山東省菏澤市牡丹區(qū)菏澤國(guó)花學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期3月自我檢測(cè) 數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省菏澤市牡丹區(qū)菏澤國(guó)花學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期3月自我檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．書(shū)架上有10本不同的自然科學(xué)圖書(shū)和9本不同的社會(huì)科學(xué)圖書(shū)，甲同學(xué)想從中選出1本閱讀，則不同的選法共有（）A．9種 B．10種 C．19種 D．90種2．若函數(shù)在處可導(dǎo)，則（

）A． B． C． D．3．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則A．2 B． C． D．4．，，則等于（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)有極值，則c的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

7．已知3A8x＝4A9xA．6B．13C．6或13D．128．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷，其中正確的是（

）A．在上是增函數(shù)B．在上是減函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，取得極小值D．當(dāng)時(shí)，取得極大值10．用到這個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．11．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．4三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程的斜率為.13．3人坐在一排8個(gè)座位上，若每人的左右兩邊都有空座位，則不同的坐法種數(shù)是.14．函數(shù)(x>0)的圖像在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)，而且.(1)求；(2)若l是曲線的切線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求l的方程.16．已知函數(shù)，，，(1)設(shè)曲線在處的切線為，若與曲線相切，求；(2)設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性．17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，直線（為常數(shù)）與曲線相切，求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍；(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.

參考答案1．【答案】C【詳解】由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為.故選C.2．【答案】B【詳解】由題得.故選B.3．【答案】D【詳解】,直線的斜率為-a.所以a=-2,故選D.4．【答案】A【詳解】因且，表示80個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積，其中最大因數(shù)為，最小因數(shù)為，由排列數(shù)公式的意義得結(jié)果為，所以.故選A.5．【答案】A【詳解】解：由題意得，若函數(shù)有極值，則，解得，故選A．6．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，，，又，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B，D；又，排除C，故選A.7．【答案】A【詳解】由題意得0＜x≤8且0＜x－1≤9，所以1＜x≤8，因?yàn)?A8x＝4A9x-1，所以3×8！8-x?。?×9！10-x！8．【答案】B【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，得，，而對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選B.9．【答案】BC【詳解】從導(dǎo)函數(shù)圖像可以看出函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)；在上為增函數(shù)，故A錯(cuò)B對(duì)，C對(duì)D錯(cuò).故選BC.10．【答案】ABC【詳解】用到這個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，若不考慮最高位是否為，則有個(gè)，又最高位不能為，故當(dāng)最高位為時(shí)有個(gè)，故可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)，故C正確；首先排最高位，有種，再排十位、個(gè)位，有種，故共有個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故B正確；若選到的數(shù)字沒(méi)有，則有個(gè)，若選到的數(shù)字有，先排，有種方法，再?gòu)钠溆鄠€(gè)數(shù)字選個(gè)排到其余位置，故有個(gè)，綜上可得共有個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故C正確；故選ABC.11．【答案】BC【詳解】的定義域?yàn)?，所以，A錯(cuò)誤；由題意可得，令解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以，即，選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，所以，正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；故選BC.12．【答案】【詳解】由題得，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程的斜率為.13．【答案】24【詳解】解析過(guò)程略14．【答案】21【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，于是函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為，而，令，得，又，因此數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，，所以.15．【答案】(1)(2)或【詳解】（1），則，所以，得.（2）由(1)可得，，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線的斜率為，又因?yàn)?，所以直線l的方程為：將代入上式并整理，可得，由此可解得或，因此，切點(diǎn)為或，切線方程為或，即l的方程為或.16．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1），，且，所以曲線在處的切線為，則，得，因?yàn)橹本€與曲線相切，所以，得（舍），或；（2）的定義域?yàn)椋?，因?yàn)?，令，得或，?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)和時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減增，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)和時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上所述，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，沒(méi)有減區(qū)間，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.17．【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是，，令，得，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是，令，得，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由任意，知恒成立.因，故，在上恒成立.設(shè)，則，令，得，（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，且，所以若在上恒成立，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.【方法總結(jié)】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．19．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.設(shè)切點(diǎn)，則消得，解得，代入得.（2）方法一：因?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以.又-axe，故恒成立，所以成立.②當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為.方法二：因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所以上式等價(jià)于恒成立.記，則，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.所以.所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.所以.故的取值范圍為.方法三：因?yàn)楹愠闪ⅲ郑陨鲜降葍r(jià)于恒成立.記，則，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.所以.令，則，則恒成立.記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.故的取值范圍為.（3）方法一：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，即，即，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以.令，則單調(diào)遞增，又，所以，即.由的單調(diào)性可知.思路一：構(gòu)造函數(shù).則，故在上單調(diào)遞減，又，所以，則，即，又，所以，又在上單調(diào)遞增，所以.故.思路二：要證，即證，即證.令，即證.構(gòu)造函數(shù).則，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即.故.思路三：因?yàn)?，即，令，則即要證，即證，即證，即證，下同思路一，略.方法二：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，即.令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以.令，則單調(diào)遞增，又，所以，即由的單調(diào)性可知.思路一：