集合的概念與運算補充部分

集合的概念與運算補充部分目錄CONTENTS集合的基本概念集合的運算集合的運算律與性質集合的等價與劃分集合的序關系與偏序集集合的基數(shù)與可數(shù)性01集合的基本概念集合的定義集合是具有某種特定性質的事物的總體，構成集合的事物稱為該集合的元素。集合的表示方法集合通常用大寫字母A、B、C等表示，元素用小寫字母a、b、c等表示。如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作a?A。集合的定義與表示如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A。如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作a?A。元素與集合的關系不屬于關系屬于關系有限集含有有限個元素的集合叫做有限集。無限集含有無限個元素的集合叫做無限集?？占缓魏卧氐募辖凶隹占?，記作?。集合的分類03020102集合的運算交換律A∪B=B∪A。并集的定義對于任意兩個集合A和B，由所有屬于A或屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集，記作A∪B。結合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。吸收律A∪(A∩B)=A。冪等律A∪A=A。并集及其性質吸收律A∩(A∪B)=A。冪等律A∩A=A。結合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。交集的定義對于任意兩個集合A和B，由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集，記作A∩B。交換律A∩B=B∩A。交集及其性質對于任意兩個集合A和B，由所有屬于A但不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集，記作A?B。差集的定義不對稱性空集的性質冪等律的特例一般情況下，A?B≠B?A。對于任意集合A，有A??=A。當且僅當A和B不相交時，有(A?B)?B=A?B。差集及其性質唯一性在全集U中，每個子集都有唯一的補集。德摩根定律(?A)∪(?B)=?(A∩B)，(?A)∩(?B)=?(A∪B)。對偶性?(?A)=A。補集的定義設U是一個全集，對于U中的任意子集A，由U中所有不屬于A的元素組成的集合稱為A的補集，記作?A或U?A。補集及其性質03集合的運算律與性質交換律與結合律交換律對于任意兩個集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。即并集和交集運算滿足交換律。結合律對于任意三個集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。即并集和交集運算滿足結合律。對于任意三個集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。即并集對交集、交集對并集滿足分配律。分配律對于任意兩個集合A和B，如果A?B，則有A∪B=B，A∩B=A。即并集和交集運算滿足吸收律。吸收律分配律與吸收律德摩根定律04集合的等價與劃分123設$R$是非空集合$A$上的二元關系，如果$R$是自反的、對稱的和傳遞的，則稱$R$是$A$上的等價關系。等價關系定義設$R$是集合$A$上的等價關系，對于任意$xinA$，集合$[x]_R={yinA|xRy}$稱為元素$x$形成的$R$-等價類。等價類定義$A$中的元素$x$和$y$屬于同一等價類當且僅當$xRy$；不同的等價類之間沒有交集；所有等價類的并集等于原集合$A$。等價類的性質等價關系與等價類劃分與商集設$R$是集合$A$上的等價關系，由$R$確定的所有等價類構成的集合稱為$A$關于$R$的商集，記作$A/R$。商集的定義集合的一個劃分確定一個等價關系，反之，一個等價關系也確定集合的一個劃分；商集就是由這個等價關系確定的劃分。劃分與商集的關系等價關系與劃分是相互對應的01給定集合上的一個等價關系，可以構造出一個劃分；反之，給定一個劃分也可以構造出一個等價關系。等價關系的性質決定了劃分的特性02自反性保證了劃分的每個子集非空；對稱性保證了劃分的子集兩兩不相交；傳遞性保證了劃分的完整性，即所有子集的并集等于原集合。劃分是等價關系的直觀表現(xiàn)03劃分中的每個子集就是一個等價類，而整個劃分就是原集合關于某個等價關系的商集。等價關系與劃分的聯(lián)系05集合的序關系與偏序集傳遞性對于任意x,y,z∈A，如果x≤y且y≤z，則x≤z。序關系的定義設R是非空集合A上的二元關系，如果R是自反的、反對稱的和傳遞的，則稱R是A上的偏序關系，記作“≤”。自反性對于任意x∈A，有x≤x；反對稱性對于任意x,y∈A，如果x≤y且y≤x，則x=y；序關系的定義與性質全序集設(A,≤)是一個偏序集，如果對于任意x,y∈A，都有x≤y或y≤x成立，則稱(A,≤)是一個全序集。偏序集與全序集的關系全序集一定是偏序集，但偏序集不一定是全序集。偏序集設A是一個非空集合，若在A上定義了一個偏序關系“≤”，則稱(A,≤)是一個偏序集。偏序集與全序集0102哈斯圖定義哈斯圖是用來表示偏序關系的一種圖形表示方法。在哈斯圖中，每個元素用平面上的一個點表示，如果元素x小于元素y（即x<y），則在圖中從點x到點y畫一條上升的有向邊。確定元素的排列順序將元素按照從小到大的順序排列；畫出元素對應的點在平面上為每個元素畫一個點；連接相關元素對于每一對具有偏序關系的元素x和y（即x<y），在圖中從點x到點y畫一條上升的有向邊。簡化圖形去除多余的邊和點，使得圖形更加簡潔明了。030405哈斯圖及其畫法06集合的基數(shù)與可數(shù)性基數(shù)的定義與性質基數(shù)是一個描述集合中元素“數(shù)量”的概念。對于有限集，基數(shù)就是集合中元素的個數(shù)；對于無限集，基數(shù)則是一種抽象的“大小”度量。02任意兩個集合，如果它們之間存在一個雙射，那么這兩個集合的基數(shù)相等。03基數(shù)具有傳遞性，即如果集合A的基數(shù)等于集合B的基數(shù)，集合B的基數(shù)等于集合C的基數(shù)，那么集合A的基數(shù)也等于集合C的基數(shù)。01可數(shù)集能與自然數(shù)集N建立雙射的集合稱為可數(shù)集?？蓴?shù)集可以是有限集，也可以是無限集。例如，整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q都是可數(shù)集。不可數(shù)集不能與自然數(shù)集N建立雙射的集合稱為不可數(shù)集。實數(shù)集R是一個典型的不可數(shù)集。可數(shù)集與不可數(shù)集連續(xù)統(tǒng)假設是數(shù)學中的一個著名問題，由德國數(shù)學家康托爾提出。它探討的是實數(shù)集的基數(shù)與可數(shù)集的基數(shù)之間的關系