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八年級(jí)數(shù)學(xué)一元一次不等式CATALOGUE目錄一元一次不等式基本概念一元一次不等式解法一元一次不等式組解法一元一次不等式在數(shù)軸上表示方法一元一次不等式應(yīng)用舉例拓展與提高:含參數(shù)一元一次不等式解法01一元一次不等式基本概念同向可乘性若a>b>0,c>0,則ac>bc??杉有匀鬭>b,則a+c>b+c。傳遞性若a>b且b>c,則a>c。不等式定義用不等號(hào)(<、>、≤、≥)連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式所成的數(shù)學(xué)式子叫做不等式。對(duì)稱性若a>b,則b<a;若a<b,則b>a。不等式定義及性質(zhì)ax+b>0(或<0)(其中a、b為常數(shù),a≠0)。標(biāo)準(zhǔn)形式可以通過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等操作將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式。變形形式一元一次不等式形式解集數(shù)軸表示法區(qū)間表示法集合表示法解集與解表示方法01020304滿足一元一次不等式的所有未知數(shù)的集合。在數(shù)軸上標(biāo)出滿足不等式的所有點(diǎn),用空心點(diǎn)表示不包括該點(diǎn),用實(shí)心點(diǎn)表示包括該點(diǎn)。用區(qū)間表示滿足不等式的未知數(shù)的取值范圍,如(a,b)、[a,b)等。用集合表示滿足不等式的未知數(shù)的取值范圍,如{x|x>a}等。02一元一次不等式解法
合并同類項(xiàng)法識(shí)別同類項(xiàng)將不等式中的同類項(xiàng)進(jìn)行識(shí)別,即具有相同字母部分和相同指數(shù)的項(xiàng)。合并同類項(xiàng)將識(shí)別出的同類項(xiàng)進(jìn)行合并,簡化不等式。注意事項(xiàng)在合并同類項(xiàng)時(shí),要確保不等號(hào)的方向不變。根據(jù)不等式的性質(zhì),確定需要移動(dòng)的項(xiàng)。確定移項(xiàng)移動(dòng)項(xiàng)簡化不等式將需要移動(dòng)的項(xiàng)從不等式的一邊移到另一邊,注意要改變移動(dòng)項(xiàng)的符號(hào)。移動(dòng)項(xiàng)后,簡化不等式并求解。030201移項(xiàng)法找到不等式中含有未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)。確定系數(shù)通過除以系數(shù)的方式,將含有未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)化為1?;禂?shù)為1在化系數(shù)為1的過程中,要確保不等號(hào)的方向不變,并且當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)的方向需要改變。注意事項(xiàng)系數(shù)化為1法03一元一次不等式組解法對(duì)于每個(gè)不等式,首先確定未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。根據(jù)未知數(shù)的系數(shù)正負(fù),確定不等式的解集方向。解出每個(gè)不等式的解集,并用數(shù)軸表示。確定各不等式解集0102找出公共解集公共解集必須滿足所有不等式的條件,即同時(shí)滿足所有不等式的解集。觀察數(shù)軸上各個(gè)不等式的解集,找出它們的交集部分。驗(yàn)證公共解集正確性將公共解集中的任意數(shù)值代入原不等式組,驗(yàn)證是否滿足所有不等式。若滿足,則公共解集正確;若不滿足,則需要重新檢查計(jì)算過程和解集范圍。04一元一次不等式在數(shù)軸上表示方法數(shù)軸上的數(shù)從左到右依次增大,即右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)之間的距離等于這兩點(diǎn)所表示的數(shù)的差的絕對(duì)值。數(shù)軸是一條直線,其上有正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)的標(biāo)記,每個(gè)數(shù)在數(shù)軸上都有唯一確定的位置。數(shù)軸概念及性質(zhì)回顧對(duì)于一元一次不等式,首先找出不等式中的關(guān)鍵點(diǎn),即不等號(hào)兩邊的數(shù)值。在數(shù)軸上標(biāo)出這些關(guān)鍵點(diǎn),然后根據(jù)不等式的性質(zhì)確定解的范圍。如果不等式是嚴(yán)格不等式(<或>),則解的范圍不包括關(guān)鍵點(diǎn);如果是不嚴(yán)格不等式(≤或≥),則解的范圍包括關(guān)鍵點(diǎn)。在數(shù)軸上標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)并判斷范圍
用數(shù)軸表示不等式解集在數(shù)軸上標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)后,根據(jù)不等式的性質(zhì)用不同顏色的線段或箭頭表示解集的范圍。通常用實(shí)心點(diǎn)表示包括的端點(diǎn),用空心點(diǎn)表示不包括的端點(diǎn)。例如,對(duì)于不等式2x-1>3,首先找出關(guān)鍵點(diǎn)x=2,然后在數(shù)軸上標(biāo)出該點(diǎn)并用箭頭表示x>2的范圍。05一元一次不等式應(yīng)用舉例例題2把一些書分給幾個(gè)學(xué)生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每個(gè)學(xué)生分5本,那么最后一人就分不到3本。問這些書有多少本?學(xué)生有多少人?例題1把一堆蘋果分給幾個(gè)孩子,如果每人分3個(gè),那么余8個(gè);如果每人分5個(gè),那么最后一人得到的蘋果不足3個(gè)。求小孩的人數(shù)和蘋果的個(gè)數(shù)。解題思路設(shè)未知數(shù)表示其中一個(gè)量,根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出不等式,然后解不等式求出未知數(shù)的取值范圍,最后確定未知數(shù)的具體值。分配問題中應(yīng)用舉例例題1一輛公共汽車從起點(diǎn)站開出后,途中還要停靠4個(gè)車站,最后到達(dá)終點(diǎn)站。表中記錄了這輛公共汽車全程載客數(shù)量的變化情況。例題2某校計(jì)劃修建一座既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的花壇,從學(xué)生中征集到設(shè)計(jì)方案有等腰三角形,正三角形,等腰梯形和菱形四種圖形,你認(rèn)為符合條件的是()解題思路根據(jù)題意設(shè)立未知數(shù)表示其中一個(gè)量(如速度、時(shí)間等),然后根據(jù)路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系列出不等式,解不等式求出未知數(shù)的取值范圍或具體值。路程問題中應(yīng)用舉例例題1某商品的售價(jià)是150元,商家售出一件這種商品可獲利潤是進(jìn)價(jià)的10%~20%,進(jìn)價(jià)的范圍是什么(精確到1元)?解題思路根據(jù)題意設(shè)立未知數(shù)表示其中一個(gè)量(如進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)等),然后根據(jù)售價(jià)、利潤和進(jìn)價(jià)之間的關(guān)系列出不等式,解不等式求出未知數(shù)的取值范圍或具體值。注意要考慮各種優(yōu)惠方案對(duì)價(jià)格的影響。價(jià)格問題中應(yīng)用舉例06拓展與提高:含參數(shù)一元一次不等式解法一般形如$ax+b>c$或$ax+b<c$,其中$a$、$b$、$c$是常數(shù),$aneq0$。不等式中含有參數(shù),參數(shù)的取值會(huì)影響不等式的解集。含參數(shù)一元一次不等式形式及特點(diǎn)特點(diǎn)形式根據(jù)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論,分別求解不等式。注意分類討論時(shí),要確保每種情況下參數(shù)取值范圍的完整性,不重不漏。分類討論思想在含參數(shù)問題中應(yīng)用例題解不等式$2x+a>3$,其中$a$是參數(shù)。分析此題考查含參數(shù)一元一次不等式的解法。首先根據(jù)不等式的基本性質(zhì),將不等式化為$x>frac{3-a}{2}$的形式。然后根據(jù)參數(shù)$a$的取值范圍進(jìn)行分類討論,分別求解不等式。典型例題分析與解答解答當(dāng)$a>3$時(shí),$frac{3-a}{2}<0$,不等式的解集為$x>0$;當(dāng)$a=3$時(shí),$frac{3-a}{2}=0
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