新-第5講(學(xué)生版)-勾股定理經(jīng)典例題

第5講勾股定理經(jīng)典題類型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)a=6，c=10，求b，(2)a=40，b=9，求c；(3)c=25，b=15，求a.思路點(diǎn)撥:寫解的過(guò)程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。舉一反三【變式】:如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,那么AB的長(zhǎng)是多少?

類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用如圖，：在中，，，.求：BC的長(zhǎng).

舉一反三【變式1】如圖，：，，于P.求證：.

【變式2】：如圖，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。

類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

〔一〕用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題

3、如下圖，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。

〔1〕求A、C兩點(diǎn)之間的距離。

〔2〕確定目的地C在營(yíng)地A的什么方向。

【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門?

用勾股定理求最短問(wèn)題4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊A、B、C、D，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)方案在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線局部．請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．

思路點(diǎn)撥：解答此題的思路是：最省電線就是線路長(zhǎng)最短，通過(guò)利用勾股定理計(jì)算線路長(zhǎng)，然后進(jìn)行比擬，得出結(jié)論．

【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程．解：

類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為的線段5、作長(zhǎng)為、、的線段。

思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是，類似地可作。

作法：

【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出以下原命題的逆命題并判斷是否正確〔1〕．原命題：貓有四只腳．〔正確〕

〔2〕．原命題：對(duì)頂角相等〔正確〕〔3〕．原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等．〔正確〕〔4〕．原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等．〔正確〕

7、如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。

【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積

【變式2】:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形.

【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=AB。請(qǐng)問(wèn)FE與DE是否垂直?請(qǐng)說(shuō)明。

經(jīng)典例題精類型一：勾股定理及其逆定理的根本用法

1、假設(shè)直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長(zhǎng)是20，求此直角三角形的面積。

舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，求它的面積。

【變式2】直角三角形周長(zhǎng)為12cm，斜邊長(zhǎng)為5cm，求直角三角形的面積。

【變式3】假設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1，n+2，n+3，求n。

【變式4】以以下各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是〔〕

A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40

類型二：勾股定理的應(yīng)用

2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN＝30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？

舉一反三【變式1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路〔假設(shè)2步為1m〕，卻踩傷了花草。

【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。〔1〕直接寫出單位正三角形的高與面積?！?〕圖中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？〔3〕求出圖中線段AC的長(zhǎng)〔可作輔助線〕。

類型三：數(shù)學(xué)思想方法〔一〕轉(zhuǎn)化的思想方法

我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決．

3、如下圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，假設(shè)BE=12，CF=5．求線段EF的長(zhǎng)。

〔二〕方程的思想方法

4、如下圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。

舉一反三：【變式】如下圖，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，AB=8cm，BC=10cm，求EF的長(zhǎng)。

考點(diǎn)一：勾股定理相關(guān)概念性質(zhì)〔1〕對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方?！?〕結(jié)論：①有一個(gè)角是30°的直角三角形，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。②有一個(gè)角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半?！?〕勾股定理的驗(yàn)證例題：例1：直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊?！?〕在Rt△ABC中，∠C=90°①假設(shè)a=5，b=12，那么c=___________；②假設(shè)a=15，c=25，那么b=___________；③假設(shè)c=61，b=60，那么a=__________；④假設(shè)a∶b=3∶4，c=10那么Rt△ABC的面積是=________?！?〕如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，2n〔n>1〕，那么它的斜邊長(zhǎng)是〔〕A、2n B、n+1 C、n2－1 D、〔3〕在Rt△ABC中，a,b,c為三邊長(zhǎng)，那么以下關(guān)系中正確的選項(xiàng)是〔〕A.B.C.D.以上都有可能〔4〕一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，那么第三邊長(zhǎng)的平方是〔〕A、25 B、14 C、7 D、7或25例2：直角三角形的一邊以及另外兩邊的關(guān)系利用勾股定理求周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題。〔1〕直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，那么它斜邊上的高為__________?！?〕Rt△ABC中，∠C=90°，假設(shè)a+b=14cm，c=10cm，那么Rt△ABC的面積是〔〕A、24 B、36 C、48 D、60〔3〕x、y為正數(shù)，且│x2-4│+〔y2-3〕2=0，如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為〔〕 A、5 B、25 C、7 D、15例2：面積問(wèn)題〔1〕以下圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假設(shè)正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3，那么最大正方形E的面積是〔〕A.13B.26C.47D.94〔圖1〕〔圖2〕〔圖3〕〔3〕如圖，△ABC為直角三角形，分別以AB，BC，AC為直徑向外作半圓，用勾股定理說(shuō)明三個(gè)半圓的面積關(guān)系，可得〔〕A.S1+S2>S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.以上都不是〔2〕如下圖，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別是S1、S2、S3，那么它們之間的關(guān)系是〔〕A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S1例3：求長(zhǎng)度問(wèn)題〔1〕小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度?！?〕在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處；另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，試問(wèn)這棵樹有多高？例4：最短路程問(wèn)題〔1〕如圖1，圓柱體底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線，假設(shè)一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，那么小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)度是?！步Y(jié)果保存根式〕〔2〕如圖2，有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高為3米的封閉的正方體紙盒，一只昆蟲從頂點(diǎn)A要爬到頂點(diǎn)B，那么這只昆蟲爬行的最短距離為?！矆D1〕〔圖2〕例5：航海問(wèn)題〔1〕一輪船以16海里/時(shí)的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/時(shí)的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過(guò)1.5小時(shí)后，它們相距________海里．〔2〕如圖1，某貨船以24海里／時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東30°的方向上，在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，假設(shè)繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)暗礁危險(xiǎn)？試說(shuō)明理由?！矆D1〕〔圖2〕〔3〕如圖2，某沿海開放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動(dòng)，城市A到BC的距離AD=100km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？例6：網(wǎng)格問(wèn)題〔1〕如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是〔〕A．0B．1C．2D．3〔2〕如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，假設(shè)小方格邊長(zhǎng)為1，那么△ABC是〔〕A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)〔3〕如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,那么四邊形ABCD的面積是()A．25B.12.5C.9D.8.5〔圖1〕〔圖2〕〔圖3〕例7：圖形問(wèn)題〔1〕如圖1，求該四邊形的面積〔2〕如圖2，，在△ABC中，∠A=45°，AC=eq\r(\s\do1(),2)，AB=eq\r(\s\do1(),3)+1，那么邊BC的長(zhǎng)為．〔圖1〕〔圖2〕〔3〕某公司的大門如下圖,其中四邊形ＡＢＣＤ是長(zhǎng)方形,上部是以ＡＤ為直徑的半圓,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為2.5ｍ,寬為1.6ｍ,問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)公司的大門?并說(shuō)明你的理由.〔4〕〔太原〕將一根長(zhǎng)24㎝的筷子置于地面直徑為5㎝，高為12㎝的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為h㎝，那么h的取值范圍。課后作業(yè)：【中考鏈接】1.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，那么BE的長(zhǎng)為〔A〕4cm 〔B〕5cm〔C〕6cm〔D〕10cmABABCD2．如下圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，CD＝5㎝，求AB的長(zhǎng)．3.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格