高考數(shù)學沖刺押題卷02（2024新題型）（解析版）

2024年高考數(shù)學模擬卷02（新題型）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．小李同學參加了高三以來進行的6次數(shù)學測試，6次成績依次為：90分、100分、120分、115分、130分、125分.則這組成績數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為（

）A．120 B．122.5 C．125 D．130【答案】C【解析】將6次成績分數(shù)從小到大排列依次為：，由于，故這組成績數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第5個數(shù)125，故選：C2．已知雙曲線的離心率，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得雙曲線的焦點在軸上時，，，所以，由，解得.故選：A.3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（

）A．12 B．-12 C．6 D．-6【答案】A【解析】由題意得，，解得，∴數(shù)列的公差為.故選：A4．已知、是不重合的兩條直線，、是不重合的兩個平面，則下列結論正確的是（

）A．若，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【解析】對于A選項，若，，，則與不一定垂直，A錯；對于B選項，若，，則與的位置關系不確定，B錯；對于C選項，若，，，則，由線面平行的判定定理可得，C對；對于D選項，若，，，則、平行或異面，D錯.故選：C.5．中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現(xiàn)有5支救援隊前往，，等3個受災點執(zhí)行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去，兩個數(shù)點中的一個，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．72 B．84 C．100 D．120【答案】C【解析】若甲去點，則剩余4人，可只去、兩個點，也可分為3組去，，3個點.當剩余4人只去、兩個點時，人員分配為或，此時的分配方法有；當剩余4人分為3組去，，3個點時，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個小組即可，此時的分配方法有，綜上可得，甲去點，不同的安排方法數(shù)是.同理，甲去點，不同的安排方法數(shù)也是，所以，不同的安排方法數(shù)是.故選：C.6．如圖，在中，，為上一點，且，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以所以，因為，所以，即，因為三點共線，所以，解得，所以，而,所以,即.故選：D.7．在平面直角坐標系中，已知，，動點P滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．P的軌跡為圓 B．P到原點最短距離為1C．P點軌跡是一個菱形 D．點P的軌跡所圍成的圖形面積為4【答案】C【解析】設P點坐標為，則由已知條件可得，整理得．又因為，所以P點坐標對應軌跡方程為．，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為．P點對應的軌跡如圖所示：，且，所以P點的軌跡為菱形．A錯誤，C正確；原點到：的距離為B錯誤；軌跡圖形是平行四邊形，面積為，D錯誤．故選：C．8．若點既在直線上，又在橢圓上，的左、右焦點分別為，，且的平分線與垂直，則的長軸長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】過點、分別作、垂直直線于點、，作的平分線與軸交于，由，故、，則，，由且為的平分線，故，故，又、，故與相似，故，由，令，則，故直線與軸交于點，故，，故，由，故，，故，，由橢圓定義可知，，故，即的長軸長為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．設是復數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【解析】若，則互為共軛復數(shù)，故，故A正確；若，則，而，故B錯誤；設，若，則，又，故，故C正確；若，則，而，故D錯誤．故選：AC10．已知函數(shù)（，，），若的圖象過，，三點，其中點B為函數(shù)圖象的最高點（如圖所示），將圖象上的每個點的縱坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮傧蛴移揭苽€單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．C．的圖象關于直線對稱 D．在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】由題意得，，，所以，.由，得，由圖知在上單調(diào)遞增，所以，，所以，.又，只可能，所以，所以，，故A錯誤，B正確；因為，所以的圖象關于直線對稱，故C正確；令（），解得（），令，得，又包含但不是其子集，故D錯誤.故選：BC.11．已知定義在上的函數(shù)滿足，當，時，.下列結論正確的是（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】令，可得.令，可得.因為當時，，所以.令，可得.因為，所以當時，.又因為當時，，所以當時，.令，可得，①所以，兩式相加可得.令，可得.②①-②可得，化簡可得，所以是奇函數(shù)，C正確.由，可得：，B錯誤.由可得解得，A正確.令，可得.令，則.因為當時，，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.因為為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．集合的真子集的個數(shù)是.【答案】31【解析】共5個元素，則真子集的個數(shù)是.13．某興趣小組準備將一棱長為a的正方體木塊打磨成圓錐，則圓錐的最大體積為．【答案】【解析】如圖，在正方體中取各邊棱長中點得正六邊形，則正六邊形的邊長為，其最大內(nèi)切圓的半徑為，正方體的體對角線的一半為圓錐的高，所以圓錐的最大體積為.14．若實數(shù)a，b，c滿足條件：，則的最大值是．【答案】【解析】利用均值不等式得，即，當且僅當，即時等號成立，又，所以．所以，，即，．所以，當且僅當時，取得等號．故的最大值是．證明：，令，則，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，即.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1），所以切點為.，，所以切線為.（2）要證，只需證：，即證：.令，.令，解得.所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以，所以恒成立，即證.16．（15分）某學校進行班級之間的中國歷史知識競賽活動，甲、乙兩位同學代表各自班級以搶答的形式展開，共五道題，搶到并回答正確者得一分，答錯則對方得一分，先得三分者獲勝.每一次搶題且甲、乙兩人搶到每道題的概率都是，甲乙正確回答每道題的概率分別為，，且兩人各道題是否回答正確均相互獨立.（1）比賽開始，求甲先得一分的概率；（2）求甲獲勝的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）每道題的搶答中，記甲得一分為事件，由題意，發(fā)生有兩種可能：甲搶到題且答對，乙搶到題且答錯，∴，故比賽開始，甲先得一分的概率為.（2）由（1）知：在每道題的搶答中甲、乙得一分的概率分別為，，設兩人共搶答了道題比賽結束且甲獲勝，根據(jù)比賽規(guī)則，的可能取值為3，4，5，∴，，，∴甲獲勝的概率.17．（15分）已知：斜三棱柱中，，與面所成角正切值為，，，點為棱的中點，且點向平面所作投影在內(nèi)．（1）求證：；（2）為棱上一點，且二面角為，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：取線段的中點，連接、，在斜三棱柱中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因為、分別為、的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，又因為，則，因為，則，因為，為的中點，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，.（2）由（1）可知，平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為平面，平面，則，又因為，，、平面，則平面，所以，直線與平面所成的角為，所以，，則，因為，可得，，因為，則，，所以，，則，因為為的中點，所以，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，，則，即點，同理可得點、，設，其中，則，且，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，因為二面角為，則，整理可得，因為，解得，即.18．（17分）已知雙曲線的左?右焦點分別為，點在上，且的面積為．（1）求雙曲線的方程；（2）記點在軸上的射影為點，過點的直線與交于兩點．探究：是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2），為定值．【解析】（1）設雙曲線的焦距為，由題意得，，解得，故雙曲線的方程為．（2）由題意得，，當直線的斜率為零時，則．當直線的斜率不為零時，設直線的方程為，點，聯(lián)立，整理得，則，解得且，所以，所以．綜上，，為定值．19．（17分）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設正整數(shù)共有個正約數(shù)，即為.（1）當時，若正整數(shù)的個正約數(shù)構成等比數(shù)列，請寫出一個的值；（2）當時，若