2024版高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法練習(xí)題：數(shù)列

數(shù)列

一、單項(xiàng)選擇題

L（2023屆山東濰坊模擬,3）大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的

推論,主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極

衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和.大衍數(shù)列是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)

學(xué)史上第一道數(shù)列題,其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則這個(gè)數(shù)列的第

20項(xiàng)為（）

A.198B.200C,202D.204

答案B由數(shù)列前10項(xiàng)的規(guī)律可知當(dāng)"為偶數(shù)時(shí),斯=9;當(dāng)"為奇數(shù)時(shí),所以

2n2

O2o=—=200,故選B.

2.（2023屆河南南陽(yáng)期中,4）已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和S.=4-l1機(jī)若7<^<10,則后（）

A.9B.10C.llD.12

答案B因?yàn)樗援?dāng)稔2時(shí),（”-1）,所以a“=S,-S〃-i=2"-12,因

為7<以<10,所以7<2hl2<10,解得9.5<R11.

又左QN*,所以Q10.故選B.

3.（2023屆成學(xué)段考,4）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S,若2s=3&+8&,則

公比產(chǎn)（）

3

A.2B.--

2

C.2或-|D.2或|

答案A由2s3=3i2+8〃i,可得2（。1+42+的）=3〃2+8〃1,即2。3-。2-6。1=0.

所以2〃爐0060=0,即212_伏6=0,解得鄉(xiāng)=2或q=-|.?.?數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，,/=2.故選

A.

4.（2022云南玉溪峨山一中月考，11）已知等差數(shù)列｛斯｝的公差不等于0,其前〃項(xiàng)和為S〃,

若a%S5,Sie｛-10,0｝,貝ij的最小值為（）

A.-6B.-llC.-12D.-14

答案C由題意知〃4=0或614=-10.

.（CL-]+3d—0|

當(dāng)44=0時(shí)，55=中*5=等，因?yàn)楣畲?,所以S5=-10,所以5%+5dm解得

221---=-10,

巴1=16,所以3"。",又$7=72-7x7=06｛-10,0｝,滿足條件,所以S.的最小值為

（d=2,

2

S3=S4=4-7X4=-12.

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-1

當(dāng)O4=-10時(shí),S5=-10或&=0.若S5=-10,則他°1n解得巴1=由于d=-8<0,

故S,無(wú)最小值;若S5=0,則他T：解得舊=22由于^=-10<0,故S”無(wú)最小值.

綜上所述,S"的最小值為-12.故選C.

5.（2023屆西安西工大附中適應(yīng)性測(cè)試二,7）已知等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Stl,若a4-

<22=12,<25-03=24,則‘4=（）

。1+。3

A.6B.3C.2D.1

答案B設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,則外也±=2,所以32r3+〃=

（。1+。3）（1+。）=1+疔3.故選B.

CL1+CL3

6.（2023屆貴州六校聯(lián)盟聯(lián)考一,8）若數(shù)列｛??｝滿足ai=2,alt+alt+1+an+2=2,則其前

2023項(xiàng)的和為（）

A.1360B.1358C.1350D.1348

答案C。"+。0+1+?！?2=2,$2023=41+（。2+。3+。4）+（。5+。6+。7）+…+（。2021+42022+

O2023）=ai+674x2=l350,故選C.

7.（2023屆江西贛州厚德外國(guó)語(yǔ)學(xué)校、豐城中學(xué)聯(lián)考，H）已知等差數(shù)列｛斯｝滿足

42=2,。3+。6=1+。8,數(shù)列｛bn｝滿足"小+1?！?4”+19,記仍"｝的前H項(xiàng)和為Sn,若對(duì)于任意的a

6[-2,2],〃62不等式工<2/+辦3恒成立,則實(shí)數(shù)》的取值范圍為（）

A.（-so,-2]U[2,+oo）

B.（-00,-2]U[1,+oo）

C.（-00,-1^U[2,+oo）

D.[-2,2]

答案A?.,43+46=48+。1=。8+1,=又々2=2,.,.等差數(shù)列&｝的公差"=。2-的=1,

=

;?篇=1+（〃-1）—n.由bnan+1cincin+i-an）得bn=-------=------

anan+1nn+1

；5=（1_?（*）+（1_￡）+-+后一￡）+（卜焉=—a

?'.不等式S<2/2+（2r-3可轉(zhuǎn)化為

zln+l

???問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意的[-2,2],2?+“4沙恒成立.

n+l

設(shè)/（a）=at+（2人4）,ae[-2,2],則吃）言即色十”黃解得或正？

1/（乙）—U,1—2^t+4）2U,

故選A.

8.（2022安徽安慶一中4月模擬，12）在自然界中,樹木的分叉、花瓣的數(shù)量、植物種子

的排列等都遵循了某種數(shù)學(xué)規(guī)律,直到13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契從兔子

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繁殖問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了一組神奇的數(shù)字1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,它同時(shí)揭示了植物生長(zhǎng)

的規(guī)律,我們將其稱為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列也可以表示為｛an｝,勾=勿=1,an+2=an+an+l（n

￡N*）.下面結(jié)論：①〃1+〃2+…②於+堵+…+Qa6=〃16417,③〃1+〃3+…+〃15=〃16,

（3）〃2+。4+...+。16=。17-1,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.lB.2C.3D.4

答案D由已知〃1+。2=俏，〃2+13=〃4,.....,416+417=118,

累力口得11+2（42+的+〃4+…+”16）+07=〃3+〃4+…+〃16+。17+。18,即〃1+42+…+〃16=故①正

確；

由。尸〃2,〃2+〃3=〃4,。4+。5=。6,......,〃14+〃15=〃16,

累力口得。1+。2+。3+〃4+…+〃14+〃15=12+。4+…+〃14+〃16,

即0+。3+…+。15=。16,故③正確；

由〃1+〃2=〃3,〃3+〃4二〃5，......,〃15+〃16=〃17,

累力口整理得。1+〃2+〃3+〃4+...+415+〃16=的+。5+...+。15+。17,即。2+。4+...+。16=〃17-1,故④正確；

因?yàn)閍〃+2=a〃+a〃+b。尸。2=1,所以城+同+…+可6=。3+送+甫+…+a/=a3a4+

al+—卜al6=a4a5+硝+—卜臉=…=al5a16+臉=儂〃。,故②正確.故選D.

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2022福建4月百校聯(lián)合測(cè)評(píng),9）已知等差數(shù)列｛??）的前n項(xiàng)和為$〃=若坦,公差為d,

則（）

A.〃i=l

B.d=l

C.2S〃-a〃=l+3+5+...+（2n-l）

DS八=2謚+2。八

答案ABC取"=1,則m=吟，解得勾=1,即A正確；

由A可知，S"=S*,貝U〃=52-2的=3-2=1,即B正確；

由A、B可知斯=1+（〃-1）xl=〃.

因?yàn)?S.-%=",且1+3+...+（2小1）=/+L-1）="2,即C正確；因?yàn)镾2?=^~^=2n2+

n=2成+斯,即D錯(cuò)誤.

10.（2022江蘇泰州興化4月質(zhì)檢，10）數(shù)列｛斯｝滿足。尸1,?！?1斯=表,〃￡N*,S〃為數(shù)列｛斯｝

的前〃項(xiàng)和，則（）

A.〃4==B.an+i<an

o

3

CS<3DS<狐i

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答案BC根據(jù)題意得加+2而+1=皿="因?yàn)榈?1,且所以?=i所以血,｝的

?n+l?nGn2222

奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都構(gòu)成公比為f的等比數(shù)列,且首項(xiàng)分別為41=1,。2芭對(duì)于A,?4=a2x1=

n-1n-1

n為

n-2n

偶數(shù)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為*xQ)-=Gy,

n-1n+1nn

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a*G)2,a〃+i=O2,此時(shí)an+!<an)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，?！?()，以+1=()，此

時(shí)而尸麗綜上,得a<a所以B正確;對(duì)于C,數(shù)列｛詼｝為…，當(dāng)〃為

n+in),24488

71'n-1

11-(1)2n-i1-1一02

偶數(shù)時(shí)，得5?=J~」=3-1-(z-|\)—<3,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得S“=l+\2/=1+2-

1--

n-1-

1-g)~<3,所以C正確;對(duì)于D,當(dāng)n=2時(shí),可得S2=l+i=|,|si=此時(shí)5?=|s?.b

所以D錯(cuò)誤.故選BC.

11.(2022河北九師聯(lián)盟一模,9)已知等差數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和為5?,且滿足的=-4,S5=-40,

則)

A.〃io=6

B.Sio=-3O

C.當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí),工取最小值

D.〃5+〃6+〃7+Q8+〃9+ai0=0

(_|_4d―4

答案AB設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為a由a=-4,S=-40,得匚^5x4,..解得?=-

5515al+-^-d=—40.

2

12,d=2,所以an=2n-14,Sn=n-13n,貝!]aw=6,5io=-3O,A,B正確；令a?=2n-14<0,得n<l,且

。7=0,則n=6或n=7時(shí),S”取最小值,C不正確；因?yàn)?5+46+。7+a8+49=547=0,所以

05+46+07+08+09+410=6加或as+ae+s+as+ag+aiouGas"1-t/=6x(-4)+15x2=6,0),D不正

確.故選AB.

12.(2022重慶金太陽(yáng)聯(lián)考，11)朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》

卷中“如像招數(shù)”五問(wèn)中有如下問(wèn)題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初

日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前

往修筑堤壩,第一天派出64人,從第二天開始每天比前一天多派7人,官府向修筑堤壩

的每人每天發(fā)放大米3升.”則下列結(jié)論正確的有()

A.將這1864人派遣完需要16天

B.第十天派往筑堤的人數(shù)為134

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C.官府前6天共發(fā)放1467升大米

D.官府前6天比后6天少發(fā)放1260升大米

答案ACD記數(shù)列｛斯｝為第n天派遣的人數(shù),數(shù)列｛bn｝為第n天發(fā)放的大米升數(shù),則｛%｝

是以64為首項(xiàng),7為公差的等差數(shù)列，值｝是以192為首項(xiàng),21為公差的等差數(shù)

列,?0=64+7x9=127,B不正確.設(shè)第％天派遣完這1864人,則64人+,吹:一"=1864,解得

仁16,A正確.官府前6天共發(fā)放192x6+^x21=1467升大米,C正確.官府前6天比后6

天少發(fā)放21x10x6=1260升大米,D正確.

填空題

13.(2023屆長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中，15)已知等比數(shù)列｛四｝的公比q>\,-+-=俏=2魚,

Q2a44

貝I)a2n=.

解析由工+—=4。2+4。4=3〃2a4,又〃2〃4二成二8,???〃2+。4=6,聯(lián)立

a2a440

6,解得爛二;或爛二‘二或皆=q2=/由q>l,得q2=2,：.q=\[2,

(Q2a4——*'—乙、。2。22

Q2〃=a「q2〃/=a2.02"-2=2x(V2)2n-2=2n.

一n

14.(2017課標(biāo)〃,15,5分)等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為S,4/3=3,S=10,則壓蟲1機(jī)=

n4sk-

答案U

71+1

解析設(shè)｛斯｝的公差為d,則伊3,...fat=1,..y....前〃項(xiàng)和

+6a=10,(a=1,

nn+1._1__21

C1_LC_LI()—=2^1--+---+???+--

Sn=1+2+...+n=---

…snn(n+l)Sk223n

r712n

Z--------=--------.

n+1n+l

15.(2023屆江西贛州贛縣第三中學(xué)期中，14)已知等差數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和為Sn,并且

Sio>O,Sn<0,若對(duì)“GN*恒成立,則正整數(shù)k的值為.

答案5

解析解=.i°(ai；a?=5(ai+aio)=5(a5+?6)>0,所以a5+a6>0.

_n(ai+ail)=1lfl6<0>所以恁<0.結(jié)合a5+a6>0,可得的>0.所以當(dāng)n=5時(shí),S,取得最大值

S5.

要使對(duì)"CN*恒成立,則正整數(shù)k的值為5.

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16.（2023屆安徽蚌埠質(zhì)檢一，15）有兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10,…，190及2,8,14,...,200,由

這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)和

為.

答案1472

解析由題意可知,等差數(shù)列2,6,10,190中,公差di=4,等差數(shù)列2,8,14,200中,

公差歸=6.

???4,6的最小公倍數(shù)是12,.?.由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列的公差d=12.設(shè)

新數(shù)列為｛c”｝,則ci=2,所以c,!=2+12（n-l）.

Vc?<190,；.2+（〃-l）xl2W190,解得歸系"GN*,：.n<16,

.?.€16=2+（16-1）x12=182.

由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列2,14,26,....182的各

項(xiàng)之和當(dāng)6*（2+182）=1472.

四、解答題

17.（2022廣東深圳二調(diào)，17）已知數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和Sn=2an-3.

（1）求數(shù)列｛出｝的通項(xiàng)公式；

⑵若工+工+…+工〈算求滿足條件的最大正整數(shù)n.

a1。220

解析⑴因?yàn)镾〃=2斯-3,所以an+\=Sn+\-Sn=（2a〃+i-3）-（2期-3）,整理得an+i=2an）〃

又〃i=Si=2ai-3,所以（21=3.

所以數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，

所以為=3x2?\〃RN*.

（2）由（1）知數(shù)列｛J是首項(xiàng)為公比為抽等比數(shù)列,所以42+…+2號(hào)（1—分

令式1一味）〈意

整理,得2"<40,又“GN*,所以n=l,2,3,4,5,

所以滿足條件的最大正整數(shù)n=5.

18.（2023屆沈陽(yáng)第四中學(xué)月考，18）已知數(shù)列｛〃”｝滿足ai=l,a2g2an-ian+i=alt-

van+anan+i（n￡N,n>2）.

⑴證明:您是等差數(shù)列；

（2）求〃1。2+。2的+。3。4+…+。2022。2023的值.

解析（1）證明：將2a-1cin+1—cin-1ci+aa+1兩邊同除以a八-i篇斯+i得一=----1-------（n>2）,

nnnnanan+lan-l

所以二一—-=-一一-=??-=---=2,所以數(shù)列■[2）是等差數(shù)列.

an+lananan-la2al

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=

⑵由（1）可知一=1+2（H-1）=2n-l,所以dn~—

an2n-l

因?yàn)?"S+l=（2…晨+1）=I島-Ji），

所以〃1。2+。2。3+。3。4+…+。2022。2023

（.

—_—1I]——1十.一1——1+.,,?十.--1-

2V3354043

=1（I1）=2022

2\4045/4045,

19.（2023屆河南南陽(yáng)期中,20）數(shù)列｛詼｝中,為｛恁｝的前n項(xiàng)和,血=4,2Sj（〃〃+l）（代

⑴求證:數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)歹！J,并求出其通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛看｝的前幾項(xiàng)和Tn.

解析（1）當(dāng)n=l時(shí)，2sl=2〃產(chǎn)。1+1,

???2S*〃（以+1）①,.,?當(dāng)論2時(shí)，2s止1=5-1）（斯_1+1）②.

①-②得（n-2）an=（n-1）

當(dāng)n>3時(shí)，（〃-3）斯_產(chǎn)（〃?2）斯々-I④.

③-④得2an-i=an+an-2（論3）.：?｛〃〃｝是等差數(shù)列.

又42-。1=3,/.an=l+3（n-1）=3n-2.

n（3n2+1）

（2）由（1）可得S〃=吟辿=；二號(hào):

則1=1=2=2X（工一1）

J2（）,

^Sn+2n3n-n12n3nn+l3\nn+17

2

/.Tn=——+――+…+-^―

S1+2xlS2+2x2S九+2zi

_2n

-3（n+l）'

l._-i

20.（2023屆四川綿陽(yáng)診斷一，18）已知數(shù)列伉3滿足ai=-,“2=1,an+2+4an=5an+\（〃金N）

⑴證明：數(shù)列｛斯+「“〃｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

解析（1）證明：:詼+2+4篇=5詼+i,

丁?詼+2-篇+1=4￡N：

??11?1

?6Z1=~,12=1，??〃2-〃1=5，

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.??數(shù)列｛am-。”｝是以T為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1）知，5渥X4〃I=22”-3.

當(dāng)n>2時(shí)，an=（斯s-i）+（斯-1-”〃-2）+…++〃i

=22n-5+22n-7+22n-9+__+#，］）

21-4

=i（22"-3+l）.

當(dāng)n=1時(shí),滿足上式.

所以為=122"-3+1）（"GN）

an+

21.（2021新高考/,17,10分）已知數(shù)列&｝滿足ai=l,an+1=（L”為奇數(shù)

（an+2,n為偶數(shù).

（1）記bn=a2n,寫出bi,歷,并求數(shù)列｛瓦｝的通項(xiàng)公式;

⑵求｛斯｝的前20項(xiàng)和.

=

解析⑴由題意得。2八+1=。2八+2,。2〃+2=。2〃+1+1,所以〃2〃+2=。2〃+3,即bn+lbn+3,且

d=02=0+1=2,所以數(shù)列｛兒｝是以2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)歹U,所以

Z?i=2,Z?2-5,bn=2+（H-1）x3=3n-l.

⑵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=an+\-l.

設(shè)數(shù)列｛恁｝的前〃項(xiàng)和為，，

貝!）S20=〃l+〃2+…+。20

二（。1+〃3+…+。19）+（。2+。4+…+。20）

二［（。2-1）+（。4-1）+…+（