考點(diǎn)07 函數(shù)的單調(diào)性與最值4種常見(jiàn)考法歸類(lèi)（解析版）

考點(diǎn)07函數(shù)的單調(diào)性與最值4種常見(jiàn)考法歸類(lèi)考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性（一）判斷函數(shù)的單調(diào)性（二）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性（三）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（一）利用單調(diào)性比較大?。ǘ├煤瘮?shù)的單調(diào)性解抽象不等式（三）利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍（1）分式函數(shù)（2）二次函數(shù)（3）三次函數(shù)（4）對(duì)數(shù)函數(shù)（5）分段函數(shù)（6）與絕對(duì)值有關(guān)的單調(diào)性問(wèn)題考點(diǎn)三函數(shù)的最值問(wèn)題（一）利用函數(shù)單調(diào)性求最值（二）根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)（三）函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題（四）函數(shù)不等式有解問(wèn)題考點(diǎn)四抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題1、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：定義法：在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上任取并使得，通過(guò)作差比較與的大小來(lái)判斷單調(diào)性。具體如下：設(shè)x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，記Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么①eq\f(Δy,Δx)＞0?f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)；eq\f(Δy,Δx)＜0?f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù).上式的幾何意義：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率恒大于(或小于)零.②增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形：?x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，則(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．（2）性質(zhì)法：①當(dāng)常數(shù)c>0時(shí)，y＝c·f(x)與y＝f(x)的單調(diào)性相同；當(dāng)常數(shù)c<0時(shí)，y＝c·f(x)與y＝f(x)的單調(diào)性相反，特別地，函數(shù)y＝－f(x)與y＝f(x)的單調(diào)性相反.②當(dāng)y＝f(x)恒為正或恒為負(fù)時(shí)，y＝eq\f(1,f（x）)與y＝f(x)的單調(diào)性相反.③若c為常數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝f(x)＋c的單調(diào)性相同.④若函數(shù)為增函數(shù)，為增函數(shù)，為減函數(shù)，為減函數(shù)，則有為增函數(shù)，2）為增函數(shù)，3）為減函數(shù)，4）為減函數(shù)。⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)也是增(減函數(shù))；若f(x)<0且g(x)<0，f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)是減(增)函數(shù).⑥奇(偶)函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同(相反).（3）圖像法：對(duì)于含絕對(duì)值或者分段函數(shù)經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)函數(shù)的圖象來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開(kāi)寫(xiě)，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．（4）復(fù)合函數(shù)法：對(duì)于函數(shù)，可設(shè)內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為，可以利用復(fù)合函數(shù)法來(lái)進(jìn)行求解，遵循“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相同，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相反，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)隨著的增大而增大隨著的增大而增大隨著的增大而減小隨著的增大而減小增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)（5）導(dǎo)數(shù)法：適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù)．對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果在某個(gè)區(qū)間上f′(x)＞0，那么f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；如果在某個(gè)區(qū)間上f′(x)＜0，那么f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.2、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）比較大?。却笮〕Ｓ玫姆椒ㄊ抢脝握{(diào)性比大??；搭橋法，即引入中間量，從而確定大小關(guān)系；數(shù)形結(jié)合比大小。注：一般三個(gè)數(shù)比較大小使用中間量法（一個(gè)大于1，一個(gè)介于0-1之間，一個(gè)小于0）再結(jié)合函數(shù)的圖像判斷大小。比較函數(shù)值的大小，常由函數(shù)的奇偶性、周期性等，將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)比較自變量的大小來(lái)比較其函數(shù)值大小.（2）解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．解抽象函數(shù)不等式問(wèn)題（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步驟：第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；第四步：(求解)解不等式或不等式組確定解集；第五步：(反思)反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．注：自變量的大小關(guān)系和函數(shù)值的大小關(guān)系可正逆互推，即若f(x)是增(減)函數(shù)，則f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2).在解函數(shù)不等式時(shí)，可以利用函數(shù)單調(diào)性的“可逆性”，“脫去”函數(shù)符號(hào)f，化為一般不等式求解，但運(yùn)算必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行.（3）利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；②二次函數(shù)的單調(diào)性與開(kāi)口和對(duì)稱軸（對(duì)稱軸左右兩側(cè)單調(diào)性相反）有關(guān)。③需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；④分段函數(shù)在定義域上的具有一種單調(diào)性，則要求分段函數(shù)在每段定義域上的單調(diào)性保持一致，還對(duì)斷點(diǎn)處的函數(shù)值的大小有要求,如果是增函數(shù)，則在斷點(diǎn)處左邊的函數(shù)值右邊的函數(shù)值，如果是減函數(shù)，則在斷點(diǎn)處左邊的函數(shù)值右邊的函數(shù)值，注意：“單調(diào)區(qū)間”與“在區(qū)間上單調(diào)”的區(qū)分(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，因此，討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域．(2)單調(diào)區(qū)間是完整的區(qū)間，在區(qū)間上單調(diào)可能只是部分單調(diào)區(qū)間．3、求函數(shù)最值(值域)的五種常用方法及注意點(diǎn)(1)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；(2)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；(3)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值；(4)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；(5)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值．注：(1)求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域；(2)求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值．4、函數(shù)最值的重要結(jié)論(1)設(shè)f(x)在某個(gè)集合D上有最小值，m為常數(shù)，則f(x)≥m在D上恒成立的充要條件是f(x)min≥m.(2)設(shè)f(x)在某個(gè)集合D上有最大值，m為常數(shù)，則f(x)≤m在D上恒成立的充要條件是f(x)max≤m.5、抽象函數(shù)的單調(diào)性（1）所謂抽象函數(shù)，一般是指沒(méi)有給出具體解析式的函數(shù)，研究抽象函數(shù)的單調(diào)性，主要是考查對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解，是一類(lèi)重要的題型，而證明抽象函數(shù)的單調(diào)性常采用定義法．（2）一般地，在高中數(shù)學(xué)中，主要有兩種類(lèi)型的抽象函數(shù)，一是“f(x＋y)”型，二是“f(xy)”型．對(duì)于f(x＋y)型的函數(shù)，只需構(gòu)造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用題設(shè)條件將它用f(x1)與f(x2－x1)表示出來(lái)，然后利用題設(shè)條件確定f(x2－x1)的范圍(如符號(hào)、與“1”的大小關(guān)系)，從而確定f(x2)與f(x1)的大小關(guān)系；對(duì)f(xy)型的函數(shù)，則只需構(gòu)造f(x2)＝f(x1·eq\f(x2,x1))即可．6、常見(jiàn)抽象函數(shù)及其原型(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋m，原型為一次函數(shù)f(x)＝kx＋b.(2)f(x＋y)＝f(x)·f(y)，原型為f(x)＝ax(a>0，且a≠1).(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)，原型為f(x)＝logax(a>0，且a≠1).(4)f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)(f(0)≠0)，原型為f(x)＝cosx.考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性（一）判斷函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·四川·高三統(tǒng)考對(duì)口高考）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，故A符合；函數(shù)在定義域上單調(diào)增，故B不符合；函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故C不符合；函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故D不符合.故選：A.2．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對(duì)于BCD，根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)觀察均是向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度的形式，根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以判斷平移后的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷上的單調(diào)性得到結(jié)論，而根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可判斷A的正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞減，故不符合題意.對(duì)于選項(xiàng)：是向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，所以在在上單調(diào)遞減，故不符合題意.對(duì)于選項(xiàng)：是向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋圆环项}意.對(duì)于選項(xiàng)：是向右平移了兩個(gè)單位長(zhǎng)度，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，符合題意.故選.3．（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）下列各項(xiàng)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【詳解】由函數(shù)的奇偶性可知，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)A，B選項(xiàng)；由冪函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故排除選項(xiàng)C，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故選：C.4．（2023·北京·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，所以其為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故A不符合題意；對(duì)于B，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D不符合題意.故選：B.5．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、C，根據(jù)奇偶性的定義及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，是正切函數(shù)，是奇函數(shù)，但在上不具有單調(diào)性，不符合題意；對(duì)于B，，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，不符合題意；對(duì)于C，，在上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于D，設(shè)，其定義域?yàn)?，有，為奇函?shù)，而，在上為增函數(shù)，符合題意．故選：D．6．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)且是增函數(shù) B．是偶函數(shù)且是減函數(shù)C．是奇函數(shù)且是增函數(shù) D．是奇函數(shù)且是減函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用奇偶性定義及復(fù)合函數(shù)單詞性判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是奇函數(shù)，AB錯(cuò)誤，因?yàn)楹瘮?shù)在R上遞增，則函數(shù)在R上遞減，所以函數(shù)是增函數(shù)，D錯(cuò)誤，C正確.故選：C（二）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性7．（2023秋·河南許昌·高三校考期末）已知函數(shù).(1)求的解析式;(2)判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)代入，即可求得的解析式；（2）先判斷的單調(diào)性，再利用單調(diào)性的定義證明即可.【詳解】（1）由題意得,解得,.（2）在上單調(diào)遞增,證明如下:設(shè)任意,則由,得,,即,故在上單調(diào)遞增.8．（2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)a=1，b=3；(2)詳見(jiàn)解析；(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，由求得a，再根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明；（2）將時(shí)，恒成立，令，轉(zhuǎn)化為，時(shí)恒成立求解.（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，即，即，整理得，所以，即，則，因?yàn)槎x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以b=3；（2）在上遞增.證明：任取，且，則，因?yàn)?，所以，又，所以，即，所以在上遞增；（3）因?yàn)?，所以，又?dāng)時(shí)，恒成立，所以，時(shí)恒成立，令，則，時(shí)恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的取值范圍是.9．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（）.(1)求函數(shù)的定義域，并判斷的奇偶性；(2)用定義證明函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)；(3)如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，求與的值.【答案】(1)，是奇函數(shù)(2)證明見(jiàn)解析(3)，【分析】（1）解即可得函數(shù)定義域嗎，再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，結(jié)合奇函數(shù)的概念判斷即可；（2）結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）由題知且在上的值域是，進(jìn)而得且，再解方程即可得答案.【詳解】（1）解：令，解得，所以.對(duì)任意，，所以函數(shù)是奇函數(shù).（2）解：設(shè)，且，則.因?yàn)椋?，，所以，?又，于是，即，所以函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù).（3）解：由（2）知，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù).因?yàn)闀r(shí)，的值域是，所以且在上的值域是，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，且，所以，由，得，解得或（舍去），所以，.（三）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間10．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象為從左到右下降的，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解，需注意的是函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，不能寫(xiě)成并集的形式；【詳解】解：若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象為從左到右下降的．由圖象知，函數(shù)的圖象在，上分別是從左到右下降的，則對(duì)應(yīng)的減區(qū)間為，，故選：D．11．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出不等式的解后可得其增區(qū)間.【詳解】的定義域?yàn)?，而，令，則，而，故，故的增區(qū)間為.故選：A.12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出定義域，在利用二次函數(shù)單調(diào)性判斷出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域需要滿足，解得定義域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故選：D.13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】設(shè)t＝x2﹣2x﹣3，則函數(shù)在（﹣∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為減函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知，此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”．14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)在所求定義域上的單調(diào)區(qū)間并結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可作答.【詳解】在函數(shù)中，由得或，則的定義域?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B15．（2023·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)．關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性，下列判斷正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】A【分析】利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，最后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】令，函數(shù)可化為為，因?yàn)楹瘮?shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，即.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】由可得，即為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，可得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到時(shí)，的單調(diào)區(qū)間，即可得到答案【詳解】解：由，則為偶函數(shù)，的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，所以在上遞增，在遞減；則當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，則有的遞增區(qū)間為.故選：C17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，借助二次函數(shù)分段討論其單調(diào)性作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】去絕對(duì)值符號(hào)表示出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象求出單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和．故選：B.考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（一）利用單調(diào)性比較大小19．（2023秋·天津南開(kāi)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)椋?，故選：.20．（2023·安徽合肥·校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得出其在，上單調(diào)遞減性，從而可得，由此得出答案.【詳解】；設(shè)，；時(shí)，；則在，上單調(diào)遞減；；即；．故選：D21．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則下列各式成立的是（

）A．； B．；C．； D．．【答案】C【分析】取特殊值排除ABD，證明結(jié)合單調(diào)性得到B正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：取，則，不成立；對(duì)選項(xiàng)B：取，則，不成立；對(duì)選項(xiàng)C：，故，函數(shù)單調(diào)遞減，故，成立；對(duì)選項(xiàng)D：取，則，不成立；故選：C22．（2023秋·江蘇常州·高三華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，比較的大小關(guān)系，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故選：.23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，則以下結(jié)論正確的是A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)?，即，所以由函?shù)的單調(diào)性可得：，應(yīng)選答案D．24．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再判斷出，，的大小關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)論．【詳解】解函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由和在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞減，，，，.故選：D．25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性判斷即得．【詳解】設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，∵，∴，∴，故A錯(cuò)誤，B正確；又，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤.故選：B.（二）利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式26．（2023春·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省潁上第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈臏p函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性得到，解得答案.【詳解】函數(shù)是定義域?yàn)榈臏p函數(shù)，因，故，解得，故選：C27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)性質(zhì)分析可得或，求解即可【詳解】由題意，在單調(diào)遞增，且故或解得：故選：D28．（2023春·天津?qū)氎妗じ呷旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則滿足不等式的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫(huà)出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到，且，求出x的取值范圍.【詳解】畫(huà)出的圖象，如下：顯然要滿足，則要，且，解得：.故選：C29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)在R上單調(diào)遞增可求解.【詳解】易得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則由可得，解得，故不等式的解集為.故選：A．30．（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）．A． B．或C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知得出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，即可根據(jù)單調(diào)性解不等式得出答案.【詳解】函數(shù)中，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，，，解得：，即不等式的解集為.故選：D.31．（2023秋·河北秦皇島·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)【答案】A【分析】先判斷函數(shù)單調(diào)性，然后利用其單調(diào)性解不等式.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，其對(duì)稱軸為且函數(shù)圖像開(kāi)口向上，所以在上為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其對(duì)稱軸為且函數(shù)圖像開(kāi)口向下，所以在上為增函數(shù)，且，所以在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，解得，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題.（三）利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍（1）分式函數(shù)32．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為_(kāi)___________．【答案】【分析】由以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以的最小值?故答案為：.33．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則“”是“函數(shù)在為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)為單調(diào)減函數(shù)解出的范圍，即可判斷得結(jié)果.【詳解】由題意可得為減函數(shù)，則，解得.因?yàn)橥撇怀觯浴啊笔恰昂瘮?shù)在為減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的范圍是_______.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化原函數(shù)為，利用反比例函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域，即得解【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，又，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以只需在上是減函數(shù)，因此，解得.故答案為：（2）二次函數(shù)35．（2023秋·河北唐山·高三唐山市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口方向及對(duì)稱軸，可確定函數(shù)單調(diào)性，從而可得【詳解】解：函數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為直線，且二次函數(shù)開(kāi)口向下，則的增區(qū)間為，減區(qū)間為；故若函數(shù)在上是減函數(shù)則.故選：A.36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，即可得的單增區(qū)間，即可求解.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸是，開(kāi)口向上，若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則，故答案為：．37．（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】求出二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，由題意可得對(duì)稱軸小于等于，或大于等于，從而可求出的取值范圍.【詳解】的圖像的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上時(shí)單調(diào)函數(shù)，所以或，得或，即的取值范圍是，故選：D38．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)于任意，都有，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】依題意等價(jià)于，令，則在單調(diào)遞增，再利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以可化為，即，令，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則或，解得或，綜上所述，，即的最小值為.故選：B.39．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三江蘇省高郵中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)的范圍去絕對(duì)值，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】，時(shí)，，時(shí)，=.①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意;②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，③當(dāng)即時(shí)，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，不符合題意;④當(dāng)即時(shí)，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增，⑤當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，不符合題意，函數(shù)在處，函數(shù)連續(xù)，綜合②④可知，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則.故答案為：（3）三次函數(shù)40．（2023春·北京·高三北京八十中?？计谥校┮阎瘮?shù)，則“”是“f（x）在R上單調(diào)遞減”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】若f（x）在R上單調(diào)遞減，則恒成立，則，a的取值范圍包含，可判斷“”是“”的充分不必要條件【詳解】，若a<0，則恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞減，若f（x）在R上單調(diào)遞減，則恒成立，則，所以“”是“f（x）在R上單調(diào)遞減”的充分不必要條件，故選：A41．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得兩個(gè)根分別位于和上，所以，從而解不等式組可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得．因?yàn)樵冢蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以方程的兩個(gè)根分別位于區(qū)間和上，所以，即解得.故選：A．（4）對(duì)數(shù)函數(shù)42．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，解得.故選：B.43．（2023秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，分類(lèi)討論對(duì)數(shù)底數(shù)的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性及真數(shù)大于0求解即可.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，由在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，故，解得，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，由在區(qū)間上為減函數(shù)，則在上為增函數(shù)，故，解得，綜上，的取值范圍是.故答案為：44．（2023春·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)（且）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和分析函數(shù)內(nèi)外層的單調(diào)性，列不等式求解【詳解】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有意義，則，設(shè)則，(1)當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，需使在區(qū)間內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞增，則需使，對(duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立；因?yàn)闀r(shí)，所以與矛盾，此時(shí)不成立.(2)當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，需使在區(qū)間內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞減，則需使對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，因?yàn)?，所以，又，所?綜上，的取值范圍是故選：B45．（2023秋·河南駐馬店·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在恒成立.【詳解】,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，則的取值范圍為.故選：B46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則的值是_______【答案】【分析】通過(guò)變形得到，可構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性得到，結(jié)合條件可得的值.【詳解】,,,令，明顯為單調(diào)遞增函數(shù)，，，，.故答案為：.（5）分段函數(shù)47．（2023秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·高三?？茧A段練習(xí)）已知f（x）=是定義在R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是___.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)每段遞減以及左邊一段的最低點(diǎn)不低于右邊一段的最高點(diǎn)，列不等式組求解即可.【詳解】解：由f（x）=是定義在R上的減函數(shù)可得，解得，即a的取值范圍是故答案為：48．（2023秋·寧夏固原·高三隆德縣中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)，在定義域上滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的取值范圍是____________．【答案】【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞減，再根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解出答案.【詳解】根據(jù)題意函數(shù)在上單調(diào)遞減，故滿足，解得.故答案為：49．（2023秋·河南鄭州·高三?？计谀┖瘮?shù)在R上單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出在R上單調(diào)遞減的的范圍，則充分不必要條件為的非空真子集.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，解得：，則在R上單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件為的非空真子集，所以A正確，故選：A.50．（2023秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)(且)是R上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得或，即得.【詳解】因?yàn)?且)是R上的單調(diào)函數(shù)，若是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得；若是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則，解得；綜上，a的取值范圍是.故選：B.51．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)且在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷的單調(diào)性，然后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上不單調(diào)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則需，解得．故實(shí)數(shù)t的取值范圍為．故選：A（6）與絕對(duì)值有關(guān)的單調(diào)性問(wèn)題52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的的取值范圍，結(jié)合與的關(guān)系求出答案【詳解】的圖象如圖所示，要想函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，必須滿足，因?yàn)槭堑淖蛹?，所以“”是“函?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)與在區(qū)間上都是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由一次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖像變換即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，所以當(dāng)，y隨x的增大而減小，當(dāng)，y隨x的增大而增大.要使函數(shù)在區(qū)間上都是嚴(yán)格減函數(shù)，只需；要使在區(qū)間上都是嚴(yán)格減函數(shù)，只需；故a的范圍為.故選：D54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)），若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是__________.【答案】

【詳解】令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以有，即，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對(duì)稱性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化研究.如對(duì)稱軸與單調(diào)性之間關(guān)系.考點(diǎn)三函數(shù)的最值問(wèn)題（一）利用函數(shù)單調(diào)性求最值55．（2023秋·山西陽(yáng)泉·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】首先求出函數(shù)的最大值及單調(diào)區(qū)間，依題意可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可得到，從而得到、為方程的兩根，再利用韋達(dá)定理計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋瑢?duì)稱軸為，開(kāi)口向下，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，依題意，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以、為方程的兩根，所以.故選：A56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】解：時(shí)，單調(diào)遞增，；時(shí)，單調(diào)遞減，.所以的最大值為．故答案為：．57．（2023秋·江蘇蘇州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)的值，判斷函數(shù)在,上的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在,上的最大值和最小值．【答案】(1)，單調(diào)遞增(2)最小值，最大值【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，對(duì)照等式可求得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷函數(shù)在,上的單調(diào)性.（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，判斷在,上的單調(diào)性，利用單調(diào)性可求得函數(shù)最值.【詳解】（1）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，即，解得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在,上為增函數(shù)，所以函數(shù)在,上為增函數(shù)，在,上為減函數(shù)．又所以（二）根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)58．（2023秋·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)_______.【答案】3【分析】先分離變量，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，分類(lèi)研究即可.【詳解】∵函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，最大值為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，最大值為，即，顯然不合題意，故實(shí)數(shù).故答案為：359．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，其中，，若的最小值為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)討論函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，最后根據(jù)最值確定的取值范圍.【詳解】①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，因此滿足題意；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，則，，所以，，，，，，或或；（ii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，；綜上，的取值范圍為.故答案為：60．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)最小值為，則____________．【答案】【分析】本題首先可通過(guò)函數(shù)有最小值得出，然后通過(guò)基本不等式得出，最后通過(guò)函數(shù)最小值為求出，通過(guò)檢驗(yàn)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有最小值，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)最小值為，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，滿足題意，故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.61．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，去絕對(duì)值后，根據(jù)函數(shù)有最小值得出函數(shù)的變化趨勢(shì)，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：由題意，在中，∵函數(shù)有最小值，∴函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增或常函數(shù)，∴，解得：，∴有最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.62．（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.【詳解】若時(shí)，，；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值；若時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)有最小值，需或，解得.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用分類(lèi)討論法，結(jié)合最值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.63．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，結(jié)合不等式求得其最小值為，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)函數(shù)的最小值為，列出不等式組，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，，要使得函數(shù)的最小值為，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.（三）函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題64．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）對(duì)任意的，不等式都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離參數(shù)得對(duì)任意的恒成立，則求出即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有恒成立，∴對(duì)任意的恒成立．設(shè)，，，當(dāng)，即時(shí)，，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.65．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考三模）正數(shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍________．【答案】【分析】由均值不等式“1”的代換求出，則，解不等式即可求出答案.【詳解】解析：由題，則，∴，解得:．故答案為：.66．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(其中是常數(shù))．若當(dāng)時(shí)，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【分析】令，將原指數(shù)度等式的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行處理.【詳解】，令，由于，根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：時(shí)，恒成立，下只需求時(shí)的最大值.根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)遞減，上遞增，而端點(diǎn)和相比距離對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，故，于是.故答案為：67．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【分析】先對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，可求出最大值為，解不等式，即可得出a的取值范圍.【詳解】由題意可知只需求出的最大值，再解不等式即可，當(dāng)時(shí)，時(shí)，由指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖像可知，，，所以，則在上恒成立不符，舍去；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞增，所以在