2023年福建省莆田市城廂區(qū)頂墩實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案詳解）

2023年福建省莆田市城廂區(qū)頂墩實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬試卷

1.2的相反數(shù)是（）

A.B.|C.-2D.2

2.從教育部獲悉，我國(guó)已基本建成世界第一大教育教學(xué)資源庫(kù).目前，國(guó)家中小學(xué)智慧教育

平臺(tái)現(xiàn)有資源超過44000條，其中44000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.4.4x105B.4.4X104C.4.4x103D.44x103

3.下列立體圖形中，俯視圖是正方形的是（）

4.如圖，已知a=C，則。在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能是（）

1]

-2-10I234

A.AB.BC.CD.D

5.如圖，直線a,匕被直線c所截，若可/b,41=70°,則厶2的大小是（

A.70°

B.80°

C.100°

D.110°

6.下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）

A.a2+a3=a5B.(a2)3=a5

C.（a+bp=a2+b2D.a2-a3=a5

7.下列說法中，正確的是（）

A.為檢測(cè)我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，應(yīng)該采用普查的方式

B.若兩名同學(xué)連續(xù)五次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均分相同，則方差較大的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)更穩(wěn)定

C.拋擲一個(gè)正方體骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是3

D.“打開電視，正在播放廣告”是必然事件

8.如圖，在△A8C中,分別是43、AC的中點(diǎn)，若乂血=2,A

則SMBC=（）

A.4D/_----------XE

B.8

C.2BC

D.16

9.已知％=竽是關(guān)于x的一元二次方程。產(chǎn)一工一"=0的兩個(gè)根，則。的值為()

A.3B.2C.1D.

10.平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2-3ax+c(a*0)與直線y=2x+1上有三個(gè)不同的

點(diǎn)4(%i，m),B(x2)m),C(x3,m),如果n=與+冷+心，那么，”和〃的關(guān)系是()

A.m=2n—3B.m=n2—3C.m=2n—5D.m=n2-5

11.四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為.

12.不等式3x>8-x的解集為.

13.如圖，O尸平分ZJWON,點(diǎn)A在射線。尸上，4B丄ON于點(diǎn)2,

若04=5,0B=4,則點(diǎn)4到射線OM的距離為.

14.我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之是第一個(gè)將圓周率的計(jì)算精確到小數(shù)點(diǎn)后七位的人，他將圓周率精確

到3.1415926.若從該數(shù)據(jù)的8個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)字，則所抽到的數(shù)字是1的概率是

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,。4OBC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,2),(3,0),若雙曲線y=§

經(jīng)過點(diǎn)C,則k的值為.

16.楊輝在《田畝比類乘除捷法》記載以下問題：

題：直填積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)十二步，同長(zhǎng)闊共幾何？

答：六十歲.

術(shù)：四因積步，以差步自乘，并而開平方除之，得長(zhǎng)調(diào)共步.

“題”、“答”、“術(shù)”的意思大致如下：

問題：己知長(zhǎng)方形的面積為864,長(zhǎng)寬之差為12,則長(zhǎng)寬之和為多

少？

答案：60.

解法：如圖，V4x864+122=60.

設(shè)一個(gè)矩形的邊長(zhǎng)分別是mb(a>b),請(qǐng)用一個(gè)等式解釋上述解法的數(shù)學(xué)原理：(用

含a,b的式子表示)

17.計(jì)算：2023°+1|+(-1產(chǎn)

18.如圖，在矩形ABC。中，E是AO中點(diǎn)，連接BE,EC.證明：EB=EC.

19.先化簡(jiǎn)，再求值：(型1一1)+之墳匚，其中a=

\Q7a

20.某校在九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了的若干名學(xué)生參加''平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間”的調(diào)查,

根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

頻數(shù)分布表

組別運(yùn)動(dòng)時(shí)間t/min頻數(shù)頻率

A20<t<402a

B40<t<604

C60<t<8016

D80<t<100d0.35

E100<t<1204

合計(jì)1

請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：

(1)頻數(shù)分布表中的a=，d=；

(2)教育部規(guī)定中小學(xué)生每天在校體育鍛煉時(shí)間不少于1小時(shí)，若該校九年級(jí)共有400名學(xué)生,

試估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生達(dá)到教育部規(guī)定的體育鍛煉時(shí)間的人數(shù).

扇形統(tǒng)計(jì)圖

21.如圖己知：4ABC.

(1)按以下操作步驟作出菱形：(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

①作線段BC的垂直平分線，交AC于。點(diǎn)；

②以B點(diǎn)為圓心，80長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的垂直平分線與E點(diǎn)；

③則四邊形OBEC為菱形.

(2)在(1)的前提下，若NBAC=90。，AB=4,AC=8,求菱形QBEC的邊長(zhǎng).

22.如圖，在△ABC的邊8c上取一點(diǎn)O,以。為圓心，0c為半徑畫。。，。0與邊AC相

切于點(diǎn)C,連接。A,0A平分4c28.

(1)求證：AB是。。的切線；

(2)若4C=8,tanB=*求。0的半徑.

23.夏天是小龍蝦大量上市的季節(jié)，因其肉質(zhì)鮮美，烹飪方式多樣而受到消費(fèi)者的喜愛.某水

產(chǎn)經(jīng)銷商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲乙兩種規(guī)格的小龍蝦進(jìn)行銷售，若從批發(fā)商進(jìn)貨10依甲種小龍蝦和5依

乙種小龍蝦，需支付350元；若進(jìn)貨10依甲種小龍蝦和10依乙種小龍蝦，需支付450元.

(1)求甲，乙兩種規(guī)格的小龍蝦的進(jìn)價(jià)；

(2)根據(jù)前期的市場(chǎng)調(diào)查，為了應(yīng)對(duì)近期旺盛的購(gòu)買需求，該水產(chǎn)經(jīng)銷商計(jì)劃每天進(jìn)貨90貨

的小龍蝦，其中甲種小龍蝦不少于乙種小龍蝦的2倍，甲種小龍蝦定價(jià)為50元/kg,乙種小

龍蝦定價(jià)為40元/g.考慮到銷售過程的運(yùn)輸、人工、存儲(chǔ)、損耗等銷售成本，甲種小龍蝦銷

售成本為2a元乙種小龍蝦銷售成本為a元/g,其中3<a<6.根據(jù)以上信息，規(guī)劃利

潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案，并說明理由.

24.如圖1,在Rt△ABC中，^ACB=90。.將厶ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0。<a<

180。)得到△AED,記點(diǎn)B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為Q,E,連接BD,CD,射線EC與BO交于點(diǎn)

G.

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在射線AC上時(shí)：

①求NCEG的度數(shù)；(用含a的式子表示)

②若BC=J~54C,證明：四邊形48GE為平行四邊形；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在DC=：8。的情形？若存在，求出此時(shí)EG與EC的數(shù)量關(guān)系；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO),中，拋物線y=ax?-4x+c(a芋0)與x軸分別交于點(diǎn)

4(1,0)、點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,聯(lián)結(jié)BC,點(diǎn)尸在線段8c上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求直線BC的表達(dá)式；

(2)如果以P為頂點(diǎn)的新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D；

①求新拋物線的表達(dá)式(用含m的式子表示)，并寫出相的取值范圍；

②過點(diǎn)尸向x軸作垂線，交原拋物線于點(diǎn)E,當(dāng)四邊形AEQP是一個(gè)軸對(duì)稱圖形時(shí)，求新拋

物線的表達(dá)式.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：2的相反數(shù)是—2,

故選：C.

根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可.

本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“號(hào)；一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是

負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.

2.【答案】B

【解析】解：44000=4.4x104,

故選：B.

將一個(gè)數(shù)表示成ax10"的形式，其中1<|a|<10,”為整數(shù)，這種表示數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法，

據(jù)此即可得出答案.

本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法是重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

俯視圖是從物體上面看，所得到的圖形.

本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵.注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中.

【解答】

解：A、圓柱的俯視圖是圓，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、正方體的俯視圖是正方形，故此選項(xiàng)正確；

C、三棱錐的俯視圖是三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、圓錐的俯視圖是圓，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

4.【答案】C

【解析】解：v1</~3<2.

a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能是C.

故選：C.

直接利用算術(shù)平方根的性質(zhì)得出，與的取值范圍，進(jìn)而得出答案.

此題主要考查了算術(shù)平方根，正確得出，與的取值范圍是解題關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】解：如圖,

Vzl+Z3=180°,

.?.43=180°-70°=110°,

???a//b,

■?Z.2—Z.3—110°,

故選：D.

根據(jù)鄰補(bǔ)角得出43的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出答案.

本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

6.【答案】D

【解析】解：「az和不是同類項(xiàng),

選項(xiàng)A不符合題意；

v(a2)3=a6,

選項(xiàng)8不符合題意；

v(a+b)2=a2+2ab+b2,

.??選項(xiàng)C不符合題意；

???a2?a3=a5,

二選項(xiàng)。符合題意，

故選：D.

運(yùn)用合并同類項(xiàng)、塞的乘方、完全平方公式和同底數(shù)基相乘的計(jì)算方法對(duì)各選項(xiàng)分別進(jìn)行計(jì)算、

辨別.

此題考查了合并同類項(xiàng)、累的乘方、完全平方公式和同底數(shù)裏相乘的計(jì)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理

解并運(yùn)用以上知識(shí)進(jìn)行正確地計(jì)算.

7.【答案】C

【解析】解：A、為檢測(cè)我市正在銷售的酸奶質(zhì)量，此調(diào)查具有破壞性，應(yīng)該采用抽查的方式，此

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、若兩名同學(xué)連續(xù)五次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均分相同，則方差較小的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)更穩(wěn)定,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

c、拋擲一個(gè)正方體骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是掲=3此選項(xiàng)正確；

OL

。、“打開電視，正在播放廣告”是隨機(jī)事件，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

根據(jù)調(diào)查方式的選擇需要將普查的局限性和抽樣調(diào)查的必要性結(jié)合起來，具體問題具體分析，再

根據(jù)隨機(jī)事件定義和概率公式分別分析即可.

本題考查的是調(diào)查方法的選擇以及方差的意義和概率求法、隨機(jī)事件等知識(shí)；熟練掌握區(qū)分這些

知識(shí)是解題關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：:D、E分別是邊A8、AC的中點(diǎn)，

1

VDEDE//BC,

:.Z.ADE=厶ABC,Z.AED=ZC,

ADEs〉A(chǔ)BC,

.S4ADE_i）2_1

**S^ABC-丿一4'

,:SfDE=2,

**?^LABC—4sMOE=4x2=8,

故選：B.

先根據(jù)三角形中位線定理得到。E=DE//BC,再證得AADEs△力BC,然后根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)計(jì)算即可.

本題考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的面積比等

于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】C

【解析】解：?.?％=中是關(guān)于x的一元二次方程。/一》~4=0的兩個(gè)根，

11+口,1一口1

?1-a=-+—=1>

???Q=1,

故選：C.

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系旳+&=-《得出：=1，解得a=1.

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，注意：如果打,冷是一元二次方程a/+bx+c=O（a、氏c

為常數(shù)，a。0）的兩個(gè)根，則與+尢2=-《，/"2=糸

10.【答案】C

［解析］解：???y=ax2-3ax+c,

，對(duì)稱軸為直線％=-證=

2a2

如圖，在拋物線上的兩點(diǎn)A和8,關(guān)于直線x=|對(duì)

稱，則C點(diǎn)在反直線y=2x+1上，

***X]+尤2=3,

n=xx+x2+x3,

■■n=3+x3,

x3=n—3,

:"m=2(n—3)+1,

m=2n—5,

故選：C.

根據(jù)題意設(shè)在拋物線上的兩點(diǎn)A和8,縱坐標(biāo)相同，則關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即可求得與=幾-3,則

C（ri—3,m）,代入解析式，即可求得m=2n—5.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)適合解析式.

11.【答案】360°

【解析】解:（4-2）X180°=360°.

故答案為：360。.

根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：5-2）?180（n23且〃為整數(shù)），求解即可.

本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算公式：（n—2）?180（n23且”為整數(shù)）.

12.【答案】x>2

【解析】解：T3X>8-X,

A3%+x>8,

則4x>8,

?,■%>2,

故答案為：x>2.

根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得.

本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注

意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變.

13.【答案】3

【解析】解：過A作力。丄。M于點(diǎn)C,

又0P平分乙MON,AB1ON,

AB=AC,

又04=5,OB=4,

AB=V0A2-OB2=3，

???AC=3.

故答案為：3.

先根據(jù)勾股定理求出AB,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可.

本題考查了勾股定理,角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】J

4

【解析】解：所抽到的數(shù)字是1的概率是看

84

故答案為：

直接由概率公式求解即可.

本題考查了概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，熟記概率公式是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】8

【解析】解：?,,四邊形A08C是平行四邊形，

/.OB=AC,AC//0B,

???A(1,2),B(3,0),

:.AC=OB=3,

???C(4,2),

??,雙曲線y=g經(jīng)過點(diǎn)C,

???k=4x2=8,

故答案為：8.

利用平行四邊形的性質(zhì)得岀。8=AC=3,AC//0B,即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)的性

質(zhì)得出女的值.

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，得出c點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)

鍵.

16.(答案］yj4ab+(a—b)2=a+b

【解析】解：yj4ab4-(a—b)2=V4ab+a2-2ab+b2=Va24-2ab+b2=J(a+b)2=a+

b,

即,4ab+(a-b)2=a+b.

故答案為：y/4ab+(a—b)2=a+b.

根據(jù)題意列算式，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次根式的乘除，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】解:2023°+|<7-1|+(-1)2

=1+^-1+1

—y/~2+1.

【解析】先計(jì)算零次幕、去絕對(duì)值及有理數(shù)的乘方，再計(jì)算加減即可.

本題考查了零次哥、去絕對(duì)值、有理數(shù)的乘方及二次根式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

18.【答案】證明：???四邊形A8CQ是矩形，

:.AB=CD,Z.A=乙D=90°,

???￡是中點(diǎn)，

??.AE=DE,

在△8AE與ACDE中，

AB=CD

乙4="=90°,

AE=DE

??.△B/EaCDE(SAS),

:.EB=EC.

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得岀48=CD，乙4=4。=90。，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即

可.

此題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)得出4B=CD,乙4=厶。=90。解答.

2

19.【答案】解：原式=2。+—。+(a+1)

aa

a+1a

_a(a+Ip

i

二靑’

當(dāng)a=H-1時(shí)，

原內(nèi)式T=E1Zi=-2

【解析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分

得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可求出值.

此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

20.【答案】0.0514

【解析】解：(1)由題意可知，a=5%=0.05,

樣本容量為:2+0.05=40,

故d=40x0.35=14,

故答案為:0.05,14；

(2)400x丄63第+4.=340(名),

答：估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生達(dá)到教育部規(guī)定的體育鍛煉時(shí)間的人數(shù)約為340名.

(1)根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖可得a的值，根據(jù)“頻率=頻數(shù)+總數(shù)”可得樣本容量，進(jìn)而得出d的值；

(2)利用樣本估計(jì)總體的思想解答即可.

本題考查頻數(shù)(率)分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取數(shù)量和數(shù)量關(guān)系是正確計(jì)算的前提,

樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)中常用的方法.

21.【答案】解：(1)如圖，菱形。8EC即為所求作；

(2)由(1)得四邊形DBEC是菱形,

??BD=BE=CE=CD,

AB=4,AC=8.

設(shè)BD=CD=x,貝IJAD=AC-CD=8-x,

在RtzMDB中，^BAC=90°,根據(jù)勾股定理得+力。2=

???42+(8-x)2=X2,

解得x=5,

菱形D8EC的邊長(zhǎng)是5.

【解析】(1)根據(jù)要求利用尺規(guī)作出圖形即可；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到80=BE=CE=CD,設(shè)BO=CD=x,貝！M。=AC-CD=8-x,利用

勾股定理得到42+(8-x)2=x2,解方程得到菱形的邊長(zhǎng).

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基

本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了菱形的判定與性質(zhì)和勾股定理.

22.【答案】(1)證明：過點(diǎn)。作。。丄AB于點(diǎn)D,

???。。與邊AC相切于點(diǎn)C,

OCA.AC,即乙4(7。=90°,

???。4平分NC4B,

???Z-CAO=Z.DAO,

■■■Z.CAO=/.DAO,AAC0=/.ADO=90°,OA=OA,

.?.△ACO^ADOGW),

OC=OD,

???。。是半徑，

OD是半徑，

5L0DLAB,

48是O。的切線；

(2)解：在RtAACB中，^BAC=90°,

.,?設(shè)AC=4x,BC=3x,

???AC2+BC2=AB2,

???16x2+9x2=100,

解得%i=2,x2=-2（舍去）,

，BC=6,AC=8,

由（1）得△ACOB△4D。，

:.AC=AD=8,

-AB=10,

.??BD=AB-AD=2,

設(shè)O。的半徑為廣，則。。=。0=丁，

在RS0DB中，ZODB=90°,

???OB2=OD24-BD2,

???（6—r）2=r2+4,

解得r=

所以。。的半徑為|.

【解析】（l）連接on,由切線的性質(zhì)可得/A。。=90°,由“44S”可證△^。。纟△厶。。，可得oc=

OD,由切線的判定可得結(jié)論；

（2）由銳角三角函數(shù)可設(shè)4c=4x,BC=3x,由勾股定理可求BC=6,再由勾股定理可求解.

本題是考查了切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，勾股定理，熟記切線

的判定定理及銳角三角函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：（1）設(shè)甲種小龍蝦的進(jìn)價(jià)是x元/kg,乙種小龍蝦的進(jìn)價(jià)是y元〃g,

根據(jù)題意得:｛器豫m0,

解得：：20-

答：甲種小龍蝦的進(jìn)價(jià)是25元/g,乙種小龍蝦的進(jìn)價(jià)是20元/g；

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種小龍蝦mkg,則購(gòu)進(jìn)乙種小龍蝦（90一m）kg,

根據(jù)題意得：m>2（90-m）,

解得：m>60.

設(shè)購(gòu)進(jìn)的小龍蝦全部售出后的總利潤(rùn)為卬元,則w=（50-2a-25）m+（40-Q-20）（90一m）,

???w=（5—a）m4-1800—90a.

當(dāng)5—Q<0,即5Va<6時(shí)，卬隨〃2的增大而減小，

???當(dāng)m=60時(shí)，w取得最大值，此時(shí)90-血=90-60=30,

，當(dāng)5VQV6時(shí)，利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案為：購(gòu)進(jìn)甲種小龍蝦60依，乙種小龍蝦30依;

當(dāng)5-。=0,即Q=5時(shí)，w=1800-90x5=1350,

???當(dāng)a=5時(shí)，銷售利潤(rùn)為定值；

當(dāng)5-a>0,及3<a<5時(shí)，卬隨加的增大而增大，

.??當(dāng)m=90時(shí)，w取得最大值，此時(shí)90-ni=90-90=0,

.??當(dāng)3<a<5時(shí)，利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案為：購(gòu)進(jìn)甲種小龍蝦90kg.

答：當(dāng)3<a<5時(shí)，利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案為：購(gòu)進(jìn)甲種小龍蝦90依；當(dāng)a=5時(shí)，銷售利潤(rùn)為定

值；當(dāng)5<a<6時(shí)，利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案為：購(gòu)進(jìn)甲種小龍蝦60依，乙種小龍蝦30kg.

【解析】(1)設(shè)甲種小龍蝦的進(jìn)價(jià)是x元/kg，乙種小龍蝦的進(jìn)價(jià)是y元/kg,根據(jù)“進(jìn)貨10依甲

種小龍蝦和54乙種小龍蝦，需支付350元：進(jìn)貨10依甲種小龍蝦和10依乙種小龍蝦，需支付

450元”，可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種小龍蝦mkg,則購(gòu)進(jìn)乙種小龍蝦(90-m)kg,根據(jù)購(gòu)進(jìn)甲種小龍蝦不少于乙種小

龍蝦的2倍，可得出關(guān)于，〃的一元一次不等式，解之可得出機(jī)的取值范圍，設(shè)購(gòu)進(jìn)的小龍蝦全部

售出后的總利潤(rùn)為w元，利用總利潤(rùn)=每千克的銷售利潤(rùn)X銷售數(shù)量，可得岀w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)

系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可找出利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案.

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組：(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出卬關(guān)于機(jī)的函數(shù)

關(guān)系式.

24.【答案】(1)①???將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AEC,旋轉(zhuǎn)角為a,

:.Z.CAE=a,AE=ACf

???AAEC=LECA=90°,

???Z,AED=乙ACB=90°,

1

???乙DEC—2a,

②在RtUBC中，BC=「AC,

tanZ.CAB—

???/.CAB=60°.

???旋轉(zhuǎn)角戊=60。，Z.CBA=30",

由①可知,Z.ECA=60",LCAE=60°,Z.EAB=120°,

???EG//AB.

vAD=AB,

180°-60°5

:.乙BnATD>==60，

??.AE//BG,

二四邊形ABGE為平行四邊形.

(2)①當(dāng)點(diǎn)8,C,。不共線時(shí)，如圖，過點(diǎn)。作BC的平行線與CG延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接2F,。凡

由（1）①可知4OEC=/.ECA-90°a,

vZ.ACB=90°,

1

???Z.GCB=2a

??.DF//BC.

???Z.DFG=ga，

:.ED=DF.

???ED=BC,

:.BC=DF,

二四邊形OC3廠為平行四邊形，

:點(diǎn)G為BD,CF的中點(diǎn)，即CG=FG,DG=BG.

?:當(dāng)DC=匆。時(shí)，

???DC=DG,

??Z.DCG=Z.DGC,

:.Z.DCE=厶DGF,

???△OCEgAOG/7（力SA）,

???EC=CG,

:.EG=2CE，

②當(dāng)點(diǎn)B,C,力三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)a=2NBAC,點(diǎn)G與點(diǎn)C重合.

???DA=AB,S.AC1BD,

1

???DC=泗,

此時(shí)EG=CE.

綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過程中存在DC=的情形，此時(shí)EG=2CE或EG=CE.

【解析】(1)①由旋轉(zhuǎn)NCAE=a,AE-4C.所以乙4EC=4EC4=9(rga,進(jìn)而可得N0EC=3a；

②由已知I,在Rt△ABC中，BC=I54C