第一章 集合與常用邏輯用語（知識歸納+7類題型突破）（解析版）

集合與常用邏輯用語（知識歸納+題型突破）1.了解集合的定義，理解元素與集合的關(guān)系．熟練掌握數(shù)集的符號，了解集合的表示方法及元素的相關(guān)性質(zhì)．2.理解集合間的基本關(guān)系．3.理解并掌握集合的基本運(yùn)算．4.理解并掌握充分條件與必要條件.5.理解全稱量詞命題與存在量詞命題及其否定集合中元素的三個性質(zhì)確定性、互異性、無序性集合中元素與集合的關(guān)系屬于或不屬于若元素在集合中，記作，若元素不在集合中，記作常用數(shù)集及其符號名稱自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集符號或子集與真子集的個數(shù)集合中有個元素，子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個集合間的基本關(guān)系：子集：對于兩個集合、，若集合中的任意一個元素都在集合中，則是的子集；記作，讀作包含于真子集：對于兩個集合、，若集合中的任意一個元素都在集合中，集合中至少有一個元素不在集合中，則是的真子集；記作，讀作真包含于相等：若，，則空集我們把不含任何元素的集合叫做空集,記為規(guī)定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合的基本運(yùn)算文字語言圖形表示符號語言集合的并集所有屬于集合或者屬于集合的元素組成的集合，或集合的交集所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，且集合的補(bǔ)集全集中不屬于集合的所有元素組成的集合?U，且集合的基本運(yùn)算相關(guān)結(jié)論并集運(yùn)算的相關(guān)結(jié)論交集運(yùn)算的相關(guān)結(jié)論補(bǔ)集運(yùn)算的相關(guān)結(jié)論充分條件與必要條件對于若則類型中，為條件，為結(jié)論若充分性成立，若必要性成立若，，則是的充要條件若，，則是的充分不必要條件若，，則是的必要不充分條件若，，則是的既不充分也不必要條件設(shè)命題對應(yīng)集合，命題對應(yīng)集合若，即，是的充分條件（充分性成立）若，即，是的必要條件（必要性成立）若，即，，是的充分不必要條件若，即，，是的必要不充分條件若，即，，是的充要條件全稱量詞命題與存在量詞命題全稱量詞：（任意，所有，全部），含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題存在量詞：：（存在一個，存在兩個，存在一些），含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題命題的否定全稱量詞命題：，，否定為：，存在量詞命題：，，否定為：，題型一集合的概念【例1】（1）（2023秋·湖南長沙·高一長沙市明德中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知集合，且，則實數(shù)的取值不可以為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)可得出或，解出的值，然后對集合中的元素是否滿足互異性進(jìn)行檢驗，綜合可得結(jié)果.【詳解】因為集合，且，則或，解得.當(dāng)時，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時，，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時，，合乎題意.綜上所述，.故選：ACD.（2）（2023秋·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)校考期末）若關(guān)于的方程的解集中有且僅有一個元素，則實數(shù)的值組成的集合中的元素個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題知，當(dāng)時，的解有且僅有一個：，符合題意，所以；當(dāng)時，要使的方程的解集中有且僅有一個元素，則有：，則.所以實數(shù)的值組成的集合中的元素個數(shù)為：2.故選：B.鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）集合，若，則【答案】【分析】分和，并結(jié)合集合元素的互異性求解即可.【詳解】解：因為，所以，若，則可得或2，當(dāng)時，，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時，，滿足題意;若，則，此時，不滿足互異性，舍去；綜上故答案為：2．（2023秋·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知集合，則C集合中元素的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)定義列舉出C中所有元素，即可判斷.【詳解】，則可以為：，，，.故，有3個元素.故選：B3．（2023秋·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）（多選）關(guān)于的方程的解集中只含有一個元素，則的可能取值是（

）A． B．0 C．1 D．5【答案】ABD【分析】由方程有意義可得且，并將方程化為；根據(jù)方程解集中僅含有一個元素可分成三種情況，由此可解得所有可能的值.【詳解】由已知方程得：，解得：且；由得：；若的解集中只有一個元素，則有以下三種情況：①方程有且僅有一個不為和的解，，解得：，此時的解為，滿足題意；②方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；③方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；綜上所述：或或.故選：ABD題型二集合間的基本關(guān)系【例2】（1）（2023·全國·高一專題練習(xí)）集合，則的子集的個數(shù)為（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【分析】先求出，再找出中6的正約數(shù)，可確定集合，進(jìn)而得到答案．【詳解】集合，,，故有個子集.故選：D．（2）（2023春·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，，則這三個集合間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析給定的三個集合的約束條件，探討它們的關(guān)系即可判斷作答.【詳解】依題意，，，，而，{偶數(shù)}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一個元素都是集合中的元素，即，所以.故選：C（3）（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┰O(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳解】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.（4）（2023·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，列不等式組求解即可.【詳解】因為，所以，此不等式組無解.故選：D.鞏固訓(xùn)練1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合滿足，那么這樣的集合M的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系一一列舉出來即可.【詳解】因為，所以集合可以為：，共8個，故選：C.2．（2023秋·四川眉山·高一仁壽一中?？计谀┮阎?，.則集合M，P之間的關(guān)系為（

）A．M=P B． C． D．【答案】B【分析】化簡集合，根據(jù)集合的關(guān)系即得.【詳解】因為，，所以.故選：B.3．（2023秋·山西大同·高一山西省陽高縣第一中學(xué)校?？计谀ǘ噙x）設(shè)集合，，若，則實數(shù)a的值可以是（

）A．0 B． C． D．2【答案】ABC【分析】先得到，再根據(jù)，分，，討論即可.【詳解】由題得，，則當(dāng)時，有，，故C正確；當(dāng)時，有，，故B正確；當(dāng)時，，故A正確；故選：ABC.4．（2023春·云南大理·高一統(tǒng)考期末）設(shè)集合，，若，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合數(shù)軸分析即可.【詳解】由數(shù)軸可得，若，則.故選：B.題型三集合的基本運(yùn)算[例3]（1）（2023秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)并集的定義，即可求解.【詳解】因為集合，，根據(jù)并集的定義可知，.故選：B（2）（2023秋·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由并集的運(yùn)算直接求解．【詳解】因為，，則．故選：A．（3）（2023春·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因為集合，，所以.故選：C.（4）（2023春·湖南衡陽·高一衡陽市一中校考期末）已知集合，，，則a的可能取值的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)交集的結(jié)果求參數(shù).【詳解】因為，所以或，所以或或或或或，解得或1或2或4，經(jīng)檢驗當(dāng)或時，不滿足集合中元素的互異性，所以a的可能取值為1，4，共2個.故選:B.（5）（2023春·江西撫州·高一江西省樂安縣第二中學(xué)?？计谀┮阎?，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡集合，再結(jié)合集合的交集運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可.【詳解】由題意得，，，所以故選：B（6）（2023春·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合，集合，則集合A． B． C． D．【答案】A【詳解】,所以，故選A.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.（7）（2023秋·江蘇·高一校聯(lián)考期末），，若，且，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】先求得，根據(jù)求得的取值范圍.【詳解】因為，，所以，，因為，所以.故選：C（8）（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）集合，集合.(1)當(dāng)時，求，；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）分別求解兩個集合，再求集合的交，并集；（2）由條件可知，，再分和兩種情況，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解不等式，得，所以，當(dāng)時，則，所以，；（2）因為，所以當(dāng)時，，即，此時；當(dāng)時，，則，解得:，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是.（9）（2023秋·吉林長春·高一汽車區(qū)第三中學(xué)?？计谀┮阎强占?，(1)當(dāng)時，求；(2)求能使成立的的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)并集定義求解；（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系及交集定義列不等式組求解．【詳解】（1）當(dāng)時，，；（2），且，，∴，解得，的取值范圍是.（10）（2023秋·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知集合，．(1)當(dāng)時，求集合；(2)若，滿足：①，②，從①②中任選一個作為條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)選①，；選②，【分析】（1）根據(jù)并集的知識求得正確答案.（2）選擇條件后，根據(jù)集合是否為空集進(jìn)行分類討論，由此列不等式來求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，求集合，.（2）若選擇條件①，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，由可得或，解得或，綜上的取值范圍是.若選擇條件②，則集合是集合的子集，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，有，解得，綜上的取值范圍是.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解方程得集合，再根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】由，解得或,故選：A2．（2023秋·上海金山·高一統(tǒng)考期末）設(shè)集合A、B、C均為非空集合，下列命題中為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】取特例，根據(jù)由集合的運(yùn)算關(guān)系可判斷ABC，根據(jù)集合的交、并運(yùn)算，子集的概念可判斷D.【詳解】對于A，，當(dāng)時，結(jié)論不成立，則A錯誤；對于B,，當(dāng)時，結(jié)論不成立，則B錯誤；對于C，，當(dāng)時，結(jié)論不成立，則C錯誤；對于D，因為，，所以，又，所以，則，則D正確.故選：D3．（2023秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，則（

）．A．R B． C． D．【答案】A【分析】利用并集的定義即可求得.【詳解】由，，可得R故選：A4．（2023春·江西宜春·高一江西省清江中學(xué)?？计谀┮阎?，，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)交集結(jié)果得到，或，檢驗后得到答案.【詳解】因為，所以，或，當(dāng)時，，滿足集合元素的互異性，滿足要求；當(dāng)時，，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當(dāng)時，，，與集合元素的互異性矛盾，舍去.故選：A.5．（2023春·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算法則求解.【詳解】集合，，，則，得.故選：D6．（2023春·陜西西安·高一陜西師大附中?？计谀┰O(shè)集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得，所以，故選：D7．（2023秋·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，若，則實數(shù)m的取值范圍【答案】【分析】由得到，然后分B為空集和不是空集討論，當(dāng)B不是空集時利用端點(diǎn)值的關(guān)系列不等式求解．【詳解】解：，，由，，當(dāng)時，滿足，此時，；當(dāng)時，，則，解得．綜上，．故答案為：．8．（2023秋·湖南湘潭·高一校聯(lián)考期末）設(shè)全集，，．(1)若，求．(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算知識即可求解.（2）求出，，分，兩種情況討論，根據(jù)集合的運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，所以或，；（2）全集，，或，，分，兩種情況討論.（1）當(dāng)時，如圖可得，或，或；（2）當(dāng)時，應(yīng)有：，解得；綜上可知，或，故得實數(shù)的取值范圍.9．（2023秋·湖南張家界·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，．(1)求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合；（2）分、兩種情況討論，根據(jù)可得出關(guān)于實數(shù)的不等式（組），綜合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因為，則或，又因為，因此，.（2）解：當(dāng)時，，解得，合乎題意；當(dāng)時，，即當(dāng)，因為，，，則，解得.綜上所述，.10．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校校考期末）已知集合，，.(1)求；(2)若，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出集合A，由交集和并集的定義即可得出答案；（2）由可得，討論和，求解即可.【詳解】（1），所以.（2）因為，所以，若，則，解得：，若，則，解得：，所以m的取值范圍為：.題型四Venn圖的實際應(yīng)用【例4】（1）（2023秋·河北石家莊·高一統(tǒng)考期末）已知全集，，，則如圖所示的陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為，因為，，所以，因為，所以.故選：D.（2）（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎?，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圖可得陰影部分表示，然后用補(bǔ)集和交集的定義進(jìn)行求解【詳解】由圖可得，圖中陰影部分表示的集合為，因為，所以或，，故選：A（3）（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）圖中U是全集，A，B是U的子集，則陰影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由陰影部分的元素特點(diǎn)可直接得到結(jié)果.【詳解】由圖知，陰影部分的元素既不屬于集合，也不屬于集合，所以陰影部分表示的集合是.故選：D鞏固訓(xùn)練1．（2023春·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察出圖中陰影部分表示的集合為，結(jié)合交集的定義即可求解.【詳解】由得，圖中陰影部分表示的集合是，故.故選：A2．（2023春·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)?？计谀┮阎希瑒t下圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求得結(jié)合，結(jié)合陰影部分表示的集合為，即可求解.【詳解】由集合，又由陰影部分表示的集合為.故選：C.3．（2023秋·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）（多選）能正確表示圖中陰影部分的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】由集合運(yùn)算和Venn圖知識對選項依次辨析即可.【詳解】對于A，為，∴為，故選項A正確；對于B，為，∴為，故選項B錯誤；對于C，為，為，∴為，故選項C錯誤；對于D，為，∴為，∴為，故選項D正確.故選：AD.題型五集合中的新定義問題【例5】（1）（2023秋·四川成都·高一?？计谀┮阎?，若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義求解即可【詳解】因為集合，且，所以，故選：C（2）（2023秋·吉林·高一長春市第二實驗中學(xué)校聯(lián)考期末）整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，其中．以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．若，則整數(shù)，屬同一類【答案】ACD【分析】根據(jù)“類”的定義，對選項進(jìn)行分析，得到答案.【詳解】A選項，，故，A正確；B選項，，故，B錯誤；C選項，全體整數(shù)被5除的余數(shù)只能是0,1,2,3,4，故，C正確；D選項，由題意可知能被5整除，故分別被5除的余數(shù)相同，故整數(shù)，屬同一類，D正確.故選：ACD（3）（2023秋·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）給定數(shù)集M，若對于任意a，，有，且，則稱集合M為閉集合，則下列說法中不正確的是（

）A．集合為閉集合B．正整數(shù)集是閉集合C．集合為閉集合D．若集合為閉集合，則為閉集合【答案】ABD【分析】根據(jù)集合M為閉集合的定義，對選項進(jìn)行逐一判斷，可得出答案．【詳解】選項A：當(dāng)集合時，，而，所以集合M不為閉集合，A選項錯誤；選項B：設(shè)是任意的兩個正整數(shù)，則，當(dāng)時，是負(fù)數(shù)，不屬于正整數(shù)集，所以正整數(shù)集不為閉集合，B選項錯誤；選項C：當(dāng)時，設(shè)，則，所以集合M是閉集合，C選項正確；選項D：設(shè)，由C可知，集合為閉集合，，而，故不為閉集合，D選項錯誤．故選：ABD．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？计谀┒x且，若，則【答案】【分析】根據(jù)題目定義，分別求得和，再利用并集運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)集合且的定義可知，當(dāng)時，可得，；所以故答案為：2．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學(xué)?？计谀┮阎?，對于它的任一非空子集，可以將中的每一個元素都乘再求和，例如，則可求得和為，對所有非空子集，這些和的總和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先計算出集合的非空子集個數(shù)，然后結(jié)合新定義計算結(jié)果所出現(xiàn)的情況，把結(jié)果相加【詳解】因為元素，，，，，在集合的所有非空子集中分別出現(xiàn)次，則對的所有非空子集中元素執(zhí)行乘再求和，則這些和的總和是．故選：B.3．（2023秋·安徽蚌埠·高一統(tǒng)考期末）（多選）對任意，定義.例如，若，則，下列命題中為真命題的是（

）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)定義，得到，對四個選項一一驗證.【詳解】根據(jù)定義.對于A：若,則,,,,∴,故A正確;對于B：若,則,,,,∴,故B正確;對于C：若,則,,則.故C錯;對于D：左邊,右邊所以左=右.故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：(1)仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；(2)根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.題型六充分條件與必要條件【例6】（1）（2023秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）若是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，則是的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用題給條件判斷出與的邏輯關(guān)系，進(jìn)而得到正確選項.【詳解】若是的必要不充分條件，則，，是的充分不必要條件，則，則有，，則是的充分不必要條件，故選：A．（2）（2023春·江西·高一吉安三中?？计谀啊笔恰啊钡模?/p>

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式所表示的集合的包含關(guān)系以及必要不充分條件的判定方法即可得到答案.【詳解】因為，所以前者無法推出后者，后者可以推出前者，故“”是“”的必要不充分條件，故選：A.（3）（2023秋·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：由，解得或，所以由推得出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A（4）（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┩醪g是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”.其名篇“但使龍城飛將在，不教胡馬度陰山”（人在陣地在，人不在陣地在不在不知道），由此推斷，胡馬度過陰山是龍城飛將不在的什么條件？（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義求解.【詳解】因為人在陣地在，所以胡馬度過陰山說明龍城飛將不在，因為人不在陣地在不在不知道，所以龍城飛將不在，不能確定胡馬是否度過陰山，所以胡馬度過陰山是龍城飛將不在的充分條件，結(jié)合選項，可得A正確；故選:A.（5）（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知集合，，全集.(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡集合A，根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算、交集運(yùn)算求解；（2）由題意轉(zhuǎn)化為，列出不等式組求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，集合，或，故（2）由題知：，即且，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，由得，；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.（6）（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）在①“是的充分不必要條件；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題：已知集合(1)當(dāng)時，求；(2)若選______，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)集合的并集運(yùn)算可得答案；（2）選擇①：由已知得，建立不等式求解即可；選擇②：由已知得．建立不等式求解即可；選擇③：由，建立不等式求解即可；【詳解】（1）當(dāng)時，集合，所以；（2）選擇①：因為“是“的充分不必要條件，所以，因為，所以，又因為，所以（等號不同時成立），解得，因此實數(shù)的取值范圍是.選擇②：因為，所以.因為，所以.又因為，所以，解得，因此實數(shù)的取值范圍是.選擇③：因為，而，且，，所以或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·安徽六安·高一金寨縣青山中學(xué)?？计谀┰O(shè)，則的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)必要不充分的概念找出比要大的范圍即可.【詳解】的一個必要不充分條件，即的范圍要比要大，只有符合，故選：C.2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩作《從軍行》中的詩句“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場；即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選：A3．（2023秋·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知集合,若是的充分條件,則a可以是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】AB【分析】根據(jù)充分條件的概念,得出集合之間的包含關(guān)系,即可得出的范圍,選出選項.【詳解】解:因為是的充分條件,所以,所以有.故選:AB4．（2023秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）（多選）若關(guān)于的方程至多有一個實數(shù)根，則它成立的必要條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用的判別式，求出的范圍，再利用必要條件的定義即可求得.【詳解】因為方程至多有一個實數(shù)根，所以方程的判別式，即：，解得，利用必要條件的定義，結(jié)合選項可知，成立的必要條件可以是選項B和選項C.故選：BC.5．（2023秋·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）設(shè)：，：，是的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)充分條件的定義結(jié)合包含關(guān)系得出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】設(shè)，因為是的充分條件，所以集合是集合的子集，所以.故答案為：6．（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)校聯(lián)考期末）已知集合,．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知確定集合，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可；（2）若“”是“”的必要不充分條件，則B是A的真子集，列不等式求解，即可得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）解：若，則，又所以；（2）解：，因為“”是“”的必要不充分條件，所以B是A的真子集，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．7．（2023秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知集合，(1)當(dāng)時，求；(2)若______，求實數(shù)的取值范圍．請從①且；②“”是“”的必要條件；這兩個條件中選擇一個填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答．（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先求兩個集合，再求交集；（2）若選擇①，則，再分集合和，兩種情況，列式求解；若選擇②，則，列式