1.1周期變化7種常見(jiàn)考法歸類（原卷版）

1.1周期變化7種常見(jiàn)考法歸類課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解周期性的概念和幾何意義1.了解現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象，能判斷簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中的周期.2.初步了解周期函數(shù)的概念，能判斷簡(jiǎn)單的函數(shù)的周期性.知識(shí)點(diǎn)01周期函數(shù)1．周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，x∈D，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)任意的x∈D2．最小正周期：如果在周期函數(shù)y＝f(注：(1)周期函數(shù)的周期不是唯一的，如果T是函數(shù)f(x)(2)只有個(gè)別x值或只差個(gè)別的x值滿足f(x+T)＝【即學(xué)即練1】【多選】下列函數(shù)圖象中具有周期性的是（

）A． B．C． D．【即學(xué)即練2】函數(shù)滿足，那么，它是以為周期的函數(shù)嗎？知識(shí)點(diǎn)02抽象函數(shù)的周期性函數(shù)周期性問(wèn)題應(yīng)牢牢把握周期函數(shù)的定義，并掌握一些常見(jiàn)的確定函數(shù)周期的條件。類型周期函數(shù)f(x)滿足的條件周期常見(jiàn)周期函數(shù)模型f|a|f(x＋a)＝f(x－a)2|a|f(x＋a)＝－f(x)2|a|f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)2|a|f(x＋a)＝eq\f(1,fx)2|a|f3|f3|4|a|2|a|fTfTfT奇偶性與周期性的綜合偶函數(shù)，關(guān)于直線x＝a對(duì)稱2|a|偶函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱4|a|奇函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱2|a|奇函數(shù)，關(guān)于直線x＝a對(duì)稱4|a|對(duì)稱性與周期性的綜合注：雙對(duì)稱必周期，“同二異四”關(guān)于直線x＝a與x＝b對(duì)稱2|b－a|關(guān)于點(diǎn)(a,0)與點(diǎn)(b,0)對(duì)稱2|b－a|關(guān)于直線x＝a與點(diǎn)(b,0)對(duì)稱4|b－a|【即學(xué)即練3】設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足，若，則A． B． C． D．【即學(xué)即練4】已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．1 D．9知識(shí)點(diǎn)03周期性的應(yīng)用（1）函數(shù)周期性的作用：簡(jiǎn)而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個(gè)周期的性質(zhì)，則得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì).（2）圖像：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行復(fù)制粘貼.（3）單調(diào)性：由于間隔kT(k∈Z)的函數(shù)圖象相同，所以若函數(shù)y=f(x)在(a,b)(ba≤T)上單調(diào)增(減),則y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上單調(diào)增(減).注：奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問(wèn)題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問(wèn)題，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號(hào)作用?！炯磳W(xué)即練5】設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有，又當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【即學(xué)即練6】函數(shù)是在R上的周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練7】若偶函數(shù)對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，，則．【即學(xué)即練8】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．題型一：周期現(xiàn)象及應(yīng)用例1.（2023下·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列現(xiàn)象是周期現(xiàn)象的是（

）①日出日落；②潮汐；③海嘯；④地震A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④變式1．（2023下·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）下列變化中不是周期變化的是（

）A．春去春又回 B．太陽(yáng)東升西落C．天干地支表示年、月、日的時(shí)間順序 D．某同學(xué)每天放學(xué)回到家的時(shí)間變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果今天是星期三，那么，天后的那一天是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六變式3．【多選】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）按照規(guī)定，奧運(yùn)會(huì)每4年舉行一次.2008年夏季奧運(yùn)會(huì)在北京舉辦，那么下列年份中舉辦夏季奧運(yùn)會(huì)的應(yīng)該是（）A．2023 B．2024 C．2026 D．2032變式4．（2023下·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）十字路口處紅綠燈亮滅的情況如下：1分鐘亮綠燈；接著10秒亮黃燈；再接著1分鐘亮紅燈；10秒亮黃燈；1分鐘亮綠燈；10秒亮黃燈，……，則某人開(kāi)始亮綠燈時(shí)，過(guò)路口，10分鐘后又到此路口，此時(shí)應(yīng)該亮燈．變式5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）四個(gè)小動(dòng)物換座位，開(kāi)始是猴、兔、貓、鼠分別坐在①、②、③、④號(hào)位置上(如圖)，第1次前后排動(dòng)物互換位置，第2次左右列互換座位……這樣交替進(jìn)行下去，那么第2023次互換座位后，小兔的位置對(duì)應(yīng)的是（

）A．編號(hào)① B．編號(hào)②C．編號(hào)③ D．編號(hào)④【方法技巧與總結(jié)】一些變化是不是周期變化，其判斷的依據(jù)是周期變化的特征，即每次都以相同的間隔出現(xiàn)，而且變化是無(wú)差別的重復(fù)出現(xiàn)．題型二：周期函數(shù)的判斷例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)圖像中，不具有周期性的是（

）A． B．C． D．例3．【多選】（2023上·山東日照·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如.定義函數(shù)，則（

）A． B．函數(shù)是周期函數(shù)C．方程在僅有一個(gè)解 D．函數(shù)是增函數(shù)變式1．（2023上·山西晉中·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有，當(dāng)時(shí)，．(1)求證：是周期函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的解析式；(3)計(jì)算．【方法技巧與總結(jié)】判斷周期函數(shù)的方法，一般是根據(jù)定義。即對(duì)函數(shù)f(x)，如果存在常數(shù)T(T≠0)，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，均有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)是周期為T的周期函數(shù)。題型三：利用周期性求函數(shù)值例4．（2023上·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（）是以為最小正周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則．變式1．（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，則.變式2．（2023上·河北唐山·高三階段練習(xí)）設(shè)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．0 B．1 C． D．變式3．（2023下·江西贛州·高一校聯(lián)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2 B．0 C．1 D．變式4．（2024上·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）已知定義在R上的函數(shù)滿足，，且，若，則（

）A．0 B． C．2 D．【方法技巧與總結(jié)】判斷函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期．(2)f(x＋a)＝1fx(a≠0)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，2(3)f(x＋a)＝－1fx(a≠0)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，2題型四：利用函數(shù)的周期性求函數(shù)解析式例5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)的周期為，且當(dāng)時(shí)，，則，的解析式為．變式1．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）周期函數(shù)的圖象如圖．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)寫(xiě)出函數(shù)的解析式．變式2．（2023上·湖南株洲·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．(1)證明：是周期函數(shù)．(2)若當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，的解析式．例6．（2023下·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？计谀┰O(shè)是定義在上的周期為的偶函數(shù)，已知時(shí)，，則時(shí)，的解析式為（

）A． B．C． D．變式1．（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．變式2．（2023上·江西·高三寧岡中學(xué)?？计谥校┮阎嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】(1)遇到周期問(wèn)題，要學(xué)會(huì)區(qū)間轉(zhuǎn)移，將未知區(qū)間中的x加減整周期，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，再將含x式子代入已知函數(shù)．(2)遇到周期性＋奇偶性綜合問(wèn)題，可根據(jù)條件，求出一個(gè)周期上的函數(shù)關(guān)系．題型五：周期性與奇偶性的結(jié)合例7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知奇函數(shù)y=f(x)(x∈R)，且f(x)=f(x+4)，f(1)=2，則函數(shù)f(x)的周期為，f(2)+f(3)+f(4)=.變式1．（2023下·河南·高三階段練習(xí)）已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為.變式2．（2023下·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)以為周期，則．變式3．（2023上·廣東梅州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有．當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)計(jì)算．變式4．（2023上·寧夏·高三隆德縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（）A．50 B．2 C．0 D．變式5．【多選】（2023上·湖南衡陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）奇函數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的一個(gè)周期為2 B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)變式6．【多選】（2023下·安徽·高三合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知為偶函數(shù)，且恒成立．當(dāng)時(shí)．則下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．的周期是 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，題型六：周期性與對(duì)稱性的結(jié)合例8．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)都有當(dāng)時(shí)，.則（

）A． B．1 C．2 D．變式1．（2023上·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，又，，則.題型七：周期性與單調(diào)性的結(jié)合例9．（2024上·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)滿足：關(guān)于中心對(duì)稱，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（

）A． B．C． D．變式1．（2023下·山東青島·高二?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋沂桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．變式2．【多選】（2024上·河南開(kāi)封·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，且時(shí)，單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的為（

）A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．D．一、單選題1．（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象不是周期現(xiàn)象的是（

）A．“春去春又回” B．鐘表的分針每小時(shí)轉(zhuǎn)一圈C．“哈雷彗星”的運(yùn)行時(shí)間 D．某同學(xué)每天上數(shù)學(xué)課的時(shí)間2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）探索下圖所呈現(xiàn)的規(guī)律,判斷2015至2017箭頭的方向是（

）A． B． C． D．3．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)鐘擺每經(jīng)過(guò)1.8秒回到原來(lái)的位置，在圖中鐘擺達(dá)到最高位置A點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)1分鐘后，鐘擺的大致位置是（）A．點(diǎn)A處B．點(diǎn)B處C．O、A之間D．O、B之間4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若近似認(rèn)為月球繞地球公轉(zhuǎn)與地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道在同一平面內(nèi)，且均為正圓，又知這兩種轉(zhuǎn)動(dòng)同向．如圖所示，月相變化的周期為天(下圖是相繼兩次滿月時(shí)，月、地、日相對(duì)位置的示意圖)．則月球繞地球一周所用的時(shí)間為（

）A．天 B．天 C．天 D．天5．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上所有零點(diǎn)的和為（

）A． B． C． D．6．（2024上·重慶·高一西南大學(xué)附中?？计谀┤簦瑒t（

）A． B． C． D．7．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（

）A． B．1 C．5 D．8．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為2，且.當(dāng)時(shí)，，那么在區(qū)間上，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．8 B．7 C．6 D．59．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知定義在上奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．10．（2023上·云南曲靖·高一校考期末）已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．211．（2023上·山東菏澤·高三校考期末）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．12．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谀┰O(shè)是定義在上的周期為的偶函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B． C． D．13．（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．15 C．20 D．21二、多選題14．（2024上·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．是周期為2的周期函數(shù)B．當(dāng)時(shí)，C．的圖象與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)D．在上單調(diào)遞增15．（2023上·湖南·高一衡陽(yáng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足：①；②當(dāng)時(shí)，．下列說(shuō)法正確的有（

）A．B．C．當(dāng)時(shí)，D．方程有個(gè)實(shí)數(shù)根16．（2023下·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第十七中學(xué)校考期中）定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．時(shí)，C．D．函數(shù)有對(duì)稱軸17．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的定義域均為R，函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的一個(gè)周期為6B．函數(shù)的一個(gè)周期為8C．若，則D．若當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，18．（2024上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都存，且，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的值域?yàn)?D．19．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．D．方程有5個(gè)不等的實(shí)數(shù)根三、填空題20．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，變量y與時(shí)間t(s)的圖象如圖所示，則時(shí)間t至少隔s