新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1習(xí)題第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4

3.4生活中的優(yōu)化問題舉例課時(shí)過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1.做一個(gè)容積為256m3的方底無蓋水箱,所用材料最省時(shí),它的高為()A.6m B.8m C.4m D.2m解析:設(shè)底面邊長(zhǎng)為xm,高為hm,則有x2h=256,所以h=256x2.所用材料的面積設(shè)為Sm2,則有S=4x·h+x2令S'=0,得x=8,因此h=答案:C2.某產(chǎn)品的銷售收入y1(單位:萬元)是產(chǎn)量x(單位:千臺(tái))的函數(shù),y1=17x2;生產(chǎn)總成本y2(單位:萬元)也是x(單位:千臺(tái))的函數(shù),y2=2x3x2(x>0),為使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)()A.9千臺(tái) B.8千臺(tái) C.6千臺(tái) D.3千臺(tái)解析:利潤(rùn)函數(shù)y=y1y2=18x22x3(x>0),求導(dǎo)得y'=36x6x2,令y'=0,得x=6或x=0(舍去).答案:C3.用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒,在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形,然后把四邊折起,就能焊成一個(gè)鐵盒.所做的鐵盒容積最大時(shí),在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為()A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm解析:設(shè)截去小正方形的邊長(zhǎng)為xcm(0<x<24),鐵盒的容積為Vcm3.由題意,得V=x(482x)2,V'=12(x8)(x24).令V'=0,則x=8∈(0,24).答案:B4.某工廠需要建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場(chǎng),一邊可以利用原有的墻壁,則要使砌墻所用材料最省,則堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為()A.16m,16m B.32m,16mC.32m,8m D.16m,8m解析:如圖,設(shè)場(chǎng)地一邊長(zhǎng)為xm,則另一邊長(zhǎng)為512x因此新墻總長(zhǎng)度L=2x+令L'=0,得x=16或x=16(舍去).∵L在(0,+∞)上只有一個(gè)極值點(diǎn),∴它必是最小值點(diǎn).∵x=16,∴故當(dāng)堆料場(chǎng)的寬為16m,長(zhǎng)為32m時(shí),可使砌墻所用的材料最省.答案:B5.內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓柱體的高為()A.解析:作軸截面如圖,設(shè)圓柱的高為2h,則底面半徑為R2-h2,圓柱體體積為V=π·(R2h2)·2h=2πR2h2πh3,令V'=0,得2πR26πh2=0,故h答案:A6.輪船甲位于輪船乙的正東方向且距輪船乙75海里處,以每小時(shí)12海里的速度向西行駛,而輪船乙則以每小時(shí)6海里的速度向北行駛,如果兩船同時(shí)起航,那么經(jīng)過小時(shí)兩船相距最近.

解析:設(shè)經(jīng)過x小時(shí)兩船相距y海里,y2=36x2+(7512x)2,令(y2)'=72x24(7512x)=0,解得x=5.易知當(dāng)x=5時(shí),y2取得最小值.答案:57.甲、乙兩地相距240km,汽車從甲地以速度v(單位:km/h)勻速行駛到乙地.已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成,固定成本為160元,可變成本為解析:設(shè)全程運(yùn)輸成本為y元,由題意,得y=240v160+16400v3=240160v+16400v2,v>0,y'=240-160v2+26答案:80km/h8.電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系式為y=解析:y'=x219x20,由y'=0,得x219x20=0,解得x=20或1(舍去).故當(dāng)速度x=20時(shí),耗電量最小.答案:209.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(單位:噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格p(單位:元)之間的關(guān)系式為p=24200-解:每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤(rùn)為f(x)=24200-1=-15x3+24000由f'(x)=-35x解得x1=200,x2=200(舍去).f(x)在[0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x=200,使f'(x)=0,故它就是函數(shù)的極大值點(diǎn),也就是最大值點(diǎn),且最大值為f(200)=-15×2003+24000×20050000=3答:每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大,最大利潤(rùn)為315萬元.10.如圖,四邊形ABCD是一塊邊長(zhǎng)為4km的正方形地域,地域內(nèi)有一條河流MD,其經(jīng)過的路線是以AB的中點(diǎn)M為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線(河流寬度忽略不計(jì)).某公司準(zhǔn)備投資建一個(gè)大型矩形游樂園PQCN,問如何施工才能使游樂園的面積最大?并求出最大面積.解:以M為原點(diǎn),AB所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則D(4,2).設(shè)拋物線的方程為y2=2px.∵點(diǎn)D在拋物線上,∴22=8p,解得p=∴拋物線方程為y2=x(0≤x≤4).設(shè)P(y2,y)(0≤y≤2)是曲線MD上任一點(diǎn),則|PQ|=2+y,|PN|=4y2.于是矩形游樂園的面積為S=|PQ|×|PN|=(2+y)(4y2)=8y32y2+4y.求導(dǎo)得S'=3y24y+4,令S'=0,得3y2+4y4=0,解得y=23或y=2(當(dāng)y∈0,23時(shí),S'>0,當(dāng)y∈23,2時(shí),S'<0,因此當(dāng)y=23時(shí),S|PQ|=2+y=2+|PN|=4y2=4-故游樂園最大面積為Smax=即游樂園的兩條鄰邊分別為83km,329km時(shí),面積最大能力提升1.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品,成本增加100元,若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關(guān)系是R(x)=-x3900+400x,0≤xA.150 B.200 C.250 D.300解析:由題意可得總利潤(rùn)P(x)=-x3900+由P'(x)=0,得x=300.當(dāng)0≤x<300時(shí),P'(x)>0;當(dāng)300<x≤390時(shí),P'(x)<0,故當(dāng)x=300時(shí),P(x)最大.答案:D2.某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品.若該商品零售價(jià)定為P元,銷售量為Q件,且銷售量Q與零售價(jià)P有如下關(guān)系:Q=8300170PP2,則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)=銷售收入進(jìn)貨支出)()A.30元 B.60元C.28000元 D.23000元解析:毛利潤(rùn)為(P20)Q,即f(P)=(P20)(8300170PP2),f'(P)=3P2300P+11700=3(P+130)(P30).令f'(P)=0,得P=30或P=130(舍去).又P∈[20,+∞),故f(P)max=f(P)極大值,故當(dāng)P=30時(shí),毛利潤(rùn)最大,且f(P)max=f(30)=23000(元).答案:D3.若一個(gè)球的半徑為r,則內(nèi)接于球的圓柱的側(cè)面積最大為()A.2πr2 B.πr2 C.4πr2 D.解析:如圖,設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為R,母線長(zhǎng)為l,則R=rcosθ,l=2rsinθ,0<θ<于是S側(cè)=2πR·l=2πrcosθ×2rsinθ=4πr2sinθcosθ.由S側(cè)'=4πr2(cos2θsin2θ)=0,得θ=故當(dāng)θ=π4,即R=2且S側(cè)的最大值為2πr2.答案:A4.要做一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的帶蓋的箱子,使其體積為72cm3,其底面兩鄰邊長(zhǎng)之比為1∶2,則它的長(zhǎng)為,寬為,高為時(shí),可使表面積最小.

解析:設(shè)底面邊長(zhǎng)為xcm,2xcm,則高為36x2cm.于是表面積S=4x2+2(x+S'=8x-令S'=0,解得S在(0,+∞)內(nèi)的唯一可能的極值點(diǎn)為x=3,即當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)取極值就是它的最值.答案:6cm3cm4cm★5.如圖,內(nèi)接于拋物線y=1x2的矩形ABCD,其中點(diǎn)A,B在拋物線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C,D在x軸上運(yùn)動(dòng),則此矩形的面積的最大值是.

解析:設(shè)CD=x,則點(diǎn)C坐標(biāo)為點(diǎn)B坐標(biāo)為故矩形ABCD的面積S=f(x)=x·1-x2由f'(x)=-得x1=-23(舍去當(dāng)x∈0,23時(shí),f'(x)>0,f(當(dāng)x∈23,2時(shí),f'(x)<0,f(故當(dāng)x=23時(shí),f(x答案:46.某分公司經(jīng)銷某種品牌的產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9≤x≤11)時(shí),一年的銷售量為(12x)2萬件.(1)求分公司一年的利潤(rùn)L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;(2)討論分公司一年的利潤(rùn)L的最大值Q(a).解:(1)分公司一年的利潤(rùn)L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)=(x3a)(12x)2,x∈[9,11].(2)L'(x)=(12x)22(x3a)(12x)=(12x)(18+2a3x).令L'(x)=0,得x=6+23a或x=因?yàn)?≤a≤5,所以8≤6+在x=6+23a兩側(cè)L'(①當(dāng)8≤6+23a≤9,即3≤aLmax=L(9)=(93a)(129)2=9(6a).②當(dāng)9<6+23aLmax=L故Q(a)=★7.某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩個(gè)橋墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測(cè)算,一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元;距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)m=640米時(shí),需新建多少個(gè)橋墩才能使y最