山東省菏澤市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

保密☆啟用前2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)(一)試題(B)2022.11注意事項(xiàng)：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置，3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)城書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.第I卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.直線l的傾斜角為，則l的斜率為()A. B. C. D.2.已知，如果，則()A. B.0 C. D.—13.過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為()A. B.C. D.4.在棱長為4正四面體中，E是棱AB中點(diǎn)，則()A.4 B. C.2 D.5.已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.6.已知E，F(xiàn)分別是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中點(diǎn)，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的正弦值是A. B. C. D.7.如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會召開，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為()A. B.2.8 C. D.2.98.在長方體中，，過A1，，B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為10，則點(diǎn)D到平面的距離為()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分9.關(guān)于直線，以下說法正確的是()A.直線l過定點(diǎn)B.時(shí)，直線l過第一，二，三象限C.時(shí)，直線l不過第三象限D(zhuǎn).原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為110.已知向，則下列說法正確的是()A.與是共線向量B.與同向的單位向量是C.和夾角余弦值是D.平面ABC的一個(gè)法向量是11.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).則下列說法正確的是()A.△ABF2周長為12B.橢圓的離心率為C.的最大值為D.△ABF2面積最大值為12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得，阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B距離之比為定值λ且的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是()A.C的方程為B.在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)(1，1)的距離為9C.在C上存在點(diǎn)M，使得D.C上的點(diǎn)到直線的最大距離為9第II卷(非選擇題共90分)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.過點(diǎn)與的直線的一般式方程為___________.14.寫出與兩圓均相切的一條直線方程為___________.15.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，點(diǎn)D是A1C1的中點(diǎn)，則異面直線AD和BC1所成角的大小為__________．16.已知橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率e的最大值為___________.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，17.已知直線l的斜率為，且在y軸上的截距為3.(1)求直線l的方程，并把它化成一般式；(2)若直線與直線l平行，求m值18.已知空間三點(diǎn)，，，求：(1)若，求實(shí)數(shù)a；(2)若，△ABC的面積.19.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，．(1)求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線l的方程．20.已知橢圓：過點(diǎn)，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率.(1)求橢圓的方程；(2)已知，為橢圓的兩焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓上，且，求的面積.21.如圖所示，在四棱錐中，PC⊥平面ABCD，，在四邊形ABCD中，∠B，PB與平面ABCD成的角，點(diǎn)M在PB上，且CM∥平面PAD.(1)求的值；(2)求點(diǎn)C到平面PAD的距離.22.已知曲線且(1)若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上橢圓，求m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，過C的右焦點(diǎn)且斜率為k的直線l交曲線C于點(diǎn)A、B(A，B異于頂點(diǎn))，交直線于P.過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于點(diǎn)E，直線BQ交x軸于D，求證：.

保密☆啟用前2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)(一)試題(B)2022.11注意事項(xiàng)：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置，3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)城書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.第I卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.直線l的傾斜角為，則l的斜率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系即可得答案.【詳解】由題設(shè)，l的斜率為.故選：B2.已知，如果，則()A. B.0 C. D.—1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理，結(jié)合空間向量線性關(guān)系的坐標(biāo)關(guān)系列方程求參數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，存在使，則，可得，所以.故選：A3.過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系寫出所求直線斜率，再應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】由題意，所求直線的斜率為，且過，所以直線方程為，即.故選：B4.在棱長為4正四面體中，E是棱AB中點(diǎn)，則()A.4 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】為中點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線性質(zhì)及線線角定義知夾角為或其補(bǔ)角，結(jié)合已知確定其余弦值，應(yīng)用向量數(shù)量積的定義求即可.【詳解】若為中點(diǎn)，連接，又E是棱AB中點(diǎn)，所以且，故夾角為或其補(bǔ)角，因?yàn)檎拿骟w各棱長為4，故四面體各面均為等邊三角形，所以，，且，而為的補(bǔ)角，故.故選：B5.已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，確定圓心坐標(biāo)、半徑，結(jié)合直線與圓的相離關(guān)系，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式即可得范圍.【詳解】由，則，所以，圓心為，半徑為，由直線與圓相離，故，可得，綜上，.故選：C6.已知E，F(xiàn)分別是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中點(diǎn)，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的正弦值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】【分析】試題分析：因?yàn)椤兔鍭BCD，過D做DH⊥AE與H，連接，

則即為截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的平面角，

設(shè)正方體的棱長為1，

在△中，=1，

因?yàn)椤鱀AH～△ABE，

所以，

所以，

所以考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題7.如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會召開，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為()A. B.2.8 C. D.2.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意作出輔助線直接求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點(diǎn)，連接，所以，，又因?yàn)?，所以，所以．即相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C8.在長方體中，，過A1，，B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為10，則點(diǎn)D到平面的距離為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用求得，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系求面的一個(gè)法向量，再應(yīng)用空間距離的向量求法求點(diǎn)面距.【詳解】設(shè)，則，所以，可得，如下圖，構(gòu)建為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，所以、、，則，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，又，故D到平面的距離為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分9.關(guān)于直線，以下說法正確的是()A.直線l過定點(diǎn)B.時(shí)，直線l過第一，二，三象限C.時(shí)，直線l不過第三象限D(zhuǎn).原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為1【答案】ABD【解析】【分析】由確定定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)a的符號判斷直線所過的象限，根據(jù)時(shí)原點(diǎn)到直線l的距離的最大求最大距離.【詳解】由過定點(diǎn)，A正確；當(dāng)，過一、二、三象限，B正確；當(dāng)，過二、三、四象限，C錯(cuò)誤；要使原點(diǎn)到直線l的距離的最大，只需，即距離等于，D正確.故選：ABD10.已知向，則下列說法正確的是()A.與是共線向量B.與同向的單位向量是C.和夾角的余弦值是D.平面ABC的一個(gè)法向量是【答案】BC【解析】【分析】A由向量共線定理，應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算判斷是否存在使；B與同向的單位向量是即可判斷；C由，應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)公式求夾角余弦值；D應(yīng)用平面法向量的求法求平面ABC的一個(gè)法向量，即可判斷.【詳解】A：若與共線，存在使，則無解，故不共線，錯(cuò)誤；B：與同向的單位向量是，正確；C：由，故，正確；D：若是面ABC的一個(gè)法向量，則，令，則，錯(cuò)誤.故選：BC11.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).則下列說法正確的是()A.△ABF2的周長為12B.橢圓的離心率為C.的最大值為D.△ABF2面積最大值為【答案】ACD【解析】【分析】A由橢圓定義求焦點(diǎn)三角形周長；B根據(jù)橢圓離心率定義求離心率；C當(dāng)軸求出最小值，即可得最大值；D令直線代入橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理、三角形面積公式得到關(guān)于的表達(dá)式，研究其最值即可.【詳解】A：由三角形的周長為，正確；B：由，故橢圓的離心率為，錯(cuò)誤；C：要使最大，只需最小，根據(jù)橢圓性質(zhì)知：當(dāng)軸時(shí)，故，正確；D：令直線，代入橢圓方程整理得：，所以，且，，而，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，顯然等號不成立，又在上遞增，即時(shí)最小，此時(shí)最大為，正確.故選：ACD12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得，阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值λ且的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是()A.C的方程為B.在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)(1，1)的距離為9C.在C上存在點(diǎn)M，使得D.C上的點(diǎn)到直線的最大距離為9【答案】ABD【解析】【分析】對A：設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡判斷；對B：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)(1，1)到圓上的點(diǎn)的距離的取值范圍，由此分析判斷；對C：設(shè)點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；對D：結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線的最大距離，由此分析判斷.【詳解】對A：設(shè)點(diǎn)，∵，則，整理得，故C的方程為，A正確；對B：的圓心，半徑為，∵點(diǎn)(1，1)到圓心的距離，則得D到點(diǎn)(1，1)的距離的取值范圍為，且，∴在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)(1，1)的距離為9，B正確；對C：設(shè)點(diǎn)，∵，則，整理得，∴點(diǎn)M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，又∵，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點(diǎn)，∴在C上不存在點(diǎn)M，使得，C不正確；對D：∵圓心到直線的距離為，∴C上的點(diǎn)到直線的最大距離為，D正確；故選：ABD.第II卷(非選擇題共90分)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.過點(diǎn)與的直線的一般式方程為___________.【答案】【解析】【分析】先求出直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出直線方程.【詳解】可得直線的斜率為，所以直線方程為，整理得.故答案為：.14.寫出與兩圓均相切的一條直線方程為___________.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根據(jù)圓的方程判斷圓的位置關(guān)系，公切線斜率存在，設(shè)為，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求參數(shù)，即可寫出直線方程.【詳解】由，圓心為，半徑為1；由，圓心為，半徑為4；所以圓心距為，故兩圓外切，如下圖，公切線斜率存在，設(shè)為，所以，解得或或，所以，公切線方程有或或.故答案為：(答案不唯一)15.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，點(diǎn)D是A1C1的中點(diǎn)，則異面直線AD和BC1所成角的大小為__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，所以，即異面直線AD和BC1所成角為．考點(diǎn)：異面直線所成角．16.已知橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率e的最大值為___________.【答案】##【解析】【分析】利用已知條件設(shè)出橢圓的左焦點(diǎn)，進(jìn)一步根據(jù)垂直的條件得到長方形，則，再根橢圓的定義，由離心率的公式得到，即可求解答案.【詳解】已知橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B、F為其右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，所以四邊形為長方形，根據(jù)橢圓的定義，且，則，所以，又由離心率的公式得，由，則，所以，即橢圓的離心率的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：把橢圓的離心率轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求解是解答的關(guān)鍵.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，17.已知直線l的斜率為，且在y軸上的截距為3.(1)求直線l的方程，并把它化成一般式；(2)若直線與直線l平行，求m的值【答案】(1)，(2)?4【解析】【分析】(1)直接用斜截式寫出直線方程，再化為一般式即可；(2)由(1)，知直線l的方程為．根據(jù)相互平行與斜率之間的關(guān)系即可得出．【小問1詳解】由已知直線l的方程為，化成一般式為【小問2詳解】由(1)，知直線l的方程為．

∵直線與直線l平行，∴，

∴m＝?4．故所求m值為?4．18.已知空間三點(diǎn)，，，求：(1)若，求實(shí)數(shù)a；(2)若，△ABC的面積.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)應(yīng)用空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)a；(2)應(yīng)用空間向量夾角坐標(biāo)表示求、夾角余弦值，進(jìn)而求正弦值，坐標(biāo)公式求模長，應(yīng)用三角形面積公式求面積即可.【小問1詳解】由題設(shè)，，又，所以，可得【小問2詳解】由題意，故，而，所以，故，而，，故.19.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，．(1)求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)由圓與直線相切結(jié)合點(diǎn)線距離公式可得半徑，即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)分別討論直線l與x軸垂直與否，設(shè)出直線方程，結(jié)合垂徑定理、點(diǎn)線距離公式列方程即可解得參數(shù).【小問1詳解】設(shè)圓A半徑為R，由圓與直線相切得，∴圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】i.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，即，此時(shí)，符合題意；ii.當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)方程為，即，Q是MN的中點(diǎn)，，∴，即，解得，∴直線l為：.∴直線l的方程為或.20.已知橢圓：過點(diǎn)，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率.(1)求橢圓的方程；(2)已知，為橢圓的兩焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓上，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)在橢圓求得方程，結(jié)合橢圓、的關(guān)系寫出橢圓的方程；(2)應(yīng)用橢圓定義及余弦定理可得，再由三角形面積公式求面積.【小問1詳解】由在上，則，可得，所以為，故長軸長為4，離心率為，故中，且，則，所以為.【小問2詳解】由題意，在中，而，又，所以，故，所以.21.如圖所示，在四棱錐中，PC⊥平面ABCD，，在四邊形ABCD中，∠B，PB與平面ABCD成的角，點(diǎn)M在PB上，且CM∥平面PAD.(1)求的值；(2)求點(diǎn)C到平面PAD的距離.【答