七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章有理數(shù)

一'正數(shù)和負(fù)數(shù)

1.正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

負(fù)數(shù)：比0小的數(shù)正數(shù)：比0大的數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)

注意：①字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí),

-a是正數(shù)；當(dāng)a表示0時(shí)，-a仍是0。(如果出判斷題為：帶正號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶

負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的，例如+a,-a就不能做出簡(jiǎn)單判斷)

②正數(shù)有時(shí)也可以在前面加“+”，有時(shí)“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號(hào)

是正號(hào)。

2.具有相反意義的量

若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：

零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：-8℃

3.0表示的意義

(1)0表示“沒有”，如教室里有0個(gè)人，就是說(shuō)教室里沒有人；

(2)0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。

(3)0表示一個(gè)確切的量。如：0℃以及有些題目中的基準(zhǔn)，比如以海平面為基準(zhǔn),

則0米就表示海平面。

二'有理數(shù)

L有理數(shù)的概念

(1)正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)(0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù))

(2)正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)

(3)正整數(shù)，0,負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為

有理數(shù)。

理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。①兀是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)

形式，不是有理數(shù)。②有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。3,

整數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)，也是有理數(shù)

注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶數(shù)

,-1,-3,-5…也是奇數(shù)。

2.有理數(shù)的分類

⑴按有理數(shù)的意義分類(2)按正、負(fù)來(lái)分

「正整數(shù)r正整數(shù)

(整數(shù)10定有理數(shù)Y

〔負(fù)整數(shù)1正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)有理數(shù)0(0不能忽視)

「正分?jǐn)?shù)「負(fù)整數(shù)

1分?jǐn)?shù)-聯(lián)有理數(shù)Y

1負(fù)分?jǐn)?shù)〔負(fù)分?jǐn)?shù)

總結(jié)：①正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)(也叫自然數(shù))

②負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù)

③正有理數(shù)'0統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù)

④負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)

3.數(shù)軸

(1)數(shù)軸的概念

規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

注意：①數(shù)軸是一條向兩端無(wú)限延伸的直線；②原點(diǎn)'正方向'單位長(zhǎng)度是數(shù)

軸的三要素，三者缺一不可；③同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一；④數(shù)軸的三要

素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。

(2)數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系

①所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，

負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。

②所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù),

也就是說(shuō)，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。(如.數(shù)軸上的點(diǎn)殳不是有理

數(shù))

(3)利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小

①在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

②正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)；

③兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。

(4)數(shù)軸上特殊的最大(小)數(shù)

①最小的自然數(shù)是0,無(wú)最大的自然數(shù)；

②最小的正整數(shù)是1,無(wú)最大的正整數(shù)；

③最大的負(fù)整數(shù)是-1,無(wú)最小的負(fù)整數(shù)

(5)a可以表示什么數(shù)

①a>0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a>0；

②a<0表示a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，則a<0

③a=0表示a是0；反之，a是0,則a=0

4.相反數(shù)

(1)相反數(shù)

只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反

數(shù)是0。

注意：①相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的；②相反數(shù)只有符號(hào)不同，若一個(gè)為正，則另一

個(gè)為負(fù)；

③0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。

(2)相反數(shù)的性質(zhì)與判定

①任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)；

②0的相反數(shù)是0;

③互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a,b互為相反數(shù)，

則a+b=0

⑶相反數(shù)的幾何意義

在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩

個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(0除外)在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相

反數(shù)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)；原點(diǎn)表示0的相反數(shù)。

說(shuō)明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

(4)相反數(shù)的求法

①求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“-”即可求得(如：5的相反數(shù)是

-5)；

②求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)時(shí)，要用括號(hào)括起來(lái)再添然后化簡(jiǎn)(如；5a+b

的相反數(shù)是-(5a+b)?；?jiǎn)得-5a-b)；

③求前面帶的單個(gè)數(shù)，也應(yīng)先用括號(hào)括起來(lái)再添然后化簡(jiǎn)(如：-5的相

反數(shù)是-(-5),化簡(jiǎn)得5)

(5)相反數(shù)的表示方法

一般地，數(shù)a的相反數(shù)是-a,其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。

當(dāng)a>0時(shí)，-a<0（正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）

當(dāng)a<0時(shí)，-a>0（負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）

當(dāng)a=0時(shí)，-a=0（0的相反數(shù)是0）

5.絕對(duì)值

（1）絕對(duì)值的幾何定義

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記作閭。

（2）絕對(duì)值的代數(shù)定義

①一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；②一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；③0的絕

對(duì)值是0.

可用字母表示為：

A.如果a>0,那么|a|=a；B.如果a<0,那么|a|=-a；C.如果a=0,那么同=0。

可歸納為①：aNO,<=>|a|=a（非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù)

是非負(fù)數(shù)。）

②aWO,<=>|a|=a（非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是

非正數(shù)。）

經(jīng)典考題

如數(shù)軸所示，化簡(jiǎn)下列各數(shù)

|a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,|b+c|

解：由題知道，因?yàn)閍>0,b<0,c<0,a-b>0,a-c>0,b+c<0,

所以|a|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b|=a-b,|a-c|=a-c,|b+c|=-(b+c)=-b-c

（3）絕對(duì)值的性質(zhì)

任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，也就是說(shuō)絕對(duì)值具有非負(fù)性。所以，a取

任何有理數(shù)，都有⑶對(duì)。即

①0的絕對(duì)值是0;絕對(duì)值是0的數(shù)是0。即：a=0<=>|a|=0；

②一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是0.即：|a|>0；

③任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù)。即：|a|>a；

④絕對(duì)值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a(a>0),貝ljx=±a；

⑤互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等。即：卜a|=|a|或若a+b=0,貝1a]=|b|；

⑥絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|,則a=b或a=-b；

⑦若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于0,則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。§P|a|+|b|=0,則a=0且

b=0o

(非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為

0)

經(jīng)典考題

已知|a+3|+|2b-2|+|c-l|=0,求a+b+c的值

解：因?yàn)閨a+3|K),|2b-2|>0,|c-l|>0,且|a+3|+|2b-2|+|c-l|=0

所以|a+3|=0,|2b-2|=0,|c-l|=0

即a=-3,b=l,c=l

所以a+b+c=-3+l+l=-l

(4)有理數(shù)大小的比較

①利用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較，左邊的總比右邊的??；

②利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而?。?/p>

異號(hào)兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

(5)絕對(duì)值的化簡(jiǎn)

①當(dāng)a>0時(shí)，|a|=a；②當(dāng)a<0時(shí)，|a|=-a

(6)已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，求這個(gè)數(shù)

一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地，絕對(duì)值為同

一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，絕對(duì)值為0的數(shù)是0,沒有絕對(duì)值

為負(fù)數(shù)的數(shù)。如：|a|=5,則a=±5

三'有理數(shù)的加減法

1.有理數(shù)的加法法則

(1)同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

(2)絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕

對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；

(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；

(4)一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)。

2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律

(1)加法交換律：a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí)，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，通常有下列規(guī)

律：

①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”；

②符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加——“同號(hào)結(jié)合法”；

③分母相同的數(shù)先相加——“同分母結(jié)合法”;

④幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù)，先相加——“湊整法”；

⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加——“同形結(jié)合法”。

3.加法性質(zhì)

一個(gè)數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)??；加0后的和等于原數(shù)。

即：

⑴當(dāng)b>0時(shí)，a+b>a⑵當(dāng)b<0時(shí)，a+b<a(3)當(dāng)b=0時(shí)，a+b=a

4.有理數(shù)減法法則

減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：

a-b=a+(-b)o

5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義

在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，

再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。

在和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫，寫成省略加號(hào)的和

的形式。如：

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

和式的讀法：①按這個(gè)式子表示的意義讀作“負(fù)8、負(fù)7、負(fù)6、正5的和”

②按運(yùn)算意義讀作“負(fù)8減7減6加5”

6.有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時(shí)的一些技巧：

(1)把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合(同號(hào)結(jié)合法)

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(將減法轉(zhuǎn)換成加法)

=-33+18-15-1+23(省略加號(hào)和括號(hào))

=(-33-15-1)+(18+23)(把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合)

=-49+41（運(yùn)用加法法則一進(jìn)行運(yùn)算）

=-8（運(yùn)用加法法則二進(jìn)行運(yùn)算）

(2)把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合(湊整法)

(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（將減法轉(zhuǎn)換成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加號(hào)和括號(hào)）

=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合）

=4-10+3.8（運(yùn)用加法法則進(jìn)行運(yùn)算）

=7.8-10（把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合，并進(jìn)行

超導(dǎo))

=-2.2（得出結(jié)論）

（3）把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合（同分母結(jié)合法）

-5-2+4-5+2"8

321137

原式=(-----)+(—+—)+(+----)

552248

=-1+0--

8

（4）既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合（先統(tǒng)一后結(jié)合）

312

(+0.125)-(-3-)+(-3-)-(-10-)-(+1.25)

483

_13121

原式=(+&)+(+3-)+(-3-)+(+10-)+(-1-)

1.3.1，八2,1

=—+3—3—+10—1—

84834

31112

=(3--1-)+(--3-)+10-

44883

=2--3+10-

23

=-3+13-

6

=10—

6

⑸把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合(先拆分后結(jié)合)

-3-+10--12—+4—

5112215

原式=(-3+10-12+4)+(—+—)+(---------)

5151122

,411

=-1+——+——

1522

=一1+2+竺

3030

7

30

(6)分組結(jié)合

2-3-4+5+6-7-8+9...+66-67-68+69

原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)

=0

(7)先拆項(xiàng)后結(jié)合

(1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8...+100)

四'有理數(shù)的乘除法

1.有理數(shù)的乘法法則

法則一：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；(“同號(hào)得正，異號(hào)

得負(fù)”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過(guò)兩個(gè)，就必須運(yùn)用法則三)

法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0；

法則三：幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)

數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；

法則四：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.

2.倒數(shù)

乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為

a--=l(a#O),就是說(shuō)a和工互為倒數(shù)，即a是工的倒數(shù)，,是a的倒數(shù)。

aaaa

注意：(1)0沒有倒數(shù)；

(2)求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；

求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；

(3)正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不改變這個(gè)數(shù)的

性質(zhì))；

(4)倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0o

3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律

(1)乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相

等。即ab=ba

(2)乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積

相等。即(ab)c=a(bc).

(3)乘法分配律：一般地，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩

個(gè)數(shù)相乘，在把積相加。即a(b+c尸ab+ac

4.有理數(shù)的除法法則

(1)除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

(2)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0

的數(shù)，都得0

5.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算

(1)乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。

(2)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，則按照，先乘除，

后加減'的順序進(jìn)行。

五'有理數(shù)的乘方

1.乘方的概念

求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕。在小中，a叫

做底數(shù)，n叫做指數(shù)。

2.乘方的性質(zhì)

(1)負(fù)數(shù)的奇次易是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕的正數(shù)。

(2)正數(shù)的任何次事都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次事都是0。

3.有理數(shù)的混合運(yùn)算

做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：

(1)先乘方，再乘除，最后加減；

(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。

4.科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)大于10的數(shù)表示成axlO"的形式(其中n是正整數(shù))，這種記

數(shù)法是科學(xué)記數(shù)法。

第二章整式的加減

一v整式

代數(shù)式：用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和字母連接而成的式子叫做代數(shù)式，如〃，-1

2n+500,abco單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。

單項(xiàng)式：表示數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是

代數(shù)式。

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和

多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的

項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。

多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為0。

整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

注意：分母上含有字母的不是整式。

代數(shù)式書寫規(guī)范：

①數(shù)與字母、字母與字母中的乘號(hào)可以省略不寫或用“?”表示，并把數(shù)字放到字

母前；

②出現(xiàn)除式時(shí)，用分?jǐn)?shù)表示；

③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)；

G若運(yùn)算結(jié)果為加減的式子，當(dāng)后面有單位時(shí)，要用括號(hào)把整個(gè)式子括起來(lái)。

⑷

二、整式的加減

1.合并同類項(xiàng)

同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

合并同類項(xiàng)的法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指

數(shù)不變。

合并同類項(xiàng)的步驟：（1）準(zhǔn)確的找出同類項(xiàng)；（2）運(yùn)用加法交換律，把同類項(xiàng)交換

位置后結(jié)合在一起；（3）利用法則，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不

變；（4）寫出合并后的結(jié)果。

2去括號(hào)的法則

⑴括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都不變；

⑵括號(hào)前面是“一”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“一”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要改

變。

3整式的加減：進(jìn)行整式的加減運(yùn)算時(shí)，如果有括號(hào)先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。

整式加減的步驟：（1）列出代數(shù)式；（2）去括號(hào)；（3）合并同類項(xiàng)。

第三章一元一次方程

一、一元一次方程的概念：

只含有一個(gè)未知數(shù)（元）且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形

式：ax+b=O（存0）

注意：未知數(shù)在分母中時(shí)，它的次數(shù)不能看成是1次。如工+3=盯它不是一元

X

一次方程。

二'解一元一次方程

1.方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

2.解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程。

3.等式的性質(zhì)：

（1）等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式；

（2）等式兩邊都乘或除以同一個(gè)不等于0的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。

4.移項(xiàng)

移項(xiàng)：方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后，可以從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形

叫做移項(xiàng)。

移項(xiàng)的依據(jù)：（1）移項(xiàng)實(shí)際上就是對(duì)方程兩邊進(jìn)行同時(shí)加減，根據(jù)是等式的性質(zhì)1;

⑵系數(shù)化為1實(shí)際上就是對(duì)方程兩邊同時(shí)乘除，根據(jù)是等式的性質(zhì)2。

移項(xiàng)的作用：移項(xiàng)時(shí)一般把含未知數(shù)的項(xiàng)向左移，常數(shù)項(xiàng)往右移，使左邊對(duì)含未

知數(shù)的項(xiàng)合并，右邊對(duì)常數(shù)項(xiàng)合并。

注意：移項(xiàng)時(shí)要跨越“=”號(hào)，移過(guò)的項(xiàng)一定要變號(hào)。

5.解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知數(shù)的

系數(shù)化為1。

注意：去分母時(shí)不可漏乘不含分母的項(xiàng)。分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用，去掉分母后，若

分子是多項(xiàng)式，要加括號(hào)。

三'方程解決問(wèn)題

列一元一次方程解應(yīng)用題的基本步驟：審清題意'設(shè)未知數(shù)（元卜列出方程、解

方程、寫出答案。關(guān)鍵在于抓住問(wèn)題中的有關(guān)數(shù)量的相等關(guān)系，列出方程。

1.解決問(wèn)題的策略：利用表格和示意圖幫助分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系

2.實(shí)際問(wèn)題的常見類型：

（1）行程問(wèn)題：路程=時(shí)間x速度，時(shí)間=棗冬，速度=鬻

速度時(shí)間

（單位：路程——米、千米；時(shí)間——秒、分、時(shí)；速度——米/秒、米/分、

千米/小時(shí)）

（2）工程問(wèn)題：工作總量=工作時(shí)間x工作效率，工作總量=各部分工作量的和

(3)利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=鏗，售價(jià)=標(biāo)價(jià)x(l一折扣)

進(jìn)價(jià)

(4)等積變形問(wèn)題：長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)義寬X高；圓柱的體積=底面積X高；鍛造前的

體積=鍛造后的體積

(5)利息問(wèn)題：本息和=本金+利息；利息=本金x利率

第四章幾何圖形初步

一、幾何圖形

1.立體圖形與平面圖形

從實(shí)物中抽象出來(lái)的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。

2.點(diǎn)'線'面、體

(1)幾何圖形的組成

點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡(jiǎn)稱體。

(2)點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

3.棱柱及其有關(guān)概念：

棱：在棱柱中，任何相鄰兩個(gè)面的交線，都叫做棱。

側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做側(cè)棱。

n棱柱有兩個(gè)底面，n個(gè)側(cè)面，共(n+2)個(gè)面；3n條棱，n條側(cè)棱；2n個(gè)頂點(diǎn)。

棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等，棱柱的上下兩個(gè)底面是相同的多邊形，直棱柱的側(cè)面

是長(zhǎng)方形。棱柱的側(cè)面有可能是長(zhǎng)方形，也有可能是平行四邊形。

4.正方體的平面展開圖有11種

5.截一個(gè)正方體：用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截出的面可能是三角形，四邊形,

五邊形，六邊形。

6.三視圖

物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。

左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。

俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。

二'直線'射線、線段

L直線、射線、線段的比較

不同點(diǎn)

名稱聯(lián)系共同點(diǎn)

延伸性端點(diǎn)數(shù)

線段不能延伸2

線段向一方延長(zhǎng)

射線只能向一方延伸1都是直的

就成射線，向兩

可向兩方無(wú)限延線

直線無(wú)方延長(zhǎng)就成直線

伸

2.點(diǎn)、直線、射線和線段的表示

在幾何里，我們常用字母表示圖形。

(1)一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫字母表示，如點(diǎn)A

⑵一條直線可以用一個(gè)小寫字母表示或用直線上兩個(gè)點(diǎn)的大寫字母表示，如直

線/,或者直線AB

(3)一條射線可以用一個(gè)小寫字母表示或用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來(lái)表示(端點(diǎn)字母

寫在前面)，如射線/,射線AB

⑷一條線段可以用一個(gè)小寫字母表示或用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母來(lái)表示，如

線段/,線段AB

3.點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種：

①點(diǎn)在直線上，或者說(shuō)直線經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。

②點(diǎn)在直線外，或者說(shuō)直線不經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。

4.線段的性質(zhì)

(1)線段公理：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。

⑵兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。

⑶線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等。

(4)線段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的。

(5)線段的比較：1.目測(cè)法2.疊合法3.度量法

5.線段的中點(diǎn)：

點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條相等的線段AM與BM,點(diǎn)M叫做線段AB的

中點(diǎn)。

是線段AB的中點(diǎn)

AMB

AM=BM=1AB(或者AB=2AM=2BM)

6.直線的性質(zhì)

(1)直線公理：經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)有且只有一條直線。

(2)過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條。

(3)直線是是向兩方面無(wú)限延伸的，無(wú)端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小。

(4)直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。

(5)兩條不同的直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)。

三、角

1.角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)

角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做這個(gè)角的邊?；颍航且部梢钥闯墒且粭l射線繞著它的

端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。

2.平角和周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所形

成的角叫做平角。終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角。

3.角的表示：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如Nl,Z2,N3等。

②用小