考點(diǎn)01 集合6種常見考法歸類（解析版）

考點(diǎn)01集合6種常見考法歸類考點(diǎn)一集合的含義與表示（一）判斷元素與集合的關(guān)系根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)（三）根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)（四）利用集合中元素的性質(zhì)求集合個(gè)數(shù)（五）集合元素互異性的應(yīng)用（六）集合的表示考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系（一）集合間基本關(guān)系的判定（二）空集（三）（真）子集的列舉與個(gè)數(shù)的計(jì)算（四）根據(jù)集合相等求參數(shù)（五）根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算（一）集合的并集、交集運(yùn)算（二）補(bǔ)集的運(yùn)算（三）交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算（四）根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)考點(diǎn)四韋恩圖及其應(yīng)用考點(diǎn)五集合的新定義問題考點(diǎn)六集合的綜合應(yīng)用1、與集合中元素有關(guān)的問題的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．(2)集合元素的三個(gè)特性中的互異性對解題的影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性．2、集合間基本關(guān)系的2種判定方法和1個(gè)關(guān)鍵兩種方法：(1)化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系；(2)用列舉法(圖示法)表示各集合，從元素(圖形)中尋找關(guān)系一個(gè)關(guān)鍵：關(guān)鍵是看它們是否具有包含關(guān)系，若有包含關(guān)系就是子集關(guān)系3、根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對子集是否為空集進(jìn)行分類討論（必須優(yōu)先考慮空集的情況），做到不漏解，其次是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．(1)若集合元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程(組)求解，此時(shí)應(yīng)注意集合中元素的互異性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解，此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到．4、集合基本運(yùn)算的方法技巧5、數(shù)形結(jié)合常使集合間的運(yùn)算更簡捷、直觀對離散的數(shù)集間的運(yùn)算或抽象集合間的運(yùn)算，可借助韋恩(Venn)圖實(shí)施；對連續(xù)的數(shù)集間的運(yùn)算，常利用數(shù)軸進(jìn)行；對點(diǎn)集間的運(yùn)算，則往往通過坐標(biāo)平面內(nèi)的圖形求解．這些在本質(zhì)上都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)和運(yùn)用．6、集合運(yùn)算中參數(shù)問題的求解策略集合運(yùn)算中的求參數(shù)問題，首先要會(huì)化簡集合，因?yàn)樵诟呖贾写祟悊栴}常與不等式等知識綜合考查，以體現(xiàn)綜合性，其次注意數(shù)形結(jié)合(包括用數(shù)軸、韋恩(Venn)圖等)及端點(diǎn)值的取舍.具體步驟如下：(1)化簡所給集合；(2)用數(shù)軸表示所給集合；(3)根據(jù)集合端點(diǎn)的大小關(guān)系列出不等式(組)；(4)解不等式(組)；(5)檢驗(yàn)．7、集合新定義問題的求解思路(1)遇到新定義問題，先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到解題的過程中，這是解答新定義型問題的關(guān)鍵所在；(2)集合的性質(zhì)是解答集合新定義問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些條件．8、韋恩圖的應(yīng)用韋恩(Venn)圖能更直觀地表示集合之間的關(guān)系，先分析集合關(guān)系，化簡集合，再由韋恩(Venn)圖所表示的集合關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算．對復(fù)雜的集合關(guān)系問題，或相關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，可通過構(gòu)造韋恩(Venn)圖進(jìn)行求解．考點(diǎn)一集合的含義與表示（一）判斷元素與集合的關(guān)系1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】結(jié)合數(shù)的分類判斷即可.【詳解】是有理數(shù)，是無理數(shù)，均為實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；，為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.故選：C.2．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎舷铝嘘P(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?，所以A、C錯(cuò)誤，因?yàn)椋?，所以B錯(cuò)誤，又，所以，所以D正確，故選:D．3．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）集合，為1~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}，記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過質(zhì)數(shù)的概念化簡集合B，然后利用交集運(yùn)算求解集合M，根據(jù)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)闉?~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}，又，則，對比選項(xiàng)可知，，即D正確，ABC錯(cuò)誤.故選：D.4．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）設(shè)全集，若集合滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系及補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得：，顯然4是中的元素，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C5．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是同時(shí)滿足下列條件的集合：①；②若，則；③且，則．下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)集合滿足的條件對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】（1）由①，則由②，，，由③得，故A正確；（2）由（1）可知，故B錯(cuò)誤；（3）由①知，，，，，即，故C正確；（4），則，由③可得，，，即，，即，；由（3）可知當(dāng)，，，當(dāng)，可得，，故D正確．故答案為：ACD（二）根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)6．（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.【詳解】設(shè)集合，若，，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；所以或.故選：C7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合元素與集合的關(guān)系得到，解不等式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得，故選：C8．（2023·河南·開封高中?？寄M預(yù)測）已知，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意建立不等式求解即可.【詳解】由題意，且，解得，故選：B（三）根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)9．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．0 C．或0 D．無解【答案】C【分析】集合有一個(gè)元素，即方程有一解，分，兩種情況討論，即可得解.【詳解】集合有一個(gè)元素，即方程有一解，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，有一解，則，解得：，綜上可得：或，故選：C.10．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若集合中有且只有一個(gè)元素，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是___________【答案】【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，不等式且，即，令，所以，所以是一個(gè)二次函數(shù)，圖象是確定的一條拋物線，而一次函數(shù)，圖象是過一定點(diǎn)的動(dòng)直線，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，其中，又因?yàn)?，結(jié)合圖象，要使得集合中有且只有一個(gè)元素，可得，即，解得.即正實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合.（1）若中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）且；（2）或【分析】（1）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，用判別式控制范圍，即得解；（2）分，兩種情況討論，當(dāng)時(shí)用判別式控制范圍，即得解；【詳解】（1）由于中有兩個(gè)元素，∴關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴，且，即，且.故實(shí)數(shù)的取值范圍是且（2）當(dāng)時(shí)，方程為，，集合只有一個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則中只有一個(gè)元素，即，，若關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，則中沒有元素，即，.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是或12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，集合中至少有2個(gè)元素，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于集合中至少有2個(gè)元素，所以,從而可求出的取值范圍【詳解】解：因?yàn)榧现兄辽儆?個(gè)元素，所以，解得，故選：D13．（2023秋·重慶璧山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合．若中有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的不同取值個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由中有兩個(gè)元素，得到，由此能求出實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)．【詳解】解：集合，1，，，，中有兩個(gè)元素，，解得，實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)為1．故選：B．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，若集合A中所有整數(shù)元素之和為18，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【分析】先由二次不等式求出集合，根據(jù)已知集合中所有整數(shù)的元素和為18可判斷的范圍.【詳解】解；由可得①若，則，則，其中所有整數(shù)的元素的和不可能是18，舍去②若，則，不符合題意③若，則，由知中的整數(shù)有3，4，5，6，∴故答案為：15．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）由實(shí)數(shù)構(gòu)成的非空集合A滿足條件：①；②若，則.試證明：(1)若，則在集合A中必有另外兩個(gè)數(shù)；(2)若，則集合A不可能是單元素集合；(3)若，且，則集合A中至少有三個(gè)元素.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)元素與集合關(guān)系結(jié)合條件即得；（2）假設(shè)集合A是單元素集合，得到矛盾，進(jìn)而即得；（3）根據(jù)（2）結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由，得，即，由，得，即，所以，若，則集合A中必有另外兩個(gè)數(shù)和；（2）假設(shè)集合A是單元素集合，即，所以，得，，該方程無實(shí)數(shù)根，于是，所以，若，則集合A不可能是單元素集合；（3）由，得，由，得，即，由（2）知，同理可得，，所以，集合A中至少有三個(gè)元素a，，.（四）利用集合中元素的性質(zhì)求集合個(gè)數(shù)16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）由實(shí)數(shù)所組成的集合，最多可含有（

）個(gè)元素A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】把分別可化為，，，，，，根據(jù)集合中元素的互異性，即可得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)所含元素最多，此時(shí)分別可化為，，，所以由實(shí)數(shù)所組成的集合，最多可含有3個(gè)元素．故選：B17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為_________．【答案】【分析】根據(jù)集合得表示可知：是12的因數(shù)，即可求解.【詳解】由可知，是12的因數(shù)，故，進(jìn)而可得可取，故答案為：18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解出集合中的不等式，得到集合中的元素，利用交集的運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】集合，所以.故選：B.19．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】應(yīng)用并運(yùn)算求，即可得元素個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)，所以，故其中元素共有4個(gè).故選：B20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意利用列舉法寫出集合A中的元素即可得出答案．【詳解】集合，所以集合的元素個(gè)數(shù)為9個(gè)．故選：B．21．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，，則中的元素個(gè)數(shù)為______．【答案】4【分析】求出所有的值，根據(jù)集合元素的互異性可判斷個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)榧现械脑?，，，所以?dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，6，7．當(dāng)時(shí)，，2，3，此時(shí)，7，8．根據(jù)集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個(gè)元素．故答案為：4．22．（2023·河北·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）若集合U有71個(gè)元素，且各有14，28個(gè)元素，則的元素個(gè)數(shù)最少是（

）A．14 B．30 C．32 D．42【答案】A【分析】根據(jù)集合中的元素以及交并補(bǔ)運(yùn)算的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)中有個(gè)元素，則,所以中的元素個(gè)數(shù)為，因此中的元素個(gè)數(shù)為中的元素減去中的元素個(gè)數(shù)，即為，由于，所以，故當(dāng)時(shí)，有最小值14故選：A（五）集合元素互異性的應(yīng)用23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合中的三個(gè)元素分別表示某一個(gè)三角形的三邊長度，那么這個(gè)三角形一定不是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】根據(jù)集合中元素的互異性可得答案.【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性得，故三角形一定不是等腰三角形.故選：A.24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為______．【答案】【分析】根據(jù)元素的確定性和互異性可求實(shí)數(shù)a的取值.【詳解】因?yàn)椋驶蚧?，?dāng)時(shí)，，與元素的互異性矛盾，舍；當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，或，根據(jù)元素的互異性，符合，故a的取值集合為.故答案為：25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知其，則由的值構(gòu)成的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分，討論，求出，再帶入集合看是否滿足互異性即可.【詳解】解：，當(dāng)，即時(shí)，，集合中有相同元素，舍去；當(dāng)，即（舍）或時(shí)，，符合，故由的值構(gòu)成的集合是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，以及集合元素的互異性，注意帶入驗(yàn)證，是基礎(chǔ)題.（六）集合的表示26．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下面說法中，正確的為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合的定義，表示方法及集合相等的條件逐個(gè)分析判斷【詳解】解：方程中x的取值范圍為R，所以，同理，所以A正確；表示直線上點(diǎn)的集合，而，所以，所以B錯(cuò)誤；集合，都表示大于2的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，所以C正確；由于集合的元素具有無序性，所以，所以D正確．故選：ACD．27．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）方程組的解集可表示為______.【答案】【分析】求出二元一次方程組的解，然后利用列舉法表示即得.【詳解】由，可得，所以方程的解集為.故答案為：.28．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知集合，用列舉法表示M＝______．【答案】【分析】由直接求解.【詳解】根據(jù)題意，應(yīng)該為6的因數(shù)，故可能取值為1，2，3，6，其對應(yīng)的值分別為：4，3，2，.又，所以的值分別為：4，3，2.故集合.故答案為：29．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?可用集合表示為（

）A．B．或C．D．【答案】C【解析】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?，其余的點(diǎn)全部在集合中，逐一排除法．【詳解】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)、，其余的點(diǎn)全部在集合中，選項(xiàng)中除去的是四條線；選項(xiàng)中除去的是或除去或者同時(shí)除去兩個(gè)點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意；選項(xiàng)，則且，即除去兩點(diǎn)?，符合題意；選項(xiàng)，則任意點(diǎn)都不能，即不能同時(shí)排除，兩點(diǎn)．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本概念，考查學(xué)生對集合的識別，屬于中檔題．考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系（一）集合間基本關(guān)系的判定30．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測）設(shè)A、B、C是三個(gè)集合，若，則下列結(jié)論不正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用集合之間的基本關(guān)系即可判斷.【詳解】,,,，故B正確；，,,故AD正確；故選：C31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合，,則（

）A．； B．；C．； D．．【答案】B【分析】化簡兩個(gè)集合，再判斷集合間的關(guān)系.【詳解】,,表示奇數(shù)，表示整數(shù)，所以.故選：B32．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知集合，，，則M、N、P的關(guān)系滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將集合M、N、P化簡成統(tǒng)一形式，然后判斷即可．【詳解】，，，所以.故選：B．33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.（二）空集34．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）下列集合中，結(jié)果是空集的是(

)A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【答案】D【分析】分析是否有元素在各選項(xiàng)的集合中，再作出判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，不是空集；B選項(xiàng)：{x|x>6或x<1}，不是空集；C選項(xiàng)：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D選項(xiàng)：不存在既大于6又小于1的數(shù)，即：{x|x>6且x<1}=.故選：D35．（2023春·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市十二中?？茧A段練習(xí)）已知集合，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．集合是有限集【答案】A【解析】根據(jù)題意，由元素與集合的含義、元素與集合的關(guān)系是屬于和不屬于，集合與集合的基本關(guān)系，依次分析選項(xiàng)可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)可得：對于選項(xiàng)、2.5是集合的元素，則，則正確；對于選項(xiàng)、0是集合的元素，應(yīng)有，而不是，錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)、空集是任何集合的子集，應(yīng)有，錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)、集合為無限集，錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合、元素間關(guān)系的判斷，是簡單題，解題時(shí)注意分清與區(qū)別即可．36．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若時(shí)，則或【答案】ABC【分析】求出集合，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷．【詳解】，若，則，且，故A正確.時(shí)，，故D不正確.若，則且，解得，故B正確.當(dāng)時(shí)，，解得或，故C正確.故選：ABC．（三）（真）子集的列舉與個(gè)數(shù)的計(jì)算37．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】解一元二次不等式，并結(jié)合已知用列舉法表示集合A作答.【詳解】解不等式，得，因此，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：C38．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，則等于（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可.【詳解】解：集合的非空子集有、、，所以，解得.故選：D39．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考二模）已知集合，則的真子集共有（

）A．3個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】先利用交集運(yùn)算求解交集，再根據(jù)交集的元素個(gè)數(shù)來求解答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的真子集共有個(gè).故選：C.40．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，若集合A有且僅有2個(gè)子集，則a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】BCD【分析】根據(jù)條件可知集合中僅有一個(gè)元素，由此分析方程為一元一次方程、一元二次方程的情況，從而求解出的值.【詳解】因?yàn)榧蟽H有個(gè)子集，所以集合中僅有一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，滿足要求；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榧现袃H有一個(gè)元素，所以，所以，此時(shí)或，滿足要求，故選：BCD.41．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合滿足，那么這樣的集合M的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系一一列舉出來即可.【詳解】因?yàn)?，所以集合可以為：，?個(gè)，故選：C.42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合滿足，則集合的個(gè)數(shù)有________個(gè).【答案】3【分析】根據(jù)題意求出所有的集合，即可解出.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，即集合的個(gè)數(shù)有3個(gè).故答案為：3.（四）根據(jù)集合相等求參數(shù)43．（2023·江西·金溪一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)，可得兩集合元素全部相等，分別求和，再根據(jù)集合元素的互異性可確定，的值，進(jìn)而得出答案.【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則_____．【答案】1【分析】根據(jù)集合相等，則元素完全相同，分析參數(shù)，列出等式，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，顯然，故，則；此時(shí)兩集合分別是，則，解得或.當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，滿足題意.所以故答案為：.45．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知集合且，定義集合，若，給出下列說法：①；②；③；其中所有正確序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】由集合的新定義結(jié)合，可得，由此即可求解【詳解】因?yàn)榧锨遥?，則中也包含四個(gè)元素，即，剩下的，對于①：由得，故①正確；對于②：由得，故②正確；對于③：由得，故③正確；故選：D（五）根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，若，則（

）A． B． C．2 D．0【答案】D【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，結(jié)合集合的性質(zhì)求參數(shù)a、b，即可求.【詳解】由知：，即，得，∴.故選：D.47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a＝（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【分析】對于集合，元素對應(yīng)的是一元二次方程的解，根據(jù)判別式得出必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又根據(jù)韋達(dá)定理以及，可確定出其中的元素，進(jìn)而求解.【詳解】對于集合N，因?yàn)?，所以N中有兩個(gè)元素，且乘積為-2，又因?yàn)?，所以，所以．即a＝1．故選：B.48．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解出集合,再根據(jù)列不等式直接求解.【詳解】集合，.要使，只需，解得：.故選：A49．（2023春·北京海淀·高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分、和三種情況討論，分別求出集合，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榛颍?，?dāng)時(shí)，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，若則，因?yàn)椋?，解得，又，所以，若則，因?yàn)?，所以，解得，又，所以，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C50．（2023·江蘇常州·常州市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)集合，，．若，，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合交集的結(jié)果可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，故或，若，則，，此時(shí)，符合；若，則，，此時(shí)，不符合；故選：B51．（2023秋·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知M={x|－3≤x≤5}，N={x|a≤x≤a+1}，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】【分析】先分析集合，再根據(jù)建立不等式然后解之即可.【詳解】因?yàn)?，所以集?因此，時(shí)，應(yīng)滿足，解得.52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【分析】分B為空集和不是空集兩種情況，根據(jù)集合建的包含關(guān)系得到不等式（組）求解.【詳解】解：分兩種情況考慮：①若B不為空集，可得：，解得：，，且，解得：，所以,②若B為空集，符合題意，可得：，解得：.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算（一）集合的并集、交集運(yùn)算53．（2023春·廣東揭陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用列舉法表示集合，再用交集的定義求出結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)?，又有，所?故選：B54．（2023春·安徽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)不等式、一元一次不等式的解法求出集合A、B，結(jié)合交集的概念和運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意得，，所以，，所以.故選：A.55．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）已知集合，集合，則等于（

）A． B． C．． D．【答案】B【分析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解.【詳解】由，解得，因?yàn)榧?，集合，所?故選：B56．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎?，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義域求得B，再根據(jù)并集的定義求得結(jié)果.【詳解】由題意可得：故選：D57．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？级＃┮阎希?，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，由可得，解得，則，因此，.故選：D.58．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考二模）已知集合，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用交集和補(bǔ)集的定義逐一判斷即可.【詳解】集合，，對于A：，A錯(cuò)誤；對于B：，B錯(cuò)誤；對于C：，C正確；對于D：，D錯(cuò)誤.故選：C.（二）補(bǔ)集的運(yùn)算59．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計(jì)算，再計(jì)算補(bǔ)集得到答案.【詳解】，則.故選：B60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡集合M，根據(jù)補(bǔ)集定義計(jì)算即可.【詳解】，.故選：C.61．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求出集合，再求補(bǔ)集可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：C.（三）交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算62．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡集合A，再利用并集和補(bǔ)集的運(yùn)算求解.【詳解】解：由，得，故，所以，，．故選：B．63．（2023·江西九江·瑞昌市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解出，根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求出，然后根據(jù)交集的運(yùn)算，即可得出答案.【詳解】解可得，，所以.又，所以.所以.故選：B.64．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）已知集合，，則（

）A． B．C．D．【答案】C【分析】由已知求出，然后根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得出，根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可得出答案.【詳解】，，即，，所以，，，所以，.故選：C.65．（2023·天津·校聯(lián)考一模）已知全集，集合，則集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】計(jì)算出，從而根據(jù)交集，并集和補(bǔ)集概念計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)，得到正確答案.【詳解】由題意知，，A選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故，C錯(cuò)誤；所以.故選：D.（四）根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，列式分類討論計(jì)算，然后將計(jì)算所得的結(jié)果代入集合驗(yàn)證.【詳解】集合，，又∴或，解得或或，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意當(dāng)時(shí)，，，，不符合題意當(dāng)時(shí)，，，不滿足集合元素的互異性，不符合題意.，則實(shí)數(shù)的取值的集合為.故選：D.67．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）設(shè)集合，且，則（

）A． B． C．8 D．6【答案】C【分析】化簡集合A、B，根據(jù)交集的結(jié)果求參數(shù)即可.【詳解】由，可得或，即或，而，∵，∴，可得.故選：C68．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知全集為，集合，，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】.【分析】由可得，由此列出不等式求出的取值范圍．【詳解】若，則，∵，，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.69．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】求函數(shù)的定義域求得集合，根據(jù)求得的取值范圍.【詳解】由解得，所以，由于，所以，所以的取值范圍是.故答案為：70．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【分析】分析可知，分、兩種情況討論，根據(jù)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，由可得，解得，此時(shí).綜上所述，.故答案為：.71．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，若中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則正數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意化簡集合，根據(jù)中有且僅有三個(gè)整數(shù)列不等式求解，可得答案.【詳解】由題意可得，，若中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則只能是，故，解得，故選：B．72．（2023春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)集合并集運(yùn)算，結(jié)合數(shù)軸即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知，可得.故答案為：73．（2023·陜西商洛·校考三模）設(shè)全集，集合，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．-1 C．2 D．0或2【答案】A【分析】利用給定條件，結(jié)合元素的互異性直接列式計(jì)算作答.【詳解】由集合知，，即，而，全集，因此，，解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件，所以實(shí)數(shù)的值為0.故選：A74．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，依題意可得，即可得到不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A75．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）設(shè)集合或，若，則的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】先求出，根據(jù)，可求得結(jié)果.【詳解】由集合或，得，又集合且，則2或，即或.故選：B.考點(diǎn)四韋恩圖及其應(yīng)用76．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖象可知陰影部分對應(yīng)的集合為且，根據(jù)集合和集合即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，易知圖中陰影部分對應(yīng)的集合為且，選項(xiàng)D正確，故選：D77．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，則韋恩圖中陰影部分表示的集合的真子集個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)圖形求出集合中的元素，再根據(jù)真子集個(gè)數(shù)公式求解即可.【詳解】由圖可知，韋恩圖中陰影部分表示的集合中的元素屬于集合，但不屬于，因?yàn)椋躁幱安糠直硎镜募蠟?，所以其真子集個(gè)數(shù)為.故選：B.78．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知全集是實(shí)數(shù)集，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B．C． D．或【答案】B【分析】解不等式求得集合，然后求得，進(jìn)而求得，從而確定正確答案.【詳解】，解得或，所以或，圖中白色區(qū)域?yàn)榛?，則陰影部分表示的集合為.故選：B79．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)Venn圖表示的集合運(yùn)算作答．【詳解】陰影部分在集合的公共部分，但不在集合內(nèi)，表示為，故選：C．80．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）某班一個(gè)課外調(diào)查小組調(diào)查了該班同學(xué)對物理和歷史兩門學(xué)科的興趣愛好情況，其中該班同學(xué)對物理或歷史感興趣的同學(xué)占90％，對物理感興趣的占56％，對歷史感興趣的占74％，則既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學(xué)占該班學(xué)生總數(shù)的比例是（

）A．70％ B．56％ C．40％ D．30％【答案】C【分析】根據(jù)公式列方程求解即可.【詳解】對物理感興趣的同學(xué)占56％，對歷史感興趣的同學(xué)占74％，這兩組的比例數(shù)據(jù)都包含了既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學(xué)的比例，設(shè)既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學(xué)占該班學(xué)生總數(shù)的比例為x，則對物理或歷史感興趣的同學(xué)的比例是56％＋74％－x，所以56％＋74％－x＝90％，解得％，故選：C.81．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元1世紀(jì)左右．該書內(nèi)容十分豐富，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就．某數(shù)學(xué)興趣小組在研究《九章算術(shù)》時(shí)，結(jié)合創(chuàng)新，給出下面問題：現(xiàn)有100人參加有獎(jiǎng)問答，一共5道題，其中91人答對第一題，87人答對第二題，81人答對第三題，78人答對第四題，88人答對第五題，其中答對三道題以上（包括三道題）的人可以獲得獎(jiǎng)品，則獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)至少為（

）A．70 B．75 C．80 D．85【答案】B【分析】由題意求出回答錯(cuò)誤的題共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．而答錯(cuò)3道題及以上的人沒有獎(jiǎng)品，所以最多會(huì)有人沒有獎(jiǎng)品，由此可求得答案.【詳解】解：由題意知，一共回答了500道題，其中回答錯(cuò)誤的題共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．由于答對3道題以上（包括3道題）的人可以獲得獎(jiǎng)品，即答錯(cuò)3道題及以上的人沒有獎(jiǎng)品，故最多會(huì)有人沒有獎(jiǎng)品，故獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)至少為75．故選：B.82．（2023·全國·高三專題練習(xí)）高一某班共有54人，每名學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇3門進(jìn)行學(xué)習(xí).已知選擇物理、化學(xué)、生物的學(xué)生各有至少25人，這三門學(xué)科均不選的有8人.這三門課程均選的8人，三門中任選兩門課程的均至少有15人.三門中只選物理與只選化學(xué)均至少有6人，那么該班選擇物理與化學(xué)但未選生物的學(xué)生至多有______人.【答案】9【分析】根據(jù)題意，設(shè)學(xué)生54人看成集合，選擇物理的人組成集合，選擇化學(xué)的人組成集合，選擇生物的人組成集合，選擇物理與化學(xué)但未選生物的人組成集合，結(jié)合Venn圖可知，要使區(qū)域的人數(shù)最多，其他區(qū)域人數(shù)最少即可，進(jìn)而可求解.【詳解】把學(xué)生54人看成集合，選擇物理的人組成集合，選擇化學(xué)的人組成集合，選擇生物的人組成集合，選擇物理與化學(xué)但未選生物的人組成集合.要使選擇物理與化學(xué)但未選生物的學(xué)生人數(shù)最多，除這三門課程都不選的8人，則結(jié)合Venn圖可知，其他區(qū)域人數(shù)均為最少，即得到只選物理與只選化學(xué)均至少6人，只選生物的最少25人，做出下圖，得該班選擇物理與化學(xué)但未選生物的學(xué)生至多有9人.故答案為：9.83．（2023·全國·高三專題練習(xí)）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中___________；___________；___________.【答案】【分析】根據(jù)韋恩圖，結(jié)合看每部電影的人數(shù)可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：.故答案為：；；.考點(diǎn)五集合的新定義問題84．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合且，已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合新定義即可求解.【詳解】因?yàn)榧锨遥?，所以故選：C85．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合運(yùn)算，若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，從而可得或，或，再根據(jù)新定義得，再代入驗(yàn)證即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以或所以或，或所以或，，代入?yàn)證，故.故選：D.86．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的新定義求得，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，故中元素的個(gè)數(shù)為.故選：B.87．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合的全集為，定義一種運(yùn)算，，若全集，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不