2023年吉林長春中考數(shù)學試卷真題及答案

2023年長春市初中學業(yè)水平考試

數(shù)學

本試卷包括三道大題，共24道小題，共6頁.全卷滿分20分.考試時間為

120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上，并將條形

碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).

2.答題時，考生務必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿

紙、試卷上答題無效.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.實數(shù)。、6、。、d伍數(shù)軸上對應點位置如圖所示，這四個數(shù)中絕對值最小的是（）

abed

——__I_1,1.1__L?_J——>

—4—3—2—10123

A.aB.bC.cD.d

2.長春龍嘉國際機場T3A航站樓設計創(chuàng)意為“鶴舞長春”，如圖所示，航站樓的造型如

仙鶴飛翔，蘊含了對吉春大地未來發(fā)展的美好愿景.本期工程按照滿足2030年旅客吞

吐量38000000人次目標設計的，其中38000000這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.38x10sB.38x10''C.38x10sD.3.8xl07

3.下列運算正確的是（）

A.a3—a2=aB.a2-a=a3C.（a2）=a'D.ah^-a2=a3

4.下圖是一個多面體的表面展開圖，每個面都標注了數(shù)字.若多面體的底面是面③,

則多面體的上面是（）

②③④

@

試卷第1頁，共8頁

A.面①B.面②C.面⑤D.面⑥

5.如圖，工人師傅設計了一種測零件內(nèi)徑ZB的卡鉗，卡鉗交叉點。為//'、88'的中

點，只要量出H夕的長度，就可以道該零件內(nèi)徑48的長度.依據(jù)的數(shù)學基本事實是（）

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等B.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形

全等

C.兩余直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例D.兩點之間線段最短

6.學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩

到地面，如圖所示.已彩旗繩與地面形成25。角（即/B/C=25。）、彩旗繩固定在

地面的位置與圖書館相距32米（即ZC=32米），則彩旗繩的長度為（）

后

官

3232

A.32sin25。米B.32cos25。米C.---------米D.----------米

sin25°cos250

7.如圖，用直尺和圓規(guī)作/朋XN的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的

8.如圖，在平面直角坐標系中，點A、8在函數(shù)y=上6>0,x>0）的圖象上，分別以A、

X

8為圓心，1為半徑作圓，當。/與x軸相切、08與y軸相切時，連結(jié)AB=3④,

則人的值為（）

試卷第2頁，共8頁

A.3B.3亞C.4D.6

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共8分）

9.分解因式：a2-1=.

10.若關于x的方程/一2》+加=0有兩個不相等的實數(shù)根，則加的取值范圍是

11.2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康

跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點

的路程為公里.（用含x的代數(shù)式表示）

12.如圖，和是以點。為位似中心的位似圖形，點A在線段上.若

OA：AA'=｝：2,則14BC和AA'B'C'的周長之比為.

13.如圖，將正五邊形紙片/5CDE折疊，使點B與點E重合，折痕為展開后，

再將紙片折疊，使邊Z8落在線段4/上，點B的對應點為點5',折痕為ZF,則N/E8'

的大小為度.

試卷第3頁，共8頁

14.2023年5月8日，C919商業(yè)首航完成——中國民商業(yè)運營國產(chǎn)大飛機正式起步.12

時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”、是國際民航中

高級別的禮儀）.如圖①，在一次“水門禮''的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱,

噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的地物線的一部分.如圖②，當兩輛消防車噴水口/、

B的水平距離為80米時，兩條水柱在物線的頂點4處相遇，此時相遇點〃距地面20米,

噴水口/、8距地面均為4米.若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口

4、5'到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點少距地面米.

圖①圖②

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.先化簡.再求值：（a+l）2+a（l-a）,其中。=正

3

16.班級聯(lián)歡會上有一個抽獎活動，每位同學均參加一次抽獎，活動規(guī)則下：將三個完

全相同的不透明紙杯倒置放在桌面上，每個杯子內(nèi)放入一個彩蛋，彩蛋顏色分別為紅色、

紅色、綠色.參加活動的同學先從中隨機選中一個杯子，記錄杯內(nèi)彩蛋顏色后再將杯子

倒置于桌面，重新打亂杯子的擺放位置，再從中隨機選中一個杯子，記錄杯內(nèi)彩蛋顏

色.若兩次選中的彩蛋顏色不同則獲一等獎，顏色相同則獲二等獎.用畫樹狀圖（或列

表）的方法，求某同學獲一等獎的概率.

17.隨著中國網(wǎng)民規(guī)模突破10億、博物館美育不斷向線上拓展.敦煌研究院順勢推出數(shù)

試卷第4頁，共8頁

字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評.某工廠計劃制作3000個“伽

瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的1.5倍，結(jié)果提

前5天完成任務.問原計劃平均每天制作多少個擺件？

18.將兩個完全相同的含有30。角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放.點

A,E,B,。依次在同一直線上，連結(jié)X尸、CD.

(1)求證：四邊形4EDC是平行四邊形；

(2)己知8c=6cm,當四邊形/FDC是菱形時.49的長為cm.

19.近年來，肥胖經(jīng)成為影響人們身體健康的重要因素.目前，國際上常用身體質(zhì)量指

數(shù)(BodyMassIndex,縮寫B(tài)MI)來衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計算公式

是

5…體重(單位：kg)

身高彳位置：n?)

例如：某人身高1.60m,體重60kg,則他的BMIJR

中國成人的BMI數(shù)值標準為：BMK18.5為偏瘦；18.5WBMI<24為正常；24<BMI<28

為偏胖；BMI228為肥胖.

某公司為了解員工的健康情況，隨機抽取了一部分員工的體檢數(shù)據(jù)，通過計算得到他們

的BM1值并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

試卷第5頁，共8頁

抽取的員工胖瘦程度的條形統(tǒng)計圖抽取的員工胖瘦程度的扇形統(tǒng)計圖

(1)補全條形統(tǒng)計圖；

(2)請估計該公司200名員工中屬于偏胖和肥胖的總?cè)藬?shù)；

(3)基于上述統(tǒng)計結(jié)果，公司建議每個人制定健身計劃.員工小張身高1.70m,BMI值為

27,他想通過健身減重使自己的BMI值達到正常，則他的體重至少需要減掉

kg.(結(jié)果精確到1kg)

20.圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,每個小正

方形的頂點稱為格點.點4、8均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中

⑵在圖②中，-8C的面積為5

(3)在圖③中，A/BC是面積為g的鈍角三角形.

21.甲、乙兩個相約登山，他們同時從入口處出發(fā)，甲步行登山到山頂，乙先步行15

分鐘到纜車站，再乘坐纜車到達山頂.甲、乙距山腳的垂直高度y(米)與甲登山的時

間x(分鐘)之間的函數(shù)圖象如圖所示.

試卷第6頁，共8頁

⑴當154x440時，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關系式；

(2)求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度.

22.【感知】如圖①，點/、B、尸均在。。上，408=90。，則銳角的大小為

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形N3C的外接圓，點尸在正

上(點尸不與點/、。重合)，連結(jié)P/、PB、PC.求證：P8=P4+PC.小明發(fā)現(xiàn),

延長以至點E,使/E=PC,連結(jié)BE,通過證明△尸8cg△E94,可推得R8E是等

邊三角形，進而得證.

下面是小明的部分證明過程：

證明：延長尸/至點E,使ZE=PC,連結(jié)8E,

???四邊形/8CP是0O的內(nèi)接四邊形，

N8/P+N8cp=180°.

ZBAP+ABAE=\^°,

ABCP=NBAE.

?.?A/BC是等邊三角形.

/.BA=BC9

:APBCAEBA(SAS)

請你補全余下的證明過程.

【應用】如圖③，0O是“8C的外接圓，乙48c=90°,/8=8C,點P在0。上，且

PB

點尸與點8在/C的兩側(cè)，連結(jié)PA、PB、PC.若PB=242PA,則—的值為.

23.如圖①.在矩形/BCD.AB=3,AD=5,點E在邊5c上，且BE=2.動點P從

試卷第7頁，共8頁

點E出發(fā)，沿折線E8-切-工。以每秒1個單位長度的速度運動，作NPE0=9O。，EQ

交邊或邊。C于點。，連續(xù)P。.當點。與點C重合時，點P停止運動.設點P的運

動時間為，秒.(r>0)

圖①圖②

(1)當點P和點B重合時，線段PQ的長為;

(2)當點。和點。重合時，求tanAPQE；

(3)當點P在邊43上運動時，的形狀始終是等腰直角三角形.如圖②.請說明理

由：

(4)作點E關于直線PQ的對稱點F,連接尸尸、QF,當四邊形EPF0和矩形N88重

疊部分圖形為軸對稱四邊形時，直接寫出，的取值范圍.

24.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線yu-f+fev+Z(6是常數(shù))經(jīng)過

點(2,2).點A的坐標為(見0),點8在該拋物線上，橫坐標為1-機.其中m<0.

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式及頂點坐標;

(2)當點5在x軸上時，求點A的坐標；

(3)該拋物線與x軸的左交點為P,當拋物線在點尸和點B之間的部分(包括P、8兩點)

的最高點與最低點的縱坐標之差為2-機時，求”的值.

(4)當點8在x軸上方時，過點B作BC_Ly軸于點C,連結(jié)/C、BO.若四邊形/O8C

的邊和拋物線有兩個交點(不包括四邊形/O8C的頂點)，設這兩個交點分別為點E、

點/，線段80的中點為。.當以點C、E、。、D(或以點C、F、0、D)為頂點

的四邊形的面積是四邊形力08c面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的機的值.

試卷第8頁，共8頁

1.B

【分析】根據(jù)絕對值的意義即可判斷出絕對值最小的數(shù).

【詳解】解：由圖可知，時>3,0<|6|<1,0<|c|<l,2<|J|<3,

比較四個數(shù)的絕對值排除。和d,

根據(jù)絕對值的意義觀察圖形可知，，離原點的距離大于b離原點的距離，

Wl<ld，

這四個數(shù)中絕對值最小的是6.

故選：B.

【點睛】本題考查了絕對值的意義，解題的關鍵在于熟練掌握絕對值的意義，絕對值是指一

個數(shù)在數(shù)軸上所對應點到原點的距離，離原點越近說明絕對值越小.

2.D

【分析】根據(jù)科學記數(shù)法公式轉(zhuǎn)換即可，科學記數(shù)法公式為：axlO",14同<10,〃為整數(shù)

的位數(shù)減1.

【詳解】解：38000000=3.8xl07,

故選：D.

【點睛】本題考查了科學記數(shù)法；解題的關鍵是熟練掌握科學記數(shù)法的定義.

3.B

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法，同底數(shù)幕的除法，幕的乘方，合并同類項，逐項分析判斷即

可求解.

【詳解】A./與/不能合并，故該選項不正確，不符合題意；

B.a2-a=a3,故該選項正確，符合題意；

C.(/丫=。6,故該選項不正確，不符合題意；

D.a^a2=a\故該選項不正確，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了同底數(shù)塞的乘法，同底數(shù)基的除法，塞的乘方，合并同類項，熟練掌握

以上運算法則是解題的關鍵.

4.C

【分析】根據(jù)底面與多面體的上面是相對面，則形狀相等，間隔1個長方形，且沒有公共頂

答案第1頁，共22頁

點，即可求解.

【詳解】解：依題意，多面體的底面是面③，則多面體的上面是面⑤，

故選：C.

【點睛】本題考查了長方體的表面展開圖，熟練掌握基本幾何體的展開圖是解題的關鍵.

5.A

【分析】根據(jù)題意易證%?O8'(SAS),根據(jù)證明方法即可求解.

【詳解】解：。為44'、83'的中點，

/.OA=OA',OB=OB,

ZAOB=ZA'OB'(對頂角相等)，

.?.在“08與△H08'中，

OA=0A'

?NA0B=ZA'OB1,

OB=OB

四△HOB'(SAS),

AB=A'B'>

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關鍵.

6.D

【分析】根據(jù)余弦值的概念即鄰邊與斜邊之比，即可求出答案.

【詳解】解：表示的是地面，8c表示是圖書館，

:.AC1BC,

：.“BC為直角三角形，

故選：D.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，涉及到余弦值，解題的關鍵在于熟練掌握余弦

值的概念.

7.B

【分析】根據(jù)作圖可得/。=4瓦。尸=所，進而逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得/。=/瓦。尸=即，故A,C正確；

答案第2頁，共22頁

，4尸在DE的垂直平分線上，

AAFVDE,故D選項正確，

而。尸=所不一定成立，故B選項錯誤,

故選：B.

【點晴】本題考查了作角平分線，垂直平分線的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵.

8.C

【分析】過點48分別作y,x軸的垂線，垂足分別為瓦。，AE,BD交于點C,得出B的橫

坐標為1,A的縱坐標為1,設“(%/)，3(1,A),則ZC=A-1,8C=A-1,根據(jù)/8=3應，

即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點48分別作"x軸的垂線，垂足分別為E,D,AE,BD交

于點C,

依題意，B的橫坐標為1,A的縱坐標為1,設/(□),8(1,左)

則/。=左一1,8。=左一1,

又,：NACB=90°,AB=3&，

：.k~\=3(負值已舍去)

解得：k-4,

故選：C.

答案第3頁，共22頁

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識是解題的關

鍵.

9.(a+l)(a-l).

【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案

【詳解】解：a2-l=(a+l)(a-1).

故答案為：(。+1)(。-1)

【點睛】本題考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解題的關

鍵.

10.m<\

【分析】根據(jù)根的判別式求出A=(-2)2-4xlx,"=4-4,”>0,再求出不等式的解集即可.

【詳解】解：???關于x的方程/一2'+"?=0有兩個不相等的實數(shù)根，

A=(-2>-4xlxm=4-4m>0

解得：m<\,

故答案為：m<\.

【點睛】本題考查了根的判別式和解一元一次不等式，解題的關鍵是能熟記根的判別式的內(nèi)

容是解此題的關鍵，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c=03b,c,為常數(shù)，。*0),①當

△=62-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②當A=〃-4ac=0時，方程有兩個相等

的實數(shù)根，③當△=/-4ac<0時，方程沒有實數(shù)根.

11.(7.5-1Ox)

【分析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可.

【詳解】根據(jù)題意可得，

他離健康跑終點的路程為(7.5-lOx).

故答案為：(7.5-10x).

【點睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關鍵是讀懂題意.

12.1:3

【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】解：???。/：44'=1：2,

:.OA:OA'=1:3,

答案第4頁，共22頁

設周長為4，設周長為4，

???“BC和AABC是以點O為位似中心的位似圖形，

,,丁市―§?

.e./,:/2=1:3.

..△ABC和AABC的周長之比為1:3.

故答案為：1:3.

【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，解題的關鍵在于熟練掌握位似圖形性質(zhì).

13.45

【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個內(nèi)角為15-2)x180。=108。，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得

NBAM/FAB',在YAFB'中,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：???正五邊形的每一個內(nèi)角為15-2)*180。=108。，

將正五邊形紙片/BCDE折疊，使點B與點E重合，折痕為

貝ljNBAM=-ZBAE=-xl08。=54c,

22

??,將紙片折疊，使邊48落在線段ZA/上，點3的對應點為點"，折痕為2尸，

NFAB'=-ABAM=-x54)=27,ZAB'F=Zfi=108°,

22

在\'AFB'中，/"S'=180°-N8-AFAB'=180°-108°-27°=45°,

故答案為：45.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的

關鍵.

14.19

【分析】根據(jù)題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令x=0求

平移后的拋物線與y軸的交點即可.

【詳解】解：由題意可知：

力(一40,4)、8(40,4)、77(0,20),

2

設拋物線解析式為：y=aX+20,

將”(-40,4)代入解析式”江+20,

答案第5頁，共22頁

解得:…擊

Y2

y=--+20,

100

2

消防車同時后退10米，即拋物線、=-工+20向左(右)平移10米，

100

平移后的拋物線解析式為：(x+lO)，，

'100

令x=0,解得：y=19,

故答案為：19.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖像的平移及坐標軸的交點；解題的

關鍵是求得移動前后拋物線的解析式.

15.3a+l；百+1

【分析】根據(jù)完全平方公式以及單項式乘以單項式進行化簡，然后將字母的值代入進行計算

即可求解.

【詳解】解：(a+a+a(l-a)

=a2+2a+\+a-a2

=3“+l

當^時，原式=3x31=6+1

33

【點睛】本題考查了整式乘法的化簡求值，實數(shù)的混合運算，熟練掌握完全平方公式以及單

項式乘以單項式的運算法則是解題的關鍵.

,4

19

【分析】依題意畫出樹狀圖，運用概率公式求解即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

開始

紅色紅色綠色

紅色紅色綠色紅色紅色綠色紅色紅色綠色

共有9種可能，獲一等獎即兩次顏色不相同的可能有4種，

答案第6頁，共22頁

則某同學獲一等獎的概率為：?4，

9

答：某同學獲一等獎的概率為14.

【點睛】本題考查了樹狀圖求概率，正確畫出樹狀圖是解題的關鍵.

17.原計劃平均每天制作200個擺件.

【分析】設原計劃平均每天制作x個，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解：設原計劃平均每天制作x個，根據(jù)題意得，

30003000?

----=----+5

x1.5x

解得：x=200

經(jīng)檢驗，x=200是原方程的解，且符合題意，

答：原計劃平均每天制作200個擺件.

【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵.

18.⑴見解析；

⑵18

【分析】(1)由題意可知AACBgADFE易得AC=DF,NCAB=ZFDE=30°即AC//DF,

依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；

(2)如圖，在中，由30。角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余

易得/8=28C=12cm,48c=60。；由菱形得對角線平分對角得NC/)/=47%=30。，

再由三角形外角和易證NBCD=NCDA即可得8c=8。=6cm,最后由4。=+BD求解即

可.

【詳解】(1)證明：由題意可知

：.AC=DF,NC4B=NFDE=30°,

\AC//DF,

：.四邊形/EDC地平行四邊形；

(2)如圖，在RS/C8中，4c8=90°,NC/8=30°,8c=6cm,

AB=2BC=ncm,NABC=60°,

四邊形4FDC是菱形，

.:4。平分/。0/，

NCD4=NFDA=30°,

答案第7頁，共22頁

???ZABC=ZCDA+/BCD,

/BCD=ZABC-ZCDA=60°-30°=30°,

/BCD=ZCDA,

BC=BD=6cm,

AD=AB+BD=18cm,

故答案為：18.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，30。角所對的直

角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對等邊：解題的關鍵是熟練

掌握相關知識綜合求解.

19.(1)見解析

(2)110人

(3)9

【分析】(1)根據(jù)屬于正常的人數(shù)除以占比得出抽取的人數(shù)，結(jié)合條形統(tǒng)計圖求得屬于偏胖

的人數(shù)，進而補全統(tǒng)計圖即可求解；

(2)用屬于偏胖和肥胖的占比乘以200即可求解：

(3)設小張體重需要減掉xkg,根據(jù)BMI計算公式，列出不等式，解不等式即可求解.

【詳解】(1)抽取了7+35%=20人，

屬于偏胖的人數(shù)為：20-2-7-3=8,

補全統(tǒng)計圖如圖所示，

答案第8頁，共22頁

抽取的員工胖瘦程度的條形統(tǒng)計圖

(3)設小張體重需要減掉xkg,

依題意，27<24

解得：x>8.67,

答：他的體重至少需要減掉9kg,

故答案為：9.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關聯(lián)，樣本估計總體，一元一次不等式的

應用，根據(jù)統(tǒng)計圖表獲取信息是解題的關鍵.

20.⑴見解析

(2)見解析

(3)見解析

19

【分析】(1)以"=3為底，設月8邊上的高為人,依題意得=解得〃=3,

即點C在/8上方且到AB距離為3個單位的線段上的格點即可；

(2)由網(wǎng)格可知，48="+儼=加，以/8=，石為底，設48邊上的高為〃，依題意得

S,“Bc=；4Bh=5,解得〃=J記，將48繞A或B旋轉(zhuǎn)90。，過線段的另一個端點作的

平行線，與網(wǎng)格格點的交點即為點C:

(3)作BD=AB=#,過點。作C。〃/8,交于格點C.

【詳解】⑴解:如圖所示，

以48=3為底，設48邊上的高為〃，

答案第9頁，共22頁

19

依題意得：S^ABC=-ABh=-

解得：〃=3

即點C在上方且到48距離為3個單位的線段上的格點即可,

答案不唯一；

(2)由網(wǎng)格可知,

AB=-j32+\2=V10

以=W為底，設月8邊上的高為〃，

依題意得：S“Bc=g/8〃=5

解得：h=V10

將繞A或8旋轉(zhuǎn)90。，過線段的另一個端點作AB的平行線，與網(wǎng)格格點的交點即為點C,

答案不唯一，

(3)如圖所示，

作BD=AB=5過點。作CD〃/8,交于格點C,

答案第10頁，共22頁

由網(wǎng)格可知，

BD=AB=A/22+12=后'4D=而，

是直角三角形，且4BJ.BD

'：CD//AB

:SABC=；ABBD=3.

【點睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，勾股定理求線段長度，與三角形的高的有關計算；解題的關

鍵是熟練利用網(wǎng)格作平行線或垂直.

21.(l)^=12x-180

(2)180

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)求得甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關系式為y=4x+60(254x460),聯(lián)立

y=12x-180(154x440),即可求解.

【詳解】(1)解：設乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關系式為y=h+b,將(15,0),

(40,300)代入得，

J15k+b=0

[40k+6=300'

優(yōu)=12

解得：/,1801

=-ldO

.?.y=12x-180(15<x<40)；

答案第11頁，共22頁

(2)設甲距山腳的垂直高度y與冗之間的函數(shù)關系式為y=3+A(254x460)

將點(25,160),(60,300)代入得,

125勺+4=160

160^+4=300

優(yōu)=4

解得：/小

［偽=60

=4x4-60(25<x<60)；

y=12%一180

聯(lián)立

y=4x+60

x=30

解得:

歹=180

，乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度為180米

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關鍵.

22.感知：45：探究：見解析；應用：空.

3

【分析】感知：由圓周角定理即可求解；

探究：延長尸幺至點E,使/E=PC,連結(jié)BE,通過證明△尸8c絲AEBZ(SAS),可推得P3E

是等邊三角形，進而得證；

應用：延長4至點E,使4E=PC,連結(jié)8E,通過證明AP8CZAE8Z(SAS)得，可推得PBE

PB

是等腰直角三角形，結(jié)合PE=PA+PC與PE=6PB可得PC=3PA,代入法即可求解.

【詳解】感知：

由圓周角定理可得ZAPB=-ZAOB=45°,

2

故答案為：45；

探究：

證明：延長乃至點E,使/E=PC,連結(jié)8E,

???四邊形/8C尸是。。的內(nèi)接四邊形，

/.ZBAP+ZBCP=\S00.

■：ZBAP+Z.BAE=\S00,

ABCP=NBAE.

答案第12頁，共22頁

???△48C是等邊三角形.

BA—BC,

「.△PBC⑶EB力(SAS),

:?PB=EB,NPBC=/EBA,

??.ZEBA+ZABP=/PBC+ZABP=ZABC=60°,

:.APBE是等邊三角形，

PB=PE,

:.PB=PE=PA+AE=PA+PC,

即PB=PA+PC；

應用：

延長4至點E,使45=PC,連結(jié)BE,

v四邊形Z4CP是。。的內(nèi)接四邊形，

ZBAP+ZBCP=ISO0.

???Z^P+Z^￡=180°,

ABCP=ABAE.

?:AB=CB,

.?.△PBC也△EB4(SAS),

:.PB=EB,APBC=AEBA,

NEBA+/ABP=ZPBC+ZABP=/ABC=90°,

.?.△PBE是等腰直角三角形，

/.PB2+BE2=PE?,

2PB2=PE2，

PE=y/2PB，

?：PE=PA+AE=PA+PCt

:.PA+PC=y[iPB，

???PB=2y[2PA，

:.PA+PC=6X26PA=4PA，

/.PC=3PAf

PB2y12PA272

---=-------=----，

PC3PA3

答案第13頁，共22頁

故答案為：—.

【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，鄰補角，全等三角形的判定和性

質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關鍵是做

輔助線構(gòu)造AP8C絲AE8/,進行轉(zhuǎn)換求解.

23.⑴后

(2)-

2

(3)見解析

(4)0<IW9-3正或/=?或一

26

【分析】(1)證明四邊形是矩形，進而在Rtz\Q8E中，勾股定理即可求解.

PFBF2

(2)證明APBESAECD,得出tanNPQE=一=一=一；

DECD3

(3)過點、P作PHLBC于點H,證明APHEGAEC。得出PE=0E,即可得出結(jié)論

(4)分三種情況討論，①如圖所示，當點尸在BE上時，②當尸點在48上時，當尸重合

時符合題意，此時如圖，③當點P在/。上，當產(chǎn)，。重合時，此時。與點C重合，則P90E

是正方形，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接8。，

???四邊形力88是矩形

ZBAQ=NABE=90°

ZPEQ=90°,

答案第14頁，共22頁

二四邊形力是矩形,

當點P和點B重合時，

QE=AB=3,BE=2

在RtAQBE中，BQ=4BE?+QE?=732+22=713,

故答案為：V13.

(2)如圖所示，

VZP￡2=90°,NPBE=ZECD=90。,

.??/1+/2=90。,/2+/3=90。，

???Zl=Z3

/.APBES^ECD,

.PEBE

??方一而‘

■:BE=2,CD=AB=3,

?.,ZPEQ=90°,ZPHE=Z.ECQ=90P,

AZ1+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

則四邊形夕是矩形,

???PH=AB=3

又＜EC=BC-BE=5-2=3

答案第15頁，共22頁

:.PH=EC,

：.^PHE^ECQ

：.PE=QE

.?.△PQE是等腰直角三角形；

(4)①如圖所示，當點P在8E上時,

在RtAN。尸中，4F=JQF^-AQ?=J32—d=五,

則B尸=3-右，

VPE=t,貝IJ5P=2T,PF=PE=t,

在RSPBF中，PF2=PB2+FB2,

t2=(3-^)2+(2-/)2

解得：/=上土5

2

當/<"叵時，點尸在矩形內(nèi)部，符合題意，

2

.?.0<區(qū)葉叵符合題意，

2

②當P點在上時，當尸,/重合時符合題意，此時如圖,

則尸8=f-8￡=f-2,PE=AP=AB-PB=3-(t-2)=5-t,

在RtZ\P8E中，PE1=PB2+BE2

(5-r)2=(/-2)2+2\

答案第16頁，共22頁

17

解得：Z=~2"，

6

③當點尸在4。上，當重合時，此時。與點C重合，則?尸。E是正方形，此時

f=2+3+2=7

綜上所述，0＜區(qū)％*或/=?或f=7.

26

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求正切，軸對稱的性質(zhì),

分類討論，分別畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵.

24.(l)y=-x2+2.r+2；頂點坐標為(1,3)

(2)4-6,0)

=或w=-2或上1或m=叵二1

22

(4)機=-2+V2或5=2-2y[3或"7=一萬

【分析】(1)將點(2,2)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法即可求解；

(2)當P=0時，-x2+2x+2=0，求得拋物線與x軸的交點坐標，根據(jù)拋物線上的點B在x

軸上時，橫坐標為1-"?.其中加＜0,得出機=-Vi，即可求解；

(3)①如圖所示，當1＜1-加＜1+6,即-6＜團＜0時,，②當1-川21+6,即機時，

③當1-6＜1-加＜1,即0＜機(百時，④當1-加41-6，即m分別畫出圖形，根

據(jù)最高點與最低點的縱坐標之差為2-%，建立方程，解方程即可求解；

(4)根據(jù)5在x軸的上方，得出-行根據(jù)題意分三種情況討論①當E是ZC的中

點，②同理當尸為工。的中點時，③;邑“℃=5.8..,根據(jù)題意分別得出方程，解方程即可

求解.

【詳解】(1)解:將點(2,2)代入拋物線y=-9+入+2,得，