打卡第二天-沖刺2023年高考數(shù)學(xué)考前必刷題限時集訓(xùn)練（新高考通用）解析版

【10天刷完高考真題】沖刺2023年高考數(shù)學(xué)考前必刷題限時集訓(xùn)練（新高考通

用）

新高考真題限時訓(xùn)練打卡第二天

一、單選題

1.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標I））已知集合

M=1x|-4<x<21,N={x|x2—x—6<0},則McN=

A.B.{X\-A<X<-2]C.{X|-2<X<2}D.{X|2<X<3}

【答案】C

【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取數(shù)軸

法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.

【詳解】由題意得，M={x[T<x<2},N={x|-2<x<3},則McN={x卜2Vx<2}.故選

C.

【點睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包

括二者部分.

2.（2020年新高考全國卷I數(shù)學(xué)高考試題（山東））蕓=（）

1+21

A.1B.-1

C.iD.-i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則進行計算.

2-i（2-i）d-2i）-5i

【詳解】1+2廠（l+2i）（l-2i）5故選：

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)除法，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.（2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)考試題文檔版（海南卷））在/WC中，。是AB邊上的中

點，則CB=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.

【詳解】

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2（CD-CA）=2CD-CA^j^：C

【點睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.

4.(2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標I))古希臘時期，人們認為最美人體

的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是牛好?巾.618,稱為黃金分割比例),

著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之

比也是更二1.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長

2

度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

【分析】理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解.

【詳解】設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為xcm,肚臍至腿根的長為ycm,則

生=至土土=避二L得X。42.07。%、=5.15cm.又其腿長為105cm,頭頂至脖子下端的

xy+1052

長度為26cm,所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.

【點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取類比法，

利用轉(zhuǎn)化思想解題.

5.(2020年新高考全國卷H數(shù)學(xué)考試題文檔版(海南卷))已知函數(shù)/(x)=lgQ2-4x-5)在

上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.(2,+co)B.[2,+oo)C.(5,+oo)D.[5,+oo)

【答案】D

【分析】首先求出/(x)的定義域，然后求出;■。)=電(/一4彳-5)的單調(diào)遞增區(qū)間即可.

【詳解】由/一4彳-5>0得x>5或x<-1所以f(x)的定義域為(YO,-1)55,3)

因為y=工2-4x-5在(5,+8)上單調(diào)遞增，所以/(%)=Ig(x2-4x-5)在(5,包)上單調(diào)遞增

所以。之5故選：D

【點睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時一定要先求函數(shù)的定義域.

,>2

6.(2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標H))設(shè)尸為雙曲線C：與-4=1(?>0,

〃>0）的右焦點,0為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓/+產(chǎn)=。2交于尸、。兩點.若FQ|=|OF|,

則C的離心率為

A.41B.6

C.2D.后

【答案】A

【分析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙

曲線的離心率.

【詳解】設(shè)尸。與x軸交于點A,由對稱性可知軸，

【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮

幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲

線中的重點問題，需強化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來.

二、多選題

7.（2020年新高考全國卷H數(shù)學(xué)考試題文檔版（海南卷））我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化,

各地有序推進復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加;

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%;

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

【答案】CD

【分析】注意到折線圖中有遞減部分，可判定A錯誤；注意考查第1天和第11天的復(fù)工復(fù)

產(chǎn)指數(shù)的差的大小，可判定B錯誤；根據(jù)圖象，結(jié)合復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)的意義和增量的意義可

以判定CD正確.

【詳解】由圖可知，第1天到第2天復(fù)工指數(shù)減少，第7天到第8天復(fù)工指數(shù)減少，第10

天到第11復(fù)工指數(shù)減少，第8天到第9天復(fù)產(chǎn)指數(shù)減少，故A錯誤；

由圖可知，第一天的復(fù)產(chǎn)指標與復(fù)工指標的差大于第11天的復(fù)產(chǎn)指標與復(fù)工指標的差，所

以這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯誤；

由圖可知，第3天至第H天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%,故C正確；

由圖可知，第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確；

【點睛】本題考查折線圖表示的函數(shù)的認知與理解，考查理解能力，識圖能力，推理能力，

難點在于指數(shù)增量的理解與觀測，屬中檔題.

8.（2020年新高考全國卷I數(shù)學(xué)高考試題（山東））下圖是函數(shù)產(chǎn)sin（3x+0）的部分圖像，

【答案】BC

【分析】首先利用周期確定。的值，然后確定夕的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導(dǎo)

公式可得正確結(jié)果.

【詳解】由函數(shù)圖像可知：2=馬兀一々=々、則網(wǎng)=§=女=2,所以不選A,

23627TC

271_q

不妨令/=2,當_3乃+6_5乃時，y=2x—+^=—+2^（^eZ）,

X———I、

212

解得：。=2版?+§乃/￡Z）,即函數(shù)的解析式為：

y=sin2x+一乃+2々乃=sin2XH----1■?—=cos2x-i■—=sin2x.

I3）I62jI6jUJ

而cos（2x+?）=-cos（-^—2x）故選：BC.

【點睛】已知f（x）=Asin（3x+（p）（A>0,3>0）的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖

得出，困難的是求待定系數(shù)3和（P，常用如下兩種方法：

（1）由3=點2萬即可求出3;確定<p時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零

點“橫坐標xO,則令3XO+（P=O（或o）xO+<p=n）,即可求出（p.

（2）代入點的坐標，利用一些已知點（最高點、最低點或“零點”）坐標代入解析式，再結(jié)合圖形

解出3和（P，若對A,3的符號或?qū)Γ?？的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

三、填空題

9.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標H））已知Ax）是奇函數(shù)，且當》<0時，

/（月=-記.若/（1112）=8,則。=.

【答案】-3

【分析】當x>0時一x<0,/（x）=-/（-*）=e-?代入條件即可得解.

【詳解】因為Ax）是奇函數(shù)，且當x>0時—x<0,/W=-/（-X）=6<-M.

又因為ln2e（0,l）,/（In2）=8,

所以e-"n2=8,兩邊取以《為底的對數(shù)得-aln2=31n2,所以-a=3,即〃=-3.

【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算.滲透了數(shù)學(xué)運算、直觀想象素養(yǎng).使用

轉(zhuǎn)化思想得出答案.

10.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標II））中國有悠久的金石文化，印信是

金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤

信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多

面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點

都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面,

其棱長為.

圖1圖2

【答案】共26個面.棱長為血-1.

【分析】第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性，

平面幾何解決.

【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半

正多面體共有18+8=26個面.

如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為x,則A3=3E=x,延長BC與FE交于點G,延長BC交

正方體棱于“，由半正多面體對稱性可知，AfiGE為等腰直角三角形，

BG=GE=CH=—x,:.GH=2x顯x+x=（V2+l）x=b

22

?."=7占=夜-1,即該半正多面體棱長為

【點睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，

題目其實很簡單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵.立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能

力，快速還原圖形.

四、解答題

11.（2020年新高考全國卷I數(shù)學(xué)高考試題（山東））已知公比大于1的等比數(shù)列｛““｝滿足

a2+q=20嗎=8.

（1）求他“｝的通項公式；

（2）記0為&｝在區(qū)間（0,W］（meN-）中的項的個數(shù)，求數(shù)列｛九｝的前100項和S儂.

【答案】（1）4=2"；（2）Sloo=48O.

【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為4,4的形式，求解出4M，由此求得

數(shù)列｛%｝的通項公式.

（2）方法一：通過分析數(shù)列也“｝的規(guī)律，由此求得數(shù)列也,｝的前100項和

【詳解】（1）由于數(shù)列｛4｝是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項為4,公比為夕，依題意有

20,解得解得4=2,q=2,或q=32,q=：（舍）,

a,q~=82

所以4=2”,所以數(shù)列｛q｝的通項公式為a?=2".

（2）[方法一]:規(guī)律探索

由于2=2,2?=4,23=8,2,=16,=32,2$=64,27=128,所以

4對應(yīng)的區(qū)間為（。用,則4=o；

&么對應(yīng)的區(qū)間分別為（0,2],（0,3],則H=4=1,即有2個1；

么也也也對應(yīng)的區(qū)間分別為（0,4],（0,5],（0,6],（0,7],則仇=4="="=2,即有22個2；

瓦力9,，九對應(yīng)的區(qū)間分別為（0,8],（0,9],,（0,15],則4=。==砥=3,即有2,個3；

篇，如，，“對應(yīng)的區(qū)間分別為（0/6],（0,17],,（0,31],則%=%==%=4,即有24個4；

期也3，也3對應(yīng)的區(qū)間分別為（0,321,（0,33],,（0,63],則42=%=1=%=5,即有2$個5；

心也5，L,瓦X）對應(yīng)的區(qū)間分別為（0,641,（0,65],,（0,100],則3=%=L=4co=6,即有37

個6.

所以=1x2+2x22+3x23+4x2"+5x25+6x37=480.

[方法二]【最優(yōu)解】：

由題意，2"<m,即〃Wlog?"?,當機=1時，4=0.

當加￡[2",27一1）時，b,“=k,kwN「貝！|

Soo=〃+（4+&）+（2+&++偽）+（42+43++力63）+（%+%++4oo）

=0+1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+6x37=480.

[方法三1:

由題意知0=%,m因此，當機=1時，4=0；機e[2,4）時，篇=1；相€[4,8）時，

b,?=2；機e[8,16）時，Z??,=3；，〃€[16,32）時，耙=4；，“e[32,64）時，bm=5；me[64,128）

時，2,=6.

所以，00=仿+4+4+為++伉00

=0+（1+1）+（2+2+2）++（6+6++6）

=0+1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+6x37=480.

所以數(shù)列也｝的前100項和5儂=480.

【整體點評】（2）方法一：通過數(shù)列｛為｝的前幾項以及數(shù)列｛〃,,｝的規(guī)律可以得到小打，，狐。

的值，從而求出數(shù)列｛粼｝的前100項和，這是本題的通性通法；方法二：通過解指數(shù)不等式

可得數(shù)列｛0｝的通項公式，從而求出數(shù)列｛耳｝的前100項和，是本題的最優(yōu)解；方法三，是

方法一的簡化版.

12.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標I））已知拋物線C：V=3x的焦點為凡

斜率為3的直線/與C的交點為A,B,與x軸的交點為P.

⑴若|AQ+IM=4,求)的方程;

(2)若=求|A8].

【答案】⑴12x-8y-7=0；（2）生叵.

3

【分析】（1）設(shè)直線/：丫=3+相，A（x,,y）,雙芍由）；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得3+為=，

聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理可構(gòu)造關(guān)于用的方程，解方程求得結(jié)果；（2）

設(shè)直線/：x=；y+f；聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得到韋達定理的形式；利用AP=3P8可

得乂=-3%，結(jié)合韋達定理可求得,必；根據(jù)弦長公式可求得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)直線/方程為：y=^x+m,A（x,,yJ,8（孫力）

4S

由拋物線焦半徑公式可知：|AF|+|BF|=x,+"2+5=4???玉+工2=5

_3

22

聯(lián)立)2，+"'得：9x+(12m-12)x+4An=0

丁=3九

1

則△=(12小一12『一144"2>0；/.ni<—

2

12/21-12=|,解得:7

Xy+%2=一m=-

98

37

..直線/的方程為：?=即：12x-8>-7=0

2o

（2）設(shè)尸&0）,則可設(shè)直線/方程為：x=jy+t

_2

聯(lián)立得：丁-2),-3/=0貝必=4+12/>0?1>-§，y+y2=2,A%=_3f

y2=3x

AP=3PB=-3y2y,=3￥%=_3

則IAB卜Jl+[-7（＞'I+＞，2）2-4＞I＞，2=平-J4+12=生普

【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到平面向量、

弦長公式的應(yīng)用.關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過韋達定理構(gòu)造等量關(guān)系.

13.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標I））為了治療某種疾病，研制了甲、

乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩

只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪

的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多

4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪

試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施

以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未

治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和。，一輪試驗中中藥的得分記

為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，P,(/=O,1,,8)表示“甲藥的累計得分為i時,

最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則為=0,R=l，Pt=aPi+bp：+cpm(i=1,2,,7),

其中a=尸(X=-1),b=P(X=O),c=P(X=l).假設(shè)a=0.5,Z?=0.8.

⑴證明：{PM-P,}(i=0,1,2,,7)為等比數(shù)歹ij；

(ii)求P4，并根據(jù)P,的值解釋這種試驗方案的合理性.

【答案】(D見解析；(2)(i)見解析；(ii)幺=3.

【分析】(1)首先確定X所有可能的取值，再來計算出每個取值對應(yīng)的概率，從而可得分

布列；(2)(i)求解出仇c的取值，可得Pj=0.4p,T+0.5pj+0.1pM(i=l,2,…,7),從而整

理出符合等比數(shù)列定義的形式，問題得證；(ii)列出證得的等比數(shù)列的通項公式，采用累

加的方式，結(jié)合P&和P。的值可求得Pi；再次利用累加法可求出外.

【詳解】(1)由題意可知X所有可能的取值為：-1,0,1

；.p(X=—1)=(1—a)夕；P(X=0)=陰+(l-a)(l—⑼；P(X