D8-4多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)習(xí)：一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)

乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。1精選完整ppt課件一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

——鏈?zhǔn)椒▌t情形Ⅰ

中間變量均為一元函數(shù)設(shè)則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這種導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)2精選完整ppt課件則推廣:的導(dǎo)數(shù)3精選完整ppt課件例1.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:則

設(shè)的導(dǎo)數(shù)4精選完整ppt課件情形Ⅱ中間變量是多元函數(shù)的情形.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

設(shè)則復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)5精選完整ppt課件設(shè)

則的偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束推廣:6精選完整ppt課件例2.設(shè)解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)則的偏導(dǎo)數(shù)7精選完整ppt課件常采用下面記號：在多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中，為方便起見，8精選完整ppt課件解注意：例3設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求：.設(shè)則的偏導(dǎo)數(shù)9精選完整ppt課件∵f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

∴10精選完整ppt課件解例4設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求：11精選完整ppt課件例4設(shè)求：∵f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，∴12精選完整ppt課件情形Ⅲ

中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)。則函數(shù)

設(shè)zuvwxyxy13精選完整ppt課件解：zuvwxyxy例5.設(shè)

求14精選完整ppt課件例5

求設(shè)另解：題設(shè)函數(shù)可看作由復(fù)合而成，利用情形Ⅱ中的公式可得同樣結(jié)果或者先式兩邊取對數(shù)，后求得偏導(dǎo)數(shù)15精選完整ppt課件多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，遵循一個(gè)如下法則：設(shè)復(fù)合函數(shù)有n個(gè)中間變量這里變化率即為偏導(dǎo)數(shù)（或?qū)?shù)）[（因變量對的變化率）×（對自變量變化率）]則復(fù)合函數(shù)對自變量的變化率等于m個(gè)自變量16精選完整ppt課件。例如設(shè)，而，則再如,注意:這里表示固定

y對x

求導(dǎo),表示固定

v對x求導(dǎo)與不同,17精選完整ppt課件例6.設(shè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束求解：18精選完整ppt課件機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.設(shè)求解：19精選完整ppt課件二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分法則(1)設(shè)則(2)設(shè)，而則可證可見無論

u,v是自變量還是中間變量,其全微分表達(dá)形式都一樣,這一性質(zhì)叫做全微分形式不變性。1.全微分形式不變性20精選完整ppt課件設(shè)u,v是某些自變量的多元函數(shù)，則有（C為常數(shù)）；證明(3),由全微分形式不變性，有2.全微分運(yùn)算法則21精選完整ppt課件例8.設(shè)，求一階偏導(dǎo)數(shù).解：即22精選完整ppt課件設(shè)例9.解：即求全微分。23精選完整ppt課件習(xí)題P75~763,5,6(提示),8(1)(4),9,11.24精選完整ppt課件思考與練習(xí)1.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束求解：25精選完整ppt課件2.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束26精選完整ppt課件3.已知求解:由兩邊對

x

求導(dǎo),得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束27精選完整ppt課件4.

求在點(diǎn)處可微,且設(shè)函數(shù)解:由題設(shè)(2001考研)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束28