考點05 基本不等式及其應(yīng)用6種常見考法歸類（解析版）

考點05基本不等式及其應(yīng)用6種常見考法歸類考點一利用基本不等式比較大小考點二利用基本不等式求最值（一）直接法（二）配湊法（三）常數(shù)代換法（四）消元法（五）換元法（六）齊次化（七）重組轉(zhuǎn)化（八）利用兩次基本不等式求最值（九）基本不等式與對勾函數(shù)考點三與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題考點四基本不等式的實際應(yīng)用考點五利用基本不等式證明不等式考點六基本不等式的綜合應(yīng)用（一）與函數(shù)的結(jié)合（二）與三角函數(shù)、解三角形的結(jié)合（三）與平面向量的結(jié)合（四）與數(shù)列的結(jié)合（五）與解析幾何的結(jié)合（六）與立體幾何的結(jié)合1.基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．(2)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(3)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．◆注：在利用基本不等式求最值時，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件．“一正”是說每個項都必須為正值，“二定”是說各個項的和(或積)必須為定值．“三相等”是說各項的值相等時，等號成立．多次使用均值不等式解決同一問題時，要保持每次等號成立條件的一致性和不等號方向的一致性．2.幾個重要不等式重要不等式使用前提等號成立條件a2＋b2≥2aba，b∈Ra＝beq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2ab>0a＝beq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2ab<0a＝－bab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)a，b∈Ra＝beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)a，b∈Ra＝b3.常用推論(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.(3)|2ab|≤a2＋b2?－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.(4)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0).即有：正數(shù)a，b的調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù).4.三元均值不等式(1)eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc).(2)eq\f(a3＋b3＋c3,3)≥abc.以上兩個不等式中a，b，c∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立.二維形式柯西不等式若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立.6.基本不等式公式推導(dǎo)圖7.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(簡記：和定積最大)8.利用基本不等式求最值的基本方法(1)直接法①利用基本不等式法求最值的最基本類型可以分為兩類：和積一定一動型、和與平方和一定一動型.積，和和平方和三者之間的不等式關(guān)系：②需要注意的是驗證等號成立的條件，特別地，由基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，求最值時要求"一正、二定、三相等".③轉(zhuǎn)化符號：若含變量的項是負(fù)數(shù)，則提取負(fù)號，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再利用“公式”求最值．④乘方：若目標(biāo)函數(shù)帶有根號，則先乘方后配湊為和為定值．(2)配湊法將目標(biāo)函數(shù)恒等變形或適當(dāng)放縮，配湊出兩個式子的和或積為定值.①應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.②配湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：1)配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提．③形如的分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運用基本不等式來求最值。(3)常數(shù)代換法①若已知條件中的“１”（常量可化為“１”）與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系（尤其是整式與分式相乘模型），則實施“１”代換，配湊和或積為常數(shù).模型1已知正數(shù)滿足，求的最小值。模型2已知正數(shù)滿足求的最小值。②常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式；4)利用基本不等式求解最值．③有些問題從形式上看，似乎具備和與倒數(shù)和的一些特征，但細(xì)究起來，又存在明確的區(qū)別，求解此類問題時，需要對條件和結(jié)論中的表達式進行合理、巧妙的配湊與構(gòu)造;從而變形、構(gòu)造出和與倒數(shù)和的關(guān)系.(4)消元法消元法，即根據(jù)條件與所求均含有兩個變量，從簡化問題的角度來思考，消去一個變量，轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留變量的取值范圍(5)換元法①當(dāng)條件式中給出了"和"與"積"之間的關(guān)系時，可以考慮借助基本不等式進行放縮，由條件式構(gòu)建得到關(guān)于"和"或"積"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"積"的最值.②雙換元求最值：若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關(guān)系．(6)齊次化求最值齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運用基本不等式進行求解．(7)重組轉(zhuǎn)化當(dāng)條件式或目標(biāo)式較為復(fù)雜、不易理清其結(jié)構(gòu)特點與內(nèi)在聯(lián)系時，可從拆分、合并等角度嘗試進行重組，注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點,尋找條件式與目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征及相互聯(lián)系.(8)利用兩次基本不等式求最值在求解某些復(fù)雜一些的最值問題時，可能會需要連續(xù)多次使用基本不等式進行放縮.此時，我們需要注意兩點:一是由基本不等式進行放或縮一定要考慮到不等號的方向與不等式傳遞性相一致，即多次放大或者多次縮小，一般不可以既放大又縮小;二是多次使用基本不等式后要考慮等號成立的條件，只有多個等號能夠同時成立時方可.(9)基本不等式與對勾函數(shù)對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對勾函數(shù)，是形如：（）的函數(shù)；對勾函數(shù)，當(dāng)時，對勾函數(shù)是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)“疊加”而成的函數(shù)；①當(dāng)同號時，對勾函數(shù)的圖像形狀酷似雙勾；故稱“對勾函數(shù)”；如下圖所示：②當(dāng)異號時，對勾函數(shù)的圖像形狀發(fā)生了變化，如下圖所示：8.常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.9.與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題(1)求參數(shù)的值或取值范圍的方法觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．(2)求不等式恒成立問題常用分離參數(shù)法的方法若不等式（是實參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.10.利用基本不等式求解實際應(yīng)用題的三個注意點(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．11.求基本不等式與其他知識交匯的最值問題的類型及策略(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解．考點一利用基本不等式比較大小1．【多選】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知實數(shù)，則（

）A．B．C． D．【答案】ABD【分析】作差法判斷A、B；特殊值法判斷C；由基本不等式易知，再根據(jù)對數(shù)性質(zhì)判斷D.【詳解】A：，則，正確；B：，則，正確；C：當(dāng)時，，錯誤；D：由（注意等號取不到），則，正確.故選：ABD2．【多選】（2023秋·河北邯鄲·高一?？计谀┤?，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)作差法結(jié)合條件可判斷AB，利用基本不等式可判斷CD.【詳解】，且，所以，即，故A錯誤，B正確；所以，即，故C錯誤，D正確.故選：BD.3．【多選】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式可得A,B,D正誤，利用1的妙用可得C的正誤.【詳解】對于A，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到等號，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到等號，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到等號，故C正確；對于D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到等號，故D錯誤．故選：ABC.4．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】對于A：利用基本不等式“1”的妙用直接證明；對于B：利用基本不等式直接證明；對于C：利用基本不等式直接證明出，即可判斷；對于D：結(jié)合立方和公式得，再結(jié)合B選項即可判斷.【詳解】解：對于A：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以成立.故A正確；對于B：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以成立.故B正確；對于C：因為，所以，所以.記，則，所以，所以，即.故C錯誤；對于D：因為，所以，，由B選項知，所以，即，故D選項正確.故選：ABD5．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】使用基本不等式求解，注意等號成立條件.【詳解】，∵，∴等號不成立，故；，∵，∴等號不成立，故，綜上，.故選：A.6．【多選】（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判定A錯誤；利用基本不等式，可判定B正確；根據(jù)，，可判定C錯誤；由作差比較法，得到和，結(jié)合，可判定D正確.【詳解】由，可得，所以A錯誤；由且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又因為，所以等號不成立，故成立，所以B正確；當(dāng)，時，可得，所以C錯誤；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；同理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又因為，即，不同時等于1，所以，所以D正確．故選：BD．考點二利用基本不等式求最值（一）直接法7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則的最大值為__________【答案】2【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】，由于，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故最大值為2故答案為：28．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，且，則的最大值是_____.【答案】4【分析】根據(jù)均值不等式，即可求得答案.【詳解】因為，，所以由基本不等式得,所以，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時取等號,所以的最大值是4,故答案為：49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，當(dāng)取最大值時，則的值為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)已知使用基本不等式，整理求出取最大值時的和值，再得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，，此時.故選：B．10．（2023·全國·高三對口高考）已知，且，則的最大值為___________．【答案】2【分析】利用基本不等式得到，從而得到.【詳解】因為，且，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以．故答案為：211．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最大值為（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由基本不等式求解即可【詳解】因為，所以可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式取得等號，的最大值為2．故選：A．12．（2023·廣西柳州·柳州高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，，，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式推出，進而根據(jù)不等式可得，即可得出答案.【詳解】由已知可得.因為，，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，所以，所以，所以的最小值為2.故選：D.13．【多選】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且滿足，．則的取值可以為（

）A．10 B．11 C．12 D．20【答案】CD【分析】根據(jù)條件及基本不等式可得，進而即得.【詳解】因為，，所以，，故，當(dāng)，且，而時，即等號不能同時成立，所以，故AB錯誤，CD正確.故選：CD.14．【多選】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）設(shè)，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為1C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】對A，直接運用均值不等式即可判斷；對B，即可判斷；對C，，討論二次函數(shù)最值即可；對D，將代入替換，利用“1”的代換，化簡然后利用均值不等式即可.【詳解】對A，，，當(dāng)時，即時，可取等號，A對；對B，，因為，所以，，取不到1，故B錯；對C，，當(dāng)時，可取等號，C對；對D，，，當(dāng)時，可取等號，D對；故選：ACD15．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．的最小值為【答案】ABD【分析】A、B選項由基本不等式直接判斷即可；C選項分別求出的范圍即可判斷；D選項令，平方整理后，利用即可判斷.【詳解】由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，A正確；由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，B正確；由正數(shù)a，b及知，，可得，故，C錯誤；令，則，兩邊同時平方得，整理得，又存在使，故，解得，D正確.故選：ABD.（二）配湊法16．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則的最小值為__________．【答案】3【分析】利用基本不等式，變形求函數(shù)的最小值.【詳解】因為，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時等號成立．故答案為：317．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若，則的最小值為________．【答案】7【分析】利用基本不等式求目標(biāo)式的最小值，注意取值條件.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為7．故答案為：718．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值為___________．【答案】【分析】將不等式變?yōu)?，再由基本不等式即可得出答?【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等.故答案為：.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知，求函數(shù)的最大值.（2）已知，求函數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）；【分析】(1)對函數(shù)進行配湊，然后利用均值不等式即可求解；(2)根據(jù)條件對函數(shù)進行配湊，然后利用均值不等式即可求解；【詳解】因為，所以，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因為，所以函數(shù)的最大值為.（2）因為，所以，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故函數(shù)的最大值為1.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】A【分析】令，則，后由基本不等式可得答案.【詳解】令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：A21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）.【答案】（1）3；（2）10.【分析】（1）化簡整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值.（2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值.【詳解】（1）∵（當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時取等號）的最小值為3；（2）令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即t=3時取等號y的最小值為1022．（2023春·天津和平·高三耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知a，b為非負(fù)實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先根據(jù)題意求出，，然后將原式變形得，最后利用1的妙用即可求出其最值.【詳解】，且,為非負(fù)實數(shù)，，則則，解得，，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)即，時,即時等號成立，故，故選：B.23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則最大值為______．【答案】【分析】由且，可得，可得，再將化為后利用基本不等式求解即可．【詳解】解：由且，可得，代入，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，又，可得，時，不等式取等，即的最大值為，故答案為：．（三）常數(shù)代換法24．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是_____．【答案】25【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故答案為：2525．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且滿足，則的最大值為（

）A．9 B．6 C．4 D．1【答案】D【分析】由題可得，利用基本不等式可得，進而即得.【詳解】因為，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即的最大值為1.故選：D.26．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）設(shè)，，若，則取最小值時a的值為______．【答案】/0.75【分析】根據(jù)題意可得、，結(jié)合基本不等式中“1”的用法計算即可求解.【詳解】由，，得，由，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立.故當(dāng)，時取得最小值16.故答案為：.27．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知，，且，那么的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由題意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【詳解】因為，，，則.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等.故選：C.28．（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知，則的最小值是______．【答案】【分析】變形條件等式得，然后展開，利用基本不等式求最小值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最小值是.故答案為：.29．（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)，且，則的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，將所求式子進行整理變形，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，等式恒成立，，由于，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.，，故的最小值為1.故選：.30．（2023春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實數(shù)，若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．8【答案】A【分析】構(gòu)造基本不等式，利用基本不等式即可.【詳解】由，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為：12，故選：A.31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若三個正數(shù)滿足，則的最小值為______.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意為正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時等號成立.故答案為：（四）消元法32．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】將式子變形為，即可利用不等式求解，或者將式子變形為，結(jié)合不等式即可求解.【詳解】方法一：因為，故，解得，故,當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.方法二：因為，則，且，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.故選：C.33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為__________.【答案】【分析】由已知條件可得，求出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由可得，則，由可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.34．（2023·天津·校聯(lián)考二模）若，且，則的最小值為______.【答案】5【分析】根據(jù)對數(shù)的換底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.【詳解】因為，所以，解得或，因為，所以，則，即，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：5.35．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足，則的最大值為_____________．【答案】2【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值.【詳解】由得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，此時，，或者，時等號成立，所以的最大值為2．故答案為：2.（五）換元法36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式可得，結(jié)合條件可得，進而即得.【詳解】因為，由，可得，又，可得，化為，解得，則的取值范圍是.故選：A.37．（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，滿足，，且，則的最大值為（

）A．10 B．8 C．4 D．2【答案】B【分析】由，變形為，設(shè)，利用基本不等式得到，進而化為求解.【詳解】解：由，變形為，設(shè)，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即，∴，∴，即，，∴，∴，此時，，即，時，的最大值為8.故選：B.38．【多選】（2023秋·廣東廣州·高三廣州市培英中學(xué)校考期末）若實數(shù)滿足，則的值可以是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】BC【分析】令，把等式變形成，用表示，然后再用基本不等式，用表示成不等式，解不等式即可.【詳解】，，設(shè)，則由題意得，即.因為，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，解得，所以的取值范圍是故選：BC.39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：設(shè)，進而將問題轉(zhuǎn)化為已知，求的最大值問題，再根據(jù)基本不等式求解即可；法二：由題知進而根據(jù)三角換元得，再根據(jù)三角函數(shù)最值求解即可.【詳解】解：法一：（基本不等式）設(shè)，則，條件，所以，即.故選：D.法二：（三角換元）由條件，故可設(shè)，即，由于，，故，解得所以，，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：D.40．【多選】（2023春·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）已知，為正實數(shù)，且，則（

）A．的最大值為2 B．的最小值為5C．的最小值為 D．【答案】AC【分析】由已知條件結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗各選項即可求解.【詳解】依題意，對于A：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，令，則有，解得，又因為，所以，即，的最大值為2，故A選項正確；對于B：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，令，則有，解得或（舍去），即，所以的最小值為4，故B選項錯誤；對于C：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等式成立，所以的最小值為，故C選項正確；對于D：當(dāng)，時，，所以D選項錯誤；故選：AC.41．（2021秋·天津靜?！じ呷？茧A段練習(xí)）若，且，則的最小值為_________【答案】【分析】令，可得，化簡可得，再結(jié)合基本不等式可求解.【詳解】令，則，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是令，化簡得出利用基本不等式求解.42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用換元法表示出代入所求式子，化簡利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】因為，所以，令，則且，代入中得：當(dāng)即時取“=”,所以最小值為1.故選：B（六）齊次化43．（2023秋·河南鄭州·高三校聯(lián)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先參變分離得，再利用，與相乘，然后連續(xù)運用兩次基本不等式即可.【詳解】依題意，．又，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，前后兩個不等號中的等號同時成立，所以的取值范圍為故選：44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若a，b，c均為正實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因為a，b均為正實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時取等號，則的最大值為．故選：A．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，注意多次運用不等式，等號成立條件是否一致.（七）重組轉(zhuǎn)化45．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為__________．【答案】【分析】結(jié)合已知條件，利用基本不等式即可求解.【詳解】由題可知，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故的最小值為．故答案為：.46．（2023秋·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則的最小值為__________．【答案】12【分析】利用已知將化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最小值為12，故答案為：1247．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為______．【答案】/【分析】將變形為，然后利用基本不等式求解得，再根據(jù)取等號的條件可得，判斷出的范圍，進而判斷得的范圍，可得，可得所求最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“＝”，此時，∵，，∴，∴，∴，∴原式，此時，，．故答案為：【點睛】求解本題的關(guān)鍵是將原式變形為，根據(jù)基本不等式求最值，由取等號的條件，化簡得，從而求解的范圍.（八）利用兩次基本不等式求最值48．（2023·廣西柳州·高三柳州高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】利用基本不等式即可求出最值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故選：C.49．（2023春·天津南開·高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，那么的最小值是___________.【答案】16【分析】利用均值不等式求的最大值表達式，再利用均值不等式求解作答.【詳解】因，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以，當(dāng)時，取最小值16.故答案為：1650．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式進行化簡求解即可.【詳解】因為a，b，c均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號同時成立.故答案為：.（九）基本不等式與對勾函數(shù)51．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在下列函數(shù)中，最小值是4的是（

）A． B．C．， D．【答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即可作出判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，A錯誤；對于B，，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為4，B正確；對于C，因為，所以，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知：，C錯誤；對于D，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為4，D正確.故選：BD52．（2023·高三課時練習(xí)）設(shè)，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，分別求得和時的取值范圍，即可得答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，此時；當(dāng)時，單調(diào)遞減，此時，故，則的取值范圍是，故答案為：53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝x＋（x≥2）取得最小值時的x值為________．【答案】2【分析】令x＋1＝t(t≥3)，則有＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)t＝3時，即可求解.【詳解】依題意，y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，設(shè)x＋1＝t(t≥3)．因為f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝3，即x＝2時，y＝x＋(x≥2)取得最小值．故答案為：2.54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝＋1的最小值為________．【答案】＋1【分析】先對函數(shù)進行化簡，然后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可求出有最小值.【詳解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，令，t∈[，＋∞），則函數(shù)f（x）可轉(zhuǎn)化為g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），則由u（t）在[，＋∞）上單調(diào)遞增可知，u（t）≥＋＝，則g（t）≥，所以函數(shù)f（x）的最小值為；故答案為：.考點三與基本不等式有關(guān)的參數(shù)問題55．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┱龜?shù)滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍__________.【答案】【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范圍.【詳解】因為不等式恒成立，所以，由，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，解得.所以的取值范圍為.故答案為：.56．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的妙用可得的最小值為4，再根據(jù)含參不等式恒成立解一元二次不等式，即可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】正實數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，等號成立，則時，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.57．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為______．【答案】【分析】分析可得原題意等價于對任意恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】∵，則，原題意等價于對任意恒成立，由，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，∴，解得．故正實數(shù)的取值集合為.故答案為：．58．（2023·全國·模擬預(yù)測）若正數(shù)x，y滿足，則使得不等式恒成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用乘“1”法結(jié)合基本不等式即可求出，最后解出不等式即可.【詳解】由，且，則則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，解得，故選：B.59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在，使成立，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】依題意，再利用基本不等式計算可得；【詳解】解：依題意存在，使成立，即存在，使得，即，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，即的最大值為，所以，即；故答案為：60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正實數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求出的值，代入中化簡，利用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號所以的最小值是，則的最大值為.故選A【點睛】本題考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是設(shè)，得出進行代換，屬于偏難題目.考點四基本不等式的實際應(yīng)用61．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費3萬元購進了一套先進設(shè)備，該設(shè)備每年管理費用為0.1萬元，已知使用年的維修總費用為萬元，則該設(shè)備年平均費用最少時的年限為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)題意可得該設(shè)備年平均費用，結(jié)合基本不等式分析運算.【詳解】由題意可得：該設(shè)備年平均費用，∵，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以該設(shè)備年平均費用最少時的年限為9.故選：C.62．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅、全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實意義和深遠歷史意義的三件大事之一．某企業(yè)積極響應(yīng)國家號召，對某經(jīng)濟欠發(fā)達地區(qū)實施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品．經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，．每件A產(chǎn)品的售價為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完．欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤，則產(chǎn)量應(yīng)為（

）A．40萬件 B．50萬件 C．60萬件 D．80萬件【答案】D【分析】根據(jù)題意得到利潤函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與基本不等式分別求得每一段的最大利潤，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意得，銷售收入為100x萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，利潤；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，利潤．所以利潤因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．又，所以當(dāng)時，所獲利潤最大，最大值為1000萬元．故選:D．63．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）隨著新能源技術(shù)的發(fā)展，新能源汽車行業(yè)也迎來了巨大的商機.某新能源汽車加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元，此外每生產(chǎn)x輛該汽車另需增加投資g（x）萬元，當(dāng)該款汽車年產(chǎn)量低于400輛時，，當(dāng)年產(chǎn)量不低于400輛時，，該款汽車售價為每輛15萬元，且生產(chǎn)的汽車均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為（

）A．1500萬元 B．2100萬元 C．2200萬元 D．3800萬元【答案】C【分析】先表示利潤函數(shù)，利潤等于銷售收入減去投資和固定投入100萬元，再分別利用二次函數(shù)、均值不等式求最值.【詳解】設(shè)該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的年利潤為（萬元），由題意可知，，即，當(dāng)時，的對稱軸，則；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值2200.綜上，該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為2200萬元.故選：C.考點五利用基本不等式證明不等式64．（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明：如果、，那么．【答案】證明見解析【分析】不妨設(shè)，由，結(jié)合用切比雪夫不等式的推論1可得，再根據(jù)均值不等式完成證明.【詳解】不妨設(shè)，則，且，由切比雪夫不等式的推論1可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；故原不等式正確．65．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，證明：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)先用基本不等式，再將代入即可證明；(2)將乘以，利用柯西不等式進行化簡，再將代入即可證明.【詳解】（1）證明：因為都是正數(shù)，，所以，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故成立；（2）證明：因為，所以，由柯西不等式可得：，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，因為都是正數(shù)，所以有，將代入有得證.66．（2023·貴州黔西·校考一模）設(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由，則，根據(jù)，，，即可得證；（2）由已知得若證，即證，再根據(jù)，，，即可得證.【詳解】（1）由，得，又由基本不等式可知當(dāng)，，均為正數(shù)時，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，上述不等式等號均成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；（2）因為，，均為正數(shù)，所以若證，即證，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式等號均成立，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.67．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)若，則；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由基本不等式證明；（2）用柯西不等式證明．【詳解】（1），，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，，即；（2）∵a，b，c均為正數(shù)，且，由柯西不等式得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．68．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）已知，且，證明：(1)；(2)若，則.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由柯西不等式即可證明；（2）由均值的不等式可得，由（1）可得，即可證明.【詳解】（1）由，得，由柯西不等式有，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；（2）由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.考點六基本不等式的綜合應(yīng)用（一）與函數(shù)的結(jié)合69．（2023·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)恒過定點，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用基本不等式常數(shù)“1”的代換即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，的最小值為，故選:A．70．（2023春·云南曲靖·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的值域為，則的值是________；的最大值是__________.【答案】4【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，，然后通過變形利用基本不等式即得.【詳解】由題意知：,的值域為，∴，則，；所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即.故答案為：4；.71．（2023·吉林·東北師大附中?？级＃┮阎瘮?shù)，若實數(shù)、滿足，則的最大值為______．【答案】/【分析】分析出函數(shù)為上的增函數(shù)，且為奇函數(shù)，由可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，因為函數(shù)、、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，即，當(dāng)取最大值時，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)，等號成立，因此，的最大值為.故答案為：.72．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是______．【答案】/【分析】根據(jù)等式特征可通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再根據(jù)基本不等式即可求得的最小值是.【詳解】由題意可得將等式變形成,又因為都是正數(shù)，所以,可構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由知，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，因此的最小值是.故答案為：（二）與三角函數(shù)、解三角形的結(jié)合73．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）中，角、、所對的邊分別為、、.若，且，則面積的最大值為___________.【答案】/【分析】利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，即可得出面積的最大值.【詳解】因為，由正弦定理可得，所以，，因為、，則，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，則.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故面積的最大值為.故答案為：.74．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，滿足，且，則周長的取值范圍為______________．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.【詳解】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，從而，而，則，所以周長的取值范圍為.故答案為：75．（2023·江西九江·統(tǒng)考二模）在中，三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，．當(dāng)B取最小值時，的面積為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)、正切和角公式可得，即A，C為銳角，利用基本不等式得B最小時最小值，即知為等腰三角形，應(yīng)用三角形面積公式求面積即可.【詳解】由正弦定理得，即，∴，即．∵，∴，故A，C為銳角．又，僅當(dāng)時等號成立，所以三角形內(nèi)角B最小時，取最小值，此時，所以為等腰三角形，，，∴.故選：C76．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三角形中，角、、的對邊分別為、、，且的平分線交于，若，則的最小值為______.【答案】9【分析】根據(jù)面積關(guān)系建立關(guān)系式，結(jié)合基本不等式進行求解.【詳解】因為AD平分∠BAC，所以，，即，整理得，得，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，則的最小值是9．故答案為：9（三）與平面向量的結(jié)合77．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，其中，，若，則的最小值為_______．【答案】【分析】根據(jù)向量運算可得，再由均值不等式求解即可.【詳解】，，，，即，由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：78．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）已知非零向量，的夾角為，，且，則夾角的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積運算律及題設(shè)可得，注意等號成立條件，結(jié)合已知不等條件求范圍，即可得最小值.【詳解】由有，即，前一個等號成立條件為，整理得.由于，所以，于是夾角為的最小值為.故選：C79．（2023春·江蘇揚州·高三揚州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平面向量，滿足，且，則與夾角的正弦值的最大值為________．【答案】【分析】設(shè)，，則，設(shè)，，，根據(jù)均值不等式計算最值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.【詳解】解：如圖所示：設(shè)，，則，設(shè)，，因為，所以，由三角形邊的關(guān)系得，，當(dāng)，即時等號成立，故，當(dāng)最小時，最大，而與夾角的正弦值與正弦值相等，故其最大值為.故答案為：（四）與數(shù)列的結(jié)合80．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，再結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為8．故選：B．81．（2023·高三課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，，且，則的最大值為______.【答案】4【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列前項和公式可知，，即；又因為，利用基本不等式可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；即的最大值為4.故答案為：482．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是兩個正數(shù)，4是與的等比中項，則下列說法正確的是（

）A．的最小值是1 B．的最大值是1C．的最小值是 D．的最大值是【答案】BC【分析】根據(jù)等比中項整理得，直接由基本不等式可得的最大值，可判斷AB；由展開后使用基本不等式可判斷CD.【詳解】因為，所以，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為1，故錯誤，B正確．因為，故的最小值為，無最大值，故C正確，D錯誤．故選：BC（五）與解析幾何的結(jié)合83．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知圓關(guān)于直線對稱，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意可知圓心在直線上，得