，設(shè)PM＝PQ=12AC＝∴PN＝MN﹣PM＝6﹣x，∵EN=D∴sin∠ENM=PQ即x6-解得x=3經(jīng)檢驗x=3∴AC＝2x＝35-3∴ACAB故點C為AB的黃金分割點；【拓展延伸】解：如圖4，延長NE交AB延長線于F，過點A作AP⊥AN于P，過點P作PQ⊥FB于Q，過N作FH⊥F