2022-2023學(xué)年度高二數(shù)學(xué)期末考試卷

2022-2023學(xué)年度高二數(shù)學(xué)期末考試卷

試卷副標(biāo)題

考試范圍：xxx；考試時(shí)間：100分鐘；命題人：xxx

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明

一、單選題

1.已知集合4=同一1＜》＜2},3={巾＞0},則（4用B=（）

A.{x|x＜-l}B.{RxVO或x22}C.{尤卜1＜無(wú)＜2}D.{x|xN2}

【答案】D

【分析】

利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.

【詳解】

由己知可得備A={x|尤＜一1或xN2},因此，&A）cB={巾22}.

故選：D.

2.下列說法正確的是（）

A."3是x＞5的充分不必要條件B.xw±l是|x|wl的充要條件

C.若qnp,則p是g的充分條件D.一個(gè)四邊形是矩形的充分條件是它是

平行四邊形

【答案】B

【分析】

結(jié)合充分，必要條件的定義，判斷選項(xiàng).

【詳解】

A.門,＞5}{%|%＞3）,所以"3是％＞5的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤；

B.x*±l時(shí)，|*快1,反過來(lái)也成立，所以XH±1是I尤隹1的充要條件，故B正確；

C.q=P,則p是q的必要條件，故C錯(cuò)誤；

D.矩形是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形，所以一個(gè)四邊形是矩形的必要條

件是它是平行四邊形，故D錯(cuò)誤.

故選：B

3.在ABC中，角A民。的對(duì)邊分別是4〃,c,向量機(jī)=（2Z?+c,sinC）,向量

n=（sinB,2c+b）9且滿足“〃=2asinA,貝！|角A=（）

A.2B.工C.生D.2

【答案】C

【分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合條件可得2asinA=（26+c）sinB+（2c+6）sinC.,再由正弦定

理可得/=^+，+A，然后由余弦定理可得答案.

【詳解】

由已知祖.〃=2asinA,得2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

2222

再根據(jù)正弦定理有，2a=（2b+c）b+（2c+b）c,BPa=b+c+bc.

由余弦定理得，/=廿+C2-2）CCOSA,所以cosA=-g,

因?yàn)锳e（O,?）,所以A=g.

故選：C

4.直三棱柱ABC-AB|G中，AB=AC=AAi,44c=60。，則AG與面BCQ與成角的

正弦值為（）

A.如B.WC.逅D.立

4433

【答案】A

【分析】

過A作AML8C,可證平面8片GC,連接G",可知乙46“即為所求線面角，計(jì)

算即可求解.

【詳解】

如圖，過A作AM_L8C,連接CM,

\B

試卷第2頁(yè)，共20頁(yè)

在直三棱柱中，因?yàn)橛?,AM,BCBB、=B

所以AM,平面BBgC,

故AG在平面BBGC上的射影為MQ,

所以ZAC}M為直線AG與平面BB&C所成的角，

^AB=AC=AAl=a,又ZB4C=60°

所以AM=￥“,AG=夜.

BL

故sinZACjM=-^=-=—

0a4

故選：A

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)晴：求線面夾角一般有兩種方法：

（1）幾何法：作平面的垂線，找到夾角再用三角函數(shù)求解；

（2）向量法：建系用空間向量公式求解.

5.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，X"的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10尤1,10X2,...?10X”的方

差為（）

A.0.01B.0.1C.1D.10

【答案】C

【分析】

根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閿?shù)據(jù)叫+40=1,2,1,,〃）的方差是數(shù)據(jù)尤,川=1,2,1，“）的方差的1倍，

所以所求數(shù)據(jù)方差為102x0.01=1

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

6.甲和乙兩人各投籃一次，已知甲投中的概率是0.8,乙投中的概率是0.6,則恰有一

人投中的概率為（）

A.0.44B.0.48C.0.88D.0.98

【答案】A

【分析】

恰有一人投中這個(gè)事件是由甲投中乙不中和甲不中乙投中組成，由此可求概率.

【詳解】

記甲投中為事件A,乙投中為事件B,恰有一人投中為事件C,

由題意尸0)=0.8,尸(3)=0.6,

尸(C)=P(AB)+P(AB)=0.8x(l-0.6)+(l-0.8)x0.6=0.44.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率，解題關(guān)鍵是確定恰有一人投中這個(gè)事件是由

哪些事件組成的.

7.如圖所示，在平行六面體ABCZ)-A瓦G2中，M為AG與的交點(diǎn).若=

AD=b,AAt=c,則下列向量中與及W相等的向量是()

?11,

B.-ci—b+c

22

_11

D.—ci—b7+c

22

【答案】A

【分析】

根據(jù)空間向量基本定理及空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖像即可得出答案.

【詳解】

解：平行六面體。中，M為AG與3a的交點(diǎn),

則M為AG和4R的中點(diǎn)，

貝I]BM=BBi+BlM=AAl+g(q4+B￡)=朋+^(-AB+AD^-^a+^b+c.

故選：A.

8.若拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)到直線y=%+l的距離為四,貝!!P=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

試卷第4頁(yè)，共20頁(yè)

￡+1

根據(jù)焦點(diǎn)到直線y=x+i的距離為血，由1=2_求解.

【詳解】

拋物線丁=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)榻裹c(diǎn)到直線y=x+l的距離為血，

￡+1

所以，

V2

解得。=2,

故選：B.

22

9.已知片(-3,0),工(3,0)是橢圓二+2=l(a>b>0)兩個(gè)焦點(diǎn),P在橢圓上，/耳「凡=口,

ab

0TT

且當(dāng)C=芍時(shí)，△￡「鳥的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

22R21

AA.——%+—y=1

123145

22

C.二+二=1D.匚匚1

156167

【答案】A

【分析】

由題意知。=3,當(dāng)^QP尸2的面積最大時(shí)，點(diǎn)尸與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，即可解出.

【詳解】

由題意知。=3,當(dāng)^F1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，

2萬(wàn)3

：&=丁時(shí)，ABiPF2的面積最大，.'.a=--T^=2A/3,b=6.

3sin60

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為片+亡=1.

123

故選：A.

二、多選題

10.過P(2,-2)的直線/與圓(x—l)2+y2=l相切，則直線/的方程為()

A.3x+4y+2=0B.4x+3y—2=0

C.x-2D.y=-2

【答案】AC

【分析】

對(duì)/的斜率分成存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得正確答案.

【詳解】

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線X=2與圓(尤-1)2+丁=1相切.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y+2=左(》-2),

gpfcc-y-2-2jt=0,

圓(x—1)2+尸=1的圓心(1,0)到直線區(qū)-尸2—2左=0的距離為

%丁-第=1,解得％=一［,所以直線’的方程為：-：x_y_2+：=0,3x+4y+2=0.

J1+L2442

所以直線/的方程為X=2或%+4y+2=0.

故選：AC

11.(多選)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為石，且過點(diǎn)(2,0)的橢圓的方程

2

是()

22

A.—+y2=1B./+匕=1c.X2+4V2=1D.4x2+/=16

4-4"

【答案】AD

【分析】

依次檢驗(yàn)各選項(xiàng)中的橢圓的離心率是否為且，并判斷點(diǎn)(2,0)是否在其上，由此確定正

2

確選項(xiàng).

【詳解】

橢圓工+丁=1過點(diǎn)(2,0),且。=2,b=l,c=6離心率為"，A正確，

42

2

橢圓/+匕=1不過點(diǎn)(2,0),B錯(cuò)誤，

4

橢圓/+4丁=1不過點(diǎn)(2,0),C錯(cuò)誤，

橢圓4爐+/=16過點(diǎn)(2,0),且。=4,6=2,c=2^3,離心率為立，D正確，

2

故選：AD.

12.已知AB=(0,l,l),BE=(2,-1,2),BEBCD,則()

2

A.點(diǎn)A到平面BCD的距離為§B.48與平面BCD所成角的正弦值為

V2

6

C.點(diǎn)A到平面BCD的距離為gD.A8與平面BCD所成角的正弦值為

在

6

【答案】BC

試卷第6頁(yè)，共20頁(yè)

【分析】

利用空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離、直線和平面夾角即可.

【詳解】

因?yàn)槠矫嫠?E是平面的一個(gè)法向量，

所以點(diǎn)A到平面BCD的距離為四速巴二:，故A錯(cuò)誤，C正確;

\BE\3

\ABBE\_1_A/2

AB與平面BCD所成角的正弦值為故B正確，D錯(cuò)誤.

\AB\\BE\~3y/2~6

故選：BC.

13.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地

了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)

成比例，得到如圖所示的扇形圖.

建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

【答案】BCD

【分析】

設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為。，則新農(nóng)村建設(shè)后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為2”，根據(jù)扇形

圖計(jì)算可判斷.

【詳解】

設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為。，則新農(nóng)村建設(shè)后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入為2a,

對(duì)A,新農(nóng)村建設(shè)前的種植收入為ax60%=0.6a,新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為

2ax37%=0.74a,種植收入增加，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,新農(nóng)村建設(shè)前的其他收入為ax4%=0.04°,新農(nóng)村建設(shè)后的其他收入為

2ax5%=0.1a,增加了一倍以上，故B正確；

對(duì)C,新農(nóng)村建設(shè)前的養(yǎng)殖收入為ax30%=0.3°,新農(nóng)村建設(shè)后的養(yǎng)殖收入為

2ax30%=0.6a,增加了一倍，故C正確；

對(duì)D,新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為2ax(30%+28%)=1.16a,超

過了經(jīng)濟(jì)收入的一半，故D正確.

故選：BCD.

第H卷(非選擇題)

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明

三、雙空題

14.在同一時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)獨(dú)立預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率分別為?和土在同一

時(shí)間內(nèi)，求：

(1)甲、乙兩個(gè)氣象臺(tái)同時(shí)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確的概率為;

(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為.

【答案】I端

【分析】

利用分步計(jì)算進(jìn)行求概率即可

【詳解】

記“甲氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確”為事件A,“乙氣象臺(tái)預(yù)報(bào)天氣準(zhǔn)確”為事件B.

433

(1)P(AB)=P(A)P(B)=-x-=-

———-1119

(2)至少有一個(gè)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為尸=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=l--x-=—

319

故答案為：①W；②三

15.在平面直角坐標(biāo)系中，直線4經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且/與直線45y+26=。垂直，

則4的斜率為，這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

試卷第8頁(yè)，共20頁(yè)

【答案】-5(-1,5)

【分析】

由兩直線垂直的斜率關(guān)系可求得4斜率；將4直線方程與4方程聯(lián)立即可求得交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

由/]：x-5y+26=0知：/1的斜率為g,又/J*的斜率為一5；

fx-5y+26=0fx=-1

4經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，；，：y=-5x,由[得：<,

兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,5).

故答案為：-5；(—1,5).

四、填空題

16.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)。時(shí)，|>)=丁+2》，則在x<0時(shí)，于3

的解析式是.

【答案】f(x)=x3+2x

【分析】

任取x<0,可得-x>0,求出了(-x),再借助奇函數(shù)的定義即可計(jì)算作答.

【詳解】

Vx<0,貝-x>0,而當(dāng)x?0時(shí)，/(x)=x3+2x,于是得了(-無(wú))=(一尤y+2(-x)=-/一2尤，

因函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，即/(-x)=-/(x),則一/(尤)=一丁一2元，整理

得/(X)=x3+2x,

所以在x<0時(shí)，/(尤)的解析式是：/(%)=X3+2X.

故答案為：/(X)=X3+2X

17.如圖是函數(shù)y=/(x)=Asin(ox+0)+2(A>0,i>0,時(shí)〈萬(wàn))的圖象的一部分,

則函數(shù)〃尤)的解析式為.

【答案】/(x)=sin^|x-^+2

【分析】

由圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)可求得A的值，由最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T

及。的值，取特殊點(diǎn)可求得夕的值.

【詳解】

,.3-1.T5K7i2K_4TI3

由圖象知，A=——=1,—=———=--,N則ILT=-@

2266332

I57V3TCcr.r/rzt3兀..jrT—7II.3兀

由—x—v(p——F2k7i,keZ,cp-..........F2k兀,keZ.3^??(p=------.

62244

.../■(x)=sin+2.

故答案為：/(x)=sinf|x-^+2.

五、解答題

18.已知。=。,2),6=(-3,1)

⑴求：一2:；

(2)設(shè)°,b的夾角為仇求cos”的值；

(3)若向量。+劭與切互相垂直，求左的值.

【答案】(1)(7,0)；(2)一交；(3)上土叵

102

【分析】

(1)根據(jù)向量坐標(biāo)減法運(yùn)算公式即可求解；

(2)根據(jù)向量坐標(biāo)夾角公式即可求解；

⑶因?yàn)橄蛄?+協(xié)與4-協(xié)互相垂直，所以(研助?("助)=。，結(jié)合模公式即可求

解.

【詳解】

(1)a-26=(1,2)-2(-3,1)=(7,0)；

八a,b1x(-3)+2xl-\/2

(2)種=戶京T=F

(3)因?yàn)橄蛄縜+左。與Q-H?互相垂直，

所以(〃+左6卜(〃一%6)=0,即/_=0,

因?yàn)槠?5,片=10,所以因?yàn)镽=0,解得上土走.

2

19.甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，記事件A為“甲獲得比賽勝利或者平局”，事件5為“乙

試卷第10頁(yè)，共20頁(yè)

獲得比賽的勝利或者平局”，已知尸(A)=0.7,尸(3)=0.4.

⑴求甲獲得比賽勝利的概率；

(2)求甲、乙兩人獲得平局的概率.

【答案】⑴0.6；(2)0.1.

【分析】

由題意，甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，所有的可能基本事件有：甲獲得勝利、乙獲得勝利、

甲乙平局，它們互為互斥事件，根據(jù)互斥事件的概率公式解答.

【詳解】

甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，所有的可能基本事件有：甲獲得勝利、乙獲得勝利、甲乙平

局，分別記做事件L、4、且L、1八13為互斥,貝『'甲獲得比賽勝利或者平局”

為事件乙、八的和事件，“乙獲得比賽的勝利或者平局”為A、4的和事件，由互斥事

P（A）=JP（/,uZ3）=JP（Z1）+P（/3）=0.7

件的和事件概率公式得:

P（B）=JP（Z2uZ3）=P（Z2）+P（Z3）=0.4

又尸(/J+尸億)+P(4)=1

.?.P(/J=0.6,P(72)=0.3,P(/3)=0.1

故甲獲得比賽勝利的概率為P")=0.6；

甲、乙兩人獲得平局的概率為「(右)=?！梗?/p>

【點(diǎn)睛】

本題考查互斥事件的概率公式及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.十九大提出，堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真脫貧,堅(jiān)持扶

貧同扶智相結(jié)合，幫助貧困村種植蜜柚，并利用電商進(jìn)行銷售，為了更好地銷售，現(xiàn)從

該村的蜜柚樹上隨機(jī)摘下了100個(gè)蜜柚進(jìn)行測(cè)重，其質(zhì)量分別在[1500,1750),

[1750,2000),[2000,2250),[2250,2500),[2500,2750),[2750,3000](單位:克)中，其頻

率分布直方圖如圖所示，

(I)已經(jīng)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在U500,1750),[2000,2250)的蜜柚中抽取了5個(gè),

現(xiàn)從這5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè).求這2個(gè)蜜柚質(zhì)量均小于2000克的概率：

（II）以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該貧困村

的蜜柚樹上大約還有5000個(gè)蜜柚等待出售，某電商提出了兩種收購(gòu)方案：

方案一:所有蜜柚均以30元/千克收購(gòu)；

方案二:低于2250克的蜜柚以60元/個(gè)收購(gòu)，高于或等于2250克的以80元/個(gè)收購(gòu).

請(qǐng)你通過計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.

【答案】（I）5；（II）選擇方案二.

【分析】

（I）利用頻率分布直方圖可得質(zhì)量落在［1500,1750）和［2000,2250）中的頻率，從而可

得抽取的5個(gè)蜜柚中落在［1500,1750）和［2000,2250）中的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)

算公式可得概率.

（II）利用頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算出各組的頻率，再利用組中值計(jì)算出5000只

蜜柚在各組中分布的個(gè)數(shù)，最后按各自方案計(jì)算出收益，我們選擇收益較大的方案即可.

【詳解】

（I）質(zhì)量落在［1500,1750）和［2000,2250）中的頻率分別是0.1和0.15,分層抽樣的方法

抽取5個(gè)蜜柚，則［1500,1750）中抽取2個(gè)，［2000,2250）中抽取3個(gè)，2個(gè)蜜柚質(zhì)量均小

于2000的概率為，；

（II）根據(jù)題意，

方案一收益為：

30x（1.625x500+1.875x500+2.125x750+2.375x2000+2.625xl000+

2.875x250）=343125（元）

方案二收益為：

（500+500+750）x60+（2000+1000+250）x80=365000（元）

365000>343125,???選擇方案二.

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用和古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

21.某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對(duì)高考改革方案的關(guān)注程度，隨機(jī)選取了200名年齡

試卷第12頁(yè)，共20頁(yè)

在［20,45］內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分第一?

五組區(qū)間分別為［20,25）,［25,30）,［30,35）,［35,40）,［40,45）,［40,45］）.

（1）求選取的市民年齡在［40,45］內(nèi)的人數(shù)；

（2）若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談，再?gòu)闹羞x取2人在座談

會(huì)中作重點(diǎn)發(fā)言，求作重點(diǎn)發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在［35,40）內(nèi)的概率.

7

【答案】⑴20；（2）—

【分析】

（1）選取的市民年齡在［40,45］內(nèi)的頻率，即可求出人數(shù)；

（2）利用分層抽樣的方法從第3組選3,記為4,A2,4從第4組選2人，記為5,

史；再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出.

【詳解】

（1）由題意可知，年齡在［40,45］內(nèi)的頻率為尸=0.02x5=0.1,

故年齡在［40,45］內(nèi)的市民人數(shù)為200x0.1=20.

（2）易知，第3組的人數(shù)，第4組人數(shù)都多于20,且頻率之比為3:2,

所以用分層抽樣的方法在第3、4兩組市民抽取5名參加座談，

所以應(yīng)從第3,4組中分別抽取3人，2人.

記第3組的3名分別為4，4，&，第4組的2名分別為片，B2,則從5名中選取2

名作重點(diǎn)發(fā)言的所有情況為（A，4），（4,A），（A，4），（4，與），（4,A），（4,4），

（4也）,（A再）,（4，月），（4也），共有io種.

其中第4組的2名刀,當(dāng)至少有一名被選中的有：（4闖,（4也），（4,4），（4也），

（A，4）,（A，與），（4,與），共有7種，所以至少有一人的年齡在［35,40）內(nèi)的概率為

【點(diǎn)睛】

（1）古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計(jì)算基本事件總數(shù)和事件

包括的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，他們是否是等可能的.（2）用列舉法求古典概型，是一個(gè)形象、

直觀的好方法，但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)、不遺漏.(3)注意一次性抽取與

逐次抽取的區(qū)別：一次性抽取是無(wú)順序的問題，逐次抽取是有順序的問題.

22.已知圓C：(x-l)2+(y-2)2=4.

(1)求圓心C的坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)；

(2)求直線/：y=尤+3被圓C所截得的弦A3的長(zhǎng).

【答案】

(1)圓心C(l,2),半徑r=2.

⑵20

【分析】

(1)根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得圓心與半徑；

(2)由點(diǎn)到直線的距離公式可求得圓心到直線/的距離，再由勾股定理可得弦長(zhǎng).

⑴

解：因?yàn)閳AC：(x-l)2+(y—2)2=4,所以圓心C(l,2),半徑r=2；

(2)

11-2+31廠

解：圓心C(l，2)到直線/：y=x+3的距離為八匹行=。2,

所以直線/：y=x+3被圓C所截得的弦AB的長(zhǎng)為2卜(后J=2近,

所以直線/：>=x+3被圓C所截得的弦AB的長(zhǎng)為20.

23.如圖所示，在四棱錐尸中，底面ABCD為正方形，￡為側(cè)棱PC上靠近P的

三等分點(diǎn)，P4J_底面ABCD,且P4=AD=2.

(1)在側(cè)棱PO上是否存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)A氏瓦尸四點(diǎn)共面？若存在，指出點(diǎn)尸的位

置，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)求二面角P-AB-E的余弦值.

試卷第14頁(yè)，共20頁(yè)

【答案】

(1)取PO靠近尸的三等分點(diǎn)下，證明見解析

⑵手

【分析】

(1)取PO靠近尸的三等分點(diǎn)b，連接斯，可證得跖〃即可得出結(jié)果.

(2)法1：過歹作E4的垂線，垂足為H,連接AF,求證得Z4F是二面角P-A5-E

的平面角，計(jì)算即可求得結(jié)果；

法2：以A為原點(diǎn)，分別以A8,ADAP為無(wú)，Mz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平

面ABE的一個(gè)法向量為機(jī)=(0,2,-1),平面尸的一個(gè)法向量AE＞=(0,2,0),利用數(shù)量

積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.

(1)

取靠近尸的三等分點(diǎn)尸，連接E尸.

PFPF1

因?yàn)橐?=J=所以EF//CD.

PCPD3

又ABIICD,所以EF//AB,所以4民及廠共面.

(2)

法1：

過/作P4的垂線，垂足為H,連接AF,

因?yàn)镽4_L平面48。,筋＜=平面43儀＞,所以上4_LAB.

因?yàn)閰瞋14反4。_14昆出0/1￡)=4,尸4,4。＜Z平面PAD,

所以ABJL平面PAD.

因?yàn)锳Fu平面尸AD,

所以AB_LAF,結(jié)合鉆_LB4,

得/上4尸是二面角P-AB-E的平面角.

8

12

在放人訪中，”是P4靠近P的三等分點(diǎn)，F(xiàn)H=PH=-PA,AH=-PA,

33

i^FA=^AH2+FH2=—PA,

3

AH275

cos/FAH=-----=------，

AF5

故二面角P-E的余弦值為手.

法2：

以A為原點(diǎn)，分別以AB,AD,AP為％Xz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻4=AD=2,四邊形ABC。為正方形，

所以A（0,0,0）,B（2,0,0）,0（0,2,0）,C（2,2,0）,P（0,0,2）,E1,|,￡|,

從而旗=g，-|，T],AB=（2,0,0）.

設(shè)平面ME的一個(gè)法向量為〃z=（x,y,z）,則

4_2_4

m-EB=0,，取產(chǎn)？，則.)

即《3§z-0=(O,2,T.

m-AB=0,

2x=0,

平面ABP的一個(gè)法向量為AZ）=（0,2,0）.

設(shè)二面角P-AB-E的平面角為6,

m?AD_4_2^/5

則cos6=

|m|-|A￡)|265

故二面角P—AB—E的余弦值為乎.

22

24.若橢圓E：々+多=1（。>/?>0）過拋物線*2=4￥的焦點(diǎn)，且與雙曲線J?—y2=i有

ab

相同的焦點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程;

試卷第16頁(yè)，共20頁(yè)

(2)不過原點(diǎn)。的直線/：y=x+m與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),求△Q4B面積的最大

值以及此時(shí)直線/的方程.

【答案】

(1)—+/=1

3

(2)Q4B面積最大值為也，此時(shí)直線/的方程為y=x±應(yīng).

2

【分析】

首先求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到萬(wàn)、c,再由02=/一〃，即可求出二,

即可求出橢圓方程；

(2)將直線方程和橢圓方程聯(lián)立組成方程組，然后求解得到14例的值，并通過求解得

到點(diǎn)。到直線/的距離d,即可得到含有加的SQB表達(dá)式，進(jìn)而求解得出最大值.

(1)

解：拋物線V=4y的焦點(diǎn)為(0,1),雙曲線/-必=1的焦點(diǎn)為卜五,0)或(亞,。)，依題

意可得又。2=儲(chǔ)一廿，所以/=3,所以橢圓方程為土+丁=1；

[c=V23

(2)

fr23v2=3

解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，％),以三，%),聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，>,

[y=x+m

消去J7得，4x2+6mx+3m2-3=0,

艮fl得%+x2=~~~，%々=§2-3,

則由相交弦長(zhǎng)公式可得||=夜x卜券)-4x3相：3=*.712-3m2,

又由點(diǎn)到直線距離公式可得，點(diǎn)。到直線A3的距離即為，d=^L=^\m\

所以='.1?IAB1=；X*XI根IX孝xJ12-3加=：XJ-3(療-2)2+12,日,

當(dāng)且僅當(dāng)/=2,即優(yōu)=土夜時(shí)，面積取得最大值為正，此時(shí)直線/的方程為

2

y=x±^f2.

25.已知圓C:%2+y2—8y+i2=0,直線/:依+y+2a=0.

(1)當(dāng)直線/與圓C相交，求，的取值范圍；

(2)當(dāng)直線/與圓C相交于A、3兩點(diǎn)，且卜2?時(shí)，求直線/的方程.

【答案】

⑴m

（2）尤-y+2=0或7x-y+14=0.

【分析】

（1）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用幾何法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，由此可解得

實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）根據(jù)勾股定理求出圓心到直線/的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于實(shí)

數(shù)”的值，即可出直線/的方程.

⑴

解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐+仃一4）2=4,圓心為C（0,4）,半徑為廠=2,

因?yàn)橹本€/與圓C相交，貝幺<2,解得°<一之

+14

(2)

解:因?yàn)閨明=2后，則圓心C到直線/的距離為d="=，

由點(diǎn)到直線的距離公式可得〃=￡雪=0,整理得4+80+7=0,解得。=-1或-7.

加+1

所以，直線/的方程