2021-2022學(xué)年高一年級下冊期末數(shù)學(xué)模擬測試卷

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測試卷01

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)2=、2-1)+(4+1",若2是純虛數(shù)，則實數(shù)a等于()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】

根據(jù)純虛數(shù)的定義列出式子即可求解.

【解析】

<22—1=0

若Z是純虛數(shù)，則1,八，解得。=1.

故選：B.

2.已知向量&=(1，2),B=(-2,m),若則實數(shù)機的值為()

A.4B.-4C.1D.-1

【答案】B

【分析】

根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算即可得出答案.

【解析】

解：因為a=(1,2),石=(-2,/n),a//5,

所以機+4=0,解得：m=-4.

故選：B.

3.如圖所示，正方形O‘AB'C'的邊長為2cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則圖形的周長是()

A.16cmB.85720111C.8cmD.4+4^cm

【答案】A

【分析】

根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)，結(jié)合直觀圖得出原圖形的各邊邊長，從而得出周長.

【解析】

直觀圖正方形O'AB'C'的邊長2cm

O'B'=2>/2

，原圖形為平行四邊形OABC,其中。4=2cm，高=4J2bm

AB=CO=J32+4=6cm

即圖形的周長2x6+2x2=16cm

故選：A

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用斜二測畫法的性質(zhì)，即平行于％軸的線段長度不變，平行于y軸的線段的長

度減半.

4.設(shè)函數(shù)/（X）=cos[x+g],則下列結(jié)論,嶙的是（）

_27t

A./（X）的最小正周期為2兀B./（X）的圖象關(guān)于直線》=亍對稱

（7t\兀

C.在不，兀單調(diào)遞減D.7（無）的一個零點為x=z

【答案】C

【分析】

根據(jù)解析式結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷每個選項的正誤即可.

【解析】

?.?函數(shù)/（x）=cos（x+；J,的最小正周期為2兀，故A正確;

,/2冗（27171}271

,**/飛~=c°s[-y+]J=-1，「,/（冗）的圖象關(guān)于直線工=小一對稱，故B正確;

711/G）沒有單調(diào)性

當(dāng)XW時，工+w￡故c錯誤;

/（l）=cosR+lUo,/（X）的一個零點為％=高

故D正確.

綜上，錯誤的選項為C.

故選：C.

5.已知3,分為單位向量，|。+4=?！阂欢罚洝肥桥c3+五方向相同的單位向量，則[在3+石方向上的

投影向量為（）

1-2J6.J6-272-

A.丁B.—'eC.--eD.----e

3333

【答案】C

【分析】

利用向量投影的定義求解.

【解析】

由題設(shè)可得2+2ZZ=2-4L+2,即=則￡.（/+5）=1+；=:，

設(shè)Z與￡+石的夾角為a,則忖-『+qcosa=1.

乂忸+可=，+2'=-^,故同cosa=父＞^^=4，

因為e是與Z+5方向相同的單位向量，所以a在，+5方向上的投影向量為.

3

故選:C

6.己知向量々出的夾角為丁忖=2網(wǎng)=2,向量3=疝+蘇，且x,ye[l,2],則向量夾角的余弦值

的最小值為（)

3舊

A.叵B."C.正

77214

【答案】A

【分析】

依題意可得cos=〃———^―-—,,

\'Vx2+2xy+4y2

3y23x2+2xy+4y2(\(、2

令“=X2+2q+4反則「~T―+2—+4——+1+3,

\yj\y)\y)

14

通過換元可得〃€a，7,所以,當(dāng)"=7時，可得COS（4,C）的最小值.

【解析】

依題意可得網(wǎng)=1,網(wǎng)=1,則4?5=|葉砰cosg=lx2x]=l,

a-c=a-+yb)=?6=x+y,

C2=(m+)=x2d2+2xya?b+y2b2=冗2+2xy+4y2,則同="2+2芍，+4y2,

MNx+yX2+2xy+yl-3尸，

所以，cos您）

網(wǎng),行I/2+2盯+4y22X2+2q+4y2'

3y2川3_m+2盯+4y2X2+2(-(V

令〃=------1--------+4=±x+l+3,

%2+2旬+4y2uy2y)\y.(y)

x1

令》=一，由x,yeH,2]得fw2,

y2

3/、174

則—=V4-1)2+3￡,所以「-,4

U故"e

4

所以，當(dāng)〃時,

故選：A.

【點睛】

3），214

關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是：令”…），+4u通過換元得到心匕，亍

7.如圖所示，正方體的棱長為1,線段4Q上有兩個動點E、F且E/三邛，則下列結(jié)論中錯

誤的是()

A.ACVBEB.EF〃平面ABC。

C.三棱錐A-BEF的體積為定值D.異面直線AE,8尸所成的角為定值

【答案】D

【分析】

A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B.根據(jù)線面平行可證真假；C.根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D.根

據(jù)列舉特殊情況可證真假.

【解析】

A,因為ACJ,8￡),AC_L口3。=。，所以ACJ?平面BODR,

又因為BEu平面BDDR,所以AC，BE,故正確；

B,因為D、BJ/DB,所以EF//DB,且EF仁平面ABCD,DBu平面ABCD,

所以瓦'〃平面ABC。，故正確；

C.因為S=>xEFxBB=丑為定恒,A到平面BOOB的距離為力=J_AC=Yi,

“BEF2I41122

所以匕-6江=(5,舸.力為定值,

故正確;

D.當(dāng)0qn8R=E,ACoBD=G,取F為%,如下圖所示:

因為BF//EG,所以異面直線4瓦8尸所成角為/AEG,

V2

且tan/AEG=絲工叵

GE12

當(dāng)尸，ACoBD=G,取E為R,如下圖所示:

因為DF//GB,D、F=GB,所以四邊形RGBE是平行四邊形，所以BF“DG,

AG

tan/AEG=

所以異面直線所成角為NAEG,且GE

由此可知：異面直線AE,5尸所成角不是定值，故錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，

難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).

8.函數(shù)/（x）=2sin（3x+（p）G）〉。）圖像上一點尸（s,f）j2＜，＜2）向右平移2兀個單位，得到的點。也在

f（無）圖像上，線段P。與函數(shù)/Q）的圖像有5個交點,

且滿足f若

y=/（x）,xe0,1與y=a有兩個交點，則。的取值范圍為（）

A.B.[-2,->/2]c,[x/2,2）D.[72,2]

【答案】A

【分析】

首先根據(jù)已知條件分析出|P0=2兀=2T,可得①=2,再由/0—x）=/（X）可得y=/（X）對稱軸為

x=3,利用/一：〉/（°）可以求出符合題意的一個中的值，進(jìn)而得出/G）的解析式，再由數(shù)形結(jié)合的方

?、乙）

法求。的取值范圍即可.

【解析】

-----------?

p|V

如圖假設(shè)尸（0,0）,線段尸。與函數(shù)/G)的圖像有5個交點，則|PQ|=2JI,

所以由分析可得|PQ|=2兀=2T,所LXT=n,

2兀2兀日

可得°5=k=—=2,

T71

因為/（2一》）=/6）所以/：一（白+“卜山+”,即/Q=//x)

所以X=：是/（X）的對稱軸，

O

所以2x?.+（p=三+而（kez）,即(P=；+攵兀(keZ),

82

/（一=2sin（-71+（p）=-2sin（p>/(0)=2sin(p,

37t

所以sin（p<°,可令人二一1得（p=一.

-八兀］c3兀「3兀兀］

當(dāng)XE0,-時，令2%一彳=/￡,則/UJ=2sinr,te

作了。）圖象如圖所示：

371cL兀兀C

當(dāng)t=_才即x=0時y=_JJ,當(dāng)/=一不■即x="時，y=-2,

4Lo

由圖知若y=/（x）,八兀

xe0,_與y=a有兩個交點,則”的取值范圍為

故選：A

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是取特殊點夕（0,0）便于分體問題，利用已知條件結(jié)合三角函數(shù)圖象的特點，以及

三角函數(shù)的性質(zhì)求出了Q）的解析式，再利用數(shù)形結(jié)合的思想求解。的取值范圍.

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.若同=2,則z;=4

B.若復(fù)數(shù)Z?滿足K+Z2|=|Z1一Z2|,則Z￡=0

C.若復(fù)數(shù)Z的平方是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)Z的實部和虛部相等

D.“a01”是，，復(fù)數(shù)z=Q-D+。2_1）QeR）是虛數(shù)”的必要不充分條件

【答案】AD

【分析】

由忖求得Z工判斷A；設(shè)出土，%證明在滿足卜+Z卜卜［z?|時，不一定有Z￡=0判斷B；舉例說明C

錯誤；由充分必要條件的判定說明D正確.

【解析】

若卜|=2,則=同2=4,故A正確；

設(shè)z=a+bi(a,bG7?)z=?+bi(a,heR)

111II22222

由K+ql=lq可彳眶+寸=(%+與)2+("[+幺、=K一寸=Q|-"2，+("i一幺》

niijaa+bb=0,而zz=G+bi)Q+bi)=aa-bh+abi+bai=2aa+Qbi+hai不一定為

121212112212121212121212

0,故B錯誤；

當(dāng)z=l-i時Z2=-2，為純虛數(shù)，其實部和虛部不相等，故C錯誤；

若復(fù)數(shù)Z=(a-l)+(a2-l)(aeR)是虛數(shù)，則。2-1/0,即

所以“a。1”是“復(fù)數(shù)z=(?-1)+Q-1)(。eR)是虛數(shù)”的必要不充分條件，故D正確;

故選：AD

【點睛】

本題考查的是復(fù)數(shù)的相關(guān)知識，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于中檔題.

10.若向量2=(、6，3),B=(〃,&),下列結(jié)論正確的是()

A.若同向，則〃=1

B.與a垂直的單位向量一定是一%，5

C.若否在i上的投影向量為3e(工是與向量3同向的單位向量)，則〃=3

D.若2與5所成角為銳角，則〃的取值范圍是〃＞一3

【答案】AC

【分析】

A.先根據(jù)〃共線確定出〃的可取值，然后根據(jù)〃同向確定出〃的值；

B.分析［一方二''J的相反向量與￡的位置關(guān)系并進(jìn)行判斷；

a-b_-

C.根據(jù)不丁=^求解出〃的值；

D.根據(jù)"石〉0且不同向即可求解出n的取值范圍.

【解析】

k〃=

A.設(shè)￡=左6,所以，_,所以&=W，〃=1,即a=J35,所以〃=1滿足，故正確;

pk=3

因為事串1

0,所以2~2也是與a垂直的單位向量，故錯誤;

y/3n+3yfi

ab3

因為石在?上的投影向量為31,所以府=3,所以，所以〃=3,故正確;

因為。與方所成角為銳角，所以￡?〃>()且a,B不同向,

36>°,所以〃e(-3,1)U(1，”)，故錯誤;

故選：AC.

【點睛】

思路點睛：已知向量的夾角為銳角或者鈍角，求解參數(shù)范圍的步驟：

(1)根據(jù)兩個向量的夾角為銳角或鈍角，得到―%>0或￡?〃<(),求解出〃的范圍；

(2)特殊分析：當(dāng)兩個向量共線時，計算出參數(shù)的取值；

(3)排除兩個向量共線時參數(shù)的取值，確定出參數(shù)的取值范圍.

11.對于函數(shù)/(x)=sinx+cosx+2sinxcosx,下列結(jié)論正確的是()

A.把函數(shù)的圖象上的各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?；倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則兀是函數(shù))=g(x)

的一個周期

B.對字工，人="I，若x<工.則/(X)</(x)

12I2JI212

C.對Dx￡R,/(二-工］=/成立

兀

D.當(dāng)且僅當(dāng)》=彳+左兀，后eZ時，/（x）取得最大值JT+1

【答案】AC

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則化簡即可判斷A；令/=411》+（：05》=J?sin［x+［）,f（l）=t2+t-\,判斷函

數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B：代入直接利用誘導(dǎo)公式化簡即可；首先求出了（，）的最大值，從而得到x的取值；

【解析】

解：因為/（%）=sinx+cosx+2sinA:cosx=sinx+cosx+Vsinx+cosx）2-1,令

，二sinx+cosx="5山1x+一,所以\乃，展］,所以/（）=,2+一,

I4

對于A：將/（x）=sinx+cosx+2sinxcosx圖象上的各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，則

g（x）=sin2x+cos2x+2sin2xcos2x,所以

g（x+7i）=sin2（x+7i）+cos2（x+7r）+2sin2（x+7i）cos2（x+7t）

=sin2x+cos2x+2sin2xcos2x=g（x）,所以兀是函數(shù)y=g（x）的一個周期，故A正確；

3兀］.兀，57177r

對于B：因為XG［兀,花-J,所以彳

則t=asin（x+：e［一、僅一J在［，學(xué)）上單調(diào)遞減，在（學(xué)，言上單調(diào)遞增,

又/（）="+/—1=（/+："對稱軸為"一:，開口向上，函數(shù)在［一/一1）上單調(diào)

遞減,

所以函數(shù)在（兀，言）上單調(diào)遞增，在5兀3兀

T5T上單調(diào)遞減,

故B錯誤;

C：/（?-x）=sin（：-x）+cos（；-x）+2sin（；-x）cos（；-x）

/g+x)=sin(：+x)+cos(?+x)+2sin[；+x)cos任+x

因為/G)=，2+f—1='+JXJT],當(dāng)t=e時/G)取得最大值/G)=72+1,令

則sin[x+；)=1717T7t

t-yf2sinIx+—I=5/2,所以x+]=1+2Kc,女eZ,解得x=a+2Kt,ZeZ,

即當(dāng)x=；+2攵兀水€2時?，函數(shù)/G）取得最大值J?+l,故D錯誤;

故選：AC

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是換元令。=sin尤+cosx,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)；

兀

12.己知乙筋。中，BC=4&，C8。為邊AC上的高，且AO=JI。，沿BD將△ABD折起至

△PBD的位置,使得cos/POC=Xi9,則()

10

A.平面PDC,平面BDC

B.三棱錐P-BCD的體積為8

C.PC=72

D.三棱錐P-BCD外接球的表面積為36K

【答案】ACD

【分

根據(jù)BD1AC及翻折前后幾何元素的位置關(guān)系得到BDLPD,BD1DC,從而可得平面PDC1平面

BDC,A選項正確；

先根據(jù)已知求出℃,再求得sin/PDC,然后利用三角形的面積計算公式、錐體的體積計算公式及等體積法

求得結(jié)果，即可判斷B選項；

在APDC中利用余弦定理求得PC的值，即可判斷C選項；

利用幾何直觀及三棱錐尸-BCD外接球的球心與側(cè)面的位置關(guān)系，結(jié)合已知得到部分幾何元素的數(shù)量關(guān)系，從

而求得三棱錐尸一BCD外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積的計算公式求得結(jié)果，即可判斷D選項.

【解析】

對于A：因為BD為邊AC上的高，所以BD1AC,沿8。將△A3D折起至5BD的位置后，BDLPD,

BD±DC,所以BD1平面PDC,所以平面PDC1平面BDC，所以A選項正確；

1T

對于B：因為BC=4點,ABCD=—,所以80=DC=4,又

sin/PDC=J1-C0S2/PDC=炳，所以S=1x4xJ10x^=2,

v

10APDC210

”,z1“c8

V=V=_x4x2=_,所以B選項不正確；

P-BCDB-PDC33

對于C：在△PDC中，PD=回,DC=4,cosNPDC=±*6，由余弦定理可得

v10

PC2=PD2+OC2-2PO-OCcosNPOC=10+16—2師x4xl^=2,所以PC=",所以C選項

正確；

對于D：如圖，記。為三棱錐產(chǎn)一BCD外接球的球心，N為△「￡>(:外接圓的圓心，連接ON,則?？蒧1_平

面尸。C,取8C的中點M,的中點。，連接"Q,得MQ//BD,又平面P0C,所以,平

面P￡?C,故ON〃M。，連接OM,NQ,易知。M_L平面8OC,%。_1_平面8。。，故OMHNQ,且

NQ1MQ,則四邊形OMQN為矩形，連接OD,DN,則ON為外接圓的半徑，由正弦定理可得

2DN=-_—_.==2y]51

sinZPDC曬7,所以DN=邪，又ON=MQ=qBD=2,故外接球半徑

~W

ODEON2+DN2=3,所以三棱錐P—BCD外接球的表面積為47tx32=36兀，所以D選頊正確.

故選：ACD.

p

方法點睛：三棱錐外接球的球心的一般作法：

分別找到兩個側(cè)面三角形的外心，再分別過外心作相應(yīng)平面的垂線，兩垂線的交點即三棱錐外接球的球心，通常

是找到兩個特殊三角形，因為這樣易找到外心或易求得外接圓的半徑.

三、填空題

13.已知復(fù)數(shù)z滿足卜+2—2，］=1,則卜—2—2i|的最小值為.

【答案】3

【分析】

可得|z+2—2i|=l表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以(―2,2)為圓心,1為半徑的圓上，卜一2-2可的最小值即為復(fù)數(shù)z對

應(yīng)的點到(2,2)的距離的最小值.

【解析】

由k+2—2，］=卜一(-2+24=1可得復(fù)數(shù)2對應(yīng)的點在以(—2,2)為圓心，1為半徑的圓上，

卜一2—2/］=卜一(2+2”表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到(2,2)的距離，

點(-2,2)到點(2,2)的距離為*2-2?+(2-2%=4,

則卜一2—24的最小值4—1=3.

故答案為：3.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義，判斷出|2+2—24=1表示復(fù)數(shù)2對應(yīng)的點在以(-2,2)

為圓心，1為半徑的圓上.

1

14.關(guān)于/(x)=sinx--,有如下四個結(jié)論:

sinx

①/（X）是奇函數(shù).

②/*）圖像關(guān)于y軸對稱.

③x=彳是fM的一條對稱軸.

④/（X）有最大值和最小值.

其中說法正確的序號是

【答案】①③

【分析】

借助于y=sinx的性質(zhì)，對照四個選項，一一驗證.

【解析】

{x\x^klt,kGZ}

/(x)=sinx-_—的定義域

sinx

對于①：定義域關(guān)于原點對稱，/（r）=sin（r）-而占廣-卜門+白=-?。从茫┦瞧婧瘮?shù),

故①正確;

/（X）是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，故②錯誤;

7171

所以/（'—》）=/（爹+X）,故③正確;

對于④:令/=sinx,fe[-l,O）U（O,l]則y=/-1G(-OO,+CO)

無最小值，無最大值，故④錯誤.

故答案為：①③

【點睛】

這是另一種形式的多項選擇，多項選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項一一驗證.

15.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜耗，并大斜靠，減中斜靠，余半之，自乘

于上：以小斜恭乘大斜幕，減上，余四約之，為實：一為從隅，開平方得積可用公式

jI（c>+—b?p

S=C2a2--___L（其中〃、b、c、S為三角形的三邊和面積）表示.在△鉆。中，a、b、

叫l(wèi)2力△

2c2

。分別為角A、8、c所對的邊，若。=3,且bcosC-ccosB=-/ij43C面積的最大值為__________.

3△

【答案】還

4

【分析】

2c2

由條件bcosC-ccosB=亍結(jié)合余弦定理可得出從=3c2,然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合公式

0!1(C2+Q2-沙2丫

C242—1——-——J可求得面積的最大值.

【解析】

2c2

v^cosC-ccosB=-----,則

Q2+/72—C?CL-+02-1)2

2c2=3bcosC-3ccosB=abcosC-accosB=ab-------........一—ac?-----....-=枕一°,

2ab2ac

可得/?2=3。2,

所以,

(02+02-。2V1‘9-2C2、21

C2Q2---------------

I2JV4

272

」艮；_91+變3芷=「

2V4224,

當(dāng)且僅當(dāng)。=3時，等號成立.

因此，△4BC面積的最大值為鬼1.

4

故答案為：矩.

4

【點睛】

方法點睛：求三角形面積的最值一種常見的類型，主要方法有兩類:

（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式或二次函數(shù)的基本性質(zhì)來求解;

（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.

兀

16.如圖，在中，AC=1,BC=O,C=i,點。是邊AB（端點除外）上的一動點.若將八4。

沿直線CD翻折，能使點A在平面BCD內(nèi)的射影4落在△BCD的內(nèi)部（不包含邊界），且A'C=平.設(shè)

AD^t,則r的取值范圍是_______________.

【分析】

由已知分析可得，A'在過A與CD的垂線AE上，且在以C為圓心，以立為半徑的圓弧上，且在的。。內(nèi)

3

部.然后求出極端情況，即A'在8C上與在A8上的t的值，即可求得1的取值范圍.

【解析】

解：如圖，

A4'J_平面BCD,過A'作A'EVCD,連接4E,可得A'E1CD,

即4在過A與CD的垂線4E上，又4。=立，則A'在以。為圓心，以立為半徑的圓弧上，且在ABCD

33

內(nèi)部.

分析極端情況：

①當(dāng)4在BC上時，ZACE+ZC4E=90°,/C4￡+NC4'A=90°,可得NC4'A=NACE,設(shè)為a,

13sina-

tana=——=——=----.3n

在用△CA'A中，J7J7cosa,且sinza+cos2a=1,可得sina=T，cosa=

[44

設(shè)NEC3=B,ZCDA^y,則a+p=9()°,y=P+30°,

則sinB=cosa=①，cosP=sina=2(

44

siny-sin(P+30°)-

2224248

ACAD1t

在△CM中'由正弦定理可得：即而r薪r,

3_

_sina_4_^/2?-3

得才一siny_6+3—一2―；

-8-

當(dāng)4在AB上時，有此時f=AC-cos60°=lxg=g.

...A在兇。的內(nèi)部(不包含邊界)，的取值范圍是(1,」!『)，

痂受安為(1&^一3、

故答案為：(-,——-——).

【點睛】

本題的關(guān)鍵點在于找到點A'的兩個臨界位置，并根據(jù)兒何關(guān)系求解.

四、解答題

17.己知復(fù)數(shù)z=機(帆_1)+&2+2/*_3)i.

(1)若z為純虛數(shù)，求機的值；

(2)若z=2+5i,求”的值.

【答案】(1)0；(2)2

【分析】

(1)根據(jù)z為純虛數(shù)，可得實部皿，"-1)=0,虛部機2+2加—3彳0,聯(lián)立即可求得答案.

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，列出方程組，即可求導(dǎo)答案.

【解析】

加2+2m-3*0

(1)因為Z為純虛數(shù)，所以1

m（m-l）=0

解得機=0.

（2）因為z=機（加-1）+Im+2加—3%=2+5i

m2+1m-3=5

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得:

m[m-1）=2

解得m=2.

綜上當(dāng)機=0時，z=3,為純虛數(shù)，當(dāng)根=2時，z=2+5i.

18.己知函數(shù)/(x)=2cosx(inx-Wcosx)+JT.

(1)求噌)的值;

(2)求/G)在區(qū)間0，g上的最大值和最小值.

【答案】(1)1；(2)最大值為2,最小值為一

【分析】

(1)直接代值計算可得結(jié)果；

(2)利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為/G)=2sin(2x—；J,由xe09計算得出2%一彳的取值范圍,

結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)/(X)在區(qū)間°，］

上的最大值和最小值.

【解析】

71yjcos]]+

2coslsinl-5邪+&=1；

44

（2）/G）=2cosxCinx-y/JcosxX^/3=2sinxcosx-2^cos2^+^/3

sin2A：-273-1+C^s2x+O=sin2x-^cos2x=2sinf2x-yj,

兀小兀2兀

當(dāng)xw0,2時，，

所以，當(dāng)於合《時，/G）取最小值，即/（%=2而S

當(dāng)2x—時，/(x)取最大值，即/(x)=2sing=2

32max2

【點睛】

方法點睛：求函數(shù)/（%）=Asin（cox+（p）在區(qū)間上值域的一般步驟:

第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如＞=Asin（3x+（p）+Z的形式或〉=4?）5（0^+中）+%的形式;

第二步：由X的取值范圍確定①X+5的取值范圍，再確定Sin（cox+（p）（或cos（（Ox+（p））的取值范圍;

第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.

19.己知的面積為S,三邊分別為a，b，c,S.AB-AC=^-S.

△3

(1)求COSA；

（2）求a=J5,求乙抽。周長的最大值.

【答案】（1）cosA=；；（2）373.

【分析】

（1）由數(shù)量積的定義及面積公式的表示化簡即可得解;

（/?+C）2

（2）由余弦定理得3=S+C）2-33S+C"-3X—'從而可得最值.

【解析】

(1)由=得ob-cosA=?力?sinA,rcosA=sinA

332

=>tanA=5/3,所以Ae(0,—,

,兀，1

由A=?，解得cosA=-.

(2)由余弦定理可得：=4+c2—29'cosA=(b+c)2-3bc,

(b+C)2

得3=S+C)2-3/?CN3+C)2-3X___,解得b+c420\當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，

所以當(dāng)b=c=J3時，^ABC周長的最大值為入住，

20.如圖，在正三棱柱ABC—Agq中，AB=2,BB'=2,。、E分別為8C、AC的中點.

(1)求三棱錐《一COE的體積；

(2)求證：AR〃面。EQ.

【答案】(1)也；(2)證明見解析.

6

【分析】

(1)計算出△CDE的面積，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果；

(2)證明出利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.

【解析】

兀

(1)?.?△ABC為等邊三角形且A5=2,...40=80=2且乙4(78=3,

因為。、E分別為BC、AC的中點，所以，CD=CE=i,

所以，S=1-CDCEsin--,

"DE234

在正三棱柱ABC-qqq中，eq,底面ABC,且C￡=A[=2,

因此，V=Lscc=咯2=叵

C-CDE3"DE1346

(2)在正三棱柱ABC—AgC中，44〃8q且44=BB.

I11111I

所以，四邊形群產(chǎn)產(chǎn)為平行四邊形，所以，AB//ABi,

因為。、E分別為BC、AC的中點，則DE//AB,所以，DE//AB,

ARZ平面DEC,￡>Eu平面DEC,因此，ABH平面DEC.

【點睛】

方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：

（1）通過面面平行得到線面平行；

（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質(zhì).

21.如圖，在梯形ABCD中，DC//AB,DA-CB-AB~\.

（1）若。C=AC,AB=a,4萬=5,試用￡、5表示XC；

（2）若。C=2,M是梯形所在平面內(nèi)一點，求m4-（2""+"0）的最小值.

—J5+1--13

【答案】（1）AC=-----a+b；（2）——.

212

【分析】

（1）計算出℃的長，利用平面向量的減法法則可得出結(jié)果；

（2）取A8的中點0,連接0尸，以點。為原點，AB、0F所在直線分別為％、V軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點M（x,y）,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得"4+的最小值.

【解析】

（1）如下圖所示，過點A作AE//BC交CD于點E,設(shè)AC=OC=x,

DC

AE//BC,AB//CE且AB=BC=1,所以，四邊形ABCE是邊長為1的菱形,

所以，OE=CZ)—CE=x—1且A￡=/ir)=l,

ADDE1x-l八Js+1

正=而’即丁丁，整理可得X2-》-1=0,…>0,解得”『

所以，DC=^^-AB,因此，AC^DC-DA^^la+b.

22

(2)取°。的中點/，連接BE,

-.-CD=2,F為CD的中點，則DF=1,所以，ABIIDF且AB=DF,

又因為AD=AB=\,則四邊形ABFD為菱形,則BE=AD=1=8C=CF,

所以，ABC產(chǎn)為等邊三角形,

取AB的中點。，連接OF,以點。為原點，AB、OF所在直線分別為X、丁軸建立如下圖所示的平面直角坐

標(biāo)系，則A(—?，o)、5ll1,oLCl,

2

1

設(shè)點”G,y),MA^\-MB=xy,MC[1-4-4

2~~\7

5.1+3尸-個，

【點睛】

方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：

(1)利用定義：

(2)利用向量的坐標(biāo)運算；

(3)利用數(shù)量積的幾何意義.

具體應(yīng)用時可根據(jù)己知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用.

22.已知&=(2cosx,1),6=(J'sinx+cosx,T),函數(shù)/(x)=a*5.

c71

(1)求函數(shù)/(X)在區(qū)間0,-上的最大值和最小值；

求cos2x。的值;

、(71271}

(3)若函數(shù)y=/(3X)在區(qū)間[至,亍J上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)3的取值范圍.

【答案】(1)/G)=2,.f(x)=-l.(2)4~3<^；(3)O<CO<1.

maxmin]04

【分析】

(1)由題意先表示出/(x)的表達(dá)式，然后運用輔助角公式化簡，求出在區(qū)間上的最值

cf-兀)兀

(2)由題意得sin2x+=結(jié)合8s2X°=8S[[2X0+3-/求解出答案

I°6)5

(3)表示出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合題意討論得到3的取值范圍.

【解析】

(1)fG)=d-b=2cosxC/3sinx+cosx^-

1=?y3sin2x+cos2x=2sin[2x+看

因為。,彳,所以:WZX+LW丁,所以一k"sinf2x+z]"1

266626

所以/Q)=2,.f(x)=-l

maxmin

71

(2)因為小,)=I,所以2面(2%+卷8所以呵2%+看4

5151

兀兀2兀，-兀，7兀

因為x°e,所以于*—+zK-T-,

30oo

(c71-713

所以cos2x+—2x+—

[0606j5

兀兀Tl]1.[兀

所以cos2x=COS2X+--cos2x+—+—sino2x+—

oCo6)62\o62o6

￡3+LL3

22510

(3)/(cox)=sinc兀n?！?/p>

2co%+一,令2kit——<2cox+—<2kn+——,keZ,得

6262

lot兀kit7i

——4x4—+

co3coCO63

兀2兀兀2兀(kTt兀左兀7T

因為函數(shù)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在勺eZ,使得(Z-4--——,-4—+----

3'T一(co3(oco6co

kit7i兀

-u--——<—,

33co33k<l+co,

所以有1即.0

k71712兀6k+1>4(o.

—Q—+---->——?o

、36co3

八.122兀兀兀兀,12兀3所以左4

因為①>0,所以攵>一工，又因為-不-一不(不,—,所以0<CO4],

。63322co。