人教A版高中數(shù)學必修第二冊 同步題型講義 高一平面向量章節(jié)檢測（基礎卷）

高一平面向量章節(jié)檢測(基礎卷)

第I卷(選擇題)

一、選擇題(本大題8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的)

1.下列命題中正確的個數(shù)是()

①起點相同的單位向量，終點必相同；

②已知向量在〃而，則4反四點必在一直線上；

③若a//b,b//c,則,〃E;

④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.

A.OB.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由平面向量的概念對選項逐一判斷，

【詳解】對于A,單位向量的方向不確定，故起點相同的單位向量，終點不一定相同，故A錯誤，

對于B,向量方〃麗，則48,C,D四點共線或N由/CD,故B錯誤，

對于C,若萬〃瓦5〃己，當加=。時，落,不一定平行，故C錯誤，

對于D,若4民C三點共線，則祝//元，此時起點不同，終點相同，故D錯誤，

故選：A

2.已知向量1=(2,1)，b=(m,-3)>若(H)則實數(shù)加=()

A.-6B.6C.-4D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量坐標的加減法運算，及向量垂直的坐標表示，即可求出〃?.

【詳解】由題可知,a=(2,1)>b=(w,-3)'

則a-b=(2,l)-(∕n,-3)=(2-∕n,4),

由于.α,貝lj(α-1)α=O,

即：2x(2-m)+4=0,解得：m=4.

故選：D

3.在448C中，點。滿足而=3而，則()

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4433

—>3—1—?一1—2—

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+—CB

4433

【答案】A

【分析】根據(jù)題意畫出一BC并確定點。的位置，即可以向量亂,在為基底表示出而.

【詳解】根據(jù)題意如下圖所示：

—.3—?

根據(jù)向量加法法則可知CD=。+4。，又AD=3DB,AD=-AB

4

即麗=0+1存=而+;(而場+1而，

一1一3一

可得CQ=-C/+-CB.

44

故選：A

4.設非零向量1與B的夾角為。，定義3與B的響量積“：2x5是一個向量，它的模BXBl=同WSind,若

1=(2,0),6=(1,√3),則內(nèi)同=()

A.2B.2√3C.√3D.1

【答案】B

【分析】根據(jù))=(2,0),?=(1,√3),利用數(shù)量積運算求得夾角，進而得到夾角的正弦值，再代入公式

BX畫=同WSin。求解.

【詳解】V0=(2,0),?=(1,√3),

.??∣5∣=2,∣6∣=2,

3=a麗a-b丁25?,則Sine吟J7,

「?卜X可=同WSine=2X2X=2百.

故選：B.

5.設非零向量7瓦C,若力=3三+含，則I”的取值范圍為()

⑺|6|

A.[0,4]B.[2,4]C.{0,4}D.{2,4}

【答案】B

【分析】根據(jù)向量模的性質和數(shù)量積公式，分析余弦的范圍，即可得I訓的取值范圍.

【詳解】解：由題意加=3上-+烏=9+/-+6-≤?

I?b?}l∣5∣JIJbU∣5∣?∣?∣

=9×12+12+6COS(5,?)=10+6COS@5〉，

Vcos(5,6)∈[-1,1],

.?.p2∈[4,16],

例=折e[2,4],

故選：B.

6.已知￡=(-2,1)%=(-2,-3),則Z在石上的投影向量是()

【答案】B

ba,b

【分析】根據(jù)Z在B上的投影向量是同as9b計算即可解決.

【詳解】由題知，Z=(-2,1),B=(-2,-3)，

所以a?b=4—3=1,∣?I=√4+9=???3^,

設Z與B夾角為。，

所以)在B上的投影向量是同cos/j=*B$(-2,-3)=W),

故選：B

ABAC—.ABAC1

7.已知非零向量方、刀滿足?8C=0,且向,序［=3,則的形狀是()

R+Rj陷KI2

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰(非等邊)三角形D.等邊三角形

【答案】D

AS就1

【分析】由炭=O可得N8=XC,再由而,存Γ=5可求出//，即得三角形形狀。

?ab??ac?2

JRAC

【詳解】解：因為鬲和國分別表示向量方和向量％方向上的單位向量,

BC-O,4的角平分線與BC垂直,

二28C為等腰三角形，RAB=AC,

_____________ABAC1

???2∕8?∕C=2∣Z8∣?∣∕C∣?cosN且同.園=],

二.cos4=3,又∕4e(0,τr),

,,π

:,/A=—,

3

.?.NB=NC=乙4=土,

3

三角形為等邊三角形.

故選：D.

8.在“18C中，NC=BC=I,NC=90。.尸為48邊上的動點，則方.正的取值范圍是()

Γ11「1,1「1-1「I/1

A.--,1B.--,1C.--,2D.--,2

-4」18」L4JL8

【答案】B

【分析】以C為坐標原點建立合理直角坐標系，求出直線48所在直線方程為y=-x+l,設P(f,T+l),得

到麗京=2,_：-?,利用二次函數(shù)的性質即可求出其值域.

【詳解】以C為坐標原點，CA,C8所在直線分別為X軸，J軸，建立直角坐標系,

則/(0,1),8(1,0),直線ZB所在直線方程為y=τ+l,

設P(f,T+l),te[0,?],則麗=(-),PC=(-ζZ-l),

而屁二T(IT)+("1)2=21用-?,

當/=0時，(PSPC)ma=1,當t=∣?時，(而斤Ln=［，

故其取值范圍為

O_

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部

選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列說法中錯誤的是()

A.單位向量都相等

B.向量荏與比是共線向量，則點/、B、C、。必在同一條直線上

c.兩個非零向量IR若|,+昨卜|-］囿，則方與在共線且反向

D.已知向量5=(4,3-B=(I,加)，若之與B的夾角為銳角，則一1＜冽＜4

【答案】ABD

4+3m-Wi2＞0

,解不等式可判斷

14m≠3-in

D.

【詳解】解：對于A選項，單位向量方向不同，則不相等，故A錯誤；

對于B選項，向量荏與而是共線向量，也可能是ZB//CZ),故B錯誤；

對于C選項，兩個非零向量a,B,若m+司=k∣-∣B∣∣,則萬與在共線且反向，故C正確；

對于D選項，向量方=(4,3—m)/=(1,m)，若萬與5的夾角為銳角，則不歸＞0且萬與B不共線，故

4÷3λ∏—m>O3

C,解得-l<∕n<4且故D錯誤；

[4m≠3-m5

故選：ABD

10.在菱形/8CZ)中，/5=2,/0/8=60。，點E為線段C。的中點，/C和8。交于點O,貝IJ()

A.^AC-^BD=QB.ABAD=2

C.OERA=~^D.OE-AE=^

【答案】ABD

【分析】以。為坐標原點可建立平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算依次驗證各個選項即可.

【詳解】???四邊形力88為菱形，.-CLBD,

則以。為坐標原點，人,而正方向為XJ軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，

-,-AB=AD=2,ZDAB=600.BD=2,OA=OC=422-C=5

0(0,0),∕i(-√3,θ),5(0-1),D(O,1),E

’2'

對于A,?.?AC^8。，.?.就.麗=0，A正確；

對于B,?.?78=(6,-l),/。=(石,1),.?.方.而=3-1=2，B正確；

對于C,?.?礪=憐,g,Λ4=(-√3,l),.?.OEBA=-→^-l,C錯誤;

:.OEAE=D正確.

442

故選：ABD.

11.已知向量￡=(2,0),Z-B=(3,l),則下列結論不正確的是()

A.ab=2B.alIbC.1?l(α+5)D.卜卜忖

【答案】ABD

【分析】設9=(x∕),由￡=(2,0)、否=(3,1)求出5的坐標，求出Z石可判斷A；根據(jù)向量共線的坐標表

示可判斷B；計算出VR+4可判斷C；計算出口，W可判斷D.

【詳解】設B=(x,y),

因為向量α=(2,0),”5=(3,1),

則『卅解得|乃」'所以一(TT)，

對于A,因為α?B=-2+0=-2，故A錯誤；

對于B,因為2x(-1)-0x(T)≠0,故Z與坂不共線，故B錯誤；

對于C,α+δ=(l,-l),所以B?R+g)=Tχl+(T)X(T)=0,

所以辦伍+?,故C正確;

對于D,同=2,W=√iTT=√Σ,所以同咽，故D錯誤.

故選：ABD..

12.下列說法中正確的有()

A.已知方在不上的投影向量為；￡且忖=5,則晨B=

B.己知)=(1,2),5=(1,1),且。與1+花夾角為銳角，則2的取值范圍是1-g,+∞);

c.若非零向量用B滿足I，HBbI萬-B∣,則3與α+B的夾角是30".

D.在AZiBC中，若在.前＞0，則/8為銳角；

【答案】AC

【分析】結合投影向量的概念以及平面向量數(shù)量積的定義可判斷A選項，結合平面向量數(shù)量積和向量共線

的坐標運算即可判斷B選項，根據(jù)平面向量夾角的公式以及數(shù)量稅的運算律即可判斷C選項，結合平面向

量數(shù)量積的定義即可判斷D選項.

?r

[rIb1?*r1

=?

【詳解】設)與否的夾角為α,又因為1在不上的投影向量為京，所以∣α∣?cosa?p∣=y,即W2-

所以G?彼=M?∣?∣?cosa=；×5×5=個，故A正確；

因為G=(1,2),5=(1,1),則7+苣=(1+2,2+2),乂因為)與方+與夾角為銳角,

,5

2l+(Λ1+÷2(√2≠+2)÷>01，解得Λ,≥-----

所以心,+花)>0,且萬與伍+花)不共線，BP-3,所以則/1的取值范圍是

2≠0

∣,θL(θ,+∞),故B錯誤;

.2?

因為同=歸一可,兩邊同時平方得同2=>—閘2,即同2=(a-b],所以同?af+?b^-2a-b,即時=2]幾

5?(a+fe)_p∣2+α??ρ∣2+∣ρ∣2

因止匕cos(α,α+B)=麗T同對煙+2〉，郎荷3；忖

=靠「等，又因為向量夾角的范圍是[θ°,18θ[,所以?,￡+今=30°,故C正確；

因為萬?而>0，所以48?8C=卜司?卜葉COS(L8)=-陋I杉k()s8>0,

因為網(wǎng)>0,∣網(wǎng)>0,故cos5<0,又四為8∈(0,%),故於停萬因此28為鈍角，故D錯誤,

故選：AC.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.設蘇=(1,1),麗=(3,0),OC=(3,5)(其中。為坐標原點)，則“8C的面積為.

【答案】5

【分析】根據(jù)向量的坐標求出向量的模，發(fā)現(xiàn)向量的模之間滿足勾股定理即可進一步得解.

【詳解】04=(1,1),05=(3,0)

所以而=(2,-1),

所以畫=6+(-I))=括,

同理I狗=百+(4)2=2√L∣JC∣=√02+(5)2=5,

所以M8f+∣ZCf=忸C「，

所以為直角三角形,

所以S“B

故答案為：5.

14.已知同=4,W=5,當￡〃即寸，石在Z方向上的投影數(shù)量為；當時，否在Z方向上的數(shù)量

投影為；當例與=60。時，B在G方向上的數(shù)量投影為.

【答案】±503

2

1—1——a?b

【分析】根據(jù)B在￡方向上的投影數(shù)量為：∣4cos<α,b>=而代入求解.

Ll-*-*Cl*b

【詳解】?高在Z方向上的投影數(shù)量為：∣*os<α,b>=4

當Z〃B時<>=0°或者<a,b>=180

當時<Z,5>=90°,所以WeoS<￡[>=芹=°

a.b。5

當（詞=60。時,所以WCOS<￡出>=-Pi-=5XCOS60=

H2

故答案為：±5,0,|

15.已知空間向量￡,I滿足問=2,W=3,且否的夾角為（，若（2］可“蘇+25）,則實數(shù)2等于

【答案】I

［分析】運用平面向量數(shù)量積乘法分配律計算.

【詳解】依題意有（2￡-3?（筋+2B=O,^2Aa+4a.b-Aa-b-2b2=0，

由條件知=4方=9,〃％=,卜WCoSq=3,

Λ82+（4-Λ）×3-2×9=0,Λ=-∣；

故答案為：（.

16.已知平面向量,"滿足W=W=k+.=2,且它+石-q=；,則M的最大值為.

【答案】I##2.5

【分析】!11（α+h）2=tz^+2α?ft+?2=4＞可求得α?3=-2,再求解∣α+?∣=V^+275+9=2,結合向量模

長的三角不等式卜/卡卜忸+5-相石+4』彳，即得解.

【詳解】由題意，G+斤=7+275+片=4,又W=M=2，

故￡%=-2，

∣?∣α+?∣=V?2+2a?b+l＞=2，

由向量模長的三角不等式，忸―汩4卜忖+1相1+4府

即∣2第層≤2+∣q,

解得：∣≤∣c∣≤∣,則『的最大值為I.

故答案為：?

四、解答題：本大題共5小題，17題共10分，其余各題每題12分，共70分.解答應寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

17.設向量滿足Z?B=3,W=3,∣4=2.

（1）求向量￡［的夾角；

（2）?＜∣α-?∣.

【答案】（1）＜。力＞=；

⑵77

【分析】（I）直接利用數(shù)量積求夾角即可；

（2）由IZMl=J0M）2,展開后代入已知得答案.

【詳解】（1）因為由1=3，同=3，W=2,

-7a`b3L

所以cos<α,%>=麗=

3^22

———_*—冗

X<6r,fe>∈[0,π],所以<α,b>=

(2)∣Λ—?∣=y∣(a-b)2=Jq-2Q?B+∣彳=>/9—2×3+4=V^7?

18.設1是兩個不共線的向量，已知羽二2泉-舐，CS=^+3ξ,CO=2ξ-ξ.

(1)求證：A,B,。三點共線；

UUUlLLUL

⑵若斯=3q-色，且而〃麗，求實數(shù)k的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)12

【分析】(1)由題意證明向量在與麗共線，再根據(jù)二者有公共點8,證明三點共線：

(2)根據(jù)薛與麗共線，設品=2而GeR)由(1)的結論及題意代入整理，結合親，B是兩個不共線

的向量，構造方程解實數(shù)上的值.

【詳解】(1)由已知得而=麗-而=(2M-Z)-辰+31)=1一里，

因為羽=2A-舐，所以萬=2麗.

又方與Azj有公共點8，所以A，B,。三點共線；

?一一UUUlUUL,.

(2)由(1)知8。=《-4?2，若BF=3e「kez，且而〃而，

可設礪=2而(/IeR),

所以3e、—ke,=λe^—4λe-t,即(3—2)e∣=(k—42)e?，

乂&,W是兩個不共線的向量，

[3-2=0

所以%ZMn解發(fā)=12.

[發(fā)-4兒=0

19.在A∕8C中，C∕=6,/8=8,ZBAC=-,。為邊BC中點.

2

⑴求而?無的值;

(2)若點P滿足方=%Z(∕IWR),求方?定的最小值；

【答案】(1)14

⑵最小值為-9

【分析】(I)以A為坐標原點，邊4C、所在的直線為X、V軸的正方向建立平面直角坐標系求出而、EB

的坐標，再由向量數(shù)量積的坐標運算可得答案；

(2)根據(jù)點P在NC上，設尸(x,0),求出而、斤的坐標，則萬?定=(-x,8)?(6-x,0),利用二次函數(shù)配

方求最值可得答案.

【詳解】(1)如圖，以A為坐標原點，邊/C、/8所在的直線為x、N軸的正方向建立平面直角坐標系，

所以Z(0,0),8(0,8),C(6,0),

D為邊BC中點,所以0(3,4),亞=(3,4),CS=(-6,8),

則通.通=-18+32=14;

K(2)若點P滿足CP=%C4(%eR),則點P在/C上，

由⑴，設P(x,0),則麗=(-x,8),PC=(6-x,0),

則方?定=(-x,8)?(6-χ0)=(X—3)2-9,

所以當x=3時而?定的最小值為-9.

20.已知平面四邊形/88中，I萬I=IN萬I=21友I=2,1元|=百，向量方,而的夾角為

⑴求證：AδlBC;

(2)點E是線段8C中點，求甚.麗的值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)i-

【分析】(1)畫出示意圖，根據(jù)邊的關系可得//Be='，因而而，品.

（2）以8為原點建立平面直角坐標系，寫出各個點坐標，進而根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算即可求出結

果.

【詳解】（I）根據(jù)題意，畫出示意圖如下圖所示

由題意可知|力明=|/￡）|=2,Z.BAD=?,

所以三角形/8。為等邊三角形，

則甌=2,又RCl=L忸c∣=√i,

所以IZxf+忸=忸02,

TTTT

即為直角三角形，KZC=-,∠β=-,

26

所以NZBC=%+生=工，

362

所以荏■1元：

（2）根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標系,

所以方?麗

2

/

二+2

4

5

=—

4

21.如圖，已知正方形/8CD的邊長為2,過中心。的直線/與兩邊43,CD分別交于點Λ/,N.

(1)若。是BC的中點，求西?新的取值范圍;

(2)若P是平面上一點，且滿足2萬=4礪+(1-2)反，求麗r.麗的最小值.

【答案】(l)[-l,O];

⑵4

【分析】(I)由向量的加法和數(shù)量積運算將西?新轉化為由2-麗2,再由I的I的值和I兩I的范圍可

求得結果.

(2)令西=2萬=2赤+(IT)反可得點7在8C」:，再將兩.麗轉化為由2.而2,由|而|、ie??i

的范圍可求得結果.

【詳解】(1)因為直線/過中心。且與兩邊Z2、C。分別交于點A/、N.

所以。為AW的中點，所以麗=-麗，

所以西?麗=(麗+麗)?(M+麗)=前2-兩I

因為0是8C的中點，所以∣05∣=1,1≤∣OΛ7∣≤√2,

所以-ι≤前2-572≤O,

即的西?麗取值范圍為［T,0］：

(2)OT=WP,則OT=2OP=λOB+(↑-λ)OC,

?'?OT^λδB+OC-λδC?即：OT-OC^λOB-λOC

.??CT=λCB

.?.點T在8C上，

又因為。為MV的中點，

所以|西|21,從而I而∣≥g,^PN=(P?+OM)(P?+ON)=P?2-OM2,

因為1≤∣兩∣≤J5,

--------2217

所以「M?RV=PO-OM≥一一2=--,

44

7

即PM-PN的最小值為一7.

4

22.在邊長為2的等邊ANBC中，D為BC邊上一點,且而=2反.

(1)若P為C內(nèi)一點(不包含邊界)，且PB=I,求方.定的取值范圍；