2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第15講 幾何圖形的初步（講義）（原卷版）

第15講幾何圖形的初步目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一認(rèn)識幾何圖形題型01幾何圖形的識別題型02幾何體點、棱、面之間的關(guān)系題型03判斷幾何體的截面形狀題型04判斷幾何體的展開圖題型05由展開圖計算幾何體的表面積或體積題型06正方體展開圖的識別題型07補(bǔ)一個面使其成為正方體的展開面題型08正方體相對兩面上的字或圖案題型09與七巧板有關(guān)的計算考點二直線、射線、線段的相關(guān)概念題型01畫直線、射線、線段題型02求直線、線段的數(shù)量題型03求直線相交點的個數(shù)題型04直線的性質(zhì)題型05線段的性質(zhì)題型06與線段中點有關(guān)的計算考點三角的相關(guān)概念題型01度、分、秒的換算題型02鐘面角的計算題型03方向角的表示題型04角平分線的相關(guān)計算題型05求一個角的余角、補(bǔ)角題型06與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計算考點四相交線題型01點到直線的距離題型02利用對頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求解題型03判斷同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角考點五平行線題型01平行公理的應(yīng)用題型02利用平行線的判定進(jìn)行證明題型03求平行線之間的距離題型04平行線判定的實際應(yīng)用題型05由平行線的性質(zhì)求角度題型06由平行線的性質(zhì)解決折疊問題題型07平行線的性質(zhì)在實際生活的應(yīng)用題型08利用平行線的性質(zhì)解決三角板問題題型09根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求角度題型10根據(jù)平行線性質(zhì)與判定證明考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測認(rèn)識幾何圖形通過實物和模型，了解從物體抽象出來的幾何體、平面、直線和點等概念.該專題內(nèi)容是初中幾何的基礎(chǔ)，在中考數(shù)學(xué)中屬于基礎(chǔ)考點，年年都會考查，分值為8分左右，預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn).大部分地區(qū)在選擇、填空題中考察可能性較大，主要考察平行線的性質(zhì)和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質(zhì)可能在綜合題中出現(xiàn)，考查學(xué)生綜合能力，比如：作平行的輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學(xué)生靈活掌握．對本專題的復(fù)習(xí)也直接影響后續(xù)對其他幾何圖形的學(xué)習(xí)，需要考生細(xì)心對待.直線、射線、線段的相關(guān)概念會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義.掌握基本事實:兩點確定一條直線和兩點之間線段最短.理解兩點間距離的意義，能度量和表達(dá)兩點間的距離.角的相關(guān)概念理解角的概念，能比較角的大小，認(rèn)識度、分、秒等角的度量單位，能進(jìn)行簡單的單位換算，會計算角的和、差.理解對頂角、余角、補(bǔ)角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角(或等角)的余角、同(或)的補(bǔ)的性質(zhì).相交線理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線.掌握基本事實:同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離.識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.平行線理解平行線的概念.掌握平行線的性質(zhì)與判定定理.了解平行于同一條直線的兩條直線平行.考點一認(rèn)識幾何圖形幾何圖形的概念:我們把實物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形,幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，這個圖形叫做立體圖形.平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個圖形叫做平面圖形.正方體展開圖（共計11種）：口訣：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同層可任意,2）“三個二”成階梯,3）“二個三”“日”相連,異層必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此規(guī)律，運用定自如.幾何圖形的組成：1）點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形.2）線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.3）面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.4）體：幾何體也簡稱體.組成幾何圖形元素的關(guān)系：點動成線，線動成面，面動成體.【擴(kuò)展】名稱頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）存在關(guān)系三棱錐446V+F-E=2長方體8612正八面體6812正十二面體20123011.同一個立體圖形按不同的方式展開得到的平面展開圖是不一樣的.2.在正方體的展開圖中，一條直線上的小正方形不會超過四個,圖1所示的圖形不是正方體的展開圖.3.正方體的展開圖中不會有“田”字形、“凹”字形的形狀,圖2、圖3所示的圖形不是正方體的展開圖.題型01幾何圖形的識別【例1】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）下列幾何體中，是棱錐的為（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-1】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）下面幾何體中，是圓柱的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）不透明的箱子中裝有一個幾何體模型，小樂和小欣摸該模型并描述它的特征．小樂：它有4個面是三角形；小欣：它有6條棱．則該幾何體模型的形狀可能是（

）A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱題型02幾何體點、棱、面之間的關(guān)系【例2】（2020·山東棗莊·中考真題）歐拉（Euler，1707年~1783年）為世界著名的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家，他在數(shù)學(xué)、物理、建筑、航海等領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻(xiàn)．他對多面體做過研究，發(fā)現(xiàn)多面體的頂點數(shù)（Vertex）、棱數(shù)E（Edge）、面數(shù)F（Flat

surface）之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，給出了著名的歐拉公式．（1）觀察下列多面體，并把下表補(bǔ)充完整：名稱三棱錐三棱柱正方體正八面體圖形頂點數(shù)V468棱數(shù)E612面數(shù)F458（2）分析表中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)V、E、F之間有什么關(guān)系嗎？請寫出關(guān)系式：____________________________．題型03判斷幾何體的截面形狀【例3】（2023·河南信陽·二模）妹妹把一密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉(zhuǎn)動水杯，水面的形狀不可能是（

）A．三角形 B．長方形 C．圓形 D．橢圓【變式3-1】（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）在一個密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水，將圓柱桶按不同方式放置時，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出的幾何形狀是（

）A．圓面 B．矩形面 C．梯形面 D．橢圓面或部分橢圓面【變式3-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）分別用一平面去截如圖所示幾何體，能得到截面是矩形的幾何體共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，往一個密封的正方體容器持續(xù)注入一些水，注水的過程中，可將容器任意放置，水平面形狀不可能是（

）A．三角形 B．正方形 C．六邊形 D．七邊形題型04判斷幾何體的展開圖【例4】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列圖形中，為圓錐的側(cè)面展開圖的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式4-1】（2023·湖南長沙·統(tǒng)考三模）如圖，是一個幾何體的表面展開圖，那么這個幾何體的名稱是（

）

A．正三棱柱 B．正三棱錐 C．圓柱 D．圓錐【變式4-2】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）將如圖所示的圓錐的側(cè)面展開，則點A和點B在展開圖中的相對位置正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式4-3】（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖，是某一個幾何體的表面展開圖，這個幾何體是（

）A．五棱錐 B．四棱錐 C．四棱柱 D．三棱柱【變式4-4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）將如圖所示的長方體包裝盒沿某些棱剪開，且使六個面連在一起，然后鋪平，則得到的圖形不可能是（

）A．B．C．D．題型05由展開圖計算幾何體的表面積或體積【例5】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）張師傅要制作一個無蓋長方體玻璃魚缸，切割出來的幾塊玻璃的尺寸如圖所示（單位：dm），則其體積為（

）

A．60dm3 B．72dm3 C．【變式5-1】（2023·黑龍江大慶·大慶一中?？寄M預(yù)測）如圖是某幾何體的展開圖，則該幾何體的體積為（

）

A．π B．3π C．32π【變式5-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）相同規(guī)格（長為14，寬為8）的長方形硬紙板，剪掉陰影部分后，將剩余的部分沿虛線折疊，制作成底面為正方形的長方體箱子，有如圖所示的甲、乙兩種方案，所得長方體體積分別記為：V甲和V乙．下列說法正確的是：（A．V甲>V乙 B．V甲【變式5-3】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB所在直線為軸，把△【變式5-4】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖為一個長方體的展開圖，且長方體的底面為正方形．根據(jù)圖中標(biāo)示的長度，此長方體的表面積為．【變式5-5】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）如圖，把一個高9dm的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36dm2．原來這個圓柱的體積是題型06正方體展開圖的識別【例6】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）下列哪個不是正方體的側(cè)面展開圖（

）A．

B．

C．

D．

【變式6-1】（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）下列四個圖形中，不能作為正方體的展開圖的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式6-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，將左圖的正方形紙盒切去一角得到下圖，下列選項中，不能作為紙盒剩余部分的展開圖的是（

）

A．

B．

C．

D．

題型07補(bǔ)一個面使其成為正方體的展開面【例7】（2022·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在有序號的小正方形中選出一個，它與圖中五個有陰影的小正方形組合后，不能構(gòu)成正方體的表面展開圖的是（

）

A．① B．② C．③ D．④【變式7-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）在圖中，實線所圍成的多邊形區(qū)域（陰影部分）是由四個全等正方形拼接而成的．現(xiàn)在若補(bǔ)上圖中標(biāo)有號碼的其中一個全等小正方形，則可得到九個多邊形區(qū)域（每個區(qū)域恰好含有五個全等小正方形），試問這九個多邊形區(qū)域中，可以折成無蓋的正方體容器的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式7-2】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考二模）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分．現(xiàn)在從其余的小正方形中任取一個涂上陰影，則能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的概率是（

）A．112 B．17 C．13【變式7-3】（2022·廣東深圳·坪山中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，方格紙（每個小正方形邊長都相同）中5個白色小正方形已剪掉，在剩余七個小正方形中再剪去1個正方形，恰好使余下部分能折成一個正方體的概率是．

題型08正方體相對兩面上的字或圖案【例8】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）如圖，點P，Q是一正方體展開圖上的兩個頂點，則頂點P，Q在正方體上的位置標(biāo)記正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式8-1】（2023·河南信陽·?？既＃┝?xí)近平總書記在黨的二十大報告中提出：“新時代十年的偉大變革，在黨史、新中國史、改革開放史、社會主義發(fā)展史、中華民族發(fā)展史上具有里程碑意義”將“二”“十”“大”“里”“程”“碑”這六個漢字分別寫在某正方體的六個面上，下圖是它的一種展開圖，則在原正方體中，與“里”字所在面相對的面上的漢字是（

）

A．十 B．二 C．程 D．碑【變式8-2】（2023·河南信陽·?？既＃┫铝姓襟w的展開圖中，每個面上都有一個漢字，則“口”的對面是“手”的展開圖是（

）A．

B．

C．

D．

【變式8-3】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測）有一個正方體，6個面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6，有3個人從不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示．如果記6的對面的數(shù)字為a，2的對面的數(shù)字為b，那么a+b的值為（

A．6 B．7 C．8 D．11【變式8-4】（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖的正方體紙盒，只有三個面上印有圖案，下面四個平面圖形中，經(jīng)過折疊能圍成此正方體紙盒的是（

）

A．

B．

C．D．

【變式8-5】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）如圖，已知一個正方體是三個面分別標(biāo)有〇、◎、※三種圖案，則它的展開圖可能是（）正方體展開圖相對面的確定方法：1）同一行或同一列，間隔一個面的兩個面是相對面；2）“Z”字型圖案中，兩端點處的兩個面是相對面.A．B．C正方體展開圖相對面的確定方法：1）同一行或同一列，間隔一個面的兩個面是相對面；2）“Z”字型圖案中，兩端點處的兩個面是相對面.題型09與七巧板有關(guān)的計算【例9】（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）如圖，七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情圖中，是軸對稱圖形的為（

）

A．

B．

C．

D．

【變式9-1】（2023·廣東深圳·?？既＃┢咔砂迨俏覈糯鷦趧尤嗣竦陌l(fā)明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖，是一個用七巧板拼成的裝飾圖，放入長方形ABCD內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，三角形①的邊GD在邊AD上，則BFBEA．1+22 B．22 C．2+【變式9-2】（2023·江西宜春·統(tǒng)考二模）七巧板是我們祖先的一項偉大創(chuàng)造，被興為“東方魔板”．在一次“美術(shù)制作”活動課上，小明用邊長為4cm的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板（如圖1），并設(shè)計了一幅作品“我跑步，我快樂”創(chuàng)作畫（如圖2），則創(chuàng)作畫中陰影部分的面積是cm

【變式9-3】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）七巧板是中國民間流傳的一種傳統(tǒng)智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四邊形組成的．如圖，有一塊邊長為42的正方形厚紙板ABCD，做成如圖①所示的一套七巧板(點O為正方形紙板對角線的交點，點E、F分別為AD、CD的中點，GE∥BI，IH∥CD)，將圖①所示七巧板拼成如圖②所示的“魚形”，則“魚尾

【變式9-4】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，且邊長為4，那么陰影部分面積為．

考點二直線、射線、線段的相關(guān)概念一、直線、射線、線段的相關(guān)概念直線射線線段概念直線是幾何圖形基礎(chǔ)，是一個不做定義的原始概念.直線上一點和它一旁的部分叫做射線.直線上兩點和它們之間的部分叫做線段.圖形表示方法直線AB或直線BA直線m射線OA射線n線段AB線段l端點個數(shù)無1個2個延伸、度量情況可向兩方無限延伸不可度量只能以一方無限延伸不可度量不能延伸，可以度量不同點線段向一方延伸就成為射線，向兩方延伸就成為直線相同點都是直的線直線的性質(zhì)：1）直線公理:經(jīng)過兩點有且只有一條直線，簡稱：兩點確定一條直線；2）經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，過兩點的直線只有一條，過三點就不一定了.兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.線段的性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短.簡稱：兩點之間，線段最短.線段的長度比較方法：1)度量法:分別用刻度尺測量線段AB、線段CD的長度，再進(jìn)行比較2)疊加法:讓線段某一段端點重合，比較另一邊兩端點的位置.線段中點的概念：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段中點.11.線段的長度可以度量，所以能夠比較線段的長短，而且線段的長度是非負(fù)數(shù).2.一條線段的中點只有一個.3.某一個點要成為一條線段的中點必須同時滿足兩個條件：1）點必須在這條直線上.2）它把這條線段分為兩條相等的兩條線段.題型01畫直線、射線、線段【例1】（2023·河北廊坊·?？既＃┤鐖D，已知A、B兩點，畫射線AB，按照上述語句，下列畫法正確的是（

A．

B．

C．

D．

【變式1-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）下列各選項中的射線EF和直線AB能相交的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-2】（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，若線段PC與線段OA有一個公共點，則點C可以是（

）A．點D B．點E C．點Q D．點M題型02求直線、線段的數(shù)量【例2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，點C在線段BD上，過A，B，C，D中的兩點可以畫一條直線，其中過點C的直線有（

）

A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【變式2-1】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）1000m的大道兩側(cè)從起點開始每隔10m各種一棵樹，相鄰兩棵樹之間放一盆花，這樣需要（

）A．樹200棵，花200盆 B．樹202棵，花200盆C．樹202棵，花202盆 D．樹200棵，花202盆【變式2-2】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）哈齊高鐵于2015年開通，是我國目前最北端的高速鐵路，開通8年時間，方便了千千萬萬大慶市民出行，也推動了龍江經(jīng)濟(jì)發(fā)展．從大慶西站到哈爾濱站中間有4個車站，共有種票價．（注：擬設(shè)每兩個城市之間的票價相同）題型03求直線相交點的個數(shù)【例3】（2023·安徽蚌埠·?？级＃⒁粔K等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為（）A．3 B．5 C．7 D．9【變式3-1】（2022·四川達(dá)州·四川省渠縣中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷?，兩條直線最多只有1個交點，三條直線最多有3個交點…若n條直線最多有325個交點，則n的值為（

）A．24 B．25 C．26 D．27【變式3-2】（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）2條直線最多有S1個交點，3條直線最多有S2個交點，按照規(guī)律依此類推，2023條直線最多有S2022個交點，則1A．20231012 B．40442023 C．40452023題型04直線的性質(zhì)【例4】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使砌的磚在一條直線上．這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識是（

）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊【變式4-1】（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一側(cè)的線段m在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是（

）A．a(chǎn) B．bC．c D．d題型05線段的性質(zhì)【例5】（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，A,B兩地間修建彎河道與修建直的河道橋相比，增加了河道橋的長度，其中蘊含的數(shù)學(xué)道理是（

A．兩點之間，線段最短 B．平行于同一條直線的兩條直線平行C．垂線段最短 D．兩點確定一條直線【變式5-1】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，利用隧道，把彎曲的公路改直，就能縮短兩地的路程，這其中蘊含的數(shù)學(xué)道理是．

題型06與線段中點有關(guān)的計算【例6】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，某同學(xué)用直尺畫數(shù)軸．?dāng)?shù)軸上點A、B分別在直尺的1cm，9cm處，若點A對應(yīng)-4，直尺的0刻度位置對應(yīng)-6，則線段

A．4 B．5 C．8 D．12【變式6-1】（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，不完整的數(shù)軸上有A，B兩點，原點在A、B之間，沿原點將負(fù)半軸折疊到正半軸上，點A落在點B左側(cè)4個單位長度處，則線段AB的中點表示的數(shù)為（）

A．2 B．-2 C．4 D．【變式6-2】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點A、B、O、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，O為AC的中點，若AB=2，點B所對應(yīng)的數(shù)為m，則點C所對應(yīng)的數(shù)是(

A．-2-m B．--m-2【變式6-3】（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是-1，點B是AC的中點，線段AB=2，則點C表示的數(shù)是

【變式6-4】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）A、B、C、D四個車站的位置如圖所示．

(1)A、C兩站的距離；(2)C、D兩站的距離；(3)若a=6，C為AD的中點，求b考點三角的相關(guān)概念角的定義（靜態(tài)）：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角.角的定義（動態(tài)）：由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形.角的分類：∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°角的表示方法：角的表示圖例適用范圍注意事項用三個大寫字母表示記作：∠ABC或∠CBA任何情況都適用表示頂點的字母一定要寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).用一個大寫字母表示記作：∠O1）以這個字母為頂點的角只有一個；2）當(dāng)在一個頂點處有兩個或兩個以上的角時,其中的任意一個角都不能用一個大寫英文字母表示.用一個數(shù)字表示任何情況都適用在靠近頂點處畫上弧線，表示出角的范圍，并注上數(shù)字或小寫的希臘字母用一個希臘字母表示角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制.度、分、秒的運算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（11周角=2平角=4直角=360°.角的大小的比較：1）疊合法：使兩個角的頂點及一邊重合，比較另一邊的位置；2）度量法：分別用量角器測量兩個角的大小，再進(jìn)行比較.角的平分線的概念：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.【性質(zhì)】①若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=12∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC②角平分線上的點到角兩邊的距離相等．余角的概念：如果兩個角的和等于直角，就說這兩個角互為余角，即其中一個是另一個的余角.補(bǔ)角的概念：如果兩個角的和等于平角，就說這兩個角互為補(bǔ)角，即其中一個是另一個的補(bǔ)角.【性質(zhì)】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補(bǔ)角相等.11.因為射線是向一方無限延伸的，所以角的兩邊無所謂長短，即角的大小與邊的長短無關(guān).2.角的大小可以度量，可以比較.3.在進(jìn)行度、分、秒運算時，由低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化或由高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化要逐步進(jìn)行.4.一條射線要成為一個角的平分線必須同時滿足兩個條件：1）射線必須在角的內(nèi)部.2）它把這個角分成兩個相等的角.5.鈍角沒有余角.6.互為余角、補(bǔ)角是兩個角之間的關(guān)系,7.兩個角互為余角、互為補(bǔ)角只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無關(guān).只要它們的度數(shù)之和等于90°或180°，就一定互為余角或補(bǔ)角.題型01度、分、秒的換算【例1】（2023·廣西賀州·統(tǒng)考一模）比較大?。?0.15°40°15'（用>、=、【變式1-1】（2022·浙江·二模）把下面的角度化成度的形式：118°20'42【變式1-2】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）計算：80°-45°17'=_________．題型02鐘面角的計算【例2】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）在3：30、6：40、9：00、12：20中，時針和分針?biāo)傻慕嵌茸畲蟮氖牵?/p>

）A．3：30 B．6：40 C．9：00 D．12：20【變式2-1】（2020·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列選項中，表示點P在點O的2點鐘方向的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式2-2】（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｈ蓍b學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，圓形掛鐘分針針尖到圓心的距離10cm，經(jīng)20分鐘，分針針尖轉(zhuǎn)過的弧長是（

）A．256πcm B．203πcm C．356πcm D．題型03方向角的表示【例3】（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）甲、乙兩艘輪船同時離開同一港口，各自沿一固定方向航行，航行的速度均為12海里/小時，甲船用1.5小時到達(dá)點A處，乙船用2小時到達(dá)點B處，且A，B兩點相距30海里．若甲船沿著北偏東30°的方向航行，在下列方向中，乙船的航行方向可以是（

）A．南偏東60° B．南偏西60° C．南偏西30° D．北偏西30°【變式3-1】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，有A，B，C三個地點，且AB⊥BC，從A地測得B地的方位角是北偏東43°，那么從C地測

A．北偏西47° B．南偏西43° C．北偏東43° D．南偏東47°【變式3-2】（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，已知點B在點A的北偏東30°的方向上，∠CBA=60°，則點C在點B的（

A．南偏東30° B．西偏東30° C．東騙西30° D．北偏西30°題型04角平分線的相關(guān)計算【例4】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥OF，已知∠BOF=20°，

A．20° B．25° C．30° D．35°【變式4-1】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，直線AB和CD交于點O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2=80°，則∠AOE的度數(shù)為（A．60° B．70° C．75° D．80°【變式4-2】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖：OC是∠AOB的角平分線，l∥OA，若∠1=59°

A．59° B．61° C．62° D．64°【變式4-3】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考一模）如圖，直線AB，CD相交于點O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=25°A．35° B．45° C．55° D．65°題型05求一個角的余角、補(bǔ)角【例5】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知∠A和∠B互余，若∠A=52°，則A．52° B．48° C．38° D．28°【變式5-1】（2023·云南文山·統(tǒng)考一模）已知∠A=72°25'，則∠AA．108°25' B．17°35' C．【變式5-2】（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，直線l1∥l2，直線l3與l1，l2分別交于A，B兩點，過點A作AC⊥l題型06與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計算【例6】．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，AB∥CD，點E在AB上，EC平分∠AED，若∠2=50°，則∠1A．45° B．50° C．65° D．80°【變式6-1】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖所示的是一桿桿秤，桿秤是利用杠桿原理來稱質(zhì)量的簡易衡器，由木制的帶有秤星的秤桿、金屬秤砣、秤鉤、提繩等組成．在稱物品時，提繩AB與秤砣繩CD互相平行，若∠α=92°，則A．92° B．90° C．88° D．86°【變式6-2】（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）已知∠α和∠β是對頂角，且∠α和∠β互余，則A．45° B．30° C．90° D．120°【變式6-3】（2022·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，AB=2km，從A測得船C在北偏東45°的方向，從B測得船C在北偏東22.5°的方向．則∠ACB【變式6-4】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測）按要求完成如下兩個小題．（1）已知一個角的余角是這個角的補(bǔ)角的14（2）如圖，已知直線AB和CD相交于O點，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠考點四相交線一、相交線直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行.垂線的概念：當(dāng)兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，交點叫做垂足.垂線的性質(zhì)：1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.2）兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個角為直角.3）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于另一條.垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.二、相交線中的角第一種對頂角與鄰補(bǔ)角種類圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角（∠1與∠2）有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線∠1=∠2鄰補(bǔ)角（∠3與∠4）有公共頂點∠3與∠4有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.∠3+∠4=180°第二種同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線同側(cè)，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角.（同旁同側(cè)）如：∠1和∠5.內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角.（內(nèi)部異側(cè)）如：∠3和∠5.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線內(nèi)部，具有這樣位置關(guān)系的一對叫同旁內(nèi)角.（同旁內(nèi)側(cè)）如：∠3和∠6.【速記同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角】三線八角的概念：指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個角，其中同位角4對，內(nèi)錯角有2對，同旁內(nèi)角有2對.正確認(rèn)識這八個角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同側(cè)”;內(nèi)錯角要抓住“內(nèi)部和異側(cè)”;同旁內(nèi)角要抓住“同旁和內(nèi)部”.11.線段與線段、線段與射線、線段與直線、射線與射線或射線與直線垂直，是指它們所在的直線互相垂直.2.垂線是一條直線，而垂線段是一條線段.3.對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角.4.如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角.5.如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.6.兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補(bǔ)角有兩個，而對頂角只有一個.7.兩條直線相交所成的四個角中，有2對對頂角，有4對鄰補(bǔ)角.8.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是指具有特殊位置關(guān)系的兩個角，是成對出現(xiàn)的，對它們的識別要結(jié)合圖形.題型01點到直線的距離【例1】（2023·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為

A．線段AC的長是點A到BC的距離 B．線段AD的長是點C到AB的距離C．線段BC的長是點B到AC的距離 D．線段BD的長是點B到CD的距離【變式1-1】（2023·浙江杭州·校聯(lián)考三模）如圖，點P是直線l外一點，A，O，B，C在直線l上，且PO⊥l，其中PA=3.5，則點P

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5【變式1-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）點A為直線BC外一點，AC⊥BC于點C，AC=6．點P是直線BC上的動點，則線段APA．1 B．3 C．5 D．7【變式1-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）AD是Rt△ABC的角平分線，若AB=4，BD=3，則點D到A．3 B．4 C．5 D．6題型02利用對頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求解【例2】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，直線AB、CD相交于點O，EO⊥AB于點O．若∠COEA．105° B．115° C．125° D．135°【變式2-1】（2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模）如圖，直線AB，CD交于點O，射線OM平分∠AOC，若∠BOD=48°，則∠BOM等于

A．96° B．132° C．146° D．156°【變式2-2】（2023·河南周口·淮陽第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，直線AB,CD相交于點O,EO⊥CD，若

A．20° B．25° C．30° D．35°【變式2-3】（2023·江蘇揚州·?？级＃┤鐖D，平面上直線a、b分別經(jīng)過線段AB的兩個端點（數(shù)據(jù)如圖），則直線a、b相交所成的鈍角為（

）

A．70° B．110° C．140°題型03判斷同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【例3】（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）下列圖中，∠1和∠2不是同位角的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式3-1】（2023·浙江麗水·校考一模）如圖，直線a，b被c所截，則∠1與∠2是（

）

A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補(bǔ)角考點五平行線平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示.平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)..平行線的判定判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.判定方法4：垂直于同一直線的兩直線互相平行．判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：①有且只有一個公共點，兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合.平行線之間的距離概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.1.1.平行線必在同一平面內(nèi)，分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面內(nèi)”是平行線存在的前提條件.2.平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或線段，今后遇到線段、射線平行時，特指線段、射線所在的直線平行.3.在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的結(jié)論.這是平行線特有的性質(zhì)不要一提同位角或內(nèi)錯角就認(rèn)為它們相等，一提同旁內(nèi)角就認(rèn)為互補(bǔ)，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的.題型01平行公理的應(yīng)用【例1】（2023·河北唐山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）經(jīng)過直線a外一點P的5條不同的直線中，與直線a相交的直線至少有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【變式1-1】（2022·河北廊坊·統(tǒng)考一模）圖，在同一平面內(nèi)過點M且平行于直線a的直線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【變式1-2】（2021·河北承德·統(tǒng)考二模）如圖，在平面內(nèi)經(jīng)過一點作已知直線m的平行線，可作平行線的條數(shù)有（

）A．0條 B．1條 C．0條或1條 D．無數(shù)條題型02利用平行線的判定進(jìn)行證明【例2】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）已知：如圖，AE⊥BC于點M，F(xiàn)G⊥BC于點

(1)求證：AB∥(2)若CD=CB，∠D【變式2-1】（2022·江西九江·校考二模）（1）計算：-2022（2）如圖，已知CB平分∠ACD，且AB=AC

【變式2-2】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，

(1)求證：AB∥(2)點E在線段BC的延長線上，點F在線段AD上，EF交CD于點M，∠B=70°，∠DFE【變式2-3】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知∠A+∠ADC=180°，【變式2-4】（2023下·廣東梅州期中）探索與發(fā)現(xiàn)：(1)若直線a1⊥a2，a2∥a(2)若直線a1⊥a2，a2∥a3，(3)現(xiàn)在有2014條直線a1，a2，a3，?，a2014，且有a【變式2-5】如圖，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分別是B，(1)判斷CD與AB的位置關(guān)系；（不需要證明）(2)求證：DF∥題型03求平行線之間的距離【例3】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考三模）如圖是兩條平行線，則表示這兩條平行線間距離的線段有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【變式3-1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）2023年是農(nóng)歷兔年，小曹同學(xué)用邊長為2的正方形紙片制作了一副七巧板，再用這副七巧板拼成一只兔子（如圖所示），已知AB∥CD，則AB與CD之間的距離為

題型04平行線判定的實際應(yīng)用【例4】（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知∠1=90°，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（

）A．∠2=90° B．∠3=90° C．∠4=90° D．∠5=90°【變式4-1】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證斑馬線是由若干條平行線組成的，在保證安全的前提下，按照如圖方式分別測出∠1=∠2=85°，這種驗證方法的數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等 B．同位角相等，兩直線平行C．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【變式4-2】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖是一款教室護(hù)眼燈AB，用兩根電線AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD=90°，為保證護(hù)眼燈AB與天花板EFA．∠BDC=90° B．∠BDF=90° C題型05由平行線的性質(zhì)求角度【例5】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，直線m∥n，點A在直線n上，點B在直線m上，連接AB，過點A作AC⊥AB，交直線m于點C．若∠1=50°，則A．20° B．30° C．40° D．50°【變式5-1】（2023·廣東深圳·南山實驗教育集團(tuán)南海中學(xué)校考三模）如圖，四條直線a,b,c,d，其中a∥b，

A．30° B．40° C．45° D．75°【變式5-2】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，∠ECD=50°，點M是EC上一點，過點M作AB∥CD，若MF平分∠AME

A．60° B．55° C．70° D．65°【變式5-3】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CA，CB的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若AC=25

A．12 B．1 C．32 D【變式5-4】（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）如圖，平面鏡l1與平面鏡l2平行，光線由水平方向射來，傳播路線為a→b→

A．45° B．30° C．15° D．無法確定題型06由平行線的性質(zhì)解決折疊問題【例6】（2023·安徽淮南·校聯(lián)考一模）如圖所示，有一條直的等寬紙帶，按圖折疊時形成一個30°的角，則重疊部分的∠αA．75° B．70° C．65° D．60°【變式6-1】（2023·遼寧鞍山·校考三模）某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)實踐活動課中將一條對邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊（如圖）．折痕分別為AB，CD，若CD∥BE，且∠CBEA．106° B．108° C．109° D．110°【變式6-2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，把正方形ABCD沿EF折疊，點A的對應(yīng)點為點A'，點B的對應(yīng)點為點B'，若∠1=40°，則∠AA．100° B．110° C．115° D．120°【變式6-3】（2023·遼寧本溪·統(tǒng)考一模）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，且∠ACB=30°，點E為邊AD上一動點（點E不與點A重合），將△BAE沿BE折疊得到△BA'E，若△【變式6-4】（2022·河北唐山·統(tǒng)考一模）在數(shù)學(xué)探究活動中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使得點B落在CD上的點Q處．折痕為AP再將△PCQ,△ADQ，分別沿PQ,AQ折疊，此時點C，D（1）∵∠C+∠D=180°，∴AD與（2）線段CD與QR的數(shù)量關(guān)系為．題型07平行線的性質(zhì)在實際生活的應(yīng)用【例7】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，小明騎自行車自A處沿正北方向前進(jìn)，到達(dá)B處后，右拐20°繼續(xù)行駛，若行駛到C處后，小明想按正東方向行駛，則他在C處應(yīng)該（

）A．左拐20° B．右拐20° C．右拐70° D．左拐160°【變式7-1】（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖1是兩條高速公路互通立交俯瞰圖，車輛從一條高速公路轉(zhuǎn)到另一條高速公路，需要經(jīng)過緩和曲線匝道進(jìn)行過渡．如圖2是一種緩和曲線過渡匝道的示意圖．若把過渡匝道的緩和曲線看作是一個平面上的圓弧，汽車沿⊙O的切線PA經(jīng)過切點A駛?cè)朐训?，從⊙O的切線CQ經(jīng)過切點C駛出匝道．已知PA=60m，

(1)若在點P處設(shè)置一高清廣角攝像頭對圓弧形過渡匝道進(jìn)行監(jiān)控，且高清攝像頭可以有效監(jiān)控2